6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学平面向量数乘运算坐标表示同步练，以题型分层构建从概念辨析到综合应用的梯度路径，适配新授课知识巩固需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解|共线向量判断、基底识别|以选择形式考查向量共线条件，强化概念辨析（如判断能否表示向量、基底选择）| |运算应用|共线参数求解|通过坐标运算求参数值，提升运算能力（如已知向量共线求参数）| |综合应用|三点共线问题|结合点坐标判断共线或构成三角形，发展推理能力（如三点共线求参数）| |拓展提升|单位向量、模及动态问题|涉及单位向量求解、模的计算及扇形动态情境，体现几何直观与创新意识|

6.3.4平面向量数乘运算的 坐标表示 题型一 由坐标判断向量是否共线 1．下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】对于A：因为，所以向量和不共线，它们可以构成平面的一组基底，因此可以表示向量； 对于B：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量； 对于C：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量； 对于D：因为是零向量，零向量与任何向量共线，不能构成基底，所以不能表示向量. 2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 3．已知，下列与方向相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以与方向相同的向量坐标为， 又，故C正确. 题型二 由向量共线（平行）求参数 4．设向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算得，再结合向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量 所以， 因为， 所以，解得. 6．已知平面向量，，若，则实数的值为（   ） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【答案】B 【详解】，， 因为，所以，解得. 题型三 由坐标解决三点共线问题 7．已知，，三点共线，那么c的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】由题可得，， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 8．已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由A、B、C三点共线可得，求出、后，利用向量共线性质计算即可得. 【详解】，，由A、B、C三点共线， 则，故，解得. 9．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 题型四 由坐标解决线段平行和长度问题 10．已知，，则与同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标求出的坐标，再除以，即为所求单位向量. 【详解】由题意，， 所以与同方向的单位向量为. 故选：D. 11．已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得． 【详解】由得，即，， ， ， ， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 12．已知平面向量，则向量的模是（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为向量，，，，故选C. 13．设向量，，若，则k的值是_________． 【答案】 【详解】因为，故，故. 14．已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 15．如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时，________；的最大值为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求出或表示出向量坐标，根据列出方程组，对于第一空，可求得的值，即得答案；对于第二空，设，可求得的表达式，结合三角函数辅助角公式即可求得答案. 【详解】以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 则,， 当时, ，则, 由于，故， 即，解得，故； 设,则， 于是由，得， 即，即， 故， 由于，故当时，取最大值2， 即的最大值为2， 故答案为： 【点睛】方法点睛：结合题意特点，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决平面向量基本定理中的求解参数问题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4平面向量数乘运算的 坐标表示 题型一 由坐标判断向量是否共线 1．下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，下列与方向相同的是（   ） A． B． C． D． 题型二 由向量共线（平行）求参数 4．设向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．6 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 6．已知平面向量，，若，则实数的值为（   ） A．4 B．-4 C．1 D．-1 题型三 由坐标解决三点共线问题 7．已知，，三点共线，那么c的值是（   ） A． B．1 C． D．3 8．已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 题型四 由坐标解决线段平行和长度问题 10．已知，，则与同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 11．已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 12．已知平面向量，则向量的模是（　　） A． B． C． D．5 13．设向量，，若，则k的值是_________． 14．已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 15．如图，点C在半径为1，圆心角的扇形的弧上运动．已知，则当时，________；的最大值为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $