专题01 相交线与平行线（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线，以题型建模为核心，覆盖基础识别、性质计算到综合探究，突出方法提炼与知识逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-6（识别/作图）|定义辨析法、垂线作图规范|从对顶角/邻补角定义到垂线性质，构建相交线认知体系| |性质应用|题型7-11（判定/平移）|平行线判定与性质互推、平移性质应用|平行线角关系→判定推理→平移性质，形成逻辑链| |综合探究|题型12-14（动态/关系）|辅助线添加、分类讨论|从静态计算到动态探究，提升空间观念与应用意识|

专题01 相交线与平行线目 录 A题型建模・专项突破 题型一、对顶角、邻补角的识别 1 题型二、对顶角、邻补角的计算（常考点） 2 题型三、垂线的基本性质 3 题型四、垂线的计算（常考点） 4 题型五、画垂线 6 题型六、同位角、内错角、同旁内角 7 题型七、平行线的判定与性质综合（重点） 8 题型八、定义、命题、定理 12 题型九、图形与生活中的平移 12 题型十、平移的基本性质 13 题型十一、平移作图 16 题型十二、平行线中探究角度之间的关系（难点） 17 题型十三、平行线中探究线段之间的关系（难点） 20 题型十四、平行线中的动点问题（难点） 22 B综合攻坚・能力跃升 24 题型建模·专项突破 A 题型一、对顶角、邻补角的识别 1．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 5．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是______，的对顶角是_____．    题型二、对顶角、邻补角的计算（常考点） 6．如图，直线、、交于点，若，则与的度数之和为（    ） A． B． C． D． 7．若的邻补角等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，相交于点，若，则 ______． 9．如图，是直线上的一点，，则______度． 10．如图，直线、交于点O，平分，若，则=__________． 题型三、垂线的基本性质 11．如图所示，，，下列说法不正确的是（    ） A．线段是点到的垂线段 B．线段是点到的垂线段 C．点到的垂线段是线段 D．点到的垂线段是线段 12．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由向行驶，如图，是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 13．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 14．已知点P在直线l外，点均在直线l上，，则点到直线的距离是______（填“”或具体值）． 题型四、垂线的计算（常考点） 15．如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 16．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，直线，相交于点O，于点O，若，则的度数为 ________ ． 18．如图，点O在直线上，，且平分，．则________． 19．如图，直线，相交于点，，垂足为，且平分，求的度数． 20．如图所示，直线与相交于点，． (1)若，求的度数 (2)若，求的度数． 21．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型五、画垂线 22．下列各图中，过直线外一点画的垂线，三角板操作正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，国道a上有一出口A，现计划在附近公路b旁建一个加油站B，欲使出口A到加油站B的距离最短，应沿怎样的线路施工铺路？画出施工线路，并说明这样施工的理由． 25．如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 26．如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 题型六、同位角、内错角、同旁内角 27．如图，直线，被直线所截，下列说法不正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 28．下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 29．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 30．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 31．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 题型七、平行线的判定与性质综合（重点） 32．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，这是一块梯形（）铁片的残余部分，量得，，则梯形的另外两个角的度数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 34．将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 35．如图，已知，若，则___________， ___________． 36．工人师傅加工一个如图所示的零件，把材料弯成了一个的锐角，然后准备在处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与保持平行，弯的角度应是___． 37．已知：如图，．求证：． 证明：∵（已知） （__________ ） ∴________（___________ ） ∴（___________ ） ∴________（__________ ） 又∵（已知） ∴________（__________ ） ∴（__________ _） ∴（__________ ） 38．如图，已知，求证：． 证明：过点作 则___________（____________ ） 又（已知）， ___________（等式的性质） （___________ _） 又 ， （___________ _） 39．如图，在中，点为延长线上一点，点分别为边上一点，连接，，的角平分线与延长线交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 40．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点， ，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 41．如图，已知，是内的一条线段，且，过点C作，交于点M． (1)求的度数； (2)过点O在内作射线，若，求的度数． 42．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，，，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 题型八、定义、命题、定理 43．下列命题中，假命题是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．如果，那么 D．如果，那么 44．下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则 45．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（  ） A．， B．， C．， D．， 46．命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 47．可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是___________． 48．将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 题型九、图形与生活中的平移 49．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 50．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 51．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 52．下列图形平移后可得到如图所示的图案的是（    ） A． B． C． D． 53．如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移________格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 54．下列现象是数学中的平移的是______（填序号）． ①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动． 题型十、平移的基本性质 55．如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若．则的长度是（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 56．如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 57．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，点在边上．若，则平移的距离为（    ） A．7 B．6 C．4 D．3 58．如图，直角三角形的周长为2026，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是________． 59．如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 60．如图，将三角形沿着射线的方向平移到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，，若，，求的度数． 61．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 62．如图，将周长为的沿方向平移到的位置，已知四边形的周长为，求平移的距离． 题型十一、平移作图 63．如图，平移三角形，使点移动到点，画出平移后的三角形． 64．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，将先向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)点到点的距离是________． 65．如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 66．如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 67．如图，在的方格纸中，点，，，都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上，并填空． (1)将图1中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好与点重合，在图1中画出平移后的图形． (2)将图2中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好落在平移后的三角形内部（不含边），在图2中画出平移后图形． 题型十二、平行线中探究角度之间的关系（难点） 68．如图，已知，．试判断与的大小关系，并对结论进行说理． 69．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数是______度． (2)由（1）猜想与满足的数量关系是_____． (3)若固定，将绕点C顺时针旋转（不超过一周），旋转至（如图2）时，求的度数． 70．已知如图1，，，试回答下列问题： (1)则的度数是________；理由：________． (2)如图2，把向下平移，分别交、、于点E、F、G，请你写出一个还能求出的角的度数，说明理由． (3)如图3，连接，写出，，的关系并说明理由． 71．已知直线，，解答下列问题： (1)如图①，则____度，与的位置关系为__________； (2)如图②，若点、在上，且满足，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若平移到如图③所示的位置．在平移的过程中，与的比值是否发生改变？若不改变，请求出其比值；若改变，请说明理由． 72．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 题型十三、平行线中探究线段之间的关系（难点） 73．如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 74．如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 75．如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 76．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)的对顶角是____________，的邻补角是____________； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 77．如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 题型十四、平行线中的动点问题（难点） 78．如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 79．如图，已知两条射线，动线段的两个端点A、D分别在射线上，且，F在线段上，平分，平分．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若平行移动，使，求的度数． 80．【问题背景】如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)【拓展迁移】点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求的值； ②当点G在运动过程中，直接写出与之间的数量关系． 81．如图，点在的延长线上，，交于点，且，，比的补角小 (1)证明：； (2)若点为线段上的一动点，点为线段上一点，且满足，射线平分，请补全图形，并求出的度数． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，则图中与相等的角共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江·月考）如图．在三角形中，，把三角形沿直线向右平移后得到三角形，连接，以下．结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·天津南开·月考）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，．若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的一条直角边与平行时，的度数为___________． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 7．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 8．（25-26七年级下·海南海口·月考）把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 证明：平分， ______（______ ）， ， （________ ）， ____________（_______ _）， （________ ）， ， （_______ _）， ． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）完成下列推理过程： 已知，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图，延长交于点P． ∵（已知）， ∴（____________ ） 又∵已知）， ∴（____________ ） ∴______（____________ ） ∴（____________ ） 又∵（已知）， ∴（____________ ） ∴（____________ ） 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将此三角形向右平移得到，此时边与边相交于点D，连接． (1)若，则 ． (2)若落在边的中点处，且， 求四边形 的面积． (3)已知点P在的内部，平移到的位置后，点P的对应点为点 ，连接．若的周长为m，四边形的周长为，则_______． 11．（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图1，，点为边上一动点，连接，且． (1)求证：； (2)当点在的平分线上时，若，求的度数； (3)在点移动的过程中，当的长最小时，此时点恰好也在的平分线上，求的度数． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，若射线的位置保持不变，且．将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，______，______． (2)在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），则______． (3)直角三角板旋转的过程中，当旋转时间______秒时，边所在的直线与所在的直线平行？ 13．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）结合图形，解答下列各题： (1)如图①，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．若，求的度数． 【类比再探】 (2)如图②，在图①的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图③，在图②的基础上，过点作的平行线，请直接写出和的数量关系． 14．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 15．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）【阅读理解】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则___________度，___________度； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【拓展提升】 (4)如图4，为一块双面镜子（任何角度都能反射.左右两面都可以反射），一束固定光线与右侧镜面成60°角照射在点处后反射光线为；另一束光线照射在镜面（左右均可）的处后反射光线为.若，直接写出的度数． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、对顶角、邻补角的识别 1 题型二、对顶角、邻补角的计算（常考点） 3 题型三、垂线的基本性质 6 题型四、垂线的计算（常考点） 8 题型五、画垂线 12 题型六、同位角、内错角、同旁内角 15 题型七、平行线的判定与性质综合（重点） 17 题型八、定义、命题、定理 27 题型九、图形与生活中的平移 29 题型十、平移的基本性质 31 题型十一、平移作图 35 题型十二、平行线中探究角度之间的关系（难点） 39 题型十三、平行线中探究线段之间的关系（难点） 46 题型十四、平行线中的动点问题（难点） 51 B综合攻坚・能力跃升 57 题型建模·专项突破 A 题型一、对顶角、邻补角的识别 1．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的特点，有公共顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解：A、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； B、与是对顶角，该选项符合题意； C、有公共顶点，两边不是互为反向延长线，与不是对顶角，该选项不符合题意； D、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 5．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是______，的对顶角是_____．    【答案】 和 【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 题型二、对顶角、邻补角的计算（常考点） 6．如图，直线、、交于点，若，则与的度数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对顶角相等以及平角的性质，即可得出结果． 【详解】解：如下图： ∵， 又∵， ∴． 7．若的邻补角等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】互为邻补角的两个角的度数和为，根据定义计算即可得到的度数． 【详解】解：∵互为邻补角的两个角的度数和为， 又∵的邻补角等于， ∴． 8．如图，直线，相交于点，若，则 ______． 【答案】/60度 【分析】根据对顶角相等可得的度数，再利用邻补角互补可得答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 9．如图，是直线上的一点，，则______度． 【答案】 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，关键是根据图形得出．根据邻补角的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 故答案为：127． 10．如图，直线、交于点O，平分，若，则=__________． 【答案】/108度 【分析】本题考查相交线的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据“对顶角相等”的性质得到，进而得到，根据角平分线的性质得到，利用，进行计算求解即可． 【详解】解：直线、交于点O， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 题型三、垂线的基本性质 11．如图所示，，，下列说法不正确的是（    ） A．线段是点到的垂线段 B．线段是点到的垂线段 C．点到的垂线段是线段 D．点到的垂线段是线段 【答案】B 【详解】解：、， ∴线段是点到的垂线段，该选项说法正确，不符合题意； 、， ∴线段是点到的垂线段，该选项说法错误，符合题意； 、， ， ∴点到的垂线段是线段，该选项说法正确，不符合题意； 、， ， ∴点到的垂线段是线段，该选项说法正确，不符合题意． 12．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由向行驶，如图，是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据点到直线垂线段最短求解即可． 【详解】解：根据题意，， 则点O到的最短距离为的长， ∴当宣传车行驶到点N时，该户村民听到的内容最清楚． 13．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短等几何性质对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．两钉子固定木条，利用的是“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； B．P村庄到Q村庄的路程，利用的是“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意； C．测量跳远成绩，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用的是“垂线段最短”，故本选项符合题意； D．弯曲河道改直，利用的是“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意． 14．已知点P在直线l外，点均在直线l上，，则点到直线的距离是______（填“”或具体值）． 【答案】 【分析】点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离定义以及垂线段最短的性质，判断点到直线的距离的取值范围即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，点到直线的垂线段长度是所有连接点与直线上点的线段中最短的． ∵，，， ∴点到直线的距离不大于， 即点到直线的距离为． 题型四、垂线的计算（常考点） 15．如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算，再根据垂直的定义得到，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件利用角度和差关系求出的度数，再利用对顶角的性质即可得出结果． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴． 17．如图，直线，相交于点O，于点O，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/50度 【分析】由，，可得，根据垂直的定义可得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解： ，， ， 于点， ， ． 18．如图，点O在直线上，，且平分，．则________． 【答案】65 【分析】根据角平分线的定义和垂线的定义求出和的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，直线，相交于点，，垂足为，且平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，先根据垂直的定义得，又因为平分，得，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．如图所示，直线与相交于点，． (1)若，求的度数 (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由垂直得到，然后由对顶角相等得到，然后求解即可； （2）首先由求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 21．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再求得，得到，根据求解即可； （2）设，，解得，根据对顶角相等，角的和求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：平分， ， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 题型五、画垂线 22．下列各图中，过直线外一点画的垂线，三角板操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的作法确定即可． 【详解】解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与直线重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线， 故D选项的画法正确． 23．下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 24．如图，国道a上有一出口A，现计划在附近公路b旁建一个加油站B，欲使出口A到加油站B的距离最短，应沿怎样的线路施工铺路？画出施工线路，并说明这样施工的理由． 【答案】图见解析，理由：垂线段最短 【详解】解：如图所示． 理由：垂线段最短． 25．如图，是河岸外一点．现要用最短的水管从河岸将水引到处，请画出河岸上的开口位置． 【答案】见解析 【分析】利用垂线段最短，过点作于点即可． 【详解】解：如图，过点作于点，从河岸上的点处开口，才能使所用的水管最短． 26．如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 题型六、同位角、内错角、同旁内角 27．如图，直线，被直线所截，下列说法不正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【详解】解：A. 与是内错角，说法正确，不符合题意；     B. 与是对顶角，说法正确，不符合题意；     C. 与不是同位角，选项说法错误，符合题意；         D. 与是同旁内角，说法正确，不符合题意； 28．下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 29．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 30．若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_______对内错角． 【答案】24 【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数． 先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数． 【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有条线段． 又∵每条线段两侧各有一对内错角， ∴共有内错角对． 故答案为：24． 31．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 题型七、平行线的判定与性质综合（重点） 32．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，故，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 33．如图，这是一块梯形（）铁片的残余部分，量得，，则梯形的另外两个角的度数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得梯形的另外两个角的度数． 解题的关键在于掌握两直线平行，同旁内角互补的性质． 【详解】解： ，，， ． 34．将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作直线，由结合平行公理的推论可得，再根据两直线平行内错角相等，得到，结合三角尺的角算出，最后依据，两直线平行同旁内角互补，通过求出． 【详解】解：如图，作直线，由题意得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 35．如图，已知，若，则___________， ___________． 【答案】 【分析】由对顶角相等得出，利用邻补角的定义求出，再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．工人师傅加工一个如图所示的零件，把材料弯成了一个的锐角，然后准备在处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与保持平行，弯的角度应是___． 【答案】或 【分析】分两种弯折方向讨论，利用平行线的内错角、同旁内角性质，计算得到两个符合条件的角度． 【详解】解：如图，过点作， ， ； 如图，过点作， ，， ． 综上，弯的角度应该是或． 37．已知：如图，．求证：． 证明：∵（已知） （__________ ） ∴________（___________ ） ∴（___________ ） ∴________（__________ ） 又∵（已知） ∴________（__________ ） ∴（__________ _） ∴（__________ ） 【答案】邻补角的意义；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】依据，即可得到，由内错角相等，两直线平行证明，则，再根据，由同位角相等，两直线平行证明，故可根据两直线平行，同旁内角互补，得出结论． 【详解】证明：∵（已知） （邻补角的意义） ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 38．如图，已知，求证：． 证明：过点作 则___________（____________ ） 又（已知）， ___________（等式的性质） （___________ _） 又 ， （___________ _） 【答案】；两直线平行、内错角相等；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明：过点作 则 （两直线平行、内错角相等） 又（已知）， （等式的性质） （内错角相等，两直线平行） 又， （平行于同一直线的两条直线平行） 39．如图，在中，点为延长线上一点，点分别为边上一点，连接，，的角平分线与延长线交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，即可得证； （2）作，根据，结合平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵的角平分线与延长线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 作， 则，， ∴． 40．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点， ，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析； (2)128°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据平行线的性质得到，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 41．如图，已知，是内的一条线段，且，过点C作，交于点M． (1)求的度数； (2)过点O在内作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合，得出，然后把数值代入计算得，最后由两直线平行，内错角相等，得； （2）先理解题意，结合过点O在内作射线，补充图形，再结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； （2）解：依题意，如图所示： ，， ． 42．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，，，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得；根据对顶角相等结合已知得出，证得． （2）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八、定义、命题、定理 43．下列命题中，假命题是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，平行线的性质与判定，平方的性质，根据平行线的性质与判定定理可判断A、B；根据平方的性质可判断C、D． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； C、如果，那么，原命题是真命题，不符合题意； D、如果，那么，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 44．下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查真命题的判断，涉及平行公理、对顶角性质、线段公理和平方根性质，根据以上知识点和性质逐项判断即可． 【详解】A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误； B．相等的角不一定是对顶角，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．若，则，故D错误． 故选：C． 45．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的判断，关键是找到满足题设条件但不满足结论的反例． 【详解】解：选项A：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 选项B：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 选项C：，，，，即，不满足， 该选项可说明原命题为假； 选项D：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 故选：C． 46．命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．利用可判断命题“如果，那么”是假命题． 【详解】解：命题“若，则”是假命题； 故答案为：假． 47．可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除的性质得出是假命题，即可得出结论． 【详解】解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题， 这个值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 48．将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 【答案】 如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角 【分析】正确拆分命题的条件和结论，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，准确拆分即可求解． 【详解】原命题“钝角的补角是锐角”中，条件为：一个角是钝角的补角，结论为：这个角是锐角． 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角． 题型九、图形与生活中的平移 49．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是C，A、B、D无法通过平移得到． 50．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 51．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 52．下列图形平移后可得到如图所示的图案的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换的性质即可求解． 【详解】 解：根据平移变换的性质可知，原图由平移变换得到． 53．如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移________格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质．先画出平移后得到的“W”，然后再根据平移的性质即可解答． 【详解】解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下： 故答案为：2． 54．下列现象是数学中的平移的是______（填序号）． ①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动． 【答案】①② 【分析】此题考查的知识点：平移的概念；平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 【详解】①、苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，是平移； ②、汽车在平直的公路上行驶，只沿着水平方向改变，是平移； ③、骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转； ④、卫星绕地球运动，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转； 故答案为①② 题型十、平移的基本性质 55．如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若．则的长度是（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了由平移的性质求解，根据平移可得，根据即可求解． 【详解】解：是由通过平移得到， ， ， ， ． 故选：B． 56．如图的边的长为将向上平移得到，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质以及面积的计算，解题的关键是利用平移后图形面积不变的性质，通过面积的等量代换求出阴影部分的面积． 根据平移的性质可知与面积相等；结合题目给出的阴影部分面积计算方法，通过等量代换得出阴影部分面积等于矩形的面积；再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】∵向上平移 得到， ∴的面积的面积(平移不改变图形的面积)． 由题意可知，阴影部分的面积的面积矩形的面积的面积． ∴阴影部分的面积=矩形的面积． ∵，，且， ∴矩形的面积． 即阴影部分的面积为． 故选：A． 57．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，点在边上．若，则平移的距离为（    ） A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据题意求出，根据平移的概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则平移的距离为3， 故选：D． 58．如图，直角三角形的周长为2026，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是________． 【答案】2026 【分析】平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质判断出5个小直角三角形的周长之和等于直角三角形的周长，从而得解． 【详解】解：由平移的性质，5个小直角三角形较长的直角边平移后等于边，较短的直角边平移后等于边，斜边之和等于边长， ∴5个小直角三角形的周长之和等于直角三角形的周长， ∵直角三角形的周长为2026， ∴5个小直角三角形的周长之和为2026． 59．如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 【答案】104 【分析】根据图形可得图中虚线长可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， ∴从出口A到出口𝐵所走的路线长为（米）． 60．如图，将三角形沿着射线的方向平移到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，由平移的性质得到，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴． 61．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 62．如图，将周长为的沿方向平移到的位置，已知四边形的周长为，求平移的距离． 【答案】平移的距离为． 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由题知，． 因为四边形的周长为，的周长为， 所以，． 因为， 所以， 即， 所以， 即平移的距离为． 题型十一、平移作图 63．如图，平移三角形，使点移动到点，画出平移后的三角形． 【答案】见解析 【分析】连接，过点B、C分别作的平行线，再在对应的平行线上分别截取，，再顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，三角形即为所求： 64．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，将先向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)点到点的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查平移作图，掌握作图方法是解题的关键． （1）根据平移的方向与距离作图即可； （2）由图形即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：由图可得，点到点的距离是6． 故答案为：6． 65．如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移作图及平移的性质． （1）根据平移方式确定点和点的位置，作图即可； （2）根据平移的性质可直接得出答案． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）解：由平移的性质可得和之间的关系是：平行且相等， 故答案为：平行且相等． 66．如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平移作图、平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平行线的判定与性质画图即可． （3）利用网格结合垂线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）如图，直线即为所求． 67．如图，在的方格纸中，点，，，都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上，并填空． (1)将图1中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好与点重合，在图1中画出平移后的图形． (2)将图2中向右平移______格，再向上平移______格，使得点恰好落在平移后的三角形内部（不含边），在图2中画出平移后图形． 【答案】(1)1，3；平移后的图形见解析 (2)3，2；平移后的图形见解析 【分析】（1）按照经过平移后点恰好与点重合的平移规则，即可完成答案及作图； （2）根据题意可知内部唯一的一个格点，经平移后于点重合，即可找到平移规则及平移后的图形． 【详解】（1）解：∵点经过向右平移1格，再向上平移3格，恰好与点重合， ∴将向右平移1格，再向上平移3格，可得到对应的图形如图所示； （2）解：∵画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上，且使得点恰好落在平移后的三角形内部（不含边），而内部的格点只有唯一的一个， ∴将向右平移3格，再向上平移2格，可得到对应的图形如图所示． 题型十二、平行线中探究角度之间的关系（难点） 68．如图，已知，．试判断与的大小关系，并对结论进行说理． 【答案】 【分析】根据平行线的判定与性质，邻补角定义进行推理即可． 【详解】解：，理由如下： ∵（邻补角定义），， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵ ∴， ∴， ∴． 69．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数是______度． (2)由（1）猜想与满足的数量关系是_____． (3)若固定，将绕点C顺时针旋转（不超过一周），旋转至（如图2）时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①根据，可知，则；②得出，即可得出； （2）根据，，可知； （3）点在上方和下方两种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，点在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 如图，点在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴． 答：或． 70．已知如图1，，，试回答下列问题： (1)则的度数是________；理由：________． (2)如图2，把向下平移，分别交、、于点E、F、G，请你写出一个还能求出的角的度数，说明理由． (3)如图3，连接，写出，，的关系并说明理由． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等 (2)（答案不唯一），见解析 (3)结论：；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出答案． （2）根据平行线的性质和平移的性质即可得出答案． （3）根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：，两直线平行，内错角相等； （2）解：根据平移可得， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）（答案不唯一）； （3）解：结论：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 71．已知直线，，解答下列问题： (1)如图①，则____度，与的位置关系为__________； (2)如图②，若点、在上，且满足，平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若平移到如图③所示的位置．在平移的过程中，与的比值是否发生改变？若不改变，请求出其比值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)，平行； (2) (3)． 【分析】（1）根据平行线的性质，求出，根据平行线的判定，即可； （2）根据平分，得到，根据，，最后根据，即可求解； （3）移动并不能改变比值关系，因为直线仍然平行，内错角仍然相等；根据平行线的性质，等量代换，可得，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （3）解：结论：与的比值不会发生改变，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 72．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 题型十三、平行线中探究线段之间的关系（难点） 73．如图，分别是上的点，是上的点，连接，如果， (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两直线平行内错角相等”得，再结合已知条件可得，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得出答案； （2）先根据“两直线平行同旁内角互补”得，再根据平行线的性质得，然后根据角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 74．如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出， （2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴； （2），理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 75．如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由题意得到，得到，从而得到，即可得出答案； （2）根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 76．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)的对顶角是____________，的邻补角是____________； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)；、 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）由对顶角，邻补角的定义，即可得到答案； （2）由邻补角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，由对顶角的性质即可求出度数； （3）设，由邻补角的意义得到，再结合角平分线的定义以及平角的定义即可求证． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是、； （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （3）解：， 理由：设 ∵ ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 77．如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，再结合题意可得，进而可得； （2）根据可得，，再结合，即可得到； （3）根据题意可得，由（2）得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解： 平分， ， ， ， ； （2）解： ， ，， ， ； （3）解：由题意得，， 由（2）得， ∵， ． 题型十四、平行线中的动点问题（难点） 78．如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 【答案】(1)直线与直线平行，理由见解析 (2)①；②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的计算，证明两个角的关系． (1)证明内错角相等即可． (2) ①根据平行线的性质，等腰三角形的性质，余角性质计算即可． ②仿照①，结合外角性质，将问题一般化计算即可． 【详解】（1）解：直线与直线平行，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）①∵，的平分线， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②点H在运动过程中，α和β的数量关系，理由如下： ∵是的外角，是的外角， ∴， 又∵平分，的平分线，， ∴，， ∴ ， 即． 79．如图，已知两条射线，动线段的两个端点A、D分别在射线上，且，F在线段上，平分，平分．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若平行移动，使，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)42° 【分析】（1）结论：．证明即可． （2）由题意 可得结论． （3）设，利用平行线的性质，构建方程求解即可． 【详解】（1）结论：． 理由：∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵平分，平分， ∴， ∴． （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 则有， 解得， ∴． 【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 80．【问题背景】如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)【拓展迁移】点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求的值； ②当点G在运动过程中，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质．利用角平分线的性质可得角度的关系，利用平行线的性质可得内错角相等，由角度相等转化关系是解决本题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，由“内错角相等，两直线平行”证明即可； （2）①根据角平分线的性质可得，，,再结合平行线的性质可转化角度相等，再由即可求解； ②分两种情况讨论，当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时，根据角平分线的性质以及平行线的性质得到角度的关系即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， 解得； ②与之间的数量关系或， 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， ∵平分， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，与之间的数量关系或． 81．如图，点在的延长线上，，交于点，且，，比的补角小 (1)证明：； (2)若点为线段上的一动点，点为线段上一点，且满足，射线平分，请补全图形，并求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）先证明，进而得到，等量代换得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，结合已知条件求出，，根据角平分线的定义结合角的和差关系推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，补全图形如下： 由（1）知：， ∴，， ∵比的补角小，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，则图中与相等的角共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等、同位角相等，在图中找出对应的角即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故与相等的角共有6个． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·黑龙江·月考）如图．在三角形中，，把三角形沿直线向右平移后得到三角形，连接，以下．结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形平移的性质对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、由平移的性质得，则，即，结论正确； B、由平移的性质得，则，结论正确； C、由平移的性质得， ∵，即， ∴，结论正确； D、由题意得是的边长，为平移的距离，两者不一定相等，结论错误． 4．（25-26七年级下·天津南开·月考）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，．若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的一条直角边与平行时，的度数为___________． 【答案】或或或 【分析】分4种情况讨论：E点在直线上方时，分和两种情况．E点在直线下方时，分和两种情况．根据平行线的性质和角的和差关系分别求得的度数即可．本题主要考查了平行线的性质和角的和差的计算，正确的找出4种情况是解题的关键． 【详解】解：当E点在直线上方时： 如图1，当时，设与交于F点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图2，当时，， 则． 当E点在直线下方时： 如图3，当时，延长交于F点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4，当时，， ∴， ∴， 综上，的度数为或或或． 故答案为：或或或 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵， ∴， ∴；故④正确． 故正确结论是①②③④． 7．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 8．（25-26七年级下·海南海口·月考）把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 证明：平分， ______（______ ）， ， （________ ）， ____________（_______ _）， （________ ）， ， （_______ _）， ． 【答案】见解析 【详解】证明：平分， （角平分线的定义）， ， （等式的基本事实）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， （等式的性质）， ． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）完成下列推理过程： 已知，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图，延长交于点P． ∵（已知）， ∴（____________ ） 又∵已知）， ∴（____________ ） ∴______（____________ ） ∴（____________ ） 又∵（已知）， ∴（____________ ） ∴（____________ ） 【答案】见解析 【分析】首先由得到，等量代换得到，证明出，利用平行线的性质求解即可． 【详解】证明：如图，延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）． 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将此三角形向右平移得到，此时边与边相交于点D，连接． (1)若，则 ． (2)若落在边的中点处，且， 求四边形 的面积． (3)已知点P在的内部，平移到的位置后，点P的对应点为点 ，连接．若的周长为m，四边形的周长为，则_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质和平行线的性质即可求出答案； （2）根据平移的性质和三角形面积公式即可求出答案； （3）根据平移性质、三角形和四边形的周长即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点落在边的中点，且，， ∴，， ∴； （3）解：由平移可知，， ∵周长为m，四边形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图1，，点为边上一动点，连接，且． (1)求证：； (2)当点在的平分线上时，若，求的度数； (3)在点移动的过程中，当的长最小时，此时点恰好也在的平分线上，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质和补角的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义等知识进行解答即可； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ， 如图，过点作， ， ， ． ， ， ， ， ； （3）解：如图，当时，的长度最小， ， 由（1）可得 点恰好在的平分线上， ， ， ， ． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，若射线的位置保持不变，且．将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，______，______． (2)在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），则______． (3)直角三角板旋转的过程中，当旋转时间______秒时，边所在的直线与所在的直线平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或16 【分析】 （1）首先求出，然后由角平分线的定义求出；如图，过点M作，首先求出，然后由平行线的性质求出，，进而求解即可； （2）首先表示出，然后根据角的和差表示出和，然后代入求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：直角三角板在直线上方和直角三角板在直线下方，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； 如图，过点M作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当直角三角板在直线上方时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当直角三角板在直线下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 综上，当或16秒时，边所在的直线与所在的直线平行． 13．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）结合图形，解答下列各题： (1)如图①，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．若，求的度数． 【类比再探】 (2)如图②，在图①的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图③，在图②的基础上，过点作的平行线，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，见解析 【分析】（1）根据折叠可得到，进而可求得的度数；根据两直线平行的性质可得到，即可求得答案． （2）根据轴对称图形的性质可得到，，根据两直线平行的性质可得到，进而可得到与的位置关系． （3）可过点作，根据两直线平行的性质可得到，，，根据得出，然后代入即可． 【详解】（1）解：有折叠可得． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； （2）解：折痕与的位置关系为：．理由如下： 由折叠有，． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：和的数量关系为：． 理由如下：    如图，过点作． ∵，，， ∴， ∴，，． ∵， ∴， ∴即． 14．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 15．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）【阅读理解】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则___________度，___________度； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【拓展提升】 (4)如图4，为一块双面镜子（任何角度都能反射.左右两面都可以反射），一束固定光线与右侧镜面成60°角照射在点处后反射光线为；另一束光线照射在镜面（左右均可）的处后反射光线为.若，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据入射角等于反射角以及平行线的性质，可求出、的度数； （2）结合（1）可证，即可得出入射光线与反射光线的位置关系； （3）延长，交于点，结合三角形内角和求的度数即可； （4）由入射角等于反射角，，得出，过点作，再求出的度数． 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：，证明如下： 由（1）可知， ， ∵，， ∴， ∴． （3）解：延长，交于点，如下图所示： ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， 若要反射光线正好与水平地面垂直， ∴， ∴． （4）解：∵入射角等于反射角，， ∴， 过点作，如下图所示： ∵入射光线与镜面成角， ∴， ∴． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $