2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末巩固练习 专题2：方程（组）与不等式（组）

**基本信息** 聚焦方程（组）与不等式（组）的综合应用及实际建模，通过代数运算与情境问题结合，系统覆盖概念应用、参数求解及模型构建逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次方程(组)与不等式(组)综合应用|5题|含参数求解及范围确定、程序运算、数轴连动数|从代数式表示到参数范围推理，体现符号意识与运算能力| |二元一次方程组与不等式(组)实际运用|6题（5类考点）|销售、行程、几何等实际场景问题|从实际情境抽象等量/不等关系，构建模型解决问题，发展模型意识与应用意识|

期末巩固练习 专题2：方程（组）与不等式（组） 一次方程(组)与一次不等式(组)的综合应用 1. 已知满足. (1) 用含有的代数式表示； (2) 若满足，求的取值范围； (3) 若满足，且，求的取值范围. 2. 已知关于的方程组 (1) 求方程组的解(用含的代数式表示). (2) 若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围. (3) 在(2)的条件下，当为何整数时，不等式的解集为? 3. 小慧设计了一个如图所示的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算. (1) 当时. ①若输入，则运算执行________次后输出，输出结果为________； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值. (2) 当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请求出输入的值及的取值范围.(用含的代数式表示) 4. 【探索发现】 (1) 已知满足 ①求的值，小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路. ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗?请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值. 设. 【解决问题】 (2) 若满足为常数且，则的取值范围是________. 5. 如图，数轴上两点，对应的数分别是－1，1，点是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点，满足，那么我们把这样的点表示的数称为连动数，特别地，当点表示的数是整数时我们称为连动整数. (1) 在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有________；(直接写出结果) (2) 若使得方程组中的均为连动数，求所有可能的取值； (3) 若关于的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及的取值范围. 二元一次方程组与不等式(组)的实际运用 一、销售问题 1. 根据如下素材，完成表中的两个任务. 背景 在中国传统节日“端午节”期间，某爱心企业准备购买粽子慰问敬老院老人. 素材1 某商场开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折. 素材2 已知打折前，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需900元；打折后，买6盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共需796元. 问题解决 任务 1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒的售价分别为多少元? 任务 2 拟订方案 在商场促销期间，某爱心企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子共50盒，总费用不超过3500元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？ 二、行程问题 2. 如图①，，两地间的公路长，其中有一段长的施工道路距离地.甲、乙两辆轿车分别从两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发.在非施工道路(其限速情况如图②所示)，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶. (1) 若. ①甲车出发2h时，甲车行至________处，乙车行至________处；(填“”“”或“的中点”) ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为h. (2) 已知两车在处相遇. ①若与重合，求的值； ②若在非施工道路上(P不与，重合)，直接写出的取值范围. 三、几何问题 3. 某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子. (1) 若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买两种型号的板材，并全部制作竖式箱子，已知型板材每张30元，型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个. (2) ①若该工厂仓库里现有型板材65张、型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完； ②若该工厂新购得78张规格为的型正方形板材，将其全部切割成型或型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于25个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共________个. 四、分段计费问题 4. 商店购进每个10元的某种商品共200个，邮寄费和优惠率如下表： (1) 如果商店分两次购进，总计金额1890元，两次邮购商品各多少个?(列方程组解答) (2) 如果商店一次性购进该批商品，然后再售出.已知该商品每个标价13.5元出售，若商店每个以折出售且利润不低于5%，那么最低可以打几折出售这批商品? 五、方案优化问题 5. 综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动.他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶(食物的营养成分见表一).学校每天为学生提供的午餐有两种套餐(见表二)，为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每个学生午餐主食的摄入量不超过870g，午餐肉类摄入量不超过390g.(一周按五天计算) (1) 若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为________g. (2) 学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克? (3) 为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择套餐各几天? 表一：食物的营养成分表 表二：学校每天提供的两种套餐 6. 牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题： (1) 特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元? (2) 某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3) 在(2)的条件下，购进的猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打(为正整数)折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末巩固练习 专题2：方程（组）与不等式（组） 一次方程(组)与一次不等式(组)的综合应用 1. 已知满足. (1) 用含有的代数式表示； (2) 若满足，求的取值范围； (3) 若满足，且，求的取值范围. 答案： (1) . (2) ，解得，即若满足，则的取值范围是. (3) 联立和，得解方程组得 2. 已知关于的方程组 (1) 求方程组的解(用含的代数式表示). (2) 若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围. (3) 在(2)的条件下，当为何整数时，不等式的解集为? 答案： (1) ①＋②，得①－②，得，故方程组的解为 (2) 解得. (3) 不等式可化为原不等式的解集是.又为整数，. 3. 小慧设计了一个如图所示的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算. (1) 当时. ①若输入，则运算执行________次后输出，输出结果为________； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值. (2) 当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请求出输入的值及的取值范围.(用含的代数式表示) 答案： (1) ①2 21 解析：当时，第1次：，第2次：若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21. ②第1次：，第2次：，由题意得. (2) 第1次：，第2次：，由题意得，解得. 4. 【探索发现】 (1) 已知满足 ①求的值，小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路. ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗?请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值. 设. 【解决问题】 (2) 若满足为常数且，则的取值范围是________. 答案： (1) ①－7 解析：②2得，则①－②×2，得. ②设，则解得. (2) 解析：设，则的取值范围是. 5. 如图，数轴上两点，对应的数分别是－1，1，点是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点，满足，那么我们把这样的点表示的数称为连动数，特别地，当点表示的数是整数时我们称为连动整数. (1) 在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有________；(直接写出结果) (2) 若使得方程组中的均为连动数，求所有可能的取值； (3) 若关于的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及的取值范围. 答案： (1) －2.5，2 解析：点是线段上一动点，点、点 对应的数分别是－1，1.又连动数的范围为或连动数有－2.5，2. (2) ②①，得，①②，得，要使均为连动数，则或或，解得或或或－6或－4. (3) 解得解集中恰好有4个解是连动整数，四个连动整数解为的取值范围是. 二元一次方程组与不等式(组)的实际运用 一、销售问题 1. 根据如下素材，完成表中的两个任务. 背景 在中国传统节日“端午节”期间，某爱心企业准备购买粽子慰问敬老院老人. 素材1 某商场开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折. 素材2 已知打折前，买5盒甲品牌粽子和5盒乙品牌粽子共需900元；打折后，买6盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共需796元. 问题解决 任务 1 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒的售价分别为多少元? 任务 2 拟订方案 在商场促销期间，某爱心企业准备为敬老院购买甲、乙两种品牌粽子共50盒，总费用不超过3500元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？ 答案：任务1：设打折前甲品牌粽子的售价为元/盒，乙品牌粽子的售价为元/盒，根据题意得解得答：打折前甲品牌粽子的售价为100元/盒，乙品牌粽子的售价为80元/盒. 任务2：设购买盒甲品牌粽子，则购买盒乙品牌粽子，根据题意得，解得.又为正整数，的最大值为11. 答：最多可购买11盒甲品牌粽子. 二、行程问题 2. 如图①，，两地间的公路长，其中有一段长的施工道路距离地.甲、乙两辆轿车分别从两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发.在非施工道路(其限速情况如图②所示)，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶. (1) 若. ①甲车出发2h时，甲车行至________处，乙车行至________处；(填“”“”或“的中点”) ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为h. (2) 已知两车在处相遇. ①若与重合，求的值； ②若在非施工道路上(P不与，重合)，直接写出的取值范围. 答案： (1) ① N 解析依题意，甲车从地出发，始终以的速度行驶，甲车共行驶了甲车出发，行至处.乙车从地出发，比甲车晚出发，即，以的速度行驶，乙车共行驶了乙车行至处. ② 解析：甲车行至的中点时，所用时间为，此时乙车行驶所用时间为. (2) ①两车在处相遇，若与重合，则甲车所用时间为，此时乙车所用时间为乙车的速度为. ②或 解析：在非施工道路上(不与重合)，若在上，设甲车的行驶时间为，则，此时甲车行驶的路程为，乙车行驶的路程为，解得限速为.若在上，设甲车的行驶时间为，则，此时甲车行驶的路程为，乙车行驶的路程为，解得限速为.综上所述，或. 三、几何问题 3. 某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子. (1) 若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买两种型号的板材，并全部制作竖式箱子，已知型板材每张30元，型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个. (2) ①若该工厂仓库里现有型板材65张、型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完； ②若该工厂新购得78张规格为的型正方形板材，将其全部切割成型或型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于25个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共________个. 答案： (1) 设可制作竖式箱子个，则需要型板材张，型板材张，根据题意得，解得.答：最多可以制作25个竖式箱子. (2) ①设制作竖式箱子个，横式箱子个，根据题意，得 答：制作竖式箱子5个、横式箱子30个，恰好将库存的板材用完. ②56或58 解析：设用张型板材切割成型，则用(78－m)张型板材切割成型，设制作竖式箱子个，横式箱子个，由题意得整理得都为整数，且是13的整数倍，当时，，符合题意，此时，；当时，，符合题意，此时，；当时，，不符合题意.综上，能制作两种箱子共56或58个. 四、分段计费问题 4. 商店购进每个10元的某种商品共200个，邮寄费和优惠率如下表： (1) 如果商店分两次购进，总计金额1890元，两次邮购商品各多少个?(列方程组解答) (2) 如果商店一次性购进该批商品，然后再售出.已知该商品每个标价13.5元出售，若商店每个以折出售且利润不低于5%，那么最低可以打几折出售这批商品? 答案： (1) 100×10×(1－10%)×2=1800(元)≠1890元，则两次邮购商品数量不同.设两次分别邮购商品个、个100.依据题意可得解得 答：两次分别邮购商品60个、140个. (2) 由题意可得，解得.的最小值为7.答：最低可以打7折出售这批商品. 五、方案优化问题 5. 综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动.他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶(食物的营养成分见表一).学校每天为学生提供的午餐有两种套餐(见表二)，为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每个学生午餐主食的摄入量不超过870g，午餐肉类摄入量不超过390g.(一周按五天计算) (1) 若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为________g. (2) 学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克? (3) 为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择套餐各几天? 表一：食物的营养成分表 表二：学校每天提供的两种套餐 答案： (1) 27.4 解析：该份早餐中蛋白质总含量为. (2) 设每份早餐中牛肉为，牛奶为，由题意得，解得 答：每份早餐中牛肉为，牛奶为. (3) 设每个学生每周午餐可以选择套餐天，则选择套餐天，由题意得解得是整数，，当时，；当时，；当时，每个学生每周午餐可以选择套餐2天，套餐3天，或选择套餐3天，套餐2天，或选择套餐4天，套餐1天. 6. 牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题： (1) 特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元? (2) 某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3) 在(2)的条件下，购进的猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打(为正整数)折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案. 答案： (1) 设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是元和元，根据题意得解得故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元. (2) 设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80－m)箱， 根据题意得 解得为正整数，或41或42，故该商店有三种进货方案，分别为①购进特级鲜品猴头菇40箱，特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，特级干品猴头菇38箱. (3) 商店的进货方案是购进特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱.解析：当购进特级鲜品猴头菇40箱，特级干品猴头菇40箱时，根据题意得1)1577，解得；当购进特级鲜品猴头菇41箱，特级干品猴头菇39箱时，根据题意得，解得(不符合要求)； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，特级干品猴头菇38箱时. 根据题意得，解得10.7(不符合要求). 故商店的进货方案是购进特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $