6.4.1平面几何中的向量方法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边上的中线AD的长是（　　） A.2 B. C.3 D. 2.若＝2e1，＝－3e1，｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是（　　） A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形 3.在四边形ABCD中，若＋＝0，且｜－｜＝｜＋｜，则该四边形是（　　） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 4.已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A等于（　　） A. B. C. D. 5.若O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则O是△ABC的（　　） A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 6.如图所示，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 7.若M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　） A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 8.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则等于（　　） A.2 B.4 C.5 D.10 9.（多选）已知O是四边形ABCD内一点，若＋＋＋＝0，则下列说法中，错误的有（　　） A.四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD对角线的交点 C.四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的对边中点连线的交点 10.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的（　　） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 二、填空题 11.在四边形ABCD中，若＝（1，3），＝（－6，2），则该四边形的面积为 . 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝ . 13.已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2，则·＝ . 三、解答题 14.如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，证明：AD⊥BC. 15.已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF.证明：∠ADB＝∠FDC. 16.如图所示，O是平行四边形ABCD的中心，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝. 证明：点E，O，F在同一直线上. 参 考 答 案 一、选择题 1.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边上的中线AD的长是（　B　） A.2 B. C.3 D. 解析： BC的中点为D，＝，∴＝. 2.若＝2e1，＝－3e1，｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是（　C　） A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形 解析： 由于＝－，∴∥，且｜｜≠｜｜，∴四边形ABCD是梯形.又｜｜＝｜｜，即梯形的两腰长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形. 3.在四边形ABCD中，若＋＝0，且｜－｜＝｜＋｜，则该四边形是（　C　） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 解析： ∵｜－｜＝｜＋｜，∴（－）2＝（＋）2，＋－2·＝＋＋2·，整理可得·＝0，易知，均为非零向量，则⊥，∵＋＝0，∴AB∥CD，且｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD为矩形. 4.已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A等于（　A　） A. B. C. D. 解析： ∵·＝｜｜·｜｜·cos∠BOC＝2cos∠BOC＝－1， ∴cos∠BOC＝－，∴∠BOC＝，∴A＝∠BOC＝. 5.若O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则O是△ABC的（　B　） A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 解析： ∵·＝·，∴（－）·＝0，即·＝0，∴OB⊥AC. 同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心. 6.如图所示，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是（　B　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析： ＝＋，＝＋，且＝－，∴·＝（＋）·（＋）＝－＝－1＝－. 7.若M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为（　B　） A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 解析： 如图所示，D为BC边的中点，则＝＋）. ∵3－－＝0，∴3＝2，∴＝，∴S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 8.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则等于（　D　） A.2 B.4 C.5 D.10 解析： 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，＝＝＝＝－6＝42－6＝10. 9.（多选）已知O是四边形ABCD内一点，若＋＋＋＝0，则下列说法中，错误的有（　ABC　） A.四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD对角线的交点 C.四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的对边中点连线的交点 解析： 对于A，若四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心，则必有＋＋＋＝0，但反过来，由＋＋＋＝0推不出四边形ABCD为正方形，故A错误；对于B，C，D，设AB，CD的中点分别为E，F，连接OE，OF，由向量加法的平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，∴＋＝0，即O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，连接OM，ON，由向量加法的平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，即O是MN的中点，∴O是EF，MN的交点，B，C错误，D正确. 10.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的（　C　） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 解析： 假设BC的中点是O，则－＝（＋）·（－）＝2·＝2·，即（－）·＝·＝0，∴⊥，∴动点M在线段BC的垂直平分线上，∴动点M形成的图形必经过△ABC的外心. 二、填空题 11.在四边形ABCD中，若＝（1，3），＝（－6，2），则该四边形的面积为　10　. 解析： ∵·＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝××2＝10. 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝　1　. 解析： 如图所示，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0）. 设AD＝a，则C（1， a），＝（1，a），＝（－1，a）.∵AC⊥BC，∴⊥，∴·＝－1＋a2＝0，∴a＝1（负值已舍去），即AD＝1. 13.已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2，则·＝　－4　. 解析： ∵O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，∵＋＝2，－＝2，将两式平方再相减，得·＝－＝－＝1－（）2＝－4. 三、解答题 14.如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，证明：AD⊥BC. 证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝（e＋c）2－（e＋d）2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知条件可得a2－b2＝c2－d2，∴e·（c－d）＝0.∵＝＋＝d－c，∴·＝e·（d－c）＝0，∴⊥， 即AD⊥BC. 15.已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF. 证明：∠ADB＝∠FDC. 证明：如图所示，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 设A（0，2），C（2，0），则D（1，0），＝（2，－2）. 设＝λ，则＝＋＝（0，2）＋（2λ，－2λ）＝（2λ，2－2λ），又＝（－1，2），由题设⊥，∴·＝0， ∴－2λ＋2（2－2λ）＝0，∴λ＝，∴＝，∴＝－＝，又＝（1，0），∴cos∠ADB＝＝，cos∠FDC＝＝，又∠ADB，∠FDC∈（0， π），∴∠ADB＝∠FDC. 16.如图所示，O是平行四边形ABCD的中心，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝. 证明：点E，O，F在同一直线上. 证明：设＝m，＝n，由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， ∴＝＋＝＋＝－m＋（m＋n）＝m＋n，＝＋＝＋＝（m＋n）－m＝m＋n，∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $