陕西省西安中学2025-2026学年高三下学期模拟数学试卷

陕西省西安中学高2026届高三模拟考试 数 学 （时长：120分钟 满分：150分 命题人：杜 薇） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 7. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角为 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. B. 若，则的面积为2 C. 若，则或3 D. 的最小值为 11. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C相交于A，B两点，P为AB的中点，为坐标原点，且，则（ ） A. 当时， B. 点F到的距离的最大值为 C. D. 点P的轨迹是一条抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆台的上，下底面半径分别为3和4，母线长为a，其侧面积等于，随机变量X服从正态分布，则_____． 13. 设为等比数列的前项和，已知，，则__________． 14. 从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值； （3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？ 16. 已知等差数列的前项和为，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 17. 已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆上一动点，面积的最大值为2. （1）求椭圆E的方程； （2）若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值； （3）平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 陕西省西安中学高2026届高三模拟考试 数 学 （时长：120分钟 满分：150分 命题人：杜 薇） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】560 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）详见解析（2）众数为：75和85，均值为：（3）88分 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）见解析； （3）. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $陕西省西安中学高2026届高三模拟考试答案 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.【答案】D 解：(3-i)1+ai)=3+a+(3a-1)i,因为a∈R,(3-i)1+ai)为纯虚数， [3+a=0 所以 3a-1≠0 ,解得a=-3,故选：D 2.【答案】A 解：因为集合A=[0,a,B=(2,3),若A⌒B=☑，则0<a≤2 3.【答案】B 解，直线y=2x-4与双曲线C:亡-兰=1的一条渐近线平行， b2 可得一条渐近线的斜率为2，设b>0,即y=bx的斜率为2，即有b=2, 又a=1,可得c=+4=5,e=C=5,故选：B 4.【答案】A 解由题可将写牙T=,又@>0，所以心月1， 所以f(x)=tan(x+p),则f(r)=tan(π+p)=tanp=l, 则0-r+年ke7,又p卟号则p-平，故f=1ac+孕， 41 令+号-受=7，解得=经-孚e,结合选项可得当k=1时，《 4 故（任0是了闭图象的一个对称中心，故选：A 5.【答案】C 解：由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2),所以f(x+4)=f(x),故函数f(x) 的周期为4，所以宁在等式2》中，令号府 f(弓=-f().因为函数y=f(y是定义在R上的奇函数。 1数学试题答案 所以f-f(=f-2-1-万-1，放f宁-巨-1.放答案为C 6.【答案】B 解：“马”从B处走到C处，最少需要3步，不同的行走路线有（如图所示）， 若第一步为BM接下来有2种走法 若第一步为BN,接下来有2种走法 A P 若第一步为BP,接下来有2种走法， 所以不同的行走路径有6条.故选B. B 7.【答案】D 解：圆x2+y2=4的圆心坐标是O(0,0),半径为2， 因为圆上恰有三个点到直线1距离等于1， 所以圆心O到直线l:x-y+b=0的距离d为1， 即山，得=土V2.故远D 8.【答案】C 解：由题意知a>0,b>0,c>0, 因为2°=a2,3=b3,5=c5, 两边同时取以e为底的对数，得aln2=2lna,bln3=3lnb,cln5=5lnc, na=In2.Inb_In3 Inc In5 a2’b=3’ 令f)=,则f)=1上nx x2 令f'(x)=0,得x=e, 当x∈(0，e)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，f"'(x)<0,f()单调递减， 又n2_m 2 4,所以a=2或a=4: Inb_In3 弘∈2，使得B-3,所以b=么或b=3: 2数学试题答案 c∈1,2)，使得hG=n5 C5,所以c=c或c=5, 当c=c,b=b(或b=3),a=4时，B成立； 当b=b,a=4,c=5时，C成立； 当c=G,a=2,b=b(或b=3)时，D成立： 由于c只能是三个数中的最大数或最小数，A不成立.故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分 9.【答案】BC 解：对于A、因为RQ,N∈平面BCGB,ME平面BCCB,故P,Q,MN四点不共面， A错误； 对于B直三棱柱ABC-AB,C的外接球，相当于以AB,AC,AA为棱的长方体的外接球， 长方体的体对角线就是外接球的直径，所以线段BC为直三棱柱ABC-ABC外接球的直径， B正确： ,=xx22x1x2= 对于C易得A到平面BCCB的距离为V2,V,ACw=V-ev=3x2 3 C正确； 对于D连接MQ,NQ,MW,则MQ∥AC,所以∠NMQ就是异面直线MW与AC所成的角， M0=2,N0=VP+(N2=5,MN=P+(N2)=5, 则cos∠NMO= MW2+Mg-QW2_3+4-3_V3V3 2MN.MO 2×V3×231 所以异面直线W与AC所成角不是 二，D错误： 故选BC. 6 10.【答案】ACD 解：根据题意可知，2 ccos B=acosB+bcosA和a=4, 又acos B+bcosA=c,故2 ccos B=c, 由于C≠0，解得cosB=),即∠B=3’因此选项A正确； 1 1 对于选项B,当c时，三角形面积3三些s血B×4X1X3-V3≠2，因此项B 3数学试题答案 错误： 对于选项C,当b=√13时，根据余弦定理b2=a2+c2-2 accos B, 1 即13=16+2-2×4×c×2,化简得c2-4c+3=0,解得c=1或c=3,因此选项C正 确： 对于选项D,由正弦定理sinB4XV3 2=2, sin A sin A sin A 由于siA,1,故b.25,当sinA=1时，即A=时取最小值，因此选项D正确。 故选：ACD. 11.【答案】ABD 解：由题意得F(,0),设1的方程为x=my+n, 联立方程可得 2=2, 2=mg+n,化简得y2-2my-2n=0, 设A(x,y),B(x2,y2),则△=(-2m)2-4×(-2n)=4m2+8n>0, y+y2=2m,yy2=-2n,x+x=2m2+2n,xx2=n2, 由OA.OB=xx,+yy2=n2-21=0,解得n=2或0（舍去），可知1过定点M(2,0), 15 对于A,1AF非X+22,则x=2,不妨取A(2,2),此时AB上x轴，B(2-2, |AB=4,故A正确；对于B,由于1过定点M(2,O),所以点F到1的距离 dFMF子，当FM⊥AB时，等号成立，放B正确 对于C FF=a+d=+列++侧=me+子子 又因为4OF上2，故存在1使得|FA.FBk4OF|,故C错误； 对于0当8与辅不垂直时，设P代，a=二之-为之、】 -为y经y+y, 22 由k=k柳，可得=)三y=x-2,令y=0,得x=2 4数学试题答案 当AB⊥x轴时，点P(2,O)满足题意，故点P的轨迹是一条抛物线，故D正确. 故选：ABD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】4 解：由圆台的侧面积公式S圆台侧=aπ(3+4)=28π，解得a=4, 因为随机变量X服从正态分布N(,σ2)， 所以D(X)=o2=a=4. 故答案为：4. 13.【答案】560 解：设等比数列{an}的公比为g,由题意知q≠-1， 因为544,516，所以年=所以1+4，所翘 1-q 1-9 g=3,因为1二-14，所以9g1 1-q 所以56=a11-g9=a11-(g=560. 1-9 故答案为：560. 20 14.【答案】 33 解：考虑abc能被4整除的抽法： 由abc能被4整除可知，a,b,c中至少有1个数为偶数， 若a,b,c中恰有1个偶数2个奇数，则偶数须为4或8，不同的抽法有CC=30种， 若a,b,c中恰有2个偶数1个奇数，则不同的抽法有CC6=60种， 若a,b,c均为偶数，则不同的抽法有C=10种， 所以使abc能被4整除的不同抽法有30+60+10=100种， 因此ac能被4整除的概率为C33, 10020 故答案为： 20 33 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 5数学试题答案 解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图，得： (0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1, 可得x=0.25,分数在[70,80)内的频率为0.25， .补全这个频率分布直方图如下： 4频米/组距 0.035 0.030 0.025 0.020 (4分) 0.015 0.010F-- 0.005 0 405060708090100分数 (2)由图知，众数为75和85， 均值为：45×0.10+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.25+95×0.05=70.5. (8分) (3)分数在[80,90)内的频率为0.25，[90,100)内的频率为0.05， 而0.05<10%<(0.25+0.05)，∴.排名靠前10%的分界点为90-a, 则0.025a+0.05=10%,解得a=2, ∴.排名靠前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需88分.(13分) 16.(15分) 解：()因为等差数列{an}中，an=41+(n-1)d,又a+1=2an+2, 所以a,+2d=2a,+(n-1)d+2,即a1+2=2d①， 因为S}为等差数列，所以S出S=S-S出 n+1 n+2n+1n+3n+2 令n=1时， SS-S-,即4=d②， 3243 结合①②，解出d=2,a,=2, 则a,=2+(n-1)×2=2n,所以{an}的通项公式为an=2n. (7分) (2)由题设得d, 2学-22*-22，即 =n+1 n+2-1n+1n+1 n2 6数学试题答案 1,++-2T22+.女n+1 所以Tn= dd 2”①， 则-+++ 2.3. n+1 2*1②， 1 1 11 由①-②得：Tn=1+ 2+2+… ”2m-2m+7=1+227人、/ +1n+1, n+1 1- 2*, 2 所以7n=3-n+3 2士，因为nen,所以生30，所以工<3，即证 (15分) 17.(15分) 解：()在图①中，连接BD,如图所示， E D 因为四边形ABCD为菱形，∠A=60°，所以DABD是等边三角形， 因为E为AD的中点，所以BE⊥AE,BE⊥DE, 又AD=AB=2,所以AE=DE=1, 在图②中，AD=√2，所以AE2+ED2=AD2,即AE⊥ED, 因为BCI∥DE,所以BC⊥BE,BC⊥AE, 又BEAE=E,AE,BE∈平面ABE,所以BC⊥平面ABE, 又BCC平面ABC,所以平面ABE⊥平面ABC. (7分) (2)由I)知，AE⊥DE,AE⊥BE,DE⊥BE,所以AE,ED,BE两两垂直， 以E为坐标原点，EB,ED,EA的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直 角坐标系， zt E c 7数学试题答案 则E(0,0,0)，A(0,0,1),B(N3,0,0),C(3,2,0),D(0,10), 因为P为4C的丰点，所以号宁则丽=号-m=90- 设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z), [ 1 PB:m=0 -x-y- 2=0 必 2 2 PDm=0 得 51 ，令z=√5，得m=(1,-55), x-2=0 2 设平面BDA的一个法向量为i=(X,y1,乙)， 因为BA=(-3,0,1),AD=(0,1,-1), BA=0 由 AD=0 ·得 -5x+名=0，令=1，得元=，5,5)， y-31=0 设二面角P一BD-A的大小为B,由题意知该二面角为锐角， 1 则cos0 mn m小F7’ 故二面角P-BD-A的余弦值为7 (15分) 18.(17分) 解：椭圆E的方程为 F=1a>b>0,e=2,c-2 2a2 由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，口PFF,的面积最大，则bc=2, 2 一三 bc=2 解得a=2,b=c=V2,椭圆E的方程为父+上-1. (4分) a2=b2+c2 42 (2)由)知，C(-2,0),D(2,0),由题意可设直线CM方程为： y=k(x+2)k≠0)，N(x,y),因为MD⊥CD,所以M(2,4k), 8数学试题答案 由{42整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0. y=k(x+2) 8k2-4 因为2x2示，所以5 2-4k2 1+2k2 所以y=K+2)=1+222,y2、 2-4k24k 1+2k21+2, 0M.0N=2.2-4k2 +222+4k4K一=中22=4.即OM.ON为定值4 (10分) 1+2k2-1+2k2 (3)由题意设G(0,m),使2|QAQG,设Q(x,y),A(0,√2)， 所以2=1QG1 2A' +0y-m=4,整理x2+y2+32y=m2-8 得 x2+(y-V2)2 3 F 因为0我迹是圆2+y广-8，所以2m-8y=m,32恒成立， y= 所以m=42, 所以G(0,42), .2A+OP-PF HOG+OP-(4-PF)-OG+OP+PF-4..GF-4 =V34-4. 所以当G,P,F三点共线时，2QA+2P|-|PE|取最小值√34-4， 故2QA+|2P|-IPE1最小值为34-4. (17分) 19.(17分) 解：（）仙证明：由f(=-xsinx+x2+n,得f"(x)=-sinx-xcosx-+2x,且f"(0)=0. 当x>0时，f'(x)=x(1-cosx)+x-sinx.因为1-cosx.0,x-sinx>0, 所以f"(x)>0.因为f'(-x)=-f'(x)对任意x∈R恒成立，所以当x<0时，f'(x)<0.所以 9数学试题答案 x=0是f(x)的唯一极值点. (5分) (2f')=-sinx-XCOSX,当x∈[0，匀]时，f'(x,0,所以f)在x∈0，]上单调递减， 因为f0)= 0，f写-3<0，所以由零点存在定理知在xe0孕上有且仅有 3 2 一个零点. 2)3r宗‘xusx+x SooZ--=(x),4馗‘xs00x-xuS-=(),f=(x)M安‘阳l亚z3X呆 时，有H(x)>0, 所以在写上单调递增，又因为宁-1k0,(x)=示>0，所以存在 me写a司使得m)=0, 当e(写m)时，M<侧=0，所以在写m上单词递减 所以当e写圆时，子停孕<0，改在写圆上无零点， 当xm对)时，h>hm=0,所以f)在(m,x）上单调递增，又fm<f(孕<0， f心-30，所以f)在m)上有且仅有一个零点 综上所述：f(x)在[0，π]上有且只有2个零点 (11分) (3)设曲线y=f(x)与曲线y=-Cosx的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分 别为x,x2,其斜率分别为k,k2,则kk2=-1.因为(-cos'=snx,所以 sinx·sinx3=kk3=-1.所以{sinx,sin3}={l,1. 不纺设n名=1，则=2kx+行，ke乙.因为k=了心G)=2m-sin5-5os西，由合 12 切线”的定义可知，2mx-sinx-COS=sinx.所以m=一 4k元+元，k∈Z. 由“合一切线”的定义可知，-snx+n=-c0sX,所以n=0.当m= 2 4k元+元’ k∈Z,n=0时，取x=2kπ+7， 5，=2k元-万，则c)=c0s飞=0，f)=c09=0） f"'(x)=sinx=1,f"(x2)=sinx2=-1,符合题意。 2 所以m=4k元+ -,k∈Z,n=0. (17分) 10数学试题答案姓名 准考 证号 座位号 密★考试启用前 陕西省西安中学高2026届高三模拟考试 数学 (时长：120分钟满分：150分 命题人：杜薇) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准 考证号、座位号填写在本试卷上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效。 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设a∈R,(3-i)I+ai)为纯虚数，则a= A.3 B月 c D.-3 2.设集合A=[0,a,B=(2,3),若A⌒B=⑦，则 A.0<a≤2 B.0<a<2 C.0<a<3 D.0<a≤3 3.设宜线)=2-4与双由线G天-号-1的一条浙近线平行，则C的高心率为 A.5 B.5 C.3 D.5 4.已知函数f)=m(@r+o>0吓孕图象相邻的两个对称中心间的距离为行，若f(a)-l1, 则函数f(x)图象的一个对称中心为 B.g.o c D.(π，0) 5.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)+f(x)=0,当x∈[0，]时， 数学试题 第1页（共4页） f)-2-1则f(母) A.8√2-1 B.2W2-1 C.√2-1 D.1-V2 6.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国的 半个象棋棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在 A处，可跳到A处，也可跳到A处，用向量AA,AA,表示马走了“一 步”，若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有 A.7种 B.6种 C.5种 D.4种 7.已知圆x2+y2=4,直线1：y=x+b,若圆上恰有三个点到直线1的距离等于1，则b的值为 A.0 B.±1 C.±3W2 D.±√2 8.已知2“=a2(a>0),3=b3,5°=c5,则a,b,c的大小关系不可能是 A.b<a<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分， 9.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA=2,AB⊥AC,点P,Q,M,N分别是BB, CC,AA,BC的中点，则 A.P,Q,M,W四点共面 B B.线段BC,为直三棱柱ABC-AB,C外接球的直径 M C.三棱锥P-AQN的体积为号 D.异面直线Mv与4C所成角为君 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 ccos B=acosB+bcosA,a=4,则 AB-胃 B.若c=1,则△ABC的面积为2 C.若b=√13，则c=1或3 D.b的最小值为25 数学试题 第2页（共4页） 11.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线1与C相交于A,B两点，P为AB的中点，0为坐标 原点，且OA⊥OB,则 A.当|AF非2时，|AB4 B.点F到1的距离的最大值为 C.|FA.FB卜4|OF D.点P的轨迹是一条抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为α，其侧面积等于28π，随机变量X服从正 态分布N(3,a),则D(X)=· 13.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S4=14,S=56,则S16= 14.从1,2,3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数a,b,c,则abc能被4整 除的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某校为了解假期学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从 ◆频*/组距 0.035 中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成 0.030---==----=---==-------。- [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后，得到 0.025 0.020 部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： 0.015 (1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； 0.010 (2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值： 0.005 (3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估 0 405060708090100分数 计获奖的同学至少需要多少分？ 16.(15分) 已知等养数列a,的前n项和为及，a-2血，+2，且，为等差数列， (1)求{an}的通项公式： (2)在2：与2号之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d.(d.>0)的等差数列，记数列 (}的前n项和为，求证：了，<3. 数学试题 第3页（共4页） 17.(15分) 已知如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°且AB=2,E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使AD=√2， 得到如图②所示的四棱锥A-BCDE. 围① 图② (1)求证：平面ABE⊥平面ABC (2)若P为AC的中点，求二面角P-BD-A的余弦值. 18.(17分) 世国E手+芳阳>8~0的法、点分图为，5，离心率怎，P失帽假上对 京+京 点，△PF1F2面积的最大值为2. (1)求椭圆E的方程： (2)若C,D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD,连结CM交椭圆于点NO 为坐标原点.证明：OM.ON为定值： (3)平面内到两定点距离之比是常数(2≠)的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A,点Q在 圆x2+y2=8上，求2QA+QP|-|PE|的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=-xsinx+x2+n. (1)当m=1时，求证：函数f(x)有唯一极值点； (2)当m=0,”-时，求在区间0列上的零点个数： (3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线y=f(x)与曲线y=-Cosx存在 两条互相垂直的“合一切线”，求m,n的值 数学试题 第4页（共4页）