陕西西安市某校2025-2026学年高三下学期第十次模拟考试数学试卷

**基本信息** 融合文化传承与科技前沿，如鳖臑模型（《九章算术》）、激活函数（神经网络），梯度设计覆盖函数、几何、概率等核心模块，适配高三月考综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、抛物线|基础概念辨析，如集合子集个数、复数几何意义| |多选题|3/18|统计、函数性质、数列|激活函数单调性判断，体现数学思维严谨性| |填空题|3/15|三角求值、二项式系数、圆锥与球|圆锥内部滚动球轨迹，考查空间想象与数学眼光| |解答题|5/77|三角函数、导数、立体几何、概率、双曲线|双曲线综合题（19题）三问递进，融合逻辑推理与数学语言表达；概率题（18题）结合企业零件检测，培养数据观念|

陕西省西安中学高2026届高三第十次模拟考试 数学答题卡 考场/座位号： 准考证号 姓名： 班级： [0] 0 [0] [0] [0] [0] [o] [o] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7J 正确填涂■ 缺考标记☐ [8j [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题：9~11为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12 13. 14 解答题 15 囚囚■ 6 囚囚■ ■ 17. B E D ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 61 ■ 口 ■ 陕西省西安中学高2026届高三第十次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟 满分：150分 ） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证 号、座位号填写在本试卷上。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效。 3. 作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合， 则集合A的子集个数为     A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体 称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，平面BCD，且， 则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 10. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 11. 已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______. 13.在的展开式中的系数为_______. 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且 (1)证明：； (2)求的面积. 16.（15分） 已知三次函数，a，，若函数的图象在处的切线方程为 (1)求函数的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. 17.（15分） 如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，点是线段上的动点，记与 平面所成的角为，求的最大值. 18.（17分） 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 19.（17分） 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求双曲线方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦 点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上 是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在， 请说明理由． 数学试题 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $陕西省西安中学高2026届高三第十次模拟考试 数学试题 (时长:120分钟满分:150分 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将自己的姓名、准考证 号、座位号填写在本试卷上。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,涂写在本试卷上无效。 3.作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的, 1.已知集合A={x∈Zx2-2x-3<0},则集合A的子集个数为() A.3 B.4 C.8 D.16 2已知aeR,复数在复平面内对应的点在虚轴上,则a=() A.-√2 B.-1 C.1 D.2 3.已知非零向量a,b满足a上3b,且(a+)⊥,则cos(a,)=() A B c.-2V2 D.2V2 3 3 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为3,则 OFP的面积 为() A. 2 B.√② C.2 D.2W2 5.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体 称为鳖腸,如图,在鳖膈ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD, 则异面直线AC与BD所成角的余弦值为() A C.3 2 D.、3 2 数学试题 第1页共4页 6.已知数列{a}满足a=2,且a+1=2a,则数列(-1)”1oga}的前2n项和为() A.2n B.-2n C.-n D.n 7.将函数y=cos2x+刀) 图象上的点 向左平移s(心>O)个单位长度得到点B,若B在函 6 数y=sin2x的图象上,则S的最小值为() A B号 D. 2 8.己知函数f(x)=e-+x2-x,则满足f(m)<f(m+2)的m的取值范围是() A.(0,+o) C.(-1,+o) D.(-o,0) 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分,有选错或不选的得0分 9.下列命题正确的是() A.数据4,4,4,6,6,7,8,8的众数是4 B.数据7,9,12,15,9,14,18的极差是11 C.数据2,3,3,5,7,8,9的第60百分位数是6 D.数据x,x,x3,,x,的平均数为2,方差为4,则数据2x+1,2+1,2x3+1,,2xn+1的平 均数为5,方差为16 10.深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一,激活函数是神经网络的重要组成部分.函 数)1+。是其中重製的激活函数之一,则() A.f(x)有且仅有一个零点 B.f(x)在区间(0,+o)上不单调 C.f(x)存在唯一极值点x∈(-2,-1) D.f(x)>-1恒成立 11.已知等差数列{an}的公差d≠0,Sn为数列{an}的前n项和,对给定的n且n≥3,neW, 4(Sm-Sm-2)<0,则下列说法正确的是() A.当n=10时,S18Sg>0 B.当n=5时,a4 4<0 C.当4>0,n=8时,a<ae D当4-1,n=9时,d(后 数学试题 第2页共4页 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知am0=行则 1+sin 20 0s20 13.在(x2-3x+2)的展开式中x的系数为 14.已知圆锥的底面半径为2√3,母线长为4√3,圆锥内部有一个半径1的球,该球同时紧贴 圆锥的侧面和底面滚动,则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知 ABC中,角4,BC的对边分别为a6c,A-号,a=6,且mB+imC=26 in B-inC (1)证明:1+1-巨 b c 2 (2)求 ABC的面积 16.(15分) 已知三次函数f(x)=x3+ax-6x+b,a,beR,若函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为 12x+2y-1=0 (1)求函数f(x)的解析式: (2)若存在x∈(0,+o),使得3nx≥f(x)+2m-1成立,求实数m的取值范围 17.(15分) 如图所示,正四棱锥P-ABCD的底面边长为√2,ACOBD=O,延长CD到点E,使 CE=2CD,连接AE,PE (1)证明:AE⊥平面PAC: (②)若 PAB为等边三角形,点F是线段BD上的动点,记PF与 平面PAE所成的角为日,求sin0的最大值, 数学试题 第3页共4页 18.(17分) 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件,现收到一批零件共有10个,其中不合 格的零件占总数的写从中随机抽取3个零件,设抽到的不合格的零件数为.X ④)求PX=少的值小明的求解过程如下:因为不合格的零件占总数的,所以X~A 3, 48 ,请问以上解答过程是否正确?如果正确,请说明解题依据: 如果不正确,请写出正确的解答过程; (2)若抽到的3个零件中至少有1个为不合格零件,求恰好有2个为不合格零件的概率: (3)对抽取的3个零件进行检测,每个零件的检测费用为10元,每发现1个不合格品,需额 外支出25元的处理费用.设本次检测的总费用为Y元,求随机变量Y的分布列与数学期望, 19.(17分) 已知双浦线E号多-a~060的右共点为F,高心李为2,过F作重古于:销的直线 该直线被E截得的弦长为6. (1)求双曲线E方程: (2)若面积为3的 ABC的三个顶点均在E上,直线AB经过坐标原点,直线BC经过右焦 点F,求直线BC的方程: (3)已知M(,0),过点T 的直线1与E在y轴的右侧交于不同的两点P,Q,直线1上 是否存在点s满足TP.S=Ps.TO,且SMP+|SFP=13?若存在,求s的坐标,若不存在, 请说明理由, 数学试题 第4页共4页 陕西省西安中学高2026届高三第十次模拟考试 数学试题参考答案 1、 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B A D C B 2、 多项选择题 9 10 11 ABD ACD BD 3、 填空题 12.【答案】2 13.【答案】-12 14.【答案】 四、解答题 15.【答案】 解：证明：，，由正弦定理， 所以，， 代入，整理得，即； 由余弦定理得， 即， 又因为，，可知即，， 所，解得或舍去， 所以  16.解：（1）因为，直线的斜率为 所以， 当切点坐标为，， （2）令，则 令，则或 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增，所以函数在内取得最大值 存在，使得成立即使得成立   17.解：由题意得，点是正方形的中心，所以平面. ∵平面，∴. ∵正方形中，，平面，∴平面PAC. ∵四边形中，∥，∴四边形是平行四边形，∴∥，. ∴平面. ∵平面，平面，∴. ∵，∴两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意知，， ∴，. ∴，∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设，则.记与平面所成的角为，则. 由，得，所以，∴， ∴的最大值为，此时，点与的中点重合. 17.【小问1详解】 小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. 【小问2详解】 设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. 【小问3详解】 由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 19.【小问1详解】 过右焦点作垂直于轴的直线，所以令，解得，所以有 ① 又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． 【小问2详解】 设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知， 由题可知直线斜率不能为0，可设为， 联立方程，得，化简整理，得， 所以且，且， 所以 ，解得， 所以直线的方程是或． 【小问3详解】 若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得，设，， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解不等式组得：， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时与交点为）． 因为，，且，取中点， 因为，所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，， 依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分 经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立． 选填详细解答 1.【答案】C  【详解】解不等式，得，因此， 所以集合 A的子集个数为 2.【答案】C 【详解】由复数的除法得， 又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 3.【答案】A 【详解】由可得：，整理可得：， 根据数量积定义可得：， 又因为，所以， 因为为非零向量，所以，所以等式约去，整理可得：. 4.【答案】B 【详解】由可得焦点坐标为，所以，所以代入抛物线可得， 因此的面积为. 5.【答案】A  【详解】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O， 连接EF，EG，FO，FG，GO，则，，， 或其补角为异面直线AC与BD所成角． 因为平面BCD，BC，BD，OG在平面BCD内，则，，， 又，则，设，则，， 为等边三角形，即，异面直线AC与BD所成角的余弦值为， 6.【答案】D 【详解】由，，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 则，所以数列的前项和为. 7.【答案】C 【详解】点在上，代入， 得：， 点向左平移个单位，纵坐标不变，横坐标减，得， 因为点在的图象上，所以，化简得：， 解得，因为，取，得最小正值. 8.【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得.故的取值范围为. 二、多选题 9.【答案】ABD 【详解】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确； 选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确； 选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，， 则该组数据的第百分位数为7，故C错误； 选项D：数据，的平均数为， 方差为，故D正确. 10.【答案】ACD 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，，且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 11.【答案】BD 【详解】对于A，当时， ， 因为 ，，所以 ， 又因为， ， 所以 ，故A错误； 对于B，当时， ， 若，则 ， 若，则 ，故B正确； 对于C，当时，， 若，则，因为，与题目条件矛盾， 若，则，，，故C错误； 对于D，当时， ， 又因为 ，代入可得： ，， 所以 ，解得，故D正确. 三、填空题 12.【详解】由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以， 得： . 13.【详解】，展开式中的系数， ∴ 14.【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $