6.3.2-6.34平面向量的正交分解及坐标表示 分层练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2-6.34平面向量的正交分解及坐标表示 基础过关练 考点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1.(多选题)下列说法中正确的有(　　) A.相等向量的坐标相同 B.坐标系中的一个向量对应唯一的坐标 C.坐标系中的一个坐标对应唯一的向量 D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应 2.如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是(　　) A.(3,4),(2,-2)　　B.(2,3),(-2,-3) C.(2,3),(2,-2)　　D.(3,4),(-2,-3) 3.(2025天津第二南开学校月考)已知O为坐标原点,点A(1,0),B(3,4),M是线段AB的中点,那么向量的坐标是(　　) A.　　B.(2,2)　　C.　　D. 考点二　平面向量加、减运算的坐标表示 4.(2025山东名校联盟校际联考)已知向量=(-2,1),=(3,4),则=(　　) A.(1,5)　　B.(-1,-5)　　 C.(-5,-3)　　D.(5,3) 5.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),则x=　　　　.  6.已知一平行四边形的三个顶点A,B,C的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2),求第四个顶点D的坐标. 考点三　平面向量数乘运算的坐标表示 7.(2025江西抚州临川第一中学月考)已知a=(2,1),b=(-3,4),若表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c=(　　) A.(-15,31)　　B.(15,-31)　　 C.(3,7)　　D.(-3,-7) 8.(多选题)(2025安徽庐巢联盟联考)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则P的坐标可能为(　　) A.　　B. C.　　D. 9.(2025江苏徐州铜山月考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　) A.　　B.　　C.2　　D. 10.(2025浙江杭州高级中学月考)分别以直角三角形的三条边为边作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形的面积之和,这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角形CDE进行上述操作后,得到如图所示的图形.若=x+y,则x+y=　　　　.  11.(2025广东潮州饶平第二中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,-2),B(2,1),C(3,2). (1)若点D(-2,3),=a,=b,试用基底{a,b}表示++; (2)若=+λ(λ∈R),且点P在第四象限内,求λ的取值范围. 考点四　平面向量共线的坐标表示 12.(多选题)(2025福建龙岩第一中学月考)在下列各组向量中,可以构成一个基底的是(　　) A.a=(0,0),b=(1,2)　　 B.a=(0,1),b=(-2,0) C.a=(1,-2),b=(1,2)　　 D.a=(2,-3),b= 13.(2025四川攀枝花模拟)已知平面向量a=(1,x),b=(x+2,3),则“a∥b”是“x=1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.(2025四川成都树德中学月考)已知向量m=(λ,1),n=(-3,2-λ),若m与n共线且反向,则实数λ的值为(　　) A.3　　B.1　　C.-1　　D.-1或3 15.(2025辽宁辽阳模拟)已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m=(　　) A.　　B.-11　　C.11　　D.- 16.(2025广东惠州中学月考)已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=3||,则点P的坐标为　　　　.  17.已知a=(1,0),b=(2,1),c=(3,-4). (1)若(ka+b)∥c,求实数k的值; (2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求实数m的值. 能力提升练 考点一　平面向量线性运算的坐标表示及应用 1.(2025重庆万州第三中学月考)三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.下图是由两块三角板拼出的一个几何图形,其中AB⊥BC,AC⊥AD,AB=BC=2,AD=AC,若=x+y,则xy=(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 2.(2025山东省实验中学月考)如图,已知扇形AOB的圆心角的大小为,P是扇形内部(包括边界)任意一点,若=x+y,则2(x+y)的最大值是(　　) A.2　　B.　　C.4　　D.2 3.(2025北京第二中学月考)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°,若=m+n(m,n∈R),则m+n=　　　　.  考点二　平面向量共线的坐标表示及应用 4.(2025山东淄博第十一中学月考)已知a=(cos x,1),b=(sin x,2),若a∥b,则=　　　　.  5.设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b=　　　　,+的最小值为　　　　.  6.(2025辽宁葫芦岛期末)在△ABC中,A(-2,3),B(2,7),C(-6,-5),G是重心,直线EF过点G,交BA于点E,交BC于点F. (1)求||; (2)若=λ,=μ,λ,μ为正实数,求2λ+8μ的最小值. 7.(2025江西上饶段考)如图,四边形ABCD是正方形,E在AB边上运动,F在BC边上运动,AF与DE交于点G. (1)若E是AB的中点,BC=3BF,=λ,求实数λ的值; (2)若AE=BF,=m+n,求的最大值. 答案 基础过关练 1.ABD　由向量坐标的定义可得一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.易知A,B,D正确. 2.C　由题图可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2, ∴a=(2,3),b=(2,-2). 3.B　由中点坐标公式可得M(2,2),所以=(2,2). 4.D　由=(-2,1),=(3,4),得=-=(5,3). 5.答案　-1 解析　因为A(1,2),B(3,2), 所以=(3,2)-(1,2)=(2,0), 又=a=(x+3,x2-3x-4), 所以解得x=-1. 6.解析　设点D的坐标为(x,y), 当平行四边形为ABCD时,=,∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),即(1,-1)=(1-x,-2-y), ∴解得∴D(0,-1). 当平行四边形为ABDC时,=,∴(4,6)-(3,7)=(x,y)-(1,-2),即(1,-1)=(x-1,y+2),∴解得∴D(2,-3). 当平行四边形为ADBC时,=,∴(x,y)-(3,7)=(4,6)-(1,-2),即(x-3,y-7)=(3,8),∴解得∴D(6,15). 综上,点D的坐标为(0,-1)或(2,-3)或(6,15). 7.D　因为表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,所以3a+4b-3b+c=0,则c=-3a-b=(-3,-7). 8.AC　因为=(2,3),=(6,-3), 所以=-=(4,-6), 因为P是线段AB的三等分点, 所以=或=. 当=时,=,所以=+=,则点P的坐标为; 当=时,=,所以=+=,则点P的坐标为. 综上,点P的坐标为或. 9.B　如图,以D为坐标原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系. 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2), 所以=(-4,4),=(-4,2),=(2,4), 因为=λ+μ(λ,μ∈R), 所以(-4,4)=λ(-4,2)+μ(2,4), 则解得所以λ+μ=. 10.答案　 解析　以A为原点建立平面直角坐标系,如图, 设正方形ABCD的边长为2a(a>0),则正方形DEHI的边长为a,正方形EFGC的边长为a, 故A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a, 则xF=(+1)a·cos 30°=a,yF=(+1)a·sin 30°+2a=a,即F. ∵=x+y, ∴=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay), ∴∴∴x+y=. 11.解析　(1)=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1), 所以++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 由题意,知存在实数m,n,使得++=m+n, 即(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n), 可得解得 所以++=32-22=32a-22b. (2)设P(x,y),则=(x-1,y+2). 因为=+λ=(1,3)+λ(2,4)=(1+2λ,3+4λ), 所以即 又点P在第四象限内,所以解得-1<λ<-, 故λ的取值范围是. 12.BC　对于A,因为零向量与任意向量共线,所以a=(0,0),b=(1,2)共线,故A不符合题意; 对于B,因为0≠1×(-2),所以a=(0,1),b=(-2,0)不共线,故B符合题意; 对于C,因为1×2≠-2×1,所以a=(1,-2),b=(1,2)不共线,故C符合题意; 对于D,因为a=4b,所以a=(2,-3),b=共线,故D不符合题意. 13.B　若a∥b,则有1×3-x(x+2)=0,解得x=1或x=-3, 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. 14.A　由m与n共线可得λ(2-λ)=-3,故λ2-2λ-3=0,解得λ=-1或λ=3, 又m与n的方向相反,故<0,则λ>0,故λ=3. 15.C　因为=(5,1),=(m,9), 所以=+=(m+5,10), 因为A,C,D三点共线,所以∥,所以5(m+5)=8×10,解得m=11. 16.答案　或(-3,5) 解析　设P(x,y),由点P在直线AB上,||=3||,可得=±3. 当=3时,有(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),则可得 当=-3时,有(x-3,y+4)=-3(-1-x,2-y),则可得 综上,点P的坐标为或(-3,5). 17.解析　(1)因为a=(1,0),b=(2,1),所以ka+b=(k+2,1),又(ka+b)∥c,c=(3,-4),所以-4(k+2)=3,解得k=-. (2)易得=2a+3b=(8,3),=a+mb=(1+2m,m), 因为A,B,C三点共线,所以∥, 所以8m=3(1+2m),解得m=. 能力提升练 1.B　以B为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系. 则A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,4), 则=(2,4),=(2,-2),=(2,2). 因为=x+y,所以(2,4)=(2x+2y,-2x+2y), 则解得 故xy=-×=-. 2.C　以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 设扇形AOB的半径为r,则A(r,0),B, 设点P(acos θ,asin θ)0≤a≤r,0≤θ≤, 因为=x+y=x(r,0)+y=xr-,yr, 所以所以 所以2(x+y)=(2x-y)+3y=cos θ+sin θ=sin, 因为0≤θ≤,所以≤θ+≤, 所以当θ+=且a=r时,2(x+y)取得最大值,为4. 3.答案　3 解析　以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图, 则A(1,0),由的模为,与的夹角为α,且tan α=7知,cos α=,sin α=,可得C,B(cos(α+45°),sin(α+45°)),易得cos(α+45°)=cos αcos 45°-sin αsin 45°=×-×=-,sin(α+45°)=sin αcos 45°+cos αsin 45°=×+×=,∴B,由=m+n可得=m-n,n,∴解得m=,n=,∴m+n=3. 4.答案　3 解析　由a=(cos x,1),b=(sin x,2),a∥b,可得sin x=2cos x,所以tan x=2,所以==3. 5.答案　2;+ 解析　由题意得=-=(-a+2,-2),=-=(b+2,-4),若A,B,C三点共线,则与共线,所以(-a+2)×(-4)-(-2)×(b+2)=0,即2a+b=2, 则+=(2a+b)=≥=+, 当且仅当即时取等号,故+的最小值为+. 6.解析　(1)解法一:设点G(x,y),由重心坐标公式得x==-2,y==,故G. 又B(2,7),所以=, 故||==. 解法二:根据题意得=(-4,-4),=(-8,-12), 则=(+)=, 所以||==. (2)由=λ,=μ,λ,μ>0,得=,=, 所以=(+)==+, 因为E,F,G三点共线,所以+=1, 则2λ+8μ=(2λ+8μ)=++≥+2=6, 当且仅当即时等号成立, 所以2λ+8μ的最小值为6. 7.解析　如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为6, (1)A(0,6),F(6,4),D(0,0),E(3,6),所以=(6,-2),=(3,6), 设点G(a,b),则=(a,b-6), 由=λ,得(a,b-6)=λ(6,-2), 所以即得G(6λ,6-2λ), 设=μ,则(6λ,6-2λ)=μ(3,6), 所以解得λ=. (2)因为A,G,F三点共线,且=m+n, 所以m>0,n>0,m+n=1, 设AE=BF=x(0≤x≤6), 则A(0,6),B(6,6),C(6,0),D(0,0),E(x,6),F(6,6-x),所以=(0,6),=(6,6-x),=(x,6), 所以=m+n=(6n,6m+6n-nx)=(6n,6-nx), 又∥,所以36n=6x-nx2, 所以n=,m=1-n=, 所以==, 若x=0,则=0; 若x∈(0,6],则==≤=1, 当且仅当x=,即x=6时,等号成立, 所以的最大值为1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $