6.3.1 平面向量基本定理&6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1　平面向量基本定理　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 一、必备知识基础练 1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 2.如果{e1,e2}是表示一个平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是(　　) A.e2,e1-2e2 B.e1+2e2,e2+2e1 C.e1-3e2,6e2-2e1 D.e1-e2,e1-3e2 3.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的是(　　) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y) 4.在平行四边形ABCD中,若,AE交BD于点F,则=(　　) A. B. C. D. 5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　.  6.已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若=3+x,则x=　　　　.  7.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示=　　　　　,=　　　　　.  8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b. (1)用a,b表示; (2)求证:B,E,F三点共线. 9.(2025吉林长春高一月考)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=,AC=1,D是边BC上一点,DC=2BD,设=a,=b. (1)试用a,b表示; (2)求的值. 二、关键能力提升练 10.(2025广东广州高一月考)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=4,则(　　) A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= 11.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若=a,=b,E为BF的中点,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 12.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为　　　　　.  13.如图,已知O为平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,||=||=2||=2a. (1)求B,C两点坐标; (2)求上的投影向量. 答案 1.D　解析 因为向量e1与e2不共线, 所以解得 2.C　解析 根据基底的定义知,向量e1,e2不共线,即不存在实数λ,使得e1=λe2, 对于A,不存在实数λ1,使得e2=λ1(e1-2e2),可以作为一个基底; 对于B,假设存在实数λ2,使得e1+2e2=λ2(e2+2e1),可得 此时方程组无解,所以e1+2e2和e2+2e1可以作为一个基底; 对于C,假设存在实数λ3,使得e1-3e2=λ3(6e2-2e1),可得解得λ3=-, 所以e1-3e2和6e2-2e1不可以作为一个基底; 对于D,假设存在实数λ4,使得e1-e2=λ4(e1-3e2),可得 此时方程组无解,所以e1-e2和e1-3e2可以作为一个基底.故选C. 3.BCD　解析 由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误. 4.D　解析 如图,∵, ∴E为CD的中点.设=λ=λ=λ=+λ. ∵B,F,D三点共线, ∴+λ=1,解得λ=. ∴.故选D. 5.6　解析 由已知得,存在λ∈R,使得a=λb, 即xe1+2e2=3λe1+λye2, 所以故xy=3λ·=6. 6.-2　解析 ∵点P在直线AB上,且=3+x, ∴3+x=1, ∴x=-2. 7.e1+e2　e1+e2　=e1+(e2-e1)=e1+e2, (e2-e1)=e1+e2. 8.(1)解 如图, 延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a). (2)证明 由(1)知,, ∴共线. 又有公共点B, ∴B,E,F三点共线. 9.解 (1)∵D是边BC上一点,DC=2BD,∴. 又=a,=b,得=b-a, ∴=a+(b-a)=a+b. (2)∵|a|=||=,|b|=||=1,∠BAC=120°, ∴a·b=|a||b|cos∠BAC=-, ∴=(a+b)·(b-a)=b2+a·b-a2=-. 10.C　解析 由=4可得, 所以)=,所以x=,y=. 故选C. 11.A　解析 设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m. 过点E作EH⊥AB于点H,则EH=m,EH∥AD,AH=m. 所以AH=AB,HE=AD. 所以a+b.故选A. 12.()　由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=(). 13.解 (1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,过点B作BE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥BE,垂足为F,如图所示. 依题意可知∠BAD=∠ABF=∠CBF=60°, ||=a,||=a,||=a,||=a,||=2a+a=a, 则B,||=a-a=a, 所以C. (2)=(-a,a),=(2a,0), 所以上的投影向量为=(-a,0). 6 学科网（北京）股份有限公司 $