专题05 图形的变化（5大考点）（天津专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 整合天津多区县2026年二模真题，聚焦图形变换五大核心考点，以折叠、旋转等动态综合题为主，融入解放桥、津沽棒等地标情境，实现基础巩固与创新应用的分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|对称/中心对称图形识别、三视图判断|结合美术字、立体图形，考查空间观念| |填空|约4题|直线平移参数计算|聚焦平移变换中一次函数参数关系| |解答|约10题|对称变换（梯形/正方形折叠）、旋转变换（矩形/三角形旋转）、锐角三角函数（地标测量）|坐标系中动态折叠问题分层设问，天津地标测量情境体现应用意识，多问设计梯度明显|

专题05 图形的变化 5大考点概览 考点01对称变换 考点02 平移变换 考点03 旋转变换 考点04 三视图 考点05 锐角三角函数 对称变换 考点01 1. （2026·天津河西·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，逐个判断汉字即可． 【详解】解：轴对称图形判定：寻找一条对称轴，对折后两边完全重合， A选项（琴）：找不到对称轴，对折后左右无法重合，不是轴对称图形； B选项（棋）：左右结构不对称，无对称轴，不是轴对称图形； C选项（书）：笔画分布不对称，无对称轴，不是轴对称图形； D选项（画）：存在竖直对称轴，沿中间竖线对折，左右两部分完全重合，是轴对称图形． 2. （2026·天津武清·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，逐个判断汉字即可． 【详解】解：ACD选项美术字都不是轴对称图形； B选项美术字是轴对称图形． 3. （2026·天津和平·二模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，顶点，都在第一象限，，，． (1)填空：如图①，点的坐标为____，点的坐标为___； (2)若点在边上（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后四边形与梯形重叠部分为四边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，由等腰梯形的性质可得，通过解直角三角形即可求出点、点的坐标； （2）①寻找临界情形：当经过点时为临界情形，此时重叠部分为，求出此时，当时，重叠部分为四边形；由平行线的性质和折叠性质可得是等边三角形，得出，最后利用，即可得出结果；②当时，即重叠部分的面积随着的增大而增大，当时，不会随着的变化而变化，即，当时，随着的增大而减小，所以重叠部分的最大值为，当时重叠部分面积为，当时重叠部分面积为，所以重叠部分面积最小值为． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于M，过点作轴于N， ∵，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 同理可得：，， ∵点， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：①如图所示，当经过点时，此时重叠部分为， ∵， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴此时， ∵点在边上（点不与点，重合）， ∴当时，折叠后四边形与梯形重叠部分为四边形，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，； ②当时，重叠部分为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 由折叠性质可得：， ∵， ∴当时，即重叠部分的面积随着的增大而增大， ∴当时，即， 过点作轴于M，则， ∴当时，，即重叠部分面积为， ∴当时，， 当时，重叠部分为，如图所示： ∵， ∴， 由折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作轴于M， 则， ∴， ∵，在平行线之间， ∴当时，不会随着的变化而变化，即， 当时，由（1）得：重叠部分为梯形，如图所示： 延长交于点F，过点作轴于N，如图， ∵，是等边三角形， ∴是等边三角形， 由图可知：， ∴，且随着的增大，在增大，即在增大， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由（1）得是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， 综上：当时，的最小值为，的最大值为； ∴当时，． 4. （2026·天津河西·二模）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点．动点从点出发沿轴负方向运动，为边上的点，且，以所在直线为折痕折叠该纸片，点的对应点为，点的对应点为．设． (1)如图①，当时，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，折痕与边交于点，分别与边，相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)设折叠后重合部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1) 由可直接写出点坐标，再在中利用角度关系得，作垂线构造含角的直角三角形，利用求出，进而求解． (2)先证明，过作于，则，在中， 求出，，再证明，通过分析临界点得到t的范围； (3) 分与两段讨论重合部分的形状，前者为三角形，后者为四边形，分别用t表示出面积表达式，再结合二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：，动点从点出发沿轴负方向运动，且， ， ，， ，， ， ， 在边上，且， ， ， 过作于，则是底边上的中线， ， 在中，， ， ， ∴，， ． （2）解：对于任意，， 在中，， ， 过作于，则， 在中，， ， ， ∴， 由折叠性质，，， ，， ， ， ∴， ∴当点E刚好到O时，重叠部分恰好为三角形，此时，当重叠部分为四边形，随着点E向左移动，点G、H逐渐靠近，并向B移动，直到过点B时，重叠部分为三角形，故； （3）解：当时，重合部分为， 由（1）可知，，，， ∴， ∴，， 当时，随的增大而增大， 时，， 当时，重合部分为四边形， 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）， ∴, ∴, ∴, 二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时，， 又∵时，，时，， 当时，，， ． 5. （2026·天津河东·二模）将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，点，点，动点D在边上，折叠该纸片，使折痕所在直线经过点D，并与射线交于点E，且，点A的对应点为，设． (1)如图①，当时，填空：线段的长为_____，线段的长为_____，点的坐标为_____． (2)如图②，若折叠后重合部分为五边形，点O的对应点为，分别与边，交于点G，H，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是_____．（直接写出结果即可） 【答案】(1)4，， (2)，t的取值范围为 (3)2 【分析】（1）连接，过点作于点，根据正方形的性质求得的长，当时，重合，进而得出，是等边三角形，求得的长，即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，，分别解，，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，分别令为，求得临界值，即可求解． （3）当时，求得重合面积大于，当且重合面积为三角形时，设与交于点，得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵正方形纸片放在平面直角坐标系中，点，点， ∴， 当时，重合， ∴， ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 点的坐标为； （2）解：如图， ∵正方形纸片 ∴，， ∵折叠，，， ，，， 又∵， ∴，则， 在中，，， ， 在中，， ∵ 当时，，解得： 当时，，解得： ∴当折叠后重合部分为五边形时，， （3）解：当时，折叠后重合部分为四边形， ， ∴，， 此时面积为 当且重合面积为三角形时，如图，设与交于点， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴当时，重合面积为． 6. （2026·天津武清·二模）将一个三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)点为上一动点，过点作直线直线，垂足为，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设折叠后重叠部分的面积为，． ①如图②，当折叠后重叠部分为四边形时，与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①， ② 【分析】（1）过点作轴垂线，构造直角三角形，利用等腰边角性质得底角，结合三角函数求出线段长度，换算得出、坐标； （2）①利用折叠、轴对称性质推导角度，判定直角三角形，用整体减局部列出重叠面积二次函数，结合图形临界确定范围； ②依据二次函数对称轴与区间，求解面积取值范围． 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， 在中， ∵，，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵点在轴正半轴上，点在第一象限， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）①解：由题可知， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，； ②解：∵， 当时，开口向下， ∴当时，有最大值，， ∵， ∴当时，有最小值，， ∴． 7. （2026·天津滨海新区·二模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点B在第一象限． (1)填空：如图①，线段的长为________，点B的坐标为________； (2)点P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l，直线l与射线交于点Q，°，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在第一象限，设． ①如图②，若直线l与边相交于点N，当折叠后四边形与平行四边形重叠部分为五边形时，与边和分别相交于点E和点M，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求折叠后重叠部分的面积S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据两点间距离公式求出，根据平行四边形的性质即可求出点B的坐标； （2）①过点C作轴于，根据平行四边形的性质，折叠的性质等可判断、、都是等腰直角三角形，则，，然后根据求解即可； ②分情况讨论：；；；分别作图，运用数形结合思路列式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：过点C作轴于， 则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠知：，，， ∴， ∴、、都是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ， 当时，P和A重合，此时重叠部分是四边形；当时，Q和C重合，此时重叠部分是四边形； ∴， ∴； ②当时，如图，重叠部分是， ∴， 当时，S随t的增大而增大， ∴当时，S取最小值为； 当时，S取最大值为， ∴； 当时，如图，重叠部分是四边形， ∴， 当时，S随t的增大而增大， ∴当时，S取最小值为； 当时，S取最大值为， ∴； 当时， 由①知：， ∴当时，S取最大值为；当或时，S取最小值为， ∴； 当时，如图，重叠部分为四边形， ∴， 当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S取最小值为； 当时，S取最大值为， ∴； 综上，当时，折叠后重叠部分的面积S的取值范围． 平移变换 考点02 1. （2026·天津河西·二模）将直线向下平移了6个单位长度，若平移后的直线不经过第四象限，则的值可以是_______（写出一个即可）． 【答案】7（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，在取值范围内任写一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，可得平移后直线的解析式为：， 平移后直线不经过第四象限，且一次项系数，说明直线与轴交点的纵坐标非负， 因此：， 解得， 故答案可以为7（答案不唯一，只要满足即可）． 2. （2026·天津武清·二模）若将直线向下平移个单位，平移后的直线经过第三、第四、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移法则求出平移后的直线解析式，再根据直线经过第三、第四、第一象限的性质得到得到的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线向下平移个单位长度， 平移后的直线解析式为， 平移后的直线经过第三、第四、第一象限，， ，解得， 的值可以取（答案不唯一，满足即可）． 3. （2026·天津滨海新区·二模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，解题思路是先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再代入交点坐标计算得到的值． 【详解】根据一次函数图象平移规则，直线上下平移时，一次项系数不变，只改变常数项，向下平移个单位长度，常数项减，原直线解析式为，向下平移个单位长度后，平移后直线的解析式为：， 已知平移后的直线与轴交于点，将代入平移后的解析式得：， 因此， 故答案为：． 4. （2026·天津东丽·二模）若将直线向下平移2个单位，平移后的直线经过原点，则m的值是_________． 【答案】2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后，得到的直线解析式为， 平移后的直线经过原点， 将代入得： ， 解得． 旋转变换 考点03 1. （2026·天津南开·二模）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. （2026·天津河西·二模）如图，矩形的边，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应顶点分别是，，，当点落在线段上时，与交于点，延长线交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B．是线段的中点 C． D．，，三点在一条直线上 【答案】C 【分析】由题意易得，，由旋转的性质可知：，，连接，，然后可得，，进而根据勾股定理及相似三角形的性质与判定可进行排除选项． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由旋转的性质可知：，， 连接，，如图， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴，，故C选项正确； ∴， ∴，故A选项错误； 在矩形中，， ∴，即， ∴， ∴点不是线段的中点，故B选项错误； 假设点A、D、F三点共线，则有，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴假设不成立，故D选项错误． 3. （2026·天津武清·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，若，则的长为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由旋转性质得出相关角度及线段长度，在中求出，进而由对顶角相等得出，在中，由含直角三角形性质求出，进而得出，在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ，且，， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ． 4. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转，使得点的对应点恰好落在对角线上，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作于点，由矩形的性质可得，由勾股定理可得，利用面积法可计算出，再使用勾股定理求出．由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得．容易证明，则，代入计算出即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， 在中，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5. （2026·天津红桥·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据旋转得出，，结合，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点D作， 在中，，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6. （2026·天津河东·二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，与相交于点，当平行于时，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，根据旋转的性质得到和的对应边和对应角相等，设，利用勾股定理列方程求出，再在中用勾股定理以及线段的和差求得． 【详解】解：，，， ， 绕点旋转得到， ，， 平行于， ， ， 设， 则， ， ， 即， 解得：， ． 三视图 考点04 1. （2026·天津东丽·二模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】 解：立体图形的主视图是． 2. （2026·天津红桥·二模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边有一个小正方形，则主视图为： 3. （2026·天津河北·二模）如图是一个由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，主视图就是从物体的正面看到的视图，根据几何体找到从物体正面看到的图形即可． 【详解】 解：该几何体的主视图为：，B选项符合． 4. （2026·天津河东·二模）如图是一个由9个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：根据立体图形可以知道主视图为： ，故选：D． 5. （2026·天津和平·二模）如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看到的视图是主视图． 根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：． 锐角三角函数 考点05 1. （2026·天津河西·二模）解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁， （I）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A'C'的位置时，A'C'的长为 ； （II）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°．已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数） 【答案】（1）23.5；（2）97m． 【分析】（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长； （2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可． 【详解】解：（I）∵点C是AB的中点， ∴A'C'=AB=23.5m． 故答案为：23.5； （II）如图，根据题意知，∠PMQ＝54°，∠PNQ＝73°，∠PQM＝90°，MN＝40． ∵在Rt△MPQ中，， ∴PQ＝MQ·tan54°． ∵在Rt△NPQ中，， ∴PQ＝NQ·tan73°， ∴MQ·tan54°＝NQ·tan73°． 又MQ＝MN＋NQ， ∴（40＋NQ）tan54°＝NQ·tan73°， 即． ∴（m）． 答：解放桥的全长PQ约为97m． 2. （2026·天津滨海新区·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量滨海新区的地标性建筑津沽棒的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在点处测得津沽棒建筑顶部的仰角为，在点处测得津沽棒建筑顶部的仰角为，，根据实践小组测得的数据，计算津沽棒建筑的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】531米 【分析】解：连接，交于H，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，结合，得出，求出，即可求解． 【详解】解：连接，交于H， 根据题意，得，，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 即津沽棒建筑的高度约为531米． 3. （2026·天津东丽·二模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，， 在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数）； （参考数据： ，，，） 【答案】(1) (2)建筑物的高度约为 【分析】（1）利用中的正弦求解即可； （2）过点作于点，先判断四边形四边形是矩形，求出，证明，得到，，最后在中，利用求解即可. 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴ ； （2）解：过点作于点，根据题意， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 在 中，， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 在中，， ∴，        ∴，         解得，              答：建筑物的高度约为 ． 4. （2026·天津河东·二模）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米 【分析】过点C作于点G，过点B作于点H，则四边形为矩形，从而可得，，由题意得米，米，，，再分别解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：过点C作于点G，过点B作于点H，如图： 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意得米，米，，， 在中，∵， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米． 5. （2026·天津和平·二模）天津大沽灯塔是我国自主设计、建造的第一座海上灯塔，年被列为天津市不可移动文物．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏东方向 时，渔船航行至灯塔南偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东南方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，）： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离（结果取整数）； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】（1）根据速度及时间求出，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出，即可求出海里，得出从到达码头所用时间为小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，从处到处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从到达码头所用时间为（小时）， ∵到是小时，， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 30/36 31/36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题5图形的变化 考点01 对称变换 1.D 2.B 3.四1,34,3] 73s≤3 (2①0E=2t-5,3<t<5,② 4.(2,0 53 2’6 ②Hp=3 t, 6 3<t<4 Q% s5s3V3 24 7 5.(1)4, 3,1225 43 (2②GH=23t+8.163 t的取值范围 8-45<t< 3 (3)2 6. 四23,0R3,1 a0s=3+3t3, 25<t<43 4 2 2 3 @.93+55 164 4 7. (002V2'5,2 ②0s=+t.73<t<4:@4≤5≤15 224 9 8 考点02 平移变换 1.7(答案不唯一，满足b≥6即可) 1/2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m<2即可) 21（答案不唯一，满足 3.-3 4.2 考点03 旋转变换 1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 考点04 三视图 1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 考点05 锐角三角函数 1.(1)23.5: (2)97m. 2.531米 3.(1)16 (2)建筑物DC的高度约为27m 4.ADDC和BC这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米 5.(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 2/2 专题05 图形的变化 5大考点概览 考点01对称变换 考点02 平移变换 考点03 旋转变换 考点04 三视图 考点05 锐角三角函数 对称变换 考点01 1. （2026·天津河西·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（  ）． A． B． C． D． 2. （2026·天津武清·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3. （2026·天津和平·二模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，顶点，都在第一象限，，，． (1)填空：如图①，点的坐标为____，点的坐标为___； (2)若点在边上（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后四边形与梯形重叠部分为四边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 4. （2026·天津河西·二模）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点．动点从点出发沿轴负方向运动，为边上的点，且，以所在直线为折痕折叠该纸片，点的对应点为，点的对应点为．设． (1)如图①，当时，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，折痕与边交于点，分别与边，相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)设折叠后重合部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 5. （2026·天津河东·二模）将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，点，点，动点D在边上，折叠该纸片，使折痕所在直线经过点D，并与射线交于点E，且，点A的对应点为，设． (1)如图①，当时，填空：线段的长为_____，线段的长为_____，点的坐标为_____． (2)如图②，若折叠后重合部分为五边形，点O的对应点为，分别与边，交于点G，H，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是_____．（直接写出结果即可） 6. （2026·天津武清·二模）将一个三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)点为上一动点，过点作直线直线，垂足为，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设折叠后重叠部分的面积为，． ①如图②，当折叠后重叠部分为四边形时，与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 7. （2026·天津滨海新区·二模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点B在第一象限． (1)填空：如图①，线段的长为________，点B的坐标为________； (2)点P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l，直线l与射线交于点Q，°，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在第一象限，设． ①如图②，若直线l与边相交于点N，当折叠后四边形与平行四边形重叠部分为五边形时，与边和分别相交于点E和点M，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求折叠后重叠部分的面积S的取值范围（直接写出结果即可）． 平移变换 考点02 1. （2026·天津河西·二模）将直线向下平移了6个单位长度，若平移后的直线不经过第四象限，则的值可以是_______（写出一个即可）． 2. （2026·天津武清·二模）若将直线向下平移个单位，平移后的直线经过第三、第四、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 3. （2026·天津滨海新区·二模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 4. （2026·天津东丽·二模）若将直线向下平移2个单位，平移后的直线经过原点，则m的值是_________． 旋转变换 考点03 1. （2026·天津南开·二模）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2. （2026·天津河西·二模）如图，矩形的边，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应顶点分别是，，，当点落在线段上时，与交于点，延长线交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B．是线段的中点 C． D．，，三点在一条直线上 3. （2026·天津武清·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，若，则的长为（     ） A． B． C．1 D． 4. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转，使得点的对应点恰好落在对角线上，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 5. （2026·天津红桥·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．12 B． C．15 D． 6. （2026·天津河东·二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，与相交于点，当平行于时，则的长是（   ） A． B． C． D． 三视图 考点04 1. （2026·天津东丽·二模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 2. （2026·天津红桥·二模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 3. （2026·天津河北·二模）如图是一个由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ） A．B． C． D． 4. （2026·天津河东·二模）如图是一个由9个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A．B．C．D． 5. （2026·天津和平·二模）如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C．D． 锐角三角函数 考点05 1. （2026·天津河西·二模）解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁， （I）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A'C'的位置时，A'C'的长为 ； （II）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°．已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数） 2. （2026·天津滨海新区·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量滨海新区的地标性建筑津沽棒的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在点处测得津沽棒建筑顶部的仰角为，在点处测得津沽棒建筑顶部的仰角为，，根据实践小组测得的数据，计算津沽棒建筑的高度（结果取整数）．参考数据：，． 3. （2026·天津东丽·二模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，， 在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数）； （参考数据： ，，，） 4. （2026·天津河东·二模）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 5. （2026·天津和平·二模）天津大沽灯塔是我国自主设计、建造的第一座海上灯塔，年被列为天津市不可移动文物．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏东方向 时，渔船航行至灯塔南偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东南方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，）： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离（结果取整数）； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． 8/9 9/9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $