6.3.5 平面向量数量积的坐标表示分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 一、必备知识基础练 1.(探究点一(角度1))已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 2.(探究点二)已知=3,且=(-2,1),则||=(　　) A.4 B.3 C.3 D.3 3.(探究点一(角度1))已知向量a=(2,n),b=(-1,2),c=(n,n),若a∥b,则a·(2b+c)=(　　) A.-12 B.24 C.-24 D.12 4.(探究点三)设向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-).若b⊥c,则a-b与c的夹角为(　　) A.0° B.30° C.60° D.90° 5.(多选题)(探究点二、三·2025河北保定高一期中)已知向量a=(4,2),b=(-6,2),则(　　) A.|a+b|=20 B.与向量a共线的单位向量是() C.(a+b)⊥a D.向量a在向量b上的投影向量是-b 6.(探究点二)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　　.  7.(探究点二、三)设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=　　　　　,cos θ=　　　　　.  8.(探究点一(角度2)·2025浙江舟山高一期末)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2CD=2,点F是BC边上的中点,点E是CD边上一个动点(包括端点C,D),则的取值范围是　　　　　.  9.(探究点一(角度2)·2025广东深圳高一期中)在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD上靠近点C的三等分点,=λ+μ. (1)求λ+μ的值; (2)若F为线段BE上的动点,点F可以与点B,E重合,G为AF的中点,求的最小值. 二、关键能力提升练 10.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是(　　) A.若a∥b,则t的值为- B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2 C.|a+b|的最小值为1 D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2) 11.已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点,若AB=2,∠BAD=60°,则=(　　) A.-2 B.- C.- D. 12.(多选题)已知向量a=(sin θ,cos θ),b=(1,),c=(3,),则下列选项正确的是(　　) A.若a∥b,则θ= B.b在c上的投影向量为c C.存在θ,使得a在c-b上的投影向量的模为1 D.|a-b|的取值范围为[1,3] 13.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc).若p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　　.  14.(2025天津南开高一期中)已知扇形AOB半径为1,∠AOB=60°,上的点P满足=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值是　　　　 ;的最小值是　　　　 .  15.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R). (1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值. (2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由. 三、学科素养创新练 16.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 参考答案 1.B　∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B. 2.D　由=3,得=3,又=(-2,1),所以=3=(-6,3),故||==3.故选D. 3.A　因为a∥b,所以2×2-(-1)×n=0,解得n=-4,故a=(2,-4),c=(-4,-4),所以a·(2b+c)=(2,-4)·[2×(-1,2)+(-4,-4)]=(2,-4)·(-6,0)=-12.故选A. 4.D　根据题意,设a-b与c的夹角为θ,b=(x,-3),c=(1,-),b⊥c,则b·c=x+3=0,解得x=-3,则b=(-3,-3),a-b=(4,4),则(a-b)·c=(4,4)·(1,-)=4-4=0,所以(a-b)⊥c. 因为θ∈[0°,180°],所以θ=90°.故选D. 5.CD　因为a=(4,2),b=(-6,2),所以a+b=(4,2)+(-6,2)=(-2,4),则|a+b|==2,A错误; 又|a|==2,则与向量a共线的单位向量为±,即()或(-,-),B错误; 因为(a+b)·a=4×(-2)+2×4=0,所以(a+b)⊥a,C正确; 因为a·b=4×(-6)+2×2=-20,|b|2=(-6)2+22=40,所以向量a在向量b上的投影向量是·b=-b,D正确.故选CD. 6.-2　(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2. ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2. (方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2, 得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2. 7.　1　设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),∴解得∴|b|=,cos θ==1. 8.[-]　以A为坐标原点,所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),F(), 设E(x,1),x∈[0,1],=(-x,-1),=(-x,-),所以=x(x-)+=(x-)2-. 因为x∈[0,1], 所以=(x-)2-∈[-]. 9.解(1)以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E(-,1),可得=(-1,0),=(0,1),=(-,1), 因为=λ+μ=(-λ,μ), 则所以λ+μ=. (2)因为点F在线段BE:y=-3x,x∈[-,0]上, 所以可设F(a,-3a),a∈[-,0],且G为AF的中点,则G(,-a),可得=(a+1,-3a),=(,-a-1),则+(-3a)·(-a-1)=5(a+)2-,因为函数y=5(a+)2-,a∈[-,0]单调递增, 所以当a=-时,取到最小值,为-. 10.D　选项A中,若a∥b,则-2×t=1×1,即t=-,选项A正确.选项B中,若|a+b|=|a-b|,两边平方并化简,得a·b=0,即-2+t=0,即t=2,选项B正确.选项C中,|a+b|=|(-1,1+t)|=,当t=-1时,有最小值1,选项C正确.选项D中,若a与b的夹角为钝角,则选项D不正确.故选D. 11.B　如图,以点O为坐标原点,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由AB=2,∠BAD=60°,得A(0,),B(-1,0),D(1,0),E(0,),所以=(-1,-),=(-1,), 所以=1-=-.故选B. 12.BCD　对于A,若a∥b,则sin θ-cos θ=0,则tan θ=,故A错误; 对于B,b在c上的投影向量为(|b|cos<b,c>)=(|b|=(c,故B正确; 对于C,c-b=(2,0),所以a在c-b上投影向量的模为|a||cos<a,c-b>|==|sin θ|,当θ=时,sin θ=1,所以存在θ,使得a在c-b上投影向量的模为1,故C正确; 对于D,向量a=(sin θ,cos θ),b=(1,),|a-b|=,因为sin(θ+)∈[-1,1],则|a-b|∈[1,3],故D正确.故选BCD. 13.(-2,1)　设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴∴q=(-2,1). 14.　由题设,构建如图所示的平面直角坐标系,且A(),B(1,0).若∠POB=θ∈[0,], 则P(cos θ,sin θ),=(),=(1,0),=(cos θ,sin θ),由=λ+μ(λ,μ∈R),得(cos θ,sin θ)=λ()+μ(1,0),即cos θ=+μ,sin θ=λ,解得λ=sin θ,μ=cos θ-sin θ,故λ+μ=sin θ+cos θ=sin θ+cos θ)=sin(θ+),所以当θ=时,(λ+μ)max=. =(-cos θ,-sin θ)·(1-cos θ,-sin θ)=(-cos θ)(1-cos θ)+(-sin θ)(-sin θ)=cos2θ-cos θ++sin2θ-sin θ=sin θ-cos θ=sin(θ+), 所以当θ=时,取得最小值是. 15.解(1)当α=时,b=,a·b=, ∴|m|=,∴当t=-时,|m|取得最小值. (2)存在.假设存在满足条件的实数t. 由条件得cos,∵a⊥b,∴a·b=0,则|a-b|=,|a+tb|=,(a-b)·(a+tb)=5-t,∴. ∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=. ∴存在t=满足条件. 16.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n, ∴m·n=sin x-cos x=0,即sin x=cos x, ∴tan x==1. (2)由题意知,|m|==1,|n|==1,m·n=sin x-cos x=sin. 而m·n=|m|·|n|cos=cos. ∴sin.又x∈,x-, ∴x-,∴x=. 9 学科网（北京）股份有限公司 $