6.4.1平面几何中的向量方法（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 围绕“平面几何中的向量方法”，通过基础应用、综合提升、拓展创新三层设计，覆盖垂直证明、夹角计算等六类题型，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养数学推理与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一向量应用（垂直、夹角、长度）|3题型9题，直接应用向量数量积与模长公式，巩固运算能力| |提升层|几何最值与综合判定|2题型6题，结合函数思想解决动态几何问题，发展推理意识| |综合层|解析法与高考真题应用|1题型6题，融入坐标法与高考真题，强化模型观念与应用意识|

6.4.1平面几何中的向量方法 题型一 用向量证明线段垂直 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2-22高一下·四川·阶段检测）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 题型二 用向量解决夹角问题 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．（2015·陕西·模拟预测）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（20-21高二·全国·课后作业）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 题型三 用向量解决线段的长度问题 7．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）中，，是边的中点．若，，则的长等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（25-26高一下·河北衡水·期中）在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 题型四 向量与几何最值 10．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ）. A．3 B． C．6 D． 12．（24-25高一下·海南·阶段检测）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型五 向量在几何中的其他应用 13．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 14．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 题型六 解析法在向量中的应用 16．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高三上·安徽淮南·阶段检测）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 18．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 19．（25-26高一下·云南楚雄·期中）在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 20．（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 21．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）在中，，作交于，若，则为_________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1平面几何中的向量方法 题型一 用向量证明线段垂直 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 3．（21-22高一下·四川·阶段检测）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形ABCD为平行四边形， , ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形. 故选：B 题型二 用向量解决夹角问题 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，进而由求出与的夹角. 【详解】，两边平方得 ， 又， ，， 所以，故， ，即， 设与的夹角为，所以， 所以，解得， 又，所以， 故与的夹角为. 5．（2015·陕西·模拟预测）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解. 【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反， 当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得， 故选：A 6．（20-21高二·全国·课后作业）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 故选：B 题型三 用向量解决线段的长度问题 7．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）中，，是边的中点．若，，则的长等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】结合三角形中线性质和平面向量基本定理用表示，再对等式平方运算求解即可. 【详解】由，可得， 则 ， 所以，即的长为. 8．（25-26高一下·河北衡水·期中）在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 9．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 题型四 向量与几何最值 10．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C    11．（2025高一·全国·专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ）. A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义可知的最小值就是点到直线的距离 【详解】设，则为直线上的动点，,如图.   的最小值为点到直线的距离， 根据，，得. 故选：A． 12．（24-25高一下·海南·阶段检测）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 题型五 向量在几何中的其他应用 13．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 14．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    15．（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据向量的减法法则可得，化简可得，即可得出结果. 【详解】解：由题意可知：， 故，则， 故，即△ABC为直角三角形. 故选：D 题型六 解析法在向量中的应用 16．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 17．（21-22高三上·安徽淮南·阶段检测）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形. 【详解】不妨设中，，边长，边长， 以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系 则、、, ,设，则 故 可得，故 的面积为， 的面积为 则与的面积之比为 故选：C 18．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断. 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 19．（25-26高一下·云南楚雄·期中）在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则    设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 20．（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 / 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 21．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）在中，，作交于，若，则为_________． 【答案】 【分析】设基底 ，由垂直得 ，结合在上设参数，利用 列方程解出 ，最后化得代入即得. 【详解】   设，，则，记. 由得. 因为，所以. 点在上，可设. 则，解得. 又 ，故. 计算得，所以. 而，代入得. 两边平方得， 即 ，故 ，. 由于. 由得 ，代入得. 因为，所以. 综上，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $