精品解析：2025年浙江省杭州市上城区中考二模数学试卷

2024学年第二学期九年级学情调查 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组数据中方差最大的一组是（ ） A. 3，3，3，3，3 B. 2，3，3，3，4 C. 1，2，3，4，5 D. 0，0，3，6，6 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其第七章的一道题译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，是反比例函数（k为常数）图象上的三点，若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，点E、F是边长为1的正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点B的对应点在边上，的对应边交于点G，记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共18分． 11. 2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为_______． 12. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是______． 13. 如图，是在上的点，，，则的长为______．（结果保留） 14. 将公式变形成用表示，则______． 15. 春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开______公里就必须去加油． 16. 如图，线段绕点A逆时针旋转得到线段，，已知，连接线段并延长，与的平分线交于点E，若，，则线段的长为_______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动．为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图： 活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图： 中位数 众数 平均数 活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 4.35 活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6 请根据调查的信息分析： （1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数； （2） ， ； （3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校“西湖经典诗词诵背”系列活动的效果． 20. 如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D和点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm） 22. 已知：如图，在中，，D，E分别为，中点，连结并延长，使． （1）求证：四边形为矩形； （2）记，． ①求（用含，的代数式表示）； ②若，求证：． 23. 已知二次函数（b，c为常数）， （1）若，，求此二次函数的顶点坐标； （2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，求函数表达式； （3）若此函数的对称轴为直线，且当时，函数取到最大值为1，求c的取值范围． 24. 如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接． （1）若，，求的度数； （2）若，求的值； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级学情调查 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数比较大小的方法是关键 ．  根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：C ． 2. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：因为点P（-1，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数， 所以点P在平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 3. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，即可得． 【详解】解：A. ，是这个几何体的主视图； B. ，是这个几何体的左视图； C. ，是这个几何体的俯视图； D. ，不是这个几何体的视图． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法．根据合并同类项法则；积的乘方；同底数幂相除，底数不变指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 下列四组数据中方差最大的一组是（ ） A. 3，3，3，3，3 B. 2，3，3，3，4 C. 1，2，3，4，5 D. 0，0，3，6，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算方法是关键． 根据方差的计算，再比较方差的结果即可求解． 【详解】解：A、平均数是，方差是； B、平均数数是，方差为； C、平均数数是，方差为； D、平均数数是，方差为； ∴方程最大的一组是D， 故选：D ． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，， 而一定成立， 所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 7. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其第七章的一道题译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设有人，根据如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱列方程． 【详解】解：设有人，由题意得， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确题解题意得到等量关系是解题的关键． 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，等线段的作法和性质，等边对等角，三角形的内角和定理等内容．根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知平分，， ， ， ， 故选：B． 9. 已知点，，是反比例函数（k为常数）图象上的三点，若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的性质可得，反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；再根据反比例函数的增减性逐项分析即可判断． 【详解】解：， 反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小； A、若且，则，所以，故此选项错误，不符合题意； B、若，无法判断与的符号是否相同，所以无法判断和的大小关系，故此选项错误，不符合题意； C、若且，则，所以，故此选项正确，符合题意； D、若，无法判断与的符号是否相同，所以无法判断和的大小关系，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，点E、F是边长为1的正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点B的对应点在边上，的对应边交于点G，记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由折叠的性质可得，，设，则，有勾股定理可得，则，证明得到，则，根据，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的性质可得， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：每小题3分，共18分． 11. 2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 12. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种， 则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故答案为： 13. 如图，是在上的点，，，则的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是关键． 根据圆周角定理得到的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 将公式变形成用表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程中代入法的运用，掌握等式的性质，代入法的计算是关键． 根据等式的性质，代入法的计算即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得到， 移项、合并同类项得，， ∴， 故答案为： ． 15. 春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开______公里就必须去加油． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据表格信息运用待定系数法得到一次函数解析式，再根据题意求自变量或函数值即可． 【详解】解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为， 当时，， ∴， 解得，， ∴， 当是，， 解得，， ∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油， 故答案为： ． 16. 如图，线段绕点A逆时针旋转得到线段，，已知，连接线段并延长，与的平分线交于点E，若，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，由角平分线的定义得到，推出，得到，，进而得出，再利用四边形的内角和为以及算出，利用等边对等角推出，再利用等角对等边推出，设，表示出的长，通过证明得到，代入数据解出的值，即可求出线段的长． 【详解】解：由旋转的性质得，， ， 平分， ， 又， ， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：，（舍去负值）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，结合图形找出全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂和负整数指数幂，算术平方根以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和负整数指数幂，算术平方根，再进行加减计算； （2）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并即可． 【详解】解：（1）原式 ； 解：（2）原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，然后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴， 经检验：当时，则，，故是方程的解． 19. 某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动．为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图： 活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图： 中位数 众数 平均数 活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 4.35 活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6 请根据调查的信息分析： （1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数； （2） ， ； （3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校“西湖经典诗词诵背”系列活动的效果． 【答案】（1）估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上 （2）3， （3）活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步，活动取得了较好的效果 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，用样本估计总体，众数，平均数等知识点，读懂统计图和题意是解题的关键． （1）用1000乘以能诵背7首（含7首）以上的占比即可； （2）根据众数和平均数的定义求解； （3）从平均数、中位数和众数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：人， 答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上； 【小问2详解】 解：由条形统计图可得会背3首的人数最多， ∴， ， 故答案为：3，； 【小问3详解】 解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步，活动取得了较好的效果． 20. 如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D和点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：，D为中点， ， ， ， 为的中垂线， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，斜边上中线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线性质得到，线段的垂直平分线得到，则，再由三角形的外角即可求证； （2）先由勾股定理求得，再证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中垂线，， ，， ， ∴由勾股定理得： ， ， ， ， ， ． 21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）在中，利用三角函数的定义求得，，根据 ，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ； 【小问2详解】 解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D． 当摆球运动至点C时，于点E， ， 在中，，， ，， ， ， ． 22. 已知：如图，在中，，D，E分别为，中点，连结并延长，使． （1）求证：四边形为矩形； （2）记，． ①求（用含，的代数式表示）； ②若，求证：． 【答案】（1） 证明：为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 在中，，D为中点， ， ， 为矩形； （2）①； ②证明：， ， ， 又， ， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质． （1）先根据已知得，，可证胆四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得，即，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质得，，，进而得，，再根据三角形内角和定理可得； ②由已知推出，即可证明，得，变形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：四边形为矩形 ，，， ， 又， ， ； ②略 23. 已知二次函数（b，c为常数）， （1）若，，求此二次函数的顶点坐标； （2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，求函数表达式； （3）若此函数的对称轴为直线，且当时，函数取到最大值为1，求c的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）利用判别式和待定系数法求解即可； （3）根据对称轴计算公式得到，再由解析式可得离对称轴越远函数值越大，当时，时有最大值，当时，时有最大值，据此讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵此函数图象与x轴只有一个交点，且过点， ∴， 解得或， ∴二次函数解析式为或； 【小问3详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， 当，即时， ∵当时，函数取到最大值为1， ∴， ∴； 当时，时取到最大值，把代入函数得：，， 时，． 综上所述，． 24. 如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接． （1）若，，求的度数； （2）若，求的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3） 如图，过B作，交延长线于点M，在上作， ，， ∴， ， ， ，， 又，， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进一步解得的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）过E作交于点H，由平行线分线段成比例定理可得，结合可知，然后根据平行线分线段成比例定理即可获得答案； （3）过B作，交延长线于点M，在上作，根据平行线分线段成比例定理证明，进而证明，得，，可知，即可证明结论． 【小问1详解】 解：是斜边上的中点， ， ， ， ， 四边形内接于圆， ； 【小问2详解】 如图，过E作交于点H， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $