6.3.3平面向量加减运算的坐标表示（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习聚焦平面向量坐标运算，以“基础巩固-中档应用-提升拓展”分层设计，通过6大题型21题实现从单一运算到综合应用的知识进阶，培养数学运算与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|向量线性运算坐标表示|3道选择直接考查坐标加减，夯实运算基础| |中档|参数求解与等比分点|含网格基底表示、定比分点坐标计算，提升推理能力| |提升|几何应用与最值范围|结合直角梯形、扇形等几何情境，渗透模型意识与空间观念|

6.3.3平面向量加减运算的 坐标表示 题型一 平面向量线性运算的坐标表示 1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）在中，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知，， 又，， ∴． 2．（2026·浙江金华·三模）已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．（25-26高一上·北京·期中）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 所以. 题型二 由向量线性运算结果求参数 4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 5．（25-26高三上·湖南·阶段检测）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 6．（17-18高一·全国·课后作业）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 题型三 向量坐标的线性运算解决几何问题 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 8．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 9．（2021·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值. 【详解】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则有，. 设，则. 由题意可知 所以. 因为，所以， 故的最大值为. 【点睛】本题考查与向量有关的几何最值问题，属基础题.利用坐标方法转化为三角函数的最值问题是处理几何最值得十分有效的方法. 题型四 线段的等比分点 10．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点， 由点在的延长线上，且，得， 又，， 所以，解得， 所以点的坐标为． 11．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知，点满足，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再得点坐标． 【详解】由已知，由得， 所以点坐标为． 12．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 题型五 由向量线性运算解决最值和范围问题 13．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 14．（18-19高三·全国·阶段检测）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B 【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 15．（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 题型六 利用坐标求向量的模 16．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点与点，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以， 所以. 17．（2026·广东佛山·二模）设向量，，则（   ） A．5 B．8 C．15 D．17 【答案】D 【详解】， 所以. 18．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，，则，， 所以与方向相同的单位向量是. 19．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 20．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知对任意平面向量 把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P坐标为______． 【答案】 【分析】根据新定义求出向量的坐标，进而求得点的坐标 【详解】由题意可得，，点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P， 即点B绕点A沿逆时针方向旋转 后得到点P， 则， 所以则点P坐标为. 21．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.3平面向量加减运算的 坐标表示 题型一 平面向量线性运算的坐标表示 1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）在中，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江金华·三模）已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·期中）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型二 由向量线性运算结果求参数 4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南·阶段检测）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 6．（17-18高一·全国·课后作业）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 向量坐标的线性运算解决几何问题 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 8．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 9．（2021·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型四 线段的等比分点 10．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知，点满足，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型五 由向量线性运算解决最值和范围问题 13．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（18-19高三·全国·阶段检测）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六 利用坐标求向量的模 16．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知点与点，则（   ） A． B． C． D．5 17．（2026·广东佛山·二模）设向量，，则（   ） A．5 B．8 C．15 D．17 18．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 20．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知对任意平面向量 把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P坐标为______． 21．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $