6.3.1 平面向量基本定理&6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1　平面向量基本定理　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

一、必备知识基础练

1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　)

A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4

2.如果{e1,e2}是表示一个平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是(　　)

A.e2,e1-2e2 B.e1+2e2,e2+2e1

C.e1-3e2,6e2-2e1 D.e1-e2,e1-3e2

3.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的是(　　)

A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)

B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2

C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O

D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)

4.在平行四边形ABCD中,若,AE交BD于点F,则=(　　)

A. B.

C. D.

5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　. 

6.已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若=3+x,则x=　　　　. 

7.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示=　　　　　,=　　　　　. 

8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.

(1)用a,b表示;

(2)求证:B,E,F三点共线.

 

 

 

 

 

 

 

9.(2025吉林长春高一月考)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=,AC=1,D是边BC上一点,DC=2BD,设=a,=b.

(1)试用a,b表示;

(2)求的值.

 

 

 

 

 

 

二、关键能力提升练

10.(2025广东广州高一月考)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=4,则(　　)

A.x=,y= B.x=,y=

C.x=,y= D.x=,y=

11.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若=a,=b,E为BF的中点,则=(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

12.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为　　　　　. 

13.如图,已知O为平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=2a.