2026年湖南省长沙市长郡部分学校中考阶段测试数学试题

**基本信息** 以长沙奥体中心、乡村振兴等现实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，通过基础题、创新题梯度设计，考查抽象能力、运算能力、数据意识与模型意识，适配中考三模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、轴对称与中心对称、幂运算等|结合长沙奥体中心投资数据考查数感，基础概念辨析突出数学眼光| |填空题|6/18|方差、一次函数性质、正多边形内角、圆的计算等|心率监测数据比较稳定性考查数据意识，几何计算体现空间观念| |解答题|9/72|统计图表分析、利润问题、解直角三角形、新定义“对称点”、圆的综合证明|乡村振兴水果销售问题考查模型意识，新定义题培养创新思维，圆的综合题发展推理能力|

2026年中考复习检测H 数学参考答案及评分标准 一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 6 7 8 10 答案 C B B B A B D B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11 12.甲 13.1(答案不唯一，m<2即可) a+2 14.144 15.4 16.2 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、 23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分) 17解：原式-3+1-2×+V3-1 =-3+1-√3+V3-1 .4分 =-3… 6分 18.解：原式=a2-3a什a2+4t4-2a2+2 =6,… 4分 当F-2时，原式=-2+6=4. 6分 19.(1)证明：由作图可知，AD=AB,CB=CD, AC垂直平分BD,即ACLBD,OB=OD,2分 (2)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1,BC=2, 由勾股定理，得AC=VAB2+BC2=V12+22=V5 SABc-AB·BC=0B·4C,∴OB=4Bc==2 5 ∴BD-OB+OD=25+25=45 5 5 .6分 5 20.解：(1)50,36， 2分 由统计图可知：选择足球的人数为12名，所占的百分比为24%，12÷24%=50（名），.=50 选择排球的人数为18名2号×1006-366∴=36 故答案为50,36 -1 (2)选择篮球的人数：50-12-18-4=16（名），补全条形统计图如图所示： 人数 0 6 ”” 足球 篮球 排球羽毛球运动项目 ..e........... 4分 (3)28.8°，. 6分 由统计图可知：选择羽毛球的人数为4名，360°×六=28.8°，故答案为28,8， (④由（②）可知选择篮球的人数为16名，2500×台-80（名）， .估计该校最喜爱篮球运动的学生有800名8分 21.(1)证明：.∠OCB=∠OBC,∴.OB=OC .AC-BD,∴.AC-OC=BD-OB,即OA=OD 0B=0C, 在△AOB和△DOC 中 ∠A0B=∠D0C,.△AOB2△DOC(SAS).4分 OA=OD, (2)解：.∠OCB=∠OBC=45°，∴.∠BOC-90°，∴.AC⊥BD CV20B0ca0m45-1m∠BAC8盟a0A0D3， AC-BD=0A+0C3+1-4,.Ss形8c0-7AC·BD=X4X4-88分 22.解：(1)设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元， 由题意得3x+到013)-82割形-0 x+y=18, 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元， .4分 (2)由(1)可知，黄金梨原来每千克的售价为10+4=14（元/千克）， 李子原来每千克的售价为8+2=10（元/千克）， 售价提高α元后，黄金梨和李子每千克的售价分别是(14+)元/千克和(10+)元/千克， 每千克的利润分别是(4+)元/千克和(2+元/千克， 由题意，得(4+0(100-10a)+(2+ad(140-10-960, 整理得2-9什14=0，解得a1=2,=7, 经检验，当=2或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意， 答：a的值为2或79分 -2- 23.解：(1)如图1，作OE⊥AC,垂足为E, B 83 ∴.∠OEA=90° 32>0D 由题意可知：OA=6m,∠OAE-30°， 30 .OE=OA·sin∠OAE=6Xsin30°=3(m), 水平面 A 图1 答：点O到湖面所在水平面的距离为3m ….4分 (2)如图2，作BF⊥CE,垂足为F,OG∥AE,交BF于点G, 由题意可知：OB=5.51m,∠BOG=37°， B 在Rt△BG0中，BG-OB·sin∠BOG=5.5Xsin37°≈3.3(m), OG=OB·c0s∠BOG=5.5Xc0s37°≈4.4m), G...370 D 易知四边形OEFG是矩形，'.FG=OE=3m,EF=OG=4.4m, 水平面 ∴.BF=BG+FG=3.3+3=6.3m). 图2 OB3m∴AE=m25aE3V5am.∴AAEE-3W3-440m) 在Rt△BOG中，∠OBG-=90°-37°=53°.又.∠OBC=83°，∴.∠CBF-83°-53=30°， 在Rt△BCF中，CF=BF·tan∠CBF-6.3Xtan30°=21v3t 10m), ∴AC-CFAP=240-6V5-4428m) 答：浮标C与斜坡端点A的距离AC的长约为2.8m. 9分 24.解：(1)点(3,4)不是二次函数x-1)2+2的对称点”，理由如下： :二次函数=x1)2+2的顶点坐标为(1,2)，.2(x0-)-2×(3-1)一4，--4-2=2， 2(0-为≠0k,故点(3,4)不是二次函数=x-1)+2的对称点” .3分 (2).y=ax2-2amx+amm2+m-4=a(x-m2+m-4,.]J顶点坐标为G,-4). .函数G的图象经过原点，.amm2+m-4=0. 由题意可知y0a(x0m）2+4,2(x0-m万yo-(-4),∴.2 x0-m ,函数的对称距”为4，即o-=4,∴.x0m=4或-4. 当m=4时2。=将a代入m产m40,得r40解得m2或4舍去数 当xm=4时：2。=号将：代入amm40得一407<0无实数解 综上，l=2,74分 -3 (3)由(2)可知a=3=2,y=（x-2)2-2。 .'a≤x≤-+5，∴.1≤x≤3. :对称轴为直线x-2,=>0, ∴当x-2时y有最小值，最小值为y=(2-2)2-2=-2, 当1或3时y有最大值，最大值为y=1-2-2=3 -2≤y_10分 25.(1)解：.AB是直径，.∠ACB90° :∠CAB=30,BC-AB :BC=BE,∴BE=AB,即BE是半径， .点E与点O重合，CE是半径 ,点G是CE的延长线与⊙O的交点， .CG是⊙O直径 3分 (2)证明：如图1，连接OF和OG :AC-=AD,∠ADC-∠ACD-I80°-∠CAB). :BC=BE,.∠BEC=∠BCE-(180°-∠ABC), .∠ACB=90°，∴.∠CAB+∠ABC=90° ∴.∠FCG180°-∠ADC-∠BEC-45°， .∴.∠FOG=2∠FCG=90° 图1 ,O=OG,∴.△FOG是等腰直角三角形 :AB是O0的直径，.OF-OGAB, 由勾股定理，得PG=VOr2+0G=√(GAB)'+(GAB)2=AB, AB=2FG. 6分 (3)解：，⊙0的半径为5，AB=10,FG5V2 ,∠HAB=∠GCB,∠ABH=∠ACF, .∴.∠HAB+∠ABH=∠GCB+∠ACF=∠GCF+∠FCB+∠ACG+∠GCF=90+45°=135°， ∴.∠H=180°-135=45°. -4- .∠GFH+∠GFB=180°，∠GFB+∠BAH=180°，∴.∠GFH=∠BAH. :∠n∠，△G△A,:沿-器-船-号 设BF器=H-3xHB4AH=3V2xAG-2V2 如图2作MLG,:∠H-45,∴M-M=马GM= 在Rt△FGM中，由勾股定理，得GMP+MF=FG, ∴（侣）+(x)-(5,解得x10,x-V10(舍去)， 0 ∴.HG-4W5,MF-3W5,.SG=HG·MF=30. M ·△FGiH∽△AB∴AFG S△ABH ( =Sa4=60 H :SAB游=AB·h60,h=12, 图2 即点H到AB的距离为1210分 -5- 2026年中考复习检测 数　学 注意事项: 1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形 　 码上的姓名、准考证号; 2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效; 3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示; 4.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸; 6.本学科试卷共25个小题,考试时量120分钟,满分120分。 一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1.长沙奥体中心主体育场以“红色摇篮”为设计理念,彰显着湖南的红色基因;体育馆和游泳馆则以“蝶舞湘江”为设计出发点,用优雅的造型诠释体育运动的力量之美.项目总投资约6 800 000 000元,竣工后将成为承载体育赛事、艺术展览与城市记忆的湖湘新地标,更将作为2029年第十六届全国运动会的主场馆,迎接八方来客.将数据6 800 000 000用科学记数法表示为(　　) A.0.68×1010　　　　B.6.8×108　　　　C.6.8×109　　　　D.6.8×1010 2.地铁作为城市公共交通的核心载体,其图标设计兼具辨识度与几何美感.下列地铁图标中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　　) 3.下列各式中,运算结果为m5的是(　　) A.m2+m3　　　　B.m2·m3　　　　C.m10÷m2　　　　D.(m2)3 4.下列事件中是必然事件的是(　　) A打开电视机,正在播放《开学第一课》 B.抛掷一枚硬币10次,有5次正面朝上 C.两个负数的和为负数 D.买一张彩票,一定会中奖 5.小明同学参加了学校在4月23日“世界读书日”举行的朗诵比赛,7位评委给出的分数(单位:分)为95,92,96,94,95,88,95.这组数据的中位数、众数分别是(　　) A.92,94　　　　B.95,95　　　　C.94.95　　　　D.95,96 6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) 7.关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 8.如图,直线CF//DE,∠ACB=90°,若∠1=20°,∠2=40°,则∠A的度数为(　　) A.20°　　　　　B.30°　　　　　C.40°　　　　　D.60° 9.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,AC为☉O的直径,连接BD.若= ,则下列结论不一定成立的是(　　) A.∠ADC=90°　　　B.∠BDC=45°　　　C.AC=AB　　　D.AC=BD 10.如图,▱AOCB的顶点A,B分别在反比例函数y和y上,顶点C在x 轴上,已知点A的坐标为(1,2),则OB的长为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.2　　　　　D.2 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 11.化简:_______. 12.对甲、乙两名篮球运动员进行10次跑步心率监测,两名运动员的心率平均值均为160 次/分,方差分别为=200,=360,则心率数据更稳定的运动员是________(填“甲”或“乙”). 13.如果一次函数y=(2-m)x-1-m2(m为常数)的图象一定经过第一、四象限,那么m的值可以是________________________(写出一个即可). 14.正十边形的一个内角的大小是________°. 15.如图,AB是☉O的直径,AB⊥CD,CD=4,∠ACD=60°,则☉O的半径长为_______. 16.如图,▱ABCD中,E是AD的中点,连接BE,AC相交于点F,过点F作FG//AD,交AB于点G,若BC=6,则FG的长为______. 三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分,共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算:. 18.先化简,再求值:a(a-3)+(a+2)2-2(a+1)(a-1),其中a=-2. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.以点A为圆心,AB的长为半径作弧;再以点C为圆心,BC的长为半径作弧,两弧在AC上方交于点D,连接AD,BD,CD, BD与AC交于点O.(1)求证:AC⊥BD;(2)若AB=1,BC=2,求BD的长. 20.为深入落实“健康第一”教育理念,以健康学校建设为引领,强化五育并举,某中学积极响应号召,计划组织全校学生开展系列体育活动,筹备足球、篮球、排球、羽毛球四项球类体育社团,倡导学生全员参与.为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况,随机抽取a名学生,对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查(每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项),将这部分学生的问卷进行整理,依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a=________, m=________; (2)补全条形统计图; (3)扇形统计图中,“羽毛球”对应扇形的圆心角为_______度; (4)若该校有2 500名学生,请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少名? 21.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=BD,∠OCB=∠OBC,点E在OD上,AB=AE. (1)求证:△AOB≌△DOC; (2)若∠OBC=45°,BC=,tan∠BAC,求四边形ABCD的面积. 22.为推动乡村振兴,弘扬本地农产品品牌,长沙市某大型超市在五一期间特设专柜,销售两种特色水果:大围山黄金梨和沩山李子.已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元.在销售过程中发现,当每千克黄金梨的利润为4元,每千克李子的利润为2元时,张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元. (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元? (2)在(1)的条件下,该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克.市场调研表明:若这两种水果每千克的售价各提高1元,则它们每天的销售量均减少10千克.超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元(不考虑其他因素),要使每天销售这两种水果的总利润为960元,求a的值. 23.某综合实践活动小组为测量公园湖面上浮标C与湖边点A之间的距离,设计了利用无人机测量的方案.如图,湖边有一座观景台,由斜坡OA与水平平台OD组成,斜坡OA长6 m,与水平面的夹角为30°;点O处为无人机起降点,操控无人机从点O起飞,悬停于空中的点B处进行观测.已知点A,B,C,D,O都在同一平面上,OB长5.5 m,OB与水平面的夹角为37°.在点B处测得OB与BC的夹角为83°. (1)求点O到湖面所在水平面的距离; (2)求浮标C与斜坡端点A的距离AC的长. (结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.732, sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈) 24.我们约定:对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标为P(h,k).若该函数图象上存在一个不同于顶点的点Q(x0,y0),满足2(x0-h)=y0-k,则称点Q为该函数的“对称点”,并称|x0-h|为“对称距”. (1)已知二次函数y(x-1)2+2,判断点(3,4)是否为它的“对称点”,并说明理由. (2)已知二次函数G:y=ax2-2amx+am2+m-4(a≠0,m>0)的图象经过原点,点Q(x0,y0)是它的“对称点”,若该函数的“对称距”为4,求m的值. (3)在(2)的条件下,当am≤x≤-m+5时,求y的取值范围. 25.如图1,AB是☉O的直径,点C是圆上一动点(不与A,B重合),点D,E在直径AB上,满足AC=AD,BC=BE,CD,CE的延长线分别交☉O于点F,G,连接FG. (1)若∠CAB=30°,求证:CG是☉O的直径; (2)求证:AB=FG; (3)如图2,连接并延长BF,AG交于点H,已知 ☉O的半径为5,,求点H到AB的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $