第01讲 正数和负数（暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第01讲 正数和负数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正数的识别 题型2 负数的识别 题型3 正数、负数的分类 题型4 对0的理解 题型5 相反意义的量 题型6 正负数的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正数、负数、相反意义的量、0的分界、符号表示。 1.理解正数、负数的概念，能正确识别并举例说明。 2.会用正、负数表示生活中具有相反意义的量，感受数学与实际的联系。 3.知道0既不是正数也不是负数，理解0是正负数的分界点。 4.能熟练读、写正数和负数，初步培养数感与符号意识。 学习重点：理解用正数和负数表示相反意义的量，掌握0作为“分界”的作用。 学习难点：理解负数的抽象含义（特别是小于0的数），以及如何根据实际问题情境正确选择正、负数表示相反意义的量（尤其是方向或基准的变化）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 【易错提醒】 0既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+(-3)），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。 即时即练1．有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【易错提醒】 必须同时具备：两个量、意义相反、属于同一属性（如温度增减），且可带不同单位。无相反意义（如“向南”与“向上”）不算。 即时即练1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 2．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 题型1 正数的识别 【例1】下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【例2】，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 1. 大于0：正数即大于0的数，含正整数、正分数、正无理数。 2. 判符号：看“+”（可省略）或直接比较与0的大小。 【变式1-1】在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】在、、、、、中， 一共有(  ) 个正数． A．2 B．3 C．4 D．5 题型2 负数的识别 【例3】在，，，，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例4】下列六个数、1.010010001、、0、、，其中负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【技巧归纳】 1. 小于0：负数即小于0的数，如带“−”号（负号）。 2. 看符号：负号不可省略，0 既非正也非负。注意 “−a” 不一定是负数（当 a 为负时为正）。 【变式2-1】在、0、5、、+4.9、、+2019中，是负数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】在，，，，，这个数中，负数有几个（    ） A． B． C． D． 题型3 正数、负数的分类 【例5】请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【例6】指出下面各数中的正数、负数： ，，，，，，，． 【技巧归纳】 1. 分三组：正数（>0）、负数（<0）、零（既非正也非负）。 2. 看符号：带“+”或省略为正，带“-”为负。分类时注意小数、分数。 【变式3-1】下列各数中哪些是正数，哪些是负数？ ，，，，0，，，，，，． 【变式3-2】把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 题型4 对0的理解 【例7】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【例8】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【技巧归纳】 1. 分界与中性：0既非正也非负，是正负分界点。 2. 运算特征：加0不变、乘0得0、0不能作除数。 3. 意义：表示“没有”或“起点”（如数轴原点、温度零度）。 【变式4-1】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式4-2】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型5 相反意义的量 【例9】在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【例10】某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为__________． 【技巧归纳】 1. 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。 2. 成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同。 3. 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。 【变式5-1】中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．若收入200元记作元，则支出100元记作______元． 【变式5-2】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 题型6 正负数的实际应用 【例11】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【例12】某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【技巧归纳】 1. 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）。 2. 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量。 3. 判盈亏：总和>0盈利，<0亏损，=0持平。 【变式6-1】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【变式6-2】出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 1．下列各数是正数的是( ) A． B．0 C．5 D． 2．下列各项中的两个量不具有相反意义的是（   ）． A．身高增长和体重下降 B．仓库运进箱榴莲与售出箱榴莲 C．电梯上升层与下降层 D．聪聪向前走步与向后走步 3．下列各数中：、、、、、，负数有（    ）个． A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么元表示（    ） A．支出100元 B．收入100元 C．支出20元 D．收入20元 5．如图，中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数，如图①．那么图②表示的数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 7．如果把顺时针旋转记作，那么逆时针旋转应记作________ ． 8．在、、、中，负数有___________个． 9．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 10．体育课上全班女生进行百米检测，达标成绩为18秒．下表是第一组女生的成绩简单记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒．则这个小组女生的达标率是_____． 女生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩记录 0 0 11．下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 12．下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ． 13．体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 14．萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 15．国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 正数和负数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正数的识别 题型2 负数的识别 题型3 正数、负数的分类 题型4 对0的理解 题型5 相反意义的量 题型6 正负数的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正数、负数、相反意义的量、0的分界、符号表示。 1.理解正数、负数的概念，能正确识别并举例说明。 2.会用正、负数表示生活中具有相反意义的量，感受数学与实际的联系。 3.知道0既不是正数也不是负数，理解0是正负数的分界点。 4.能熟练读、写正数和负数，初步培养数感与符号意识。 学习重点：理解用正数和负数表示相反意义的量，掌握0作为“分界”的作用。 学习难点：理解负数的抽象含义（特别是小于0的数），以及如何根据实际问题情境正确选择正、负数表示相反意义的量（尤其是方向或基准的变化）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 【易错提醒】 0既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+(-3)），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。 即时即练1．有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：是正数，既不是负数也不是正数，是负数，是正数，是负数， 正数有2个， 故选B． 2．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 知识点02 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【易错提醒】 必须同时具备：两个量、意义相反、属于同一属性（如温度增减），且可带不同单位。无相反意义（如“向南”与“向上”）不算。 即时即练1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 2．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为， 故答案为：． 题型1 正数的识别 【例1】下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 【例2】，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． 【技巧归纳】 1. 大于0：正数即大于0的数，含正整数、正分数、正无理数。 2. 判符号：看“+”（可省略）或直接比较与0的大小。 【变式1-1】在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数；逐一判断所给数是否大于0，统计正数的个数． 【详解】解：逐一判断：（非正数），（正数），既不是正数也不是负数，（非正数），（正数），故正数有2个． 故选：B． 【变式1-2】在、、、、、中， 一共有(  ) 个正数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查的是正负数的定义，根据大于0的数叫做正数，依据正数的定义解答即可． 【详解】解：在、、、、、中， 、、是正数，一共有3个正数 故选：B． 题型2 负数的识别 【例3】在，，，，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了负数，根据负数的定义即可求解，理解负数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，，，中，负数有，，，共个， 故选：． 【例4】下列六个数、1.010010001、、0、、，其中负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了负数：小于0的数是负数，根据负数的意义求解即可． 【详解】解：在、1.010010001、、0、、中，属于负数的是：、、共3个， 故选：A． 【技巧归纳】 1. 小于0：负数即小于0的数，如带“−”号（负号）。 2. 看符号：负号不可省略，0 既非正也非负。注意 “−a” 不一定是负数（当 a 为负时为正）。 【变式2-1】在、0、5、、+4.9、、+2019中，是负数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查负数的概念，熟练掌握负数的概念是解题的关键； 比0大的数叫正数，比0小的数叫负数，负数前边要写负号“﹣”，正数前边可以写正号“﹢”，也可以将正号省略，0既不是负数，也不是正数，据此数出有几个负数． 【详解】解：根据分析可得： 、，是负数，共2个； 故选：A． 【变式2-2】在，，，，，这个数中，负数有几个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键．根据负数的定义即可解答，即小于的数叫做负数． 【详解】解：根据负数的定义可得： 负数有、、共三个数． 故选：C． 题型3 正数、负数的分类 【例5】请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 【例6】指出下面各数中的正数、负数： ，，，，，，，． 【答案】正数：，，， ；负数：，， 【分析】本题考查对正负数的认识，掌握正负数的定义是解决问题的关键．数字前面带“+”号或不带符号的为正数，数字前面带“”号为负数，0既不是正数也不是负数，由此进行分类即可． 【详解】解：正数：，，， ； 负数：，，． 【技巧归纳】 1. 分三组：正数（>0）、负数（<0）、零（既非正也非负）。 2. 看符号：带“+”或省略为正，带“-”为负。分类时注意小数、分数。 【变式3-1】下列各数中哪些是正数，哪些是负数？ ，，，，0，，，，，，． 【答案】正数：，，，，；负数：，，，， 【分析】本题主要考查了正数和负数的定义，正确理解正数与负数的定义是解题的关键．根据正数和负数的定义划分即可． 【详解】解：正数：，，，，； 负数：，，，，． 【变式3-2】把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：，，，； （2）负数有：，，； （3）既不是正数也不是负数的是0． 故答案为：（1），，，；（2），，；（3）0． 题型4 对0的理解 【例7】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【例8】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【技巧归纳】 1. 分界与中性：0既非正也非负，是正负分界点。 2. 运算特征：加0不变、乘0得0、0不能作除数。 3. 意义：表示“没有”或“起点”（如数轴原点、温度零度）。 【变式4-1】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式4-2】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 题型5 相反意义的量 【例9】在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 【例10】某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，最低气温为零下， 则最低气温记为． 【技巧归纳】 1. 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。 2. 成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同。 3. 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。 【变式5-1】中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．若收入200元记作元，则支出100元记作______元． 【答案】 【详解】解：收入200元记作元，则支出100元记作元． 【变式5-2】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． 题型6 正负数的实际应用 【例11】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【例12】某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【答案】，， ， ， ， 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是掌握正数和负数的意义，利用正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为，， ， ， ， ． 【技巧归纳】 1. 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）。 2. 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量。 3. 判盈亏：总和>0盈利，<0亏损，=0持平。 【变式6-1】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 【变式6-2】出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 1．下列各数是正数的是( ) A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：是负数，选项A不符合要求； 0既不是正数也不是负数，选项B不符合要求； 是正数，选项C符合要求； 是负数，选项D不符合要求． 综上，答案选C． 2．下列各项中的两个量不具有相反意义的是（   ）． A．身高增长和体重下降 B．仓库运进箱榴莲与售出箱榴莲 C．电梯上升层与下降层 D．聪聪向前走步与向后走步 【答案】A 【分析】具有相反意义的量必须是同一类量，且意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】A、身高增长是身高的变化，体重下降是体重的变化，二者不属于同一类量，因此不具有相反意义，故符合题意； B、仓库运进箱榴莲和售出箱榴莲，都是仓库榴莲数量的变化，运进和售出意义相反，具有相反意义，故不符合题意； C、电梯上升层和下降层，都是电梯高度的变化，上升和下降意义相反，具有相反意义，故不符合题意； D、向前走步和向后走步，都是行走位置的变化，向前和向后意义相反，具有相反意义，故不符合题意． 3．下列各数中：、、、、、，负数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小于0的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数； ，是负数； ，是负数； ，，都是正数； 既不是正数也不是负数， 负数共有个． 4．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入20元记作元，那么元表示（    ） A．支出100元 B．收入100元 C．支出20元 D．收入20元 【答案】A 【详解】解：∵由题意得，收入20元记作元，即收入用正数表示， ∴负数表示与收入意义相反的量，即支出， ∴元表示支出100元． 5．如图，中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数，如图①．那么图②表示的数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：∵算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数， ∴观察图中信息，得如图①．那么图②表示的数分别是和． 6．下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 7．如果把顺时针旋转记作，那么逆时针旋转应记作________ ． 【答案】 【分析】此题考查正数和负数的相关知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量. 【详解】解： . 8．在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 9．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 10．体育课上全班女生进行百米检测，达标成绩为18秒．下表是第一组女生的成绩简单记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒．则这个小组女生的达标率是_____． 女生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩记录 0 0 【答案】 【分析】本题考查正数和负数．成绩记录中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率． 【详解】解：由题意可知，成绩不高于18秒为达标，即成绩记录为负数或0的为达标， 表格中成绩记录不大于0的有，共6人这8人中有6人是达标的， ∴这个小组女生的达标率是． 故答案为：． 11．下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 12．下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ． 【答案】正数：5，0.56，，；负数：． 【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：正数：5，0.56，，； 负数：． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是熟记概念． 13．体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【分析】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【详解】（1）解：，，，，个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 14．萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 支出 (1)萌萌家月支出最大的是哪个月？ (2)萌萌家6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 【答案】(1)一月份支出最大 (2)总收入：（万元）；总支出：（万元） (3)（万元） 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，利用了有理数的加法运算． （1）根据有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得答案 （3）根据有理数的加法运算，可得总支出，根据有理数的除法，可得平均支出． 【详解】（1）， 故一月份支出最大； （2）总收入为：（万元）， 总支出为：（万元） （3）平均支出：（万元）． 15．国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 (1)求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ (2)求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ (3)若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3天 【分析】本题主要考查正负数的实际应用、平均数的计算以及不等式的简单应用．根据记录值与标准温度的关系，计算实际温度，进而求解最高与最低温差、平均温度以及适合户外活动的天数． （1）根据正负数的意义判断出月5日气温最高，月7日气温最低，然后列式计算即可得解； （2）准确将每日记录值转换为实际气温（实际值记录值），再用平均数公式计算七日平均值； （3）明确“以上”的标准（），从转换后的气温数据中筛选符合条件的日期数量． 【详解】（1）解：由题意得，月5日平均气温最高，当日平均气温为（）， 月7日平均气温最低，当日平均气温为（）， ∴这一周内的最高气温与最低气温相差（）． 故答案为：； （2）解：月1日平均气温为（）， 月2日平均气温为（）， 月3日平均气温为（）， 月4日平均气温为（）， 月5日平均气温为（）， 月6日平均气温为， 月7日平均气温为（）， ∴这一周内的平均气温是（）． 故答案为； （3）解：由（2）可知，10月3日、10月4日和10月5日的气温分别为、和，均在以上，适合户外活动 故这一周中有3天适合户外活动． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $