20.1 勾股定理及其应用 提升训练（一） 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理核心应用，通过基础计算、几何情境与实际问题的梯度设计，强化从概念理解到综合建模的逻辑训练，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-3、填空9-11|直角边与斜边互求、分类讨论|从勾股定理公式直接应用到不确定边长的分类思想| |几何应用|选择4-7、填空12|网格计算、图形折叠、坐标系距离|结合几何直观，构建“形→数”转化，强化空间观念| |实际建模|选择8、解答16|最短路径、旗杆测量|从生活情境抽象直角三角形模型，发展应用意识| |定理证明|解答15|赵爽弦图面积推导|通过面积法验证定理，培养推理能力与数学文化认同|

初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第二十章） 20.1 勾股定理及其应用提升训练（一） （分值100分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.在中，斜边，则的值为(    ) A. B. C. D. 无法计算 3.在中，，，，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 4.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形和的面积分别为和若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在的正方形网格每个小正方形的边长都是中，标记格点网格线的交点，，，，则下列线段中，长度为的是(    ) A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 6.如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点网格线的交点上，以点为圆心，的长为半径作弧，交线段于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，点表示的实数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了____路，却踩伤了花草(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.已知一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边的长为          用含的式子表示． 10.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是          ． 11.已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为          ． 12.如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，则的长为          ． 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.（本小题10分）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图，图都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． 在图中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______． 解决问题： 已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 14.（本小题14分）如图所示，已知在中，，，，于点，求的长． 15.本小题分 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形阴影部分围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形它是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲． 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么          ． 请利用图形面积，结合图形完成“勾股定理”的证明． 16.本小题分 某学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型 抽象 测绘 数据 绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为； 拉直绳子，使绳子末端刚好与地面上的点重合，测量旗杆底部点到绳子终点的距离，即． 说明 点，，在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题： 求旗杆的高度的长 由于实际需要，现在要把旗杆增高，若绳子还能拉到点处，则绳子至少要加长多少米结果保留一位小数 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第二十章) 20.1勾股定理及其应用提升训练（一) (分值100分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=3,则AB的长为() B A.V10 B.V13 C.√15 D.5 2.在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB2+BC2+AC的值为() A.12 B.22 C.32 D.无法计算 3.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,则BC的长为() A.V7 B.3 C.5或√7 D.5 4.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案， 正方形A和B的面积分别为3和4.若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形C的边 第1页，共6页 长为() B A.5 B.6 C.V5 D.√7 5.如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交 点)A,B,C,D,则下列线段中，长度为v17的是() D C :B A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD 6如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,D均在格点（网格线的交点）上，以点A 为圆心，AB的长为半径作弧，交线段AD于点C,则CD的长为() A.4-V10 B.V10-3 C.1 D.V2 7如图，点A表示的实数是() -4-32 -1012 A.V3 B.v⑤ C.-√5 D.-V3 第2页，共6页 8.如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了路，却踩伤了花草() 路 m ←4m A.1 B.2 C.5 D.6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.已知一个直角三角形的斜边长为2n2+2n+1(n>0),一条直角边长为2n2+2m,则另一 条直角边的长为（用含n的式子表示） 10.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)到原点的距离是 11.已知一个直角三角形的两边长分别为2和v3,则第三边长为 12.如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB= 9cm, BC=15cm,则EC的长为一· D 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.（本小题10分)问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度， 求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图1，图2都 是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点. 操作发现：小颖在图1中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点，同时构造正方形 BDEF,使它的顶点都在格点上，且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出 了△ABC的面积. (1)在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB=,BC=, AC=;△ABC的面积为 第3页，共6页 解决问题： (2)已知△ABC中，AB=V10,BC=2V5,AC=5V2,请你根据小颖的思路，在图2的 正方形网格中画出△ABC,并直接写出△ABC的面积. T-1-下7-T1- 4-1 人 图1 图2 14.(本小题14分)如图所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm, BC=3cm,CD 1AB于点D,求CD的长. B D 第4页，共6页 15.(本小题14分) 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中空的部 分是一个小正方形它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，其巧妙地利用图 形的面积证明了“勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我 国古代数学的骄傲. (I)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么_ (②)请利用图形面积，结合图形完成“勾股定理”的证明， 第5页，共6页 16.(本小题14分) 某学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格， 课 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 题 模 型 抽 象 测 ①绳子紧贴着旗杆AB垂直向下，再把多余的绳子BC拉直，测得多余的绳子 绘 长度为2m: 数 ②拉直绳子AC,使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B 据 到绳子终点D的距离，即BD=8m. 说 点A,B,D在同一平面上 明 请根据表格信息，解答下列问题：(17≈4.12，√15≈3.87) (1)求旗杆的高度AB的长， (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高4，若绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长 多少米？（结果保留一位小数） 第6页，共6页 初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第二十章） 20.1 勾股定理及其应用提升训练（一） （分值100分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.在中，斜边，则的值为(    ) A. B. C. D. 无法计算 【答案】C  3.在中，，，，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】D  4.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形和的面积分别为和若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.如图，在的正方形网格每个小正方形的边长都是中，标记格点网格线的交点，，，，则下列线段中，长度为的是(    ) A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C  6.如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点网格线的交点上，以点为圆心，的长为半径作弧，交线段于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  7.如图，点表示的实数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  8.如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了____路，却踩伤了花草(    ) A. B. C. D. 【答案】B  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.已知一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边的长为          用含的式子表示． 【答案】  10.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是          ． 【答案】  11.已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为          ． 【答案】或  12.如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，则的长为          ． 【答案】  三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.（本小题10分）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图，图都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． 在图中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______． 解决问题： 已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 【答案】；；；；  的面积：．  【解析】解：，，， 的面积为：， 故答案为：；；；； 见答案； 【分析】 根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 14.（本小题14分）如图所示，已知在中，，，，于点，求的长． 【答案】解：，，， ， 则． 根据三角形的面积公式得：， 则， 故， ．  【解析】本题结合三角形的面积公式，考查了勾股定理，了解直角三角形中同一面积的不同表达式是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，利用面积，将作为底，作为高，列出等式，求出的长． 四、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题14分） 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形阴影部分围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形它是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲． 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么          ． 请利用图形面积，结合图形完成“勾股定理”的证明． 【答案】(1)  (2)证明：由图可知，， . . 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. 16.本小题分 某学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型 抽象 测绘 数据 绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为； 拉直绳子，使绳子末端刚好与地面上的点重合，测量旗杆底部点到绳子终点的距离，即． 说明 点，，在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题： 求旗杆的高度的长 由于实际需要，现在要把旗杆增高，若绳子还能拉到点处，则绳子至少要加长多少米结果保留一位小数 【答案】(1)解：由题意,得ABD=. 设AB=xm,则AD=(x+2)m. 在RtABD中,A+B=A, 即+=, 解得x=. 答:旗杆的高度AB的长为15m. (2)由(1)得AD=17m,AB=15m, 如图,延长BA至点,使A=4m,连接D, 则B=A+AB=19m. 在RtBD中,得D==5(m). -17=(m). 答:绳子至少要加长m.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第二十章) 20.1勾股定理及其应用提升训练（一） (分值100分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=3,则AB的长为() B A.V10 B.V13 C.V15 D.5 【答案】A 2.在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB2+BC2+AC2的值为() A.12 B.22 C.32 D.无法计算 【答案】C 3.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,则BC的长为() A.V7 B.3 C.5或7 D.5 【答案】D 4.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案， 正方形A和B的面积分别为3和4.若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形C的边 第1页，共8页 长为() B A.5 B.6 C.3 D.√7 【答案】D 5.如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交 点)A,B,C,D,则下列线段中，长度为√I7的是() "D B A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD 【答案】c 6如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,D均在格点（网格线的交点）上，以点A 为圆心，AB的长为半径作弧，交线段AD于点C,则CD的长为() A.4-V10 B.V10-3 C.1 D.√2 【答案】A 7如图，点A表示的实数是() -4-32 -10 12 A.V3 B.5 C.-√5 D.-V3 第2页，共8页 【答案】C 8.如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走捷径”，在草 坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了m路，却踩伤了花草() 3 m 路 ←4m A.1 B.2 C.5 D.6 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.己知一个直角三角形的斜边长为2n2+2n+1n>0),一条直角边长为2n2+2n,则另一 条直角边的长为（用含n的式子表示）： 【答案】2n+1 10.在平面直角坐标系中，点P(2,-3)到原点的距离是 【答案】√13 11.已知一个直角三角形的两边长分别为2和V3,则第三边长为一· 【答案】1或√7 12.如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB= 9cm,BC=15cm,则EC的长为一· D 【答案】4cm 第3页，共8页 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分)问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度， 求三角形面积为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图1，图2都 是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 操作发现：小颖在图1中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点，同时构造正方形 BDEF,使它的顶点都在格点上，且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出 了△ABC的面积， (1)在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB=，BC=, AC= ;△ABC的面积为 解决问题： (2)已知△ABC中，AB=V10,BC=2V√5，AC=5V2,请你根据小颖的思路，在图2的 正方形网格中画出△ABC,并直接写出△ABC的面积. 图 图2 【答案】(；V7；V⑩：号 (2)△ABC的面积： 7×2-×3×1-}×4×2-×7×1=5. 【解析】解：(1)AB=V32+4=5,BC=V12+4=√17， AC=V12+32=√10， 图2 △ABC的面积为：4×4-×3×4-×1×4-×3×1=号 故答案为：5；V7:V⑩：号 (2)见答案： 【分析】 第4页，共8页 根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算. 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那 么a2+b2=c2 14.(本小题14分)如图所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm, BC=3cm,CD⊥AB于点D,求CD的长. B D 【答案】解：∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm, AC=V52-32=4cm, 则SAABC=号×3×4=6cm2. 根据三角形的面积公式得：AB·CD=6, 则ABCD=6, 故×5CD=6, CD=号 【解析】本题结合三角形的面积公式，考查了勾股定理，了解直角三角形中同一面积的 不同表达式是解题的关键.根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出 三角形的面积，利用面积，将AB作为底，CD作为高，列出等式，求出CD的长. 四、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第5页，共8页 15.(本小题14分) 如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中空的部分 是一个小正方形它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，其巧妙地利用图形 的面积证明了勾股定理”，体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古 代数学的骄傲. (1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么一 (②)请利用图形面积，结合图形完成“勾股定理的证明. 【答案】(1)a2+b2=c2 (2)证明：由图可知，6-a)2+4×ab=c2, .a2-2ab+b2+2ab=c2. a2+b2=c2. “在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方： 第6页，共8页 16.(本小题14分) 某学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格， 课 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 题 模 型 抽 象 测 ①绳子紧贴着旗杆AB垂直向下，再把多余的绳子BC拉直，测得多余的绳子 绘长度为2m: 数 ②拉直绳子AC,使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B 据 到绳子终点D的距离，即BD=8n. 说 点A,B,D在同一平面上. 明 请根据表格信息，解答下列问题：（√17≈4.12，√15≈3.87） (1)求旗杆的高度AB的长； (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高4，若绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长 多少米？（结果保留一位小数） 【答案】(1)解：由题意，得∠ABD=90° 设ABxm,则AD=(x+2)n 在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2 即x2+82-(x+2)2, 解得x=15. 答：旗杆的高度AB的长为15m (2)由(1)得AD=17m,AB=15m, 如图，延长BA至点A',使AA'=4,连接AD, 第7页，共8页 BD 则A'B=A'A+AB=19m. 在Rt△A'BD中，得A'D=√A'B2+BD2=5V17≈20.6m) 20.6-17=3.6m) 答：绳子至少要加长3.6m. 第8页，共8页