6.4.1 平面几何中的向量方法+6.4.2 向量在物理中的应用举例 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1　平面几何中的向量方法　6.4.2　向量在物理中的应用举例 一、必备知识基础练 1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=(　　) A.- B. C.0 D. 2.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　) A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 3.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是(　　) A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点 C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点 4.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于　　　　　.  5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的垂直平分线上,求x的值. 6.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE. 7.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向. 二、关键能力提升练 8.(2025吉林长春高二检测)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD于点E,则=(　　) A. B. C. D. 9.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 10.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,点F是BC边上的中点. (1)若点E满足=2,且=λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P是线段AF上的动点(含端点),求的取值范围. 11.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1,F2分别对质点所做的功的大小; (2)求F1,F2的合力F对质点所做的功的大小. 12.如图,已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M.求证:AC,BD互相平分. 答案 1.B　解析 如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4). ∴=(-3,-4),=(3,-4). 又∠BDC为的夹角, ∴cos∠BDC=. 2.B　解析 由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图. ∴|v|==2(m/s). 3.ABC　解析 由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,则=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点. 4.　解析 设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ, ∴cos θ=. 又θ∈[0,π],∴θ=. 5.解 设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),, 则=0, 所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0, 解得x=. 6.证明 =()·() = = = =-|2+|2. 因为CA=CB,所以-|2+|2=0, 故AD⊥CE. 7.解 设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1. 如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v. ∵, ∴=v-v1. 这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度. ∵, ∴=v-2v1. 这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速. 由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC, ∴△DCA为等腰直角三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°, ∴DA=DC=BC. ∴|v|=20 km/h. ∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风. 8.D　解析 以点B为原点,以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1). 设E(x,y),则=(x,y-1),=(x,y),=(2,1), ∵AE⊥BD,∴, ∴解得 ∴E(),=(,-). 在矩形ABCD中,O为BD的中点,所以O(1,), 由A(0,1),所以=(1,-),×1+(-)×(-)=.故选D. 9.AC　解析 设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ(0<θ<),则|F|cos θ=|f|, ∴|F|=. ∵当θ增大时,cos θ减小, ∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大, ∴船的浮力减小. 10.解 (1)如图. 由=2,可得, 所以)=, 又=λ+μ,可得λ=,μ=-, 所以λ+μ=-. (2)(方法一)以A为坐标原点,分别以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),则F(3,1), 由P是线段AF上的动点(含端点),可令=t,t∈[0,1], 所以=t=(3t,t),则=(3t,t-2), 所以=10t2-2t,t∈[0,1]. 由二次函数性质可得当t=时取得最小值-; 当t=1时取得最大值8; 可得. (方法二)取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,如图, 则=()·()=+·()+-1, 显然当点P位于点F时,PM取到最大值3,当点P位于点G时,PM取到最小值,可得∈[-,8]. 11.解 (1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15), W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99, W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3. ∴力F1,F2对质点所做的功的大小分别为-99和-3. (2)W=F·=(F1+F2)· =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102. ∴合力F对质点所做的功的大小为-102. 12.证明 设=x=y,则=x=x+x +y+y()=(1-y)+y, 所以 解得 所以M是AC和BD的中点,即对角线AC和BD在交点M处互相平分. 6 学科网（北京）股份有限公司 $