期末提优特训10《二次根式的运算》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式运算全考点，以“概念-运算-应用”逻辑链构建方法体系，提炼“化简优先、公式简化、几何转化”解题策略，适配江苏期末全题型考查，强化运算素养与代数推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同类二次根式判定|例1+选择5题|化最简→比被开方数→验参数|从概念判定到参数计算，夯实根式化简基础| |乘除与分母有理化|例2+选择4题|合并根号运算，平方差有理化|运算规则与整式乘法公式结合，提升准确率| |加减运算|选择3题|一化二找三合并，非同类不合并|基于同类根式概念，构建分步运算逻辑| |混合运算|例2+解答21题|先乘方再乘除后加减，共轭根式用平方差|融合运算顺序与乘法公式，培养代数推理| |化简求值|例3+填空13题|先化简代数式再代入，结合非负性求字母值|体现“先化后代”解题套路，强化转化思维| |几何应用|例4+解答24题|几何条件列式→根式化简计算|建立几何问题与代数运算的转化桥梁，落实应用意识|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训10 《二次根式的运算》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.熟记二次根式乘除、加减运算法则，掌握最简二次根式、同类二次根式判定标准，熟练分母有理化（单项、两项分母）；能结合整式乘法公式（平方差、完全平方）完成二次根式混合运算；会利用二次根式运算解决几何边长、周长、面积、实际测量应用题。 2.规避 =|a|、运算法则成立条件a ≥ 0,b ≥ 0等高频易错点，提升根式运算准确率；掌握先化简后代入的化简求值解题套路；建立几何问题 → 列式 → 根式运算的转化思维。 3.落实运算素养、代数推理素养，适配期末填空、选择、计算、解答全题型考查要求。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( 考点1：同类二次根式判定（期末必考） （1）考情：期末高频，给出根式找同类、已知同类根式求参数m的值（2023-2025江苏各市期末连续考查） （2）应对策略： ① 全部化为最简二次根式； ② 被开方数相同即为同类； ③ 列方程求解参数，检验最简条件。 考点2：二次根式乘除与分母有理化（基础计算，解答必考） （1）考情：单独乘除化简、分母有理化是计算题第一小问必考内容，易错漏乘有理化因式 （2）应对策略：乘除优先合并根号再开方；分母两项用平方差有理化，分子分母同乘共轭根式。 考点3：二次根式加减运算（核心基础） （1）考情：必须先化简再合并，期末小题、大题穿插考查，易错直接合并不同类根式 （2）应对策略：一化（全部最简）、二找（同类根式）、三合并，非同类不能合并。 考点4：混合运算（期末解答必考，高频） （1）考情：运算顺序+乘法公式综合，(\sqrt a\pm\sqrt b)(\sqrt a\mp\sqrt b)平方差、完全平方公式年年考，2023-2025江苏南通、扬州、泰州期末必考计算题 （2）应对策略：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；遇共轭根式优先平方差简化计算。 考点5：化简求值（中档大题） （1）考情：含字母根式化简后代入数值，常结合非负性（|a|+ =0）求字母值再代入。 （2）应对策略：先化简代数式，再求未知数，最后代入，不直接硬代。 考点6：二次根式实际应用（几何应用题，期末压轴小解答） （1）考情：勾股定理求边长、矩形/三角形周长面积计算。 （2）应对策略：几何条件列式 → 根式化简计算结果，最终化成最简根式。 ) 三．经典例题 例1（2024·江苏泰州期末·3分·同类二次根式）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 例2（2023·江苏海安期末·混合运算）计算：÷-×+ 例3（2025·江苏扬州期末·化简求值）已知x=+1，求代数式(x-1)2+(+2)(-2)的值 例4（2023·辽宁凤城期末·应用·几何） 直角三角形两直角边长cm、cm，求面积 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城东台期末）下列属于最简二次根式的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 2.（2025·南通海安期末）计算×结果为（ ） A.6　 B.3　 C.　 D.24 3.（2025·扬州江都期末）下列运算正确的是（ ） A.+=　 B.2+=2 C.÷=3　 D.-= 4.（2025·泰州姜堰区期末）分母有理化后结果是（ ） A.+2　 B.-2　 C.--2　 D.2- 5.（2025·镇江丹徒区期末）与是同类二次根式的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 6. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8.甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形： 甲：， 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 9. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 若(2－3)2＝m－n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为(　　) A. m＝30，n＝6 B. m＝30，n＝12 C. m＝30，n＝－12 D. m＝12，n＝－12 （二）填空题 11.（2025·淮安清江浦期末）化简：-=______ 12.（2025·连云港赣榆期末）矩形长、宽，矩形周长=______ 13.（2025·苏州吴江期末）若最简二次根式与是同类根式，则a=______ 14.（2025·徐州铜山期末）(+)(-)=______ 15. 化简＝_______. 16. 已知的整数部分为，小数部分为，则_____________． 17. 如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，求它的另一条直角边． 18．计算：＝　 　． 19．已知，，则的值为 　　． 20．已知实数使得成立，则　　． （三）解答题 21. 计算： （1）； （2） （3）•（-）÷3 22．我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定＝ad－bc.例如：＝3×4－2×5＝2.请按此方法化简，并取一个你喜欢的a的值代入求值． 23．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝－(a>b>0)．如4*3＝－＝－1，试求下列各式的值： (1)13*5. (2)6*5－5×(8*3)． 24．有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 25. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x|． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． （1）试化简：； （2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++； （3）已知a、b满足，求ab的值． 26．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长． (2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？ (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·苏州昆山期末）已知a=，b=+2，则a、b关系（） A.a=b　 B.ab=2　 C.a+b=0　 D.a-b=2 2.（2025·南通通州期末）若|x-4|+=0，则=（） A.2　 B.　 C.12　 D. 3.（2025·泰州兴化期末）实数a<1，化简-|2-a|=（ ） A.-1　 B.1　 C.2a-3　 D.3-2a 4.（2025·镇江扬中市期末）--=（ ） A.　 B.　 C. 　D.2 5. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 6．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　） A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 7. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如果mn>0, n<0,下列等式中成立有( )｡ ① ② ③④ A. 均不成立 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9.小康和小英玩摸卡片游戏:如图,有三张大小,形状,纸质完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片的计算结果都是无理数,则它们的和为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 10．如果＋＝，且0<x<y，那么满足条件的整数对(x，y)有(C) A. 1对　　 B. 2对 C. 3对　　 D. 4对 （二）填空题 11.（2025·无锡江阴期末）(-)2=________ 12.（2025·淮安涟水县期末）若最简与同类二次根式，则x=____ 13.（2025·连云港东海期末）已知x=+1，则代数式x2-2x=______ 14.（2025·盐城阜宁期末）×-÷=______ 15. 当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是_______. 16. 将1、、、按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. 17. 化简二次根式结果是_____． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为 ． 19. 已知=10，则x等于__________. 20．小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积为_________． （三）解答题 21.计算或化简： （1）（－4）·； （2）（＋－）÷； （3）（3＋2）（2－3）. 22．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空： 4+3　 　2，1+　 　2，5+5　 　2． （2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要　 　m． 23.能力拓展： ；；；________． …：________． （1）请观察，，的规律，按照规律完成填空． （2）比较大小和 ∵________ ∴________ ∴________ （3）同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________2·1·c·n·j·y 24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　； （2）已知两个根分式M＝与N＝． ①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； ②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值． 25．材料：若a，b是两个正数，由完全平方式的非负数性质可得： （）2≥0（取等号时，b即a＝b）∴（）2﹣2•+（）2≥0 ∴a﹣2+b≥0∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号） 结论：对任意两个正数a，b，都有a+b≥2；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且x•＝1（常数），则有x+≥2＝2＝2（当且仅当x＝即x＝1时取等号） 所以当x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 利用以上结论完成下列问题： （1）当x，y为正数时，求的最小值； （2）当x＞1，求x+的最小值； （3）已知：a，b是两个正数，且a+b＝1，求的最小值． 26．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训10 《二次根式的运算》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.熟记二次根式乘除、加减运算法则，掌握最简二次根式、同类二次根式判定标准，熟练分母有理化（单项、两项分母）；能结合整式乘法公式（平方差、完全平方）完成二次根式混合运算；会利用二次根式运算解决几何边长、周长、面积、实际测量应用题。 2.规避 =|a|、运算法则成立条件a ≥ 0,b ≥ 0等高频易错点，提升根式运算准确率；掌握先化简后代入的化简求值解题套路；建立几何问题 → 列式 → 根式运算的转化思维。 3.落实运算素养、代数推理素养，适配期末填空、选择、计算、解答全题型考查要求。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( 考点1：同类二次根式判定（期末必考） （1）考情：期末高频，给出根式找同类、已知同类根式求参数m的值（2023-2025江苏各市期末连续考查） （2）应对策略： ① 全部化为最简二次根式； ② 被开方数相同即为同类； ③ 列方程求解参数，检验最简条件。 考点2：二次根式乘除与分母有理化（基础计算，解答必考） （1）考情：单独乘除化简、分母有理化是计算题第一小问必考内容，易错漏乘有理化因式 （2）应对策略：乘除优先合并根号再开方；分母两项用平方差有理化，分子分母同乘共轭根式。 考点3：二次根式加减运算（核心基础） （1）考情：必须先化简再合并，期末小题、大题穿插考查，易错直接合并不同类根式 （2）应对策略：一化（全部最简）、二找（同类根式）、三合并，非同类不能合并。 考点4：混合运算（期末解答必考，高频） （1）考情：运算顺序+乘法公式综合，(\sqrt a\pm\sqrt b)(\sqrt a\mp\sqrt b)平方差、完全平方公式年年考，2023-2025江苏南通、扬州、泰州期末必考计算题 （2）应对策略：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；遇共轭根式优先平方差简化计算。 考点5：化简求值（中档大题） （1）考情：含字母根式化简后代入数值，常结合非负性（|a|+ =0）求字母值再代入。 （2）应对策略：先化简代数式，再求未知数，最后代入，不直接硬代。 考点6：二次根式实际应用（几何应用题，期末压轴小解答） （1）考情：勾股定理求边长、矩形/三角形周长面积计算。 （2）应对策略：几何条件列式 → 根式化简计算结果，最终化成最简根式。 ) 三．经典例题 例1（2024·江苏泰州期末·3分·同类二次根式）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：=3，最简后被开方数为2；被开方数同为2，是同类二次根式，其余选项被开方数不同无法合并。 例2（2023·江苏海安期末·混合运算）计算：÷-×+ 【答案】：4+ 【解析】原式=-+2=-+2=4+ 例3（2025·江苏扬州期末·化简求值）已知x=+1，求代数式(x-1)2+(+2)(-2)的值 【答案】：2 【解析】原式=x2-2x+1+3-4=x2-2x，代入x=+1，原式=（+1）2-2（+1）=3+2+1-2-2=3+1-2=2 例4（2023·辽宁凤城期末·应用·几何） 直角三角形两直角边长cm、cm，求面积 【答案】：9cm2 【解析】S=××=×3×2=×18=9（cm2） 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城东台期末）下列属于最简二次根式的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】：C 【解析】：A化简2；B、D分母含根号，不符合最简二次根式定义，只有为最简。 2.（2025·南通海安期末）计算×结果为（ ） A.6　 B.3　 C.　 D.24 【答案】：A 【解析】：×===6。 3.（2025·扬州江都期末）下列运算正确的是（ ） A.+=　 B.2+=2 C.÷=3　 D.-= 【答案】：C 【解析】：非同类二次根式不能直接加减，A、B、D错误；÷=÷==3。 4.（2025·泰州姜堰区期末）分母有理化后结果是（ ） A.+2　 B.-2　 C.--2　 D.2- 【答案】：A 【解析】：分子分母同乘+2　，原式= 5.（2025·镇江丹徒区期末）与是同类二次根式的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】：B 【解析】：=4，=3，化简后被开方数都是2，为同类根式。 6. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项：，计算错误，故与题意不符； B选项：，计算步骤有误，故与题意不符; C选项：-，计算错误，故与题意不符； D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符.故选D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原式，故选A． 8.甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形： 甲：， 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 【答案】D 【解析】甲：当时，，当a=b时，无意义，乙：，∴甲错误，乙正确，选项说法错误，不符合题意；选项说法错误，不符合题意；选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意;故选D． 9. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得：==．故选A． 10. 若(2－3)2＝m－n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为(　　) A. m＝30，n＝6 B. m＝30，n＝12 C. m＝30，n＝－12 D. m＝12，n＝－12 【答案】B 【解析】： 故选B. （二）填空题 11.（2025·淮安清江浦期末）化简：-=______ 【答案】： 【解析】：3-2=。 12.（2025·连云港赣榆期末）矩形长、宽，矩形周长=______ 【答案】：14 【解析】：2(4+3)=14。 13.（2025·苏州吴江期末）若最简二次根式与是同类根式，则a=______ 【答案】：2 【解析】：a+4=6，解得a=2。 14.（2025·徐州铜山期末）(+)(-)=______ 【答案】：4 【解析】：平方差公式，7-3=4。 15. 化简＝_______. 【答案】 【解析】：. 故答案为. 16. 已知的整数部分为，小数部分为，则_____________． 【答案】 【解析】，故可得的整数部分为， 小数部分为， 故答案是：． 17. 如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，求它的另一条直角边． 【答案】 【解析】设直角三角形的另一直角边为，∵一个直角三角形面积为8，其中一条直角边为， 即它的另一条直角边是 18．计算：＝　 　． 【答案】 【解析】＝＝ ＝．故答案为：． 19．已知，，则的值为 　　． 【答案】11． 【解析】当，时，，， ，，． 20．已知实数使得成立，则　　． 【答案】． 【解析】， 而，．故答案为：． （三）解答题 21. 计算： （1）； （2） （3）•（-）÷3 解：（1）原式 （2）原式=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣． （3）原式= 22．我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定＝ad－bc.例如：＝3×4－2×5＝2.请按此方法化简，并取一个你喜欢的a的值代入求值． 解：由题意，得＝·（-）－·(a2－1)＝－a－＝＋1.∵1－a≠0，a≥0，a≠0，∴a>0且a≠1.当a＝2时，原式＝＋1. 23．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝－(a>b>0)．如4*3＝－＝－1，试求下列各式的值： (1)13*5. (2)6*5－5×(8*3)． 解：(1)13*5＝－＝－＝. (2)6*5－5×(8*3)＝－－5×(－)＝－1－5×（-） ＝－1－＋＝－1. 24．有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　； （2）求剩余木板的面积； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 　　个这样的木条． 解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为， 故答案为：； （2）根据题意得：矩形的长为，宽为， 剩余木料的面积； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ，能截出块这样的木条．故答案为：2． 25. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x|． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． （1）试化简：； （2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+++； （3）已知a、b满足，求ab的值． 解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，所以＝3﹣x﹣（2﹣x） ＝3﹣x﹣2+x＝1； （2）∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴+++； ＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a ＝2a+2b+2c； （3）∵＝a+3，若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a＝﹣，∵＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b＝﹣或，∴ab＝±． 26．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长． (2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？ (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值． 解：(1)AC＋CE＝＋. (2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小． (3)如解图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为＋的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12，∴AE＝13，即＋的最小值为13. 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025·苏州昆山期末）已知a=，b=+2，则a、b关系（） A.a=b　 B.ab=2　 C.a+b=0　 D.a-b=2 【答案】：A 【解析】：a===+2=b。 2.（2025·南通通州期末）若|x-4|+=0，则=（） A.2　 B.　 C.12　 D. 【答案】：A 【解析】：非负性：x=4，y=3，=2。 3.（2025·泰州兴化期末）实数a<1，化简-|2-a|=（ ） A.-1　 B.1　 C.2a-3　 D.3-2a 【答案】：A 【解析】：原式=1-a-(2-a)=1-a-2+a=-1。 4.（2025·镇江扬中市期末）--=（ ） A.　 B.　 C. 　D.2 【答案】：B 【解析】：原式=3--=。 5. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 【答案】C 【解析】∵ ，∴. 6．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　） A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 【答案】D 【解析】＝3，＝15，＝6，可得：k＝3，m＝2，n＝5， 则m＜k＜n．故选：D． 7. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵，∴，∴， ∴=== ==.故选D. 8. 如果mn>0, n<0,下列等式中成立有( )｡ ① ② ③④ A. 均不成立 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】根据题意，可知mn＞0，n＜0，所以可得m＜0，根据二次根式的乘法的性质，可知m≥0，n≥0，故①不正确；根据二次根式的乘法，可得==1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m≥0，n＞0，故③不正确；根据二次根式的除法，可得==-m，故④正确.故选C. 9.小康和小英玩摸卡片游戏:如图,有三张大小,形状,纸质完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片的计算结果都是无理数,则它们的和为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 【答案】A　 【解析】∵(1-)2=4-2,(2+)(2-)=22-()2=4-3=1,÷=4÷2=2,∴卡片A,C的计算结果是无理数,卡片B的计算结果是有理数,∴小康所抽取的两张卡片上的计算结果的和为(1-)2+÷=4-2+2=4.故选A. 10．如果＋＝，且0<x<y，那么满足条件的整数对(x，y)有(C) A. 1对　　 B. 2对 C. 3对　　 D. 4对 【答案】C 【解析】∵＝7，且0<x<y，∴，和7是同类二次根式．设＝a，＝b，则＋＝(a＋b)＝7，∴a＋b＝7.∵0<x<y，∴a<b， ∴或或∴满足条件的整数对(x，y)有3对． （二）填空题 11.（2025·无锡江阴期末）(-)2=________ 【答案】：7-2 【解析】：完全平方：5+2-2=7-2。 12.（2025·淮安涟水县期末）若最简与同类二次根式，则x=____ 【答案】：6 【解析】：3x+1=19，x=6。 13.（2025·连云港东海期末）已知x=+1，则代数式x2-2x=______ 【答案】：1 【解析】：原式=x(x-2)=(+1)(-1)=2-1=1。 14.（2025·盐城阜宁期末）×-÷=______ 【答案】：2-3 【解析】：-=2-3。 15. 当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是_______. 【答案】3 【解析】(1)当时，解得：13<x<16，原式=16−x+x−13=3，为常数；(2)当时，解得：x<13，原式=16−x+13−x=29−2x，不是常数；(3)当时，解得：x>16；原式=x−16+x−13=2x−29，不是常数；(4)当时，无解.常数3. 16. 将1、、、按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. 【答案】 【解析】（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4个就是：，∴(5，4)与(9，4)表示的两数之积是：×=2．故答案为2． 17. 化简二次根式结果是_____． 【答案】 【解析】二次根式有意义的条件是：，解得：a≤-1，∴，即，∴=，=，=，故答案为：． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：，上的高为2，∴， 由勾股定理可得：，设AB上的高为，∴，∴， ∴AB边上的高为．故答案为：． 19. 已知=10，则x等于__________. 【答案】2 【解析】已知=10，∴x＞0，∴原式可化简为：++3=10， ∴=2，两边平方得：2x=4，∴x=2， 20．小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积为_________． 【答案】（﹣12+8）cm2 【解析】：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16＝8+16﹣12﹣16＝（﹣12+8）cm2． （三）解答题 21.计算或化简： （1）（－4）·； （2）（＋－）÷； （3）（3＋2）（2－3）. 解：（1）（－4）·＝（3－2）·＝·＝； （2）（＋－）÷＝·＋·－·＝1＋－ ＝1＋－＝； （3）（3＋2）（2－3）＝3·2－3·3＋2·2－2·3 ＝6a－9＋4－6b＝6a－5－6b. 22．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空： 4+3　 　2，1+　 　2，5+5　 　2． （2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要　 　m． 解：（1）∵4+3＝7，2＝4，∴72＝49，（4）2＝48，∵49＞48，∴4+3＞2； ∵1+＝＞1，2＝＜1，∴1+＞2；∵5+5＝10，2＝10，∴5+5＝2．故答案为：＞，＞，＝． （2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：当m≥0，n≥0时，∵（﹣）2≥0， ∴（）2﹣2•+（）2≥0，∴m﹣2+n≥0，∴m+n≥2． （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：a+2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40． 23.能力拓展： ；；；________． …：________． （1）请观察，，的规律，按照规律完成填空． （2）比较大小和 ∵________ ∴________ ∴________ （3）同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________2·1·c·n·j·y 解：（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以，， （2）∵，∴，∴，即 ，∴； （3）由（1）、（2）知，，，； 故答案为：(1)、；(2);(3) 24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　； （2）已知两个根分式M＝与N＝． ①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； ②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值． 解：（1）． （2）①∵，∴，∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+4， 解得x＝2，检验，当x＝2时，（x﹣2）2＝0，所以原分式方程无解，从而不存在x的值使得N2﹣M2＝1． ②∵，∴＝＝， ∴当M2+N2是一个整数时，（x﹣2）2可以取1或2，等，∴当x是无理数时，或x﹣2＝±，由于当时，x﹣1＜0，舍去，∴，x＝2+，x＝2﹣（答案不唯一）． 25．材料：若a，b是两个正数，由完全平方式的非负数性质可得： （）2≥0（取等号时，b即a＝b）∴（）2﹣2•+（）2≥0 ∴a﹣2+b≥0∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号） 结论：对任意两个正数a，b，都有a+b≥2；上述不等式当且仅当a＝b时等号成立．当这两个正数a，b的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数a，b的和的最小值例如：当x为正数时，两数x和均为正数，且x•＝1（常数），则有x+≥2＝2＝2（当且仅当x＝即x＝1时取等号） 所以当x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 利用以上结论完成下列问题： （1）当x，y为正数时，求的最小值； （2）当x＞1，求x+的最小值； （3）已知：a，b是两个正数，且a+b＝1，求的最小值． 解：（1）由于+≥2＝8，当且仅当＝时取等号， 即y＝2x，的最小值为8； （2）∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝5， 当且仅当x﹣1＝时取等号，即x＝3，x+的最小值为5， （3）∵a+b＝1，∴＝+＝2++≥2+2＝4， 当且仅当取等号，即a＝b＝时，的最小值为4； 26．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 解：（1）∵，，∴； ∵，∴，又∵，，，，，是中的元素，∴，，分别是5，7，9，∴,∴， （2）证明：由题意得 ， ， ∴ ∴ ， ∵当无穷大时，趋近于0， ∴，∴，∴； （3）证明：设， 设， ∴， ∴这里有个元素， ∵， ∴上面为集合的所有元素， 同理：， ∴这里有个元素， ∴上面为集合的所有元素， ∴， ∴， 由上得，， 同理：， ∴， ∴， ∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $