专题01 三角函数公式（暑假复习讲义）新高二数学人教B版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角函数公式 了内容号航 1复习目标一明考向、 知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 2知识重构→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 3题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：正、余齐次式运算求解 题型二：利用诱导公式化简与求值 题型三：基于诱导公式的拼凑角求解问题 题型四：三角恒等变换式子化简问题 题型五：三角函数给值求值问题 题型六：三角函数给值求角问题 题型七：和差化积与积化和差公式应用问题 题型八：利用三角恒等变换判定三角形形状 题型九：三角恒等变换的实际应用问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 5错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1.同角三角函数关系 2.诱导公式（奇变偶 不变，符号看象限) 1.化简求值：依托同角、诱导、和差二倍角公式，代数式变形计算，常配角 3.和差、二倍角与降 的范围取舍正负。 幂公式 2.最值问题：用辅助角公式转化单一三角函数，求值域与参数范围。 4.辅助角公式（最值 求解) 考情解码：“三角函数是高中函数与解三角形的基础，衔接指数函数、立体几何、解析几何。考题由 单纯公式默写转向恒等变形与实际解三角形综合题型，公式灵活混用， 三角恒等变换为解答题必考内 容。 02 知识重构 脉|络1重1构 1/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平方关系：sin2u+cos2M=1 同角三角函数 基本关系式 商数关系：tana= sin a cosa 诱导公式 口决：奇变偶不变，符号看象限 正弦的和差公式，记忆口决：“CSS,符号改变” 辅助角公式 和差公式 余弦的和差公式，记忆口决：“SCCS,符号不变” 三角函数公 正切的和差公式 式的应用 正弦的二倍角公式 二倍角公式 余弦的二倍角公式 正切的二倍角公式 和差化积，记忆口决：“正弦加正 弦，正弦在前；正弦减正弦，余弦 在前；余弦加余弦，余弦并肩；余 和差化积及 弦减余弦，余弦不见负号显” 积化和差 积化和差，记忆口诀：“积化和差 得和差，余弦在后要相加；异名函 数取正弦，正弦相乘取负号” ◇ 重I点|梳|理 知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2+cos2a=1 sina (2)商数关系：tana= C≠kπ+ ，keZ cosa 2 即时即练 若tana= 4’sina<0,则cosa=（) A. 3-5 B. c D 【答案】D 【解折】因为tana=子<0，Snu<0,可知a位于第四象限，则cosa>0. 3 又因为tana sina=-3 cosa=4,则sina=- -cosa, 4 9 且cos2a+sin2a=1,可得cos2a 16 cos'a= 6cos'a=1, 2 即oasa治所以ea号 5 2/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点二透导公式 诱导公式一：sin(a+2kπ)=sina,cos(a+2kπ)=cosa,tan(a+2kπ)=tana,其中keZ 诱导公式二：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana,其中keZ 诱导公式三：sin[(a+(2k+l)π]=-sina,cos[a+(2k+l)π]=-cosa,tan[a+(2k+)π]=tana,其中 k∈Z 诱公式：sm+a小coa,c+a-sna,sm[-小oa,[-a-sia,共中 keZ 即时即练 己知P(-3√2，√7)是角u终边上的一点，则sin(π-a)=() A.32 B.-3V c.7 D.- 5 5 5 【答案】C √ 【解析】由题意得sin(π-u)=sina= √7 V18+75 知识点三两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)cos(a-B)=cosa cos B +sina sin B (2)cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B 记忆口诀：“CCSS,符号改变”； (3)sin(a+B)=sina cos B +cosa sin B (4)sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B 记忆口诀：“SCCS,符号不变”； (5)tan(a+β)= taa+tan B (B.+Z) 1-tano tanβ (6)tan(a-B)= tana-tanB（a,B,a-B≠+km,keZ) 1+tana tanβ 2 即时即练 sin110°c0s40°-cos70°sin40°=() A.5 B.3 2 2 c D 【答案】D 【解析】因为sinl10°=sin(180°-70）=sin70°，所以 sin110°cos40°-c0s70°sin40°=sin70°cos40°-cos70°sin40°=sin(70°-40)=sin30°=】 3/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点四铺助角公式 a 6 辅助角公式：asinx+bc0sx=√a2+b2sin(x+p),其中cos0 Va2+6, sin = Va2+b2 b tanΦ= a 即时即练 若2cos10 -tan20°=√3，则2=() sin70° A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】C 【解析】因为5+tan20=V5+sin20=V5cos20+sin20_2cos30-20）_ 2cos10 cos20° cos 20 cos20° sin70° 所以Acos1(0 sin70° -tan20°=V5可化为1c0s10°_2cos10 sin70°sin70° 所以入=2 知识点五二倍角公式 (1)sin 2a =2sina cosa (2)cos2a cos2a sin2 a =1-2sin2a 2 cos2 a-1 (3)tan 2a= 2tana(a≠km+且a≠ 1-tan2a 2 keZ) 241 降幂公式：sin2a= 1-cos 2a 2 -cos2a =1+cos2a -sina cosa =-sin 2a 2 2 即时即练 己知tana=2,则tan2a=(） B.4 C.-4 3 D.3 4 【答案】C 【解析】因为tana=2,所以tan2a= 2tana-2×2_4 1-tan2a1-22-31 知识点六积化和差、和差化积 (1)积化和差 4/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin eos -sin(a-B)+sin()cos sisinB)-sin(B)] cosa cosBo(-B)cosB)sina sin Bos(-B)-cos(+B)] (2)和差化积 sinx+siny=2sinx+ 2 s,sinx-sin y=2cos+sin -cos- 2 2-cosy cosx+cosy=2cosco -sin x-y 2 cosx-cosy=-2sin 2 2 即时即练 化简2c0s50°c0s70°-c0s20°的结果为() A.-sin 60 B.c0s120° C.sin60° D.c0s60° 【答案】B 【解析】 2c0s50°c0s70°-c0s20°=c0s(50°+70)+c0s50°-70）-c0s20°=c0s120°+c0s-20)-c0s20°=c0s120° 故选：B 5/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 03 题型突破 题型一：正、余弦齐次式运算求解 【典例1-1】(2026江苏扬州模拟预测)已知tana+ =2,则sina+2sin2a的值为() 4 A. 3 8 13 B. C. 4 0 13 8 D3 【答案】A 【解析】tan 0+ π 4 tana+l=2,解得tanc= 1-tana , sin'a 4sinacosa 1 sin'a+4sinacosa .-cos'a cos2a tan'a +4tana 3 原式= sin'a+cos'a sin a cos a tan'a+1 10 cos a cos a 3 +1 【典例1-2】(25-26高一下辽宁朝阳期中)已知tana=3,则2sina+sincos=（） cos'a -sin a A.9 B. 9 2 C.-3 D.、21 8 【答案】D 【解析】由tana=3,则2sina+-sinacosa_2tan2a+tana_2x32+3.21 cos'a -sin'a 1-tan'a 1-32 8 【变式1-1】(2026福建龙岩·三模)已 2cos2a+sin2a,则ana的值为（) 1+sin 2a 3 A 3 B.1 C.2 D.2 【答案】D 【解析】因为 1+sin 2a 3 2cos2a sin 2a 2' 所以cos'a+2 sincos+sin'a_3 2cos2a+2sin a cosa 所以_(cosa+sina}2 =3, cosa cosa +sina 即cosa+sina=3→3ina=2cosa→tana=2. cosa 【变式12】(25-26高-下四川泸州期中)已知ana= 3’则 sina =() cosa +sina A. B.3 4 c D月 6/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 1 【解析】 sina tana 、 31 cosa +sina 1+tana 14 题型二：利用诱导公式化简与求值 【典例2-1】（25-26高一下·山东潍坊期中)已知sim (1I)求sina cosa的值； (2)求2sin2a+sina cosa-5cos2a的值 【解折】D因为sm任c小a-a=5 且sin -0 =cosa,sinπ-a=sina, 所以cosa-sina= 5 5 5 cosa-2sina cosa+sin 1 所以(cosa-sin 5 2 所以1-2 sin=5,解得sin= (2)由(1)得 (cosa +sina)2 cosa+2sina cosa+sina=1+2x2 55 又因为a∈ 0 所以cosa>0,sina>0,所以cosa+sina>0, 所以cosa+sina= 3V5 5 3V5 2v5 cosa +sina = sina 由 5 解得 5 cosa-sina = 5 cosa 5 所以2sin2a+sina cosa-5cos2au=2× 5 5 【典例2-2】(25-26高一下辽宁抚顺期中)已知tan(a+B)=2,tanB=- (1)求tana的值； 7/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin(a+3π-cosπ-a) (2)求 .3π sin++sin(--a) 的值； (3)求sin2a+cos2a的值 2- 【释折】0Dma=ma+-创]+1a月2 =7 3 sin(au+3π-cos(π-a）-sina+cosa-tana+1_-7+1__6 (2) 2sima+2 .3π +sin(-π-a) -2cosa+sina-2+tana-2+7 5 (3)sin2a+cos'a=2sina cosa+cosa_2tana+1 2x7+1 3 sin2a+cos2a tan2a+1 72+1 10 【变式2-1】(25-26高一下.江西九江·期中)(1)已知tan(a+2B)=3,tanB=-4,求tan(a+B); cos(4π-a)+2cos 3元- 2 (2)若 =-1,求3sin2a-4 sina cosa的值 sin3π-a)-sin π 2-a 【解析】()am(a+B)=tam[a+2B)-B]-1+ana+2p)-anB+3x-4 tan(a+2β)-tanB3-（-47 3π cos(4π-a)+2cos -d 2 (2) cosa-2sing _1-2tand=-1,tana =2, sin3m-a）-sin sina +cosa tana+1 -0 2 则3sin2a-4 sina cosa= 3sina-4 sina cosa_3tan'a-4tana_3×22-4×2_4 sin-a +cos'a tan'a+1 22+15 【变式2-2】(25-26高一下辽宁朝阳期中)已知f(a)= sinla-oa un(x-a) tan(-a-πsin-a-π (1)化简f(a): a诺faj=-日a经引Rcoa-ma的做 【解析】(1)fa= sina- s(2+aan(π-a) -cosa.sin2a.(-tana) =-sinacosa tan-o-πsin-a-π -tana.sino (2)因为f(a)= 1 1 =-sinacosa,所以sinacosa= 13 因此(cosa-sina)2=1-2 sinacosa=1-2x号= 84 8/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：<a< 2’sina>cosa,即cosa-sina<0, 因此cosa-sina= ⑤ 2 题型三：基于诱导公式的拼凑角求解问题 【答案】06 【解1mg上m[a-引=ma到月 【典例3212526高-下湖北武汉阶段检)or口-君引-号则sma+君 【答案】25 7 【解折1由co口-君引-手则sm(2a+}o[2a+引-o2a到 =ma--2msa-引1-2-13 【变式3-1】(25-26高一下-山东潍坊期中)已知sin(53°-a)=写，且0°<a<90°，则sin(37+a)=一 【答案】2y626 55 【解析】由0°<a<90°，则-37°<53°-a<53°， 则cos53°-a)-V-sin253°-a=2V6, 5 则sin(37°+a）=sin[90-53°-a]=cos530-a=2y6 5 【变式32】若0<a<经且a+ma+-0,则sma-} 【答案】-6 【解折】由题意，0<a<分，设a+各=0e(任 6 (63 ,即a=0- 6 2n20-}-o-各+8-o 9/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即2am(20-引 +tan0=0, tan 20- 1 2 tan 20' .- -+tan0=0, tan 20 2ag得-100+m0=0,则有m0=号 tan20=2tan0 tan tan0s 2 5=3,os0=2v6 (6'2sin8=1=V5 V53 sina-2=sin8-rπ 63 卢m0-}-cos0=-6 3 题型四：三角恒等变换式子化简问题 【典例4-1】化简： (①c0s36°-V-c0s236⊙ V1-2sin36°cos36° (2)sin0-cos0 tan-1 (3)tan0+ 1 cos20sin0. tan 【解析】(1)原式= cos36°-Vsin236° √sin236°+cos236°-2sin36°cos36° cos36°-sin36° cos36°-sin36° Vcos36°-sin36)2 cos36°-sin36 =c0os36°-sin36° cos36°-sin36°-L. (2)原式= sine-cosecos0(sine-cose) sine1 =c0s0 sin0-cosθ cos0 sin0 cos0 (3)原式= cos20 sin0 cos0 sin0 sin20+cos20 1 cos0 sin= …cos20sin0=cos0 sin0.cos0 sin0 cos0 10/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+π+ 【典例42】(25-26高一上陕西渭南期末)已知函数(y=sincos+3+4 (1)化简f(x); 求f(x)的最值和单调区间， 【解折10-xx+引9 -sinx.5 1 =sinx.cosx· 24 =2 sinco-5、 1 2 nx 4 -cos 2x 4 4 2sin2x+π） 2 3 医为引所以2x号[] 所以当2x+:4红即x=时，了国)取得最小值，最小值为-5 33 当2x+及=，即x=时，)取得最大值，最大值为， 32 12 令s2x+T≤，即0≤x≤π时，fx)单调递增： 32 12 ®Tx+工≤，，即。≤x≤，时，/)单调递减， 2 P12 综上，f)的最小值为-5， 4 最大值为； f(x)的单调递增区间为 0, 单调递减区间 12 [ 【变式4-1】化简与证明： (1)化简： 1+sin 20-cos 20 1+sin 20+cos 20 1+sin 20 cos 20 1+sin 20-cos 20 00经0aez 1+sin 4a +cos4a (2)证明： 1+sin 4a-cos4a tan 2a aa经a*经+a*空ez】 【解析】(1)因为cos20=2cos20-1=1-2sin20,sin20=2sin0cos0 所以1+sin20-cos20=2sin9cos0+2sin20, 2sin0(sin0+cose), 11/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1+sin 20 cos 20 2 sin 0 cos 0 2 cos2 0, =2cos0(sin0+cos0), 当sin0+cos0=0,sin0=0,cos0=0时，原式无意义； 当sn0+eos0≠0sin00.cos00,即5sm0+ ≠0，sin0≠0，cos0≠0， 即0+晋eZ0经eZ,即0-晋eL,0经keZ时， 4 4 2 2sin0(sin0+cos0)2cos0(sin0+cos0) 原式 2cos0(sin0+cos0) 2sin0(sin0+cos0) =sina cos0 sin20+cos20 cos0 sin0 sin 0 cos 0 2 sin 0 cos0 sin 20 00经0-eZ (2)(2)证明：左边 1+2sin 2a cos 2a +2cos22a-1 2cos2 2a +2cos 2a sin 2a 1+2sin 2a cos2a +2sin2 2a-1 2sin22a +2sin 2a cos2a 2cos2a(cos2a+sin2a） 1 2sin 2a(sin 2a cos 2a)tan 2a =右边， 所以1+sin4a+cos4a 1 1+sin 4a-cos4a tan 2a 【变式42】(25-26高一上浙江杭州期末)已知函数)=mx+5 sinoo (1)化简函数∫(x)的解析式并求f 5π 12 的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间； 【解析】(1)~f(x)=sin2x+V3 Bsinrcos-】 0-0-m20+5m2x月-n2r 2 6/ 32 2)由2版-号s2x-君≤2版+受keZ,得ka-君sxsm+写keZ, 6 6 即在[ka-名a+引依e)上单调路，。 3 所以函数x)单调递增区间是km-天，km+keZ): 63 12/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五：三角函数给值求值问题 1 【典例5-1】(25-26高一下·江苏淮安·期中)已知cos(a-B)= 5 cosacosB三号，则cos2a+2pj=(y A器 23 7 B. 25 C.25 D.25 【答案】D 【解析】由cosa-B)=o+sinsin,可得 1 +s,解得nasn月=写 5 由cosa+B)=co-sin sin,可得cosa+B=2-(）-g 555 所以cos(2a+2B)=cos[2(a+B)]=2cos2(a+B)-1=2× 5 -1=2x9 252525 【典例52】(2026河南开封模拟预测)已知cos(a-B)-}sinsinp=g则cos(2a+2p):（） 3 1 1 A.4 B.4 C.2 1 D. 【答案】C 【解析】因为cos(a-B)=B+sina sin B=3, sinasinB= 1 所以cos a cos B= 8 511 所以cos(a+β)=cosa cos阝-sina sin B=a 882' 所以cos(2a+2p)=cos[2(a+B)]=2cos2(a+B)-1=2x}-1=-】 4 2 1 5(2026安徽合肥模拟预测)已知Q,B都是锐角，cosa三cosa+B二4，则cd 值是() A.33 9 B. D. 14 3-7 c 14 【答案】C 【翔所1因为a,B都是镜角，所以a,Be0引a+Be0动， 因为cosa=7c0s(a+B)=-, 1 14 所以sna=i-csa-4,a+=-os7a+再-55 141 13/35 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cosB=cos[(a+B)-a]-cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina=1x1 14^77142 割刚”rs侧‘兰>”>兰目‘入-=0+ms2(中ǐ思9灭)【飞s】一 () A.25 B.-2V5 5 5 c 【答案】A 【解析】由题意，-刀<a< 2 2 π<亚+a< 3π 44 4 <0, 5 <+a<0, 44 任+片j--29 m任m[-(任+j小-mr任小25 5 题型六：三角函数给值求角问题 【典例6-1】(2026重庆模拟预测)已知锐角o,B满足(1+V3tana)1+V5tanB)=4,则a+B=() B C.2x 3 D. 【答案】D 【解析】原式展开化简得√3 tana tan B+(tana+tanB)=5, tan(+)-tanc +tanp-5 tand tan5 1-tana tan B 1-tana tan B 又aB是锐角，则0<a+B<,所以u+B:子选D 【典例6225-26高下北家期中)已知a,Be0,5,cosa=4s咖B3 _45,则a+B=（） 7 B.胃 C.2π 3 D.5π 6 【答案】C 7 14/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以sina=V1-cos2a= 11)2 55 14= 所以cosa+B）=cosa cos B-sina sinB= 11143531 1477142 因为a,Be05 所以0<a+B<π， 所以a+B= π 【变式61】2526高-下江苏肩宗阶段检测)己知a(任引且4casa-m号-a-5,则a=() A. 5π B骨 C.2x 5 .号 【答案】A 3=4cosa- cosa2sin2a-cosa2sin 2a=3 sina+cosa=2sina+6 sina sina 所以2a=a+亚+2kr或2a+a+T=+2k元，k∈Z, 6 6 即a=亚+2kx或a 5弧+2kx,keZ 6 183 由于ae,x） 5π (42 故a= 18 【变式62】(2425商三上潮北捐州阶段检测)已红a,BeQ,a且cosa-5,cos1a+p1= 5 ,则 10 a-B=() A哥 B. 3π 4 c. D. 【答案】A 【解析】因为ae0,)且cosa=5<{ π <二=cos”,函数y=cosx在(0，π)上单调递减， 52 3 又a,Be0到，cose+)-8,所以a+Beo受， 10 sin(a+B)=-cos(a+B) 10 15/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 cos2a=2cos'a-1=2x()2-1- 3,sin2a=-cos 2a=3 所以sma-B=sn2a=a+Besm2 acosla+9-eos2asma+×总/人3x7V5B 5×10=2 又ae写，a+fe@受.所以B-a+l-a<子号吾结台B≥0，可得B0引 236 所以a-B∈ ππ 6’2 所以a-B=亚 4 故选：A 题型七：和差化积与积化和差公式应用问题 【典例71】206河北承德核拟预)已a）,Bc引且na+创=- 4 tan(a-B)=-3 ，则 的值为 tand tanB 【答案】24或24 1 1 【解析】 1 cosa cosB sin B cosa-cos B sinasin(a-B) tana tan B sina sin B sina sinβ sin a sin B 由伯范国符：a+Be(2,a一B(任) 由tana-B)=- 所以u-B行 3 4 得sina-B)=号cosa-B)=-5 由sin(a+β)=- a+Be2l得cmwa+=± 4 若cos(a+β)= 3则 nam8=oa+-oma-1-引- 3 代入目标式： sin(a-B)=-5=24 sin a sin B 1 40 3 若cos(a+B)= 4 sman=osa+叭-oa-p]-得)站-器 16/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 代入目标式： sin(au-β) 5 24 sina sin B 31=31 40 1 1 1 124 综上所述， =24或 tana tanB tand tanβ3l 1 【典例7-2】 3 1 cos280°cos210°cos20° 【答案】32 1 3 【解析】 1 1 3 1 cos280°cos210°cos20°sin210°cos210°cos20 cos210-3sin210° 1 1-4sin210°1 .=4× sin210°cos210 cos 20 sin220° cos 20 1-21-cos20 2c0s20°-1 =8× =16× sin20°.sin40 cos20°-40)-c0s20°+40 =16×2c0s20-1-32×2c0s20- =32 c0s20°- 2c0s20°-1 2 【变式7-1】cos273°+cos247+cos73°cos47的值为 【答案】30.75 4 【解析】因为c0s273°+c0s247+c0s73c0s47=1+c0s146°+1+c0s94 +c0s73°c0s47 2 2 =1+eosl46+cos94+cos73+47）+cos73-47】 =1+5cos20+26j+cosI20-26j】]+cos120+2cs26 2 =1+c0s120c0s26+)c0s120+,c0s26°=1-c0s26-1+1c 1 2 +2c0s26=3 4 【变式7-2】(25-26高一上·安微阜阳·期末)若cosa+cos2a+cos3a=0且sina+sin2a+sin3a=0,则 cosa= 【皆案1-05 【解析】由和差化积公式可得cosa+cos3a=2cos2 a cosa,sina+sin3a=2sin2 a cosa,分别代入到原式 中， cosa +cos2a +cos3a cos2a +2 cos2a cosa cos 2a(1+2cosa)=0, 所以c0s2a=0或1+2c0sa=0, sin a sin 2a +sin 3a sin 2a +2sin 2a cosa sin 2a (1+2 cosa)=0, 17/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以sin2a=0或1+2cosa=0, 若1+2cosa≠0，则cos2a=0且sin2a=0,无解， 因此1+2c0sa=0,所以cosa=一2 1 题型八：利用三角恒等变换判定三角形形状 【典例8-1】(2026浙江宁波三模)在ABC中，角A,B,C为三个内角，则1+sinA_1+sinB是“A=B” cosA cosB 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】考虑fx=1+sinx为(cosx,sin)到(0，-1的斜率， cOSx 2 Sin 2+cos 2 sin+cos tan+1 因为f(x) 2m+ 因为通数到=m行+到在与 :上均递增，f(0)=1,f(π)=-1得大致图象，如图所示， 若+s-1女n8,则f(4到=副，而4利，()同号，由图及单调性可得A=B: cos A cosB 若A=B,则f(A=∫(B)必定成立，故为充要条件 【典例8-2】(22-23高一下·辽宁沈阳·期中)在ABC中，a-b=c(cosB-cosA,则这个三角形一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】a-b=c(cosB-cosA),由正弦定理得sinA-sinB=sinC(cosB-cosA), sin A-sin B sin C cos B-sin C cos A, sin B sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C, sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos BsinC, 18/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sin B cos C+cos B sin C-sin A cosC-cos A sin C sin C cos B-sin C cos A, 所以sin B cosC-sin AcosC=0, 即(sinB-sin A)cosC=0,所以sinB=sinA或cosC=0, 由sinB=sinA得B=A或A+B=π（舍去）， 由cosC=0得C=2, 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 【变式8-1】(25-26高一下·天津滨海新区·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 sinA+sinB+cos2C<1,则ABC的形状是() A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】D 【解析】因为sin2A+sin2B+cos2C<1,所以sin2A+sin2B<1-cos2C,即sin2A+sin2B<sin2C, 由正弦定理角化边得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0, 故cosC=。+2-C<0.因为0<C<,所以C是钝角，即a4BC是钝角三角形。 2ab 【变式8-2】(25-26高一下·重庆期中)在ABC中，a,b分别为内角A,B的对边，若 a tan B+btan A =tan Atan B,则ABC的形状一定是() a+b A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】若aanB+btan A=tantan B,得ai加B+bsin4=(a+bsn4sinB a+b cos B cos4 cos Acos B 由正弦定理可得sinA加B+sin Bsin4=(sinA+sinB)si血4sinB cos B cosA cos Acos B' 化简可得cosA+cosB=sinA+sinB,即sinA-cosA=-sinB-cosB), 利用第助角公式可得5sn4-到-5sm8-】 唧sm4-}=-sn8-4}s如任8： 所以A-工=不-B或A- 4 T+-B=元，A+B=)或者A-B=元（舍） 4 44 所以ABC一定是直角三角形 题型九：三角恒等变换的实际应用问题 【典例9-1】(25-26高一下山东日照·期中)如图，有一块矩形铁皮ABCD,其中AB=t(t≥4)，AD=4, 19/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 阴影部分AMN是一个半径为3的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在 未被腐蚀的部分截下一块其边落在BC与CD上的矩形铁皮POCR,使点P在弧MN上.设 ∠M1P=00≤0≤》，知形POCR的面积的表达式为/0). D R M B (1)当1=6时，设g0)=f0)-9sin0cos0+18sin 12 -sin20,求g0)的值域； (2)当t=4时，求∫(8)的最小值，并求出当f(8)取得最小值时，所对应的sin0的值. 【解析】(1) D R C Q EM B 过P作PE⊥AB,垂足为E,由题意可得：PE=3sin0,AE=3cos0, 所以PQ=AB-AE=t-3cos0,PR=AD-PE=4-3sin0 所以矩形PR的面积fo=PR,P0=4-3sn0-3cos00≤0s号》. 当t=6时， )-(4-3sin0)(6-3cos0)-9sin0 cos0+18sim0 -sin20 12 _24-12cos0-18sin0+9sin0 cos0-9sin0 cos0+18sin0 -sin20 12 =2-cos0-1-cos0)=cos20-cos0+10≤0≤引 令cos0=,因为0e0,5 所以ue[0,1, 则函数y=2-u+1,其对称轴为u=2 1 当=0或1时，=1，所以80)[别，即函数0的值线为[2别 20/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)因为f0)=4-3sin01-3cos00≤0≤} 当t=4时，f(0)=(4-3sin0)(4-3cos0)=16-12(sin0+cos0)+9sin0cos0 -16-12(simn0++(si0+co)i) 当且仅当sin9+cos8-手即sn0+1-m01-sn0-(传s咖0】 2sin0骨m0+)-0,解得in0=4+5或i如0=4-5时，等号成立. 6 6 所以了0)的最小值是子，当/)取得最小值时，所对应的sin9的值是4+5或4-2 6 6 【典例9-2】（25-26高一下·上海闵行期中)为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一 处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧MPN（P为此圆弧的中点)和直 径MN构成.已知圆O的半径为1千米现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形 状为矩形ABCD（用于陈列学生感恩手作、暖心留言)；“感恩花艺打卡区”的形状为△CDP(用于布置感恩 主题鲜花盆植，供师生拍照打卡).要求端点A,B均在直径MN上，端点C,D均在圆弧MPN上设OC与直 径MN所成的角为O B (I)试用O分别表示矩形ABCD(感恩寄语展示区)和△CDP(感恩花艺打卡区)的面积，并写出O的范围： (②)若在矩形ABCD两侧线段AD.BC的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄 语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰、安装等全部费用）； 打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当O为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费 用最低，并求出其最低费用值 【解析】(1)由题意∠C0B=8∈(0，易得：OB=cos6,BC=sin0. 所以矩形48cD的面积为5=2os0sn0=sn290e0到别 1 △CDP的面积为S.cop=2 ×2cosθ(1-sin0)=cos0-cos0sin0 (2)设建造观景区所需总费用为F(), 21/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由题意F9)=161eos0-sn0cos0)+8x2sin0+5i0e0, ()(co+simo-simoco0)+ co+in-sinocos.0 设1=cos0+sin0,则2sin0cos0=t2-1, 由t=cos0+sin0=√2 sin0 2 因为0∈ 0, 所以0+所<n+},所e 从而m= t+t+ 2 2-2-12+1. 当1=2，即0=正时，有m。=V反- 4 所以Fo)最小值为65-》 5=162-3(万元). 故当0=下时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为16√2-3万元. 4 【变式9-1】(25-26高一下·江西·期中)某城市滨江公园有一块扇形观景区域0P0,弧长为4r米，面积为 24π平方米计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域ABCD，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设 ∠POC=a. Q D (I)求AD与OA的长度（用C表示） (2)求矩形ABCD的面积（用a表示）； (3)求矩形ABCD面积的最大值； 【解析】(1)在扇形0PQ中，设半径为r,弧长为1， 圆心角LP00=0(0>0), 则0r=4元，2 0r2=24, 解得r=12米，∠P00=日=交 3 22/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在矩形ABCD中，BC=OC·sina=12sina=AD 因为∠P0Q=号，所以在R:0AD中， 04-DAtn-BC.t12sina =4v3sina 6 6 3 (2)0B =0C cosa =12 cosa,AB=OB-OA=12cosa-4v3sina, :.S=AB.BC =12sina.12 cos-4v3 sin a =72sin 2a-243(1-cos 2a) =485sin2a+-245（0<a<) 6 3 3)&e0,32 则2a+∈江，5r 6（6'61 当20+π=元 62, 甲a=名时，sm2a+君取到最大值1， 6 此时矩形ABCD的面积S最大，S。x=24V5 【变式9-2】(25-26高一下·四川南充阶段检测)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P,Q分别在边 BC,CD上. 0若点P为边BC上的一个靠近点B的三等分点，且∠PAQ:号，求am∠D4Q, (2)若Rt△PCQ的面积加1等于两条直角边之和， ①求∠PAQ的大小： ②设∠PAB=0,求APAQ的最小值以及取得最小值时O的集合. 【解析】(1)因为点P为靠近点B的三等分点， ÷BP=3tam∠PAB=3' 1 1 31 51 因为P∠40=音，所以t/DA0=an -∠PAB=33=55-6 6 1+5x113° 33 (2)①设CP=x,CQ=y, 23/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由RtPCQ的面积加1等于两条直角边之利和可得y+1=+y,化简可得y=2+川小-2. 又tan∠PAB=l-x,tan∠QAD=1-y, 于是tan(∠PAB+∠QAD=,tan∠PAB+tan∠QAD,1-x+1-y 1-tanZPAB.tan2OAD 1-(1-x)(1-y) 2-（x+y) (x+-[2x+-21,则∠P1B+∠04D=牙 所以∠PAQ的大小为号 1 ②由题意得：”4P/ ,A0=- cos0 cos 4 所以PAg cos0·cos 4 而cos0·cos √2 十 2 422 2sin20 44'4 当29+经-至博0-爱时，o0mr任-9取最大值为22。 4 4 因此AP叶4AQ的最小值为2+ =4-2W2, APAQ取最小值时O的集合为 P 24/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 综合通关 3 1.(25-26高一下四川资阳期中)已知sin(30°+a)-亏，60°<a<150°，则cos0的值为（） A.3-45 B. 3+4V5 C.4v5-3 D.-3+4V5 10 10 10 10 【答案】A 【解析】：60°<a<150°，：90°<30°+a<180°，.c0s30°+a<0 又：sin(30+a)=5 3 :c0s30°+a=-5' 4 则cosa=cos[30°+a-30]=cos(30°+a)cos30+sim(30°+asin30°=-4×5+3x1_3-4V5 5×2+5×2=10 2.(25-26高一下-四川达州期中)若a,B∈（号，），且1-cos2a)1+sinB)=sin2 a cosB,则2a+B=（） 7 B.4 C.2π D.4 【答案】A 【解折】a,B∈（经x小sna+0,由1-cs2a1+sm=sn2aos, 可得2sin2a(1+sinB)=2 sina cosa cosB,即sina(1+sinB)=cosa cos B, .sina=cou6osB-sina sin月=osla+pl，iosa+pj=es径-a, '元<a+B2m且2<2-a≤0， 根据余弦函数性质得a+B=元-a+2π，即得2a+B= 2 2 3.(25-26高一下.甘肃酒泉阶段检测)已知a=2cos248°-1，b=c0s47°c0s48°-sin47°sin48°， c=tanl5o-tan75°+√3tan75°tanl5°，则() A.b>c>a B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a 【答案】C 【解析】a=2cos248°-1=cos96°<0，b=c0s47°c0s48°-sin47°sin48°=c0s(47°+48°）=c0s95°<0， 由，tanl5°-tan75o =tan(-60)=-√3， 1+tan75tanl5 则tanl5°-tan75°=-√3(1+tan75tanl5), 25/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故c=tanl5°-tan75°+V3tan75tanl5°=-V3(1+tan75tanl5)+√5tan75o.tanl5°=-√5， 显然-√5<-1<c0s96°<c0s95°，即b>a>c. 1+tan75 4.(25-26高一下.江苏准安·期中)tan600°+ tan75-1 =() A.0 B.2√5 C.2 D.-2√3 【答案】B 【解折】a60+hg75=an(360+24091-m459+m75 tan75°-1 1-tan 45tan75 =tan(180°+60°)-tan45°+75)=tan60°-tan120°=√3-tan(180°-60) =√3+tan60°=√3+√3=2V5 5.(25-26高一下.甘肃白银期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 csin A=a cos B+bcosA,则ABC一定是() A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形 D.直角三角形 【答案】D 【解析】根据正弦定理得，sinC,sinA=sin Acos B+sin B cos A=sin(A+B)=sinC, :Ce(0,π，Ae0,π，.sinC≠0， sn4=1,解得4= 所以ABC为直角三角形 6.(25-26高一下广东中山-阶段检测)sin400(tan190°-V5=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【解析】原式=sin40°(tanl0°-tan60) sinl0°sin60° =sin40° sinsin1cco) cosl0° cos60° cosl0°cos60° sin(-50°） sin40°cos40 sin80 =sin40°. cos10°cos60° cosl0°cos60° 2c0sl0°cos609 cosl0° 1 =-1 2cosl0°cos60° 1 2× 7. (2026-安徽模拟预测)已知向量a=(sin0,cos0-2sin8),6=,2),且a∥石，则sin29+cos0的值为 1+tanθ () 48 A. 12 B. 24 D. 96 85 85 C. 85 85 26/35 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】d=(sin8,cos0-2sin0),b=L,2),且a∥b, :2sin0=cos0-2sin0,即4sin9=cos8,得tan8=4cos6≠0，sin9≠0 sin20+cos20 2sinecos0+cos20 2tan0+1 2tan0+1 1+tane 1+tan 1 (1+tan0) (1+tan0)1+tan20 cos-0 2x 36496 2 8585 π7π 8.(25-26高一下·四川成都期中)己知a∈ 6'6 且 naan202-5cos2a=1,则cos2a-=（) tan 2a-tan a A.、3 B. v② C. D 2 2 2 【答案】A sina sin 2a 【解析】 tan a tan 2a3cos 2a= cosa cos 2a √3cos2a tan 2a-tana sin 2a sina cos2a cosa sina sin 2a 3 cos2a = sina sin 2a -√3cos2a sin 2a cosa-cos 2a sina sin(2a-a) 因为a∈T,7n 6’6 所2u-青c02,所以2a-号-8或2加骨-管 36 所以a=亚或a= 7π 12 当a-时，an2a无意义：当a=7任时，代数式tanctan2a有意义， 12 tan 2a-tana 故a=登即2a号-g,所以m2a 5π =coS -cos--cos πV5 6 62 9.(多选题)(25-26高一下·浙江·阶段检测)下列等式正确的是() A.cos80°cos20°-sin80°sin20°=cos60° B.sin(a +45)sina cos(a +45)cosa sin45 62osa+ C.sina+ π1。 27/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.cos76°=V5 0s46°-1 sin46 【答案】BCD 【解析】cos80cos20°-sin80sin20°=cos(80°+20）=cos100°，所以A错误： sin(a+45）sina+cos(a+45)cosa=cos（a+45）-a=cos45=sin45°，所以B正确： sina+ 2sina,所以C正确： 6 62cosa+ =元+cosasin元=Icoso 6 2 c0s76°=c0s(30'+46)=c0s30c0s46°-sin30sin46°=V5c cos46°-sin46°，所以D正确 2 10.(多选游)(20s安做州三根)已知u(经小B0引，且m2业石mB-号.则（) A.tana=-3 1 B.sina-cosa=- 5 C.sin(a+B)=_33 D. sin2β+4cos2阝_1 65 sin2β-4cos2β5 【答案】AC 【解析】cos2a=cos2a-sin2a=cosa-sina-1-tan2a-Z cos2a +sin2a 1+tan2a 25 解得ma=+子又a∈ 2元所以tana三子，故A正确： 3 sina 3 S1n0= 联立 tand cosa4及a∈ 2π， 5 解得 sin-a+cos a =1 4 cosa = 5 所以sina-cosa=写，故B错误： 同腹mB-号及B0引解 sinB=12 13 CosB=5 13 所以sin(a+B=sinacos+cosasin=3xj 41233 ×13+515-65,故C正确： 因sin2B=2 sin B eos=2×2×5-120 1313169 +4x25 120 器}常景D 169 169 28/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(多选题) （25-26商-下江西九江期肿)已知a,Be0,引，且cos1a+B1=5,ma=3anB, 3 则() A.sin(a= B.sina cos C.cosa sin B=月 6 D.cos(a-B)-22 【答案】ACD 5_2,A正确 【解折】对于在已知a,B0引则a+Be0到，则sla+=-eosa+--；号 对于B已知ma=3aB,则黑&-36，傅ne=3asmR. 由选项A可知，sin(a+P)=sn+cosinB=2 3 将如aasB=3 in月可有9+写n-子naoA-号则s如acoc月-分，B错误 对于C:因sinacB=3 cossiB,则cssinB=sina cosB=,C正确： 3 6 对于D:。一-司引mla-例=如amB-aoa如房-。有则 12.(2026高一全国专题练习)已知a,B为锐角，且cosa-B刷-手，Qasa-}则csB的值为一 3 【答案】 2410.96 2 4 【解析)因为cosa-,a为锐角，所以sina孕 又cosa-)=,所以sma-)=±号 3 当smla-p-时， g-ewa-a-]-cota-+i-j-g号号2 又B为锐角，所以osB=25 24 29/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1B.(202s济一全国专题练习》若0<a受0<B<受oe+)-m0-号到引-音则 cosa+ 3 16 【答案】 65 【解折】由0<a<受0<B<受可得0<a+B<不，又cosa+B- 则snla+)--cos(a+=手 则8引--na-到-吕 所以ea+骨}mr[la+-(a-别 cos(+B)cos+sin(+)-sin 3x12+4x-5）-16 5135(1365 14.（2026商一全国专题练习若os1a-B1=715,cos2a=- 10 5,a,B胸为锐角，且a<B,则a+B的 值为 【答案】4 π 【w折1osu-g-72E,wa-ga,Bo},且a< 10 a-e（02ae0, ∴sina-β)=- √2 10 sin2a= 5 .'.cos(a+B)=cos[2a-(a-B)] =cos2 a cos(a-B）+sin2 a sin(a-β） =-3x4x 510 2 :a+Be0,元)， 30/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0+B=3π 4 sin 2a 15.（25-26高一下·湖南衡阳·期中)若tana=2,则 sin a+ ora-到 π 4 【答案】 9 sin 2a 2sina cosa 【解析】由题意可 sina+π） lcos a- 4 (sina+cosa) cosa +sina) 2 2sina cosa 4sina cosa 4tano 8 2(cosa+sina) cos-a+2sina cosa +sin-a (1+tana)29 16.(25-26育-下江苏肩京阶段验闲)已知snu-o明=子cau+n9-了求n口-引的值： 2}且cosa=5 (2)已知角a,B∈0，元 ，sim(B-a=7, 25,求cos2a和sin(a+B)的值。 【解折】(1)(sina-cosp2=sin2a-2 sincB+coS2B=40. (cossinB)cosnB+sinB- 0 ①+②得2-2 (sino-oi)=2-2sina-l-写 解得动a-是 2a∈(0，m, c0s2a=2cos2a-1=2× 5 sin2a=4 又smn-a3,6osB-a1 24 25 sin(a+B)=sin[2a+(B-a)]=sin 2a cos(B-a)+cos2asin(B-a) 器 17.（25-26高一下·四川眉山期中)学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下 三角恒等式： sinasinp-osco ccop))] 31/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sinacosβ= sin()+sim cosasinB-sin)-sin( (1)证明： cosacosB= osa++aoa-p] ②应用上面的公式解决下列间题：已知osa+1cosa-倒=分求casa-sinB的值： 【解析】(1)根据余弦和角、差角公式 cosa+β)=cosacosB-sinasinB,cosa-β）=cosacosβ+sinasinβ， 将两式相加得cos(a+B)+cosa-B)=2 cosacosB, 整理得coo+B)+cosa-Bj] (2)对cosa+B)cosa-B)套用(1)中公式：令A=a+B,B=a-B, 则cos4cosB=cos4+到+eos4-B]-cos2a+coc2B, 由题知cosa+1cos1a-例-=号放cos2a+cos2B)=7,即cos2a+cos20=1· 即(2cosa-l+1-2sin2B)=1，化简得2(cos2a-sin2B)=1,即：cosa-sim2B=】 2 18.(25-26高一下江苏盐城期中)在平面直角坐标系x0y中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点P 34 55 求coa+3 的值： ②诺角B满足ima+ 13 求cosB的值 【解折1国为角a的路边过点P》且-)=。 4 则cosa= sina=- 听以cosa+片coacos8snus生3L+46-453 n3=-5x2+5x2=10 (2)因为cosβ=cos(a+B)-a=cosa+β)cosa+sin(a+B)sina, 又因为sma+创-是则eaa+例=yma+可= 13 32/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若cos(a+B)= 则oB=引》 若cos(a+B)=-5 19.(25-26高一下·辽宁大连·期中)如图，己知A0B是半径为1，圆心角为O的扇形，P是扇形弧上的动 点，记∠AOP=a,过点P作OA的垂线，垂足为D. B (I)请用O,表示平行四边形OCPQ中线段PD,OC的长度； (2)请用O,a表示平行四边形OCP2的面积： (③)嗜0-骨，求平行四边形0P0面积的取值范国 【解析】(1)由图知，在Rt△PD0中，PD=OPsina=sina,OD=OP cosa=cosa, 在RtPDC中，易得LPCD=0,则PD=CDtan8,则CD=lPD-sine tantan 所以OC=OD-CDl=cosa-sina tan; (2)Sg边形ocpe=lOC×PD= cosa、sina sinasimn2a-sin): tan 2 tan (3)若0-骨，由题意可得0<a<行 则S0边形oc9=)Sin2a、3 1 3sin'a =sin2a-1-cos2a 1 X- 2 32 1 6 66 3,故<2a+<5m 由于0<a< 6 66 则s如2a+}s1,所以0<5 sim2a+-5s5 66 6 所以平行四边形OCP2面积的取值范围为0 V3 6 20.(2526商-下河北期中)已知m=(osa,sma,i=(例，&，B∈0》万反-号 33/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 l+tan a tan阝= 1 tan(B-a） (I)求sin(a-B)的值； (2)求c0sa+B)的值. 【解】析)由题知m-=+singsin=cosa-)-手 由tan(a-B)= tana-tan B ,结合已知l+tan a tan B= 1+tana tan B tan(B-a)' 可得tana-tanB=-1<0, 所以tana<tanB, 又a,e 所以有0<a<B< 所以a-B∈ sin(a-B)=-/1-cos(a-B)2 (2)由(1)知tana-tanB= sina_sinB=-1, cosa cosβ 所以有sina cos B-cosa sin B=-cos a cos B, 由(1)可知sin(a-B= 5 所以sin(a-B)=-B=- ' 所以coscoB=3 5 又因为cos(a-B)=oscoB+-sinasinB=4 所以sina sinB=5 所以cos(a+B)=-cosc--sin sin B=555 312 34/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 05 错题留痕 35/35 专题01 三角函数公式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：正、余弦齐次式运算求解 题型二：利用诱导公式化简与求值 题型三：基于诱导公式的拼凑角求解问题 题型四：三角恒等变换式子化简问题 题型五：三角函数给值求值问题 题型六：三角函数给值求角问题 题型七：和差化积与积化和差公式应用问题 题型八：利用三角恒等变换判定三角形形状 题型九：三角恒等变换的实际应用问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 同角三角函数关系 2. 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3. 和差、二倍角与降幂公式 4. 辅助角公式（最值求解） 1. 化简求值：依托同角、诱导、和差二倍角公式，代数式变形计算，常配角的范围取舍正负。 2. 最值问题：用辅助角公式转化单一三角函数，求值域与参数范围。 考情解码：“三角函数是高中函数与解三角形的基础，衔接指数函数、立体几何、解析几何。考题由单纯公式默写转向恒等变形与实际解三角形综合题型，公式灵活混用，三角恒等变换为解答题必考内容。 知识点一 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 即时即练 若，，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 即时即练 已知是角终边上的一点，则（   ） A． B． C． D． 知识点三 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 即时即练 （    ） A． B． C． D． 知识点四 辅助角公式 辅助角公式：，其中，， 即时即练 若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 知识点五 二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 即时即练 已知，则（   ） A． B． C． D． 知识点六 积化和差、和差化积 （1）积化和差 ， ， （2）和差化积 ， ， 即时即练 化简的结果为（   ） A． B． C． D． 题型一：正、余弦齐次式运算求解 【典例1-1】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·福建龙岩·三模）已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1-2】（25-26高一下·四川泸州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型二：利用诱导公式化简与求值 【典例2-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【典例2-2】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【变式2-1】（25-26高一下·江西九江·期中）（1）已知，，求； （2）若，求的值. 【变式2-2】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 题型三：基于诱导公式的拼凑角求解问题 【典例3-1】（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 【典例3-2】（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测），则__________. 【变式3-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知，且，则______. 【变式3-2】若，且，则______． 题型四：三角恒等变换式子化简问题 【典例4-1】化简： (1)； (2)； (3)． 【典例4-2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数 (1)化简; (2)若，求的最值和单调区间. 【变式4-1】化简与证明： (1)化简：． (2)证明：． 【变式4-2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)化简函数的解析式并求的值； (2)求函数的单调递增区间； 题型五：三角函数给值求值问题 【典例5-1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：三角函数给值求角问题 【典例6-1】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26高一下·北京·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）已知且，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：和差化积与积化和差公式应用问题 【典例7-1】（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【典例7-2】=______. 【变式7-1】的值为______． 【变式7-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若且，则=__________． 题型八：利用三角恒等变换判定三角形形状 【典例8-1】（2026·浙江宁波·三模）在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例8-2】（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式8-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式8-2】（25-26高一下·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型九：三角恒等变换的实际应用问题 【典例9-1】（25-26高一下·山东日照·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【典例9-2】（25-26高一下·上海闵行·期中）为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. (1)试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； (2)若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 【变式9-1】（25-26高一下·江西·期中）某城市滨江公园有一块扇形观景区域，弧长为米，面积为平方米.计划在该扇形区域内设计一个内接矩形区域，用于修建市民休闲活动区，如图所示：设. (1)求与的长度（用表示） (2)求矩形的面积（用表示）； (3)求矩形面积的最大值； 【变式9-2】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． (1)若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； (2)若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 1．（25-26高一下·四川资阳·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川达州·期中）若，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·甘肃酒泉·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏淮安·期中）（    ） A．0 B． C．2 D． 5．（25-26高一下·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．（25-26高一下·广东中山·阶段检测） （ ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·四川成都·期中）已知且，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·浙江·阶段检测）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一下·江西九江·期中）已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·专题练习）已知为锐角，且，，则的值为____． 13．（2026高一·全国·专题练习）若，，，则_______. 14．（2026高一·全国·专题练习）若，，α，β均为锐角，且，则的值为____． 15．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若，则______． 16．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 17．（25-26高一下·四川眉山·期中）学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： (1)证明： (2)应用上面的公式解决下列问题：已知，求的值； 18．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 19．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 20．（25-26高一下·河北·期中）已知，，，，，． (1)求的值； (2)求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $