专题04 图形的性质（4大考点）（天津专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 天津各区县2026届二模数学试题汇编，聚焦图形性质，涵盖三角形、四边形、圆的构图与计算，注重动手操作与动态问题，适配中考二模复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|13道|三角形尺规作图（如考点01第1题）、四边形旋转（如考点02第1题）|结合作图步骤考查推理，动态动点问题（如三角形动点t）| |填空|9道|圆与网格作图（如考点03第1题）、四边形中点计算（如考点02第3题）|无刻度直尺作图，综合几何性质应用| |解答|5道|圆与切线计算（如考点04第1题）、直径与平行四边形综合（如考点04第2题）|多图变式，结合切线、直径等核心性质|

专题04 图形的性质 4大考点概览 考点01三角形 考点02 四边形 考点03 圆与构图 考点04 圆与计算 三角形 考点01 1. （2026·天津河西·二模）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段和，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的一点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则的长为（     ） A．6 B．5 C． D． 2. （2026·天津武清·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3. （2026·天津滨海新区·二模）如图，已知，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线交边于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 4. （2026·天津河北·二模）如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 6. （2026·天津河东·二模）如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7. （2026·天津南开·二模）如图，在平面直角坐标系中，原点，点A，点B均在x轴上．点C在y轴上，直线的解析式，直线的解析式．动点P从点A出发，沿着线段，线段，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点M，作于点N．若设P点运动时间为．有下列结论： ①当时，； ②四边形的面积的最大值为2； ③t有两个不同的值满足四边形的面积为， 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 四边形 考点02 1. （2026·天津红桥·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．12 B． C．15 D． 2. （2026·天津宁河·二模）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 3. （2026·天津河西·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，点是的中点，连接并延长交边于点．若，． （1）的长度为________； （2）线段的长为________． 4. （2026·天津武清·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 5. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为中点，点为中点． （1）线段的长为__________； （2）为中点．连接，点在上，且，则的长为__________． 6. （2026·天津红桥·二模）如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，连接，． （I）的大小为________（度）； （II）若，则线段的长为________． 圆与构图 考点03 1. （2026·天津武清·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B，C在网格线上，的外接圆交网格线于点D，且D为网格线中点，的外接圆圆心为O． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）上有一点P，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________． 2. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．为的直径，点M在线段上． （1）线段的长为__________； （2）请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，满足的值最小，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）__________ 3. （2026·天津河北·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点和点是格点，是圆的直径，点在上，射线交圆于点，点，点是圆与格线的交点． （Ⅰ）点和点的距离为______； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于10）______． 4. （2026·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 5. （2026·天津河西·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点为格点，过点的圆上有点，，，且于，连接，． (1)写出图中与互余的角为________； (2)若弦上有一点，当最短时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（画线不超过10条，不要求证明）． 圆与计算 考点04 1. （2026·天津河西·二模）已知为的直径，又以为边的平行四边形． (1)如图①，当点在上，边与交于点时，与交于，若，求和的大小； (2)如图②，当边与相切于点，边交于点时，若，的半径为，求的长． 2. （2026·天津武清·二模）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 3. （2026·天津滨海新区·二模）已知是的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作交于点，连接，若，，求的长． 4. （2026·天津红桥·二模）已知点，在以为直径的上，，过点作的切线与的延长线相交于点． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，若四边形是平行四边形，，求线段的长． 5. （2026·天津河北·二模）已知，在中，直径弦，垂足为点，连接是的弦． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图2，直线切于点，与的延长线交于点，连接，若，，，求的大小和线段的长． 2/9 1/9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质 三角形 考点01 1. C 2. D 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 四边形 考点02 1. B 2.C 3. ； 4. 3 ； 5. ； 6. 45 ； 圆与构图 考点03 1. 取格点，，连接，交于点，，连接交于点，连接并延长交于点，延长交网格线于点，连接交于点，点即为所求． 2. 取格点，，连接并延长交于点H，连接交格线于点P，连接交格线于点Q，连接并延长交于点，则点即为所求 3. 取格点，作射线交于点，连接交于点，连接，作射线交于点，作射线交圆于点，点即为所求． 4. 图见解析，取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 5. (1)， (2)如图，点P即为所求． 如图，取格点使得，连接并延长交格线于点H，连接交格线于点K，连接交于I，连接并延长与的交点即为所求点P． ， 圆与计算 考点04 1. (1)， (2) 2. (1)， (2)， 3. (1) (2) 4. (1) (2) 5. (1) (2)， 2/2 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质 4大考点概览 考点01三角形 考点02 四边形 考点03 圆与构图 考点04 圆与计算 三角形 考点01 1. （2026·天津河西·二模）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段和，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的一点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则的长为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知平分，则根据角平分线的性质定理可得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得． 2. （2026·天津武清·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题中作图，结合三角形全等的判定与性质得到，逐项验证各个选项即可得到答案． 【详解】解：由题中的作图可知，， ， ，则， A、题中无法确定，不一定成立； B、由于，而题中无法确定，则不一定成立； C、由等腰三角形三线合一性质得到，而题中无法确定，则不一定成立； D、由于、，则一定成立． 3. （2026·天津滨海新区·二模）如图，已知，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线交边于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由尺规作图可得平分，垂直平分，容易证明，进而证明四边形是菱形，则，．由平行可判定，则，计算得，用勾股定理计算出后，求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接、， 根据题意可知，平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得， 由勾股定理可得，， ∴． 4. （2026·天津河北·二模）如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定和性质，根据作图得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于D选项，∵根据作图，可知， ∴， ∴．故D选项正确． 对于A选项，得不出，故A选项错误； 对于B选项，只有当F为中点时，才成立，故B选项错误； 对于C选项，点不与点重合，没有条件证明，故C选项错误． 5. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意表示出和，对于①，使用勾股定理进行计算即可；对于②，容易得到，根据二次函数的性质计算最值即可；对于③，在②的基础上，写出四边形的面积的表达式，代入求值并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 对于①，当时，，， 由勾股定理可得，，故①错误； 对于②，， ∵， ∴当时，取得最大值，故②正确； 对于③，由②可知，， ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴③正确； 综上，正确的结论有2个． 6. （2026·天津河东·二模）如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据提供的信息分析两点运动的时间与路程，再利用面积公式求三角形面积，根据二次函数的性质求最值，解一元二次方程． 【详解】解：①当时，，， ∴，， ∴， 故①正确； ②由题意知，，， 如图，过点作，过点A作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，为， ∵， ∴当时，的最大面积不是， 故②错误； ③由②知， 当的面积为时，， 解得或， 即t有两个不同的值满足的面积为， 故③正确． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 7. （2026·天津南开·二模）如图，在平面直角坐标系中，原点，点A，点B均在x轴上．点C在y轴上，直线的解析式，直线的解析式．动点P从点A出发，沿着线段，线段，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点M，作于点N．若设P点运动时间为．有下列结论： ①当时，； ②四边形的面积的最大值为2； ③t有两个不同的值满足四边形的面积为， 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先计算相关边长，易得四边形为矩形，对于①，当时，，再解即可得到，进而得到；对于②，分、两种情况，得到，进而得到四边形面积的表达式，结合二次函数最值即可判断；对于③，结合②的结论，直接解方程即可判断． 【详解】解：由题可知，， 则，故为等腰直角三角形， ，， ，又，， 四边形为矩形， ①当时，，又，， ，又四边形为矩形， ，故①正确； ②当时，在上，，则， ， ， 当时，四边形的面积的最大，最大值为； 当时，在上，， 又， ， ， 当时，四边形的面积的最大，最大值为； 综上，四边形的面积的最大值为2，故②正确； ③当时，， 即，解得或（舍去）， 当时，， 解得或（舍去）， 综上，t有两个不同的值满足四边形的面积为，故③正确． 四边形 考点02 1. （2026·天津红桥·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据旋转得出，，结合，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点D作， 在中，，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 2. （2026·天津宁河·二模）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 3. （2026·天津河西·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，点是的中点，连接并延长交边于点．若，． （1）的长度为________； （2）线段的长为________． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质以及勾股定理即可求得的长； （2）如图：连接，先证明可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，即，设，则；根据勾股定理列方程可得，即，最后利用勾股定理求线段的长． 【详解】解：（1）∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 4. （2026·天津武清·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（Ⅰ）过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形性质解答； （Ⅱ）作，结合第一问结论判定等腰直角三角形，得到、长度；再证四边形为正方形，利用中点求，最后由勾股定理算出． 【详解】解：过点作交延长线于点， ， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ． 过点F作于点， ， 四边形是正方形， ， 又∵， 四边形是矩形， ∵, ∴四边形是正方形， ， ∵，H是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 5. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为中点，点为中点． （1）线段的长为__________； （2）为中点．连接，点在上，且，则的长为__________． 【答案】 【分析】（1）连接、，由菱形的性质容易证明是等边三角形，结合点为中点可得，，，使用勾股定理计算出，进而计算出； （2）作于点，设，同理（1）可得是等边三角形，则，，使用勾股定理计算出，则．由等腰三角形的性质可得，则，利用三角函数可表示出，，构造方程求出的值，再使用勾股定理计算出． 【详解】解：（1）如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点为中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，； （2）如图，作于点，设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， 又∵点为中点， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，解得， 由勾股定理可得，． 6. （2026·天津红桥·二模）如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，连接，． （I）的大小为________（度）； （II）若，则线段的长为________． 【答案】 45 【分析】（I）由正方形得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据矩形得到，根据角的和差即可求解； （II）根据矩形的性质，勾股定理得到，由角平分线的定义得到是等腰直角三角形，可算出，过点作，则是等腰直角三角形，四边形是矩形，由此得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（I）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （II）∵四边形是正方形， ∴，， 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴在等腰中，， 过点作， ∴，是等腰直角三角形， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴在中，． 圆与构图 考点03 1. （2026·天津武清·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B，C在网格线上，的外接圆交网格线于点D，且D为网格线中点，的外接圆圆心为O． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）上有一点P，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________． 【答案】 取格点，，连接，交于点，，连接交于点，连接并延长交于点，延长交网格线于点，连接交于点，点即为所求． 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算的长即可； （Ⅱ）根据垂径定理及圆的对称性，作点A关于圆心O的对称点H，则为直径，再作点D关于的对称点P，则，利用网格特性找到点H和点P即可． 【详解】解：∵每个小正方形边长为1，D为网格线中点， ∴由勾股定理： （Ⅱ）如图，取格点E，F，连接交于点M，N，连接交于点O，连接并延长交于点H，延长交网格线于点Q，连接交于点P，点P即为所求． 2. （2026·天津滨海新区·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．为的直径，点M在线段上． （1）线段的长为__________； （2）请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，满足的值最小，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）__________ 【答案】 取格点，，连接并延长交于点H，连接交格线于点P，连接交格线于点Q，连接并延长交于点，则点即为所求 【分析】（1）根据网格特点，利用勾股定理计算的长即可； （2）要求的最小值，需将转化为某条线段．构造，则到的距离为．问题转化为求到的垂线段长度．利用为直径，，故过作的平行线即为到的垂线方向，根据三角形的中位线构造出平行线，该平行线与的交点即为．点H可通过作的垂直平分线与圆的交点得到，此时为等边三角形，，进而推得． 【详解】（1）解：由网格图可知，，两点间的水平距离为，垂直距离为， 根据勾股定理，． （2）解：取格点，，连接并延长交于点H，连接交格线于点P，连接交格线于点Q，连接并延长交于点，则点即为所求． 理由如下： 连接，， 由作图可知，四边形是正方形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴． ∵是直径， ∴ 由网格特点可得，点是的中点， ∵点O是的中点， ∴， 过点M作于点N， ∴， ， ∵， ∴， ∴点O，M，H三点共线， ∴， 根据垂线段最短，为最小值，即为最小值． 3. （2026·天津河北·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点和点是格点，是圆的直径，点在上，射线交圆于点，点，点是圆与格线的交点． （Ⅰ）点和点的距离为______； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点，使得，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于10）______． 【答案】 取格点，作射线交于点，连接交于点，连接，作射线交于点，作射线交圆于点，点即为所求． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求距离即可； （Ⅱ）由题可知，在网格线上，要使得，即过作的平行线，然后根据塞瓦定理作平行线即可． 【详解】解：（Ⅰ）； （Ⅱ）由题可知，在网格线上，要使得，即过作的平行线即可， 根据塞瓦定理作平行，取格点，作射线交于点，连接交于点， 连接，作射线交于点，作射线交圆于点，则， 又，则，故点即为所求． 4. （2026·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为___； （2）经过点，的圆与网格线相交于点，与相交于点，圆心记为．点在上．满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）____． 【答案】 图见解析，取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接，，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求；由90度的圆周角所对的弦是直径可得是直径，由平行线分线段成比例定理可证明点O为的中点，则点O为圆心，同理可证明K、L分别是的中点，则可得到，则垂直平分，则，故，进而可得，再由得到，则，即． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）如图所示，点P即为所求； 取圆与格线的交点T，连接交于点O，取格点G，H，连接分别与格线交于点K，L，连接交圆于点R，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 5. （2026·天津河西·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点为格点，过点的圆上有点，，，且于，连接，． (1)写出图中与互余的角为________； (2)若弦上有一点，当最短时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（画线不超过10条，不要求证明）． 【答案】(1)， (2)如图，点P即为所求． 如图，取格点使得，连接并延长交格线于点H，连接交格线于点K，连接交于I，连接并延长与的交点即为所求点P． ， 【分析】（1）根据余角的定义可知互余的角为，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即互余的角为； （2）先说明，再利用平行线等分线段定理以及等腰三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即图中与互余； ∵， ∴， ∴，即图中与互余． 综上，图中与互余的角为，． （2）解：如图：取格点使得，连接并延长交格线H，连接交格线于K，连接交于I，连接并延长与的交点即为所求点P． 图略． 证明：∵上有一点，最短时， ∴， 由作图过程可知：， ∴是的中位线， ∴， ∴，即点I是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即点P即为所求． 圆与计算 考点04 1. （2026·天津河西·二模）已知为的直径，又以为边的平行四边形． (1)如图①，当点在上，边与交于点时，与交于，若，求和的大小； (2)如图②，当边与相切于点，边交于点时，若，的半径为，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，根据平行四边形的性质可知，，然后根据角的和差关系可进行求解； （2）连接，，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得，设，在中，，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：是直径， ． ， 在中，， 平行四边形， ，， ， 又， ， ． （2）解：连接，，过点作于点，如图所示： 与相切于， ，即． ， ， ． 又， 在中，． ， ， 设，在中，， 在中，， ． 解得， ． 2. （2026·天津武清·二模）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由垂径定理推论可得，求出，即可求出，再利用圆周角定理可得，进而可得； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合证得四边形是菱形，得到，连接，推出是等边三角形，得到， 根据切线的性质可得，进而得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴，， ∴，， ∴，． 3. （2026·天津滨海新区·二模）已知是的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，结合可证，进而得出，根据等边对等角可得，进而得出，即可求解； （2）连接，，，利用勾股定理求出，利用圆内接四边形的性质可证，利用圆周角定理，余角的性质等可证，进而得出，证明，再利用相似三角形的性质求出，然后利用勾股定理求出，延长交于G，证明，利用平行线分线段成比例求出，再证明，利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，，， 在中，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于G， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 4. （2026·天津红桥·二模）已知点，在以为直径的上，，过点作的切线与的延长线相交于点． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，若四边形是平行四边形，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质求得，得到，再利用等边对等角，结合直径所对的圆周角是直角求解即可； （2）证明和是等边三角形，从而得到四边形是菱形，进而求得，，最后解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ，， 是等边三角形，同理也是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ，即， ， 又与相切，即， ， ． 5. （2026·天津河北·二模）已知，在中，直径弦，垂足为点，连接是的弦． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图2，直线切于点，与的延长线交于点，连接，若，，，求的大小和线段的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题可知，进而得到，结合圆周角定理即可求解； （2）根据平行线的性质及等边对等角，先求出，进而得到，再根据求解，在中，根据计算边长即可． 【详解】（1）解：在中，直径弦于点， ，即， 又， ， ， ； （2）如图，连接， 直线切于点， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 2/34 1/34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $