专题24.2 数据的离散程度（3大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

本初中数学讲义聚焦“数据的离散程度”核心知识点，从离差、离差平方和的基础概念出发，系统梳理方差的定义、公式及意义，进而探究数据变化对平均数与方差的影响规律，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型夯实计算能力，培优题型强化推理意识，压轴题型结合实际情境（如配送平台稳定性分析）培养数据观念。通过实际问题决策（如选择更稳定的车型），引导学生用数学思维分析数据，既辅助教师分层教学，又帮助学生课后查漏补缺，提升应用意识。

专题24.2 数据的离散程度 知识点1：离差与离差平方和 1.离差：对于数据，平均数为，数据的离差为，反映单个数据与平均数的偏差。 2.离差平方和，记作，反映数据整体偏离平均数的程度。 3.公式： 知识点2：方差 1.定义：一组数据中，各数据与平均数差的平方的平均数，记作。 2.公式：。 3.意义：方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据波动越小、越稳定。 知识点3：数据变化对平均数与方差的影响 设原数据：平均数，方差 数据变化 新平均数 新方差 每个数据加 每个数据乘 每个数据乘加 【基础必考题型】 【题型1】离差平方和的概念与计算 1.核心知识点 离差：；离差平方和： 2.解题方法技巧 先求平均数，逐个算离差再平方，全部相加。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知数据6，7，8，则这组数据的离差平方和为______． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是_____． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若一组数据，，…，的方差为16，则这组数据的离差平方和为______． 【题型2】直接计算方差 1.核心知识点 方差公式；先求平均数，再算离差平方的平均数。 2.解题方法技巧 步骤：求平均→算离差→平方→求平均。 【例题2】.（2026·广东茂名·一模）某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是______． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6，求： (1)这组数据的平均数、众数、中位数． (2)这组数据的离差平方和与方差． 【变式题2-2】.（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）比较下列两组数据的方差： A组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5： B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5． 【题型3】根据方差判断稳定性 1.核心知识点 方差越小，数据越稳定。 2.解题方法技巧 平均数相近时，直接比较方差大小。 【例题3】.（2026·贵州铜仁·二模）某中学举行红色经典朗诵比赛，甲、乙两个班各选24名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是172厘米，其方差分别是，．则参赛学生身高比较整齐的班级是_____班．（填甲或乙） 【变式题3-1】.（2026·山西运城·三模）小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下： 单位：分钟 平台 单号 1 2 3 4 5 A 28 30 32 29 31 B 15 20 45 38 32 若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（     ） A．平台A B．平台B C．两家都一样 D．无法判断 【变式题3-2】.（2026·福建漳州·模拟预测）芗城中学生物兴趣小组探究不同光照时长对绿萝幼苗生长影响，选取20株长势一致的绿萝幼苗，随机均分为A，B两组（每组10株）．在相同温度、湿度等环境条件下，将A组置于“弱光环境”（每日光照4小时）、B组置于“强光环境”（每日光照8小时）培养30天，随后测量并记录每株绿萝生长的高度（单位：），绘制出如图所示的折线统计图．已知两组数据的平均数均为，则生长高度更稳定的是________组（填“A”或“B”）． 【变式题3-3】.（2026·河南三门峡·二模）2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型：     B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分      统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． (2)如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 【培优高频题型】 【题型4】数据变化后方差与平均数的计算 1.核心知识点 数据平移、伸缩对平均数与方差的影响规律。 2.解题方法技巧 套用变化规律，不用重新计算全部数据。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差是0.5，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是_______________． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的方差为______． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山西运城·期末）已知一组数据的平均数是5，方差是2．那么另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．5；2 B．5；5 C．8；2 D．8；5 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【题型5】已知方差反求参数 1.核心知识点 逆用方差公式列方程；分类讨论。 2.解题方法技巧 设未知数→按方差公式列等式→解方程→检验。 【例题5】.（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【变式题5-1】.（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一组数据的方差，则_____． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，分析算式中的信息，______，______． 【压轴素养题型】 【题型6】数据增减对方差的影响判断 1.核心知识点 加入接近平均数的数据，方差变小；加入极端数据，方差变大。 2.解题方法技巧 看新增数据与平均数的距离，判断波动变化。 【例题6】.（25-26八年级下·浙江舟山·期中）某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工和瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________．（填“变小”“不变”或“变大”） 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 5000 【变式题6-2】.（2026·山西阳泉·二模）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 a 165 m B组 166 165 b 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【变式题6-3】.（2026·山西阳泉·一模）某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 90 90 90 6.33 乙组 90 b 87 12 丙组 a 90 90 c (1)填空：______，______，______； (2)根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由． (3)如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论． 【题型7】运用方差实际情境决策题 1.核心知识点 用平均数与方差做选择；既看水平又看稳定。 2.解题方法技巧 水平优先看平均，稳定优先看方差。 【例题7】.（2026·安徽合肥·二模）为了营造“书香校园”的良好氛围，某中学开展了“一周阅读”打卡活动．为了解活动效果，校学生会随机抽查了八年级（1）班和（2）班各10名同学，统计了他们一周（7天）的自主阅读总时长（单位：小时），并进行整理，绘制了如下所示统计图表： 平均数 中位数 方差 八（1）班 8 3 八（2）班 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：统计表中的_________，________； (2)若该校八年级共有600名学生参加了本次活动，估计其中有多少名学生一周阅读时长达到或超过平均数； (3)根据以上数据，你认为该校八年级（1）班和（2）班中哪个班级学生阅读时长整体较好?请说明理由．（写出一条理由即可） 【变式题7-1】.（2026·山西吕梁·二模）2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 【变式题7-2】.（2026·辽宁阜新·二模）年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； (3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【变式题7-3】.（2026·湖南岳阳·三模）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据．现从这两个班级中分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息． 【数据收集】甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 a 8 6 乙班 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________、___________； (2)小明对小刚说：“体育考试在即．每个班级按时间多少进行排名，运动时间更多者排名更靠前．虽然我俩的平均每周锻炼时长都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____________班的学生．（填“甲”或“乙”） (3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由． 易错点 1、混淆方差与极差，用极差代替方差判断稳定性。 2、方差公式漏除以数据个数，算成离差平方和。 3、数据变化规律记错，如平移时方差改变、伸缩时方差未平方。 4、判断稳定性时忽略平均数，只看方差不看水平。 5、计算离差平方时符号错误，负数平方未变正。 重点 1、方差的定义、公式与计算步骤。 2、方差的意义：方差越小越稳定。 3、数据变化对平均数、方差的影响规律。 4、用平均数与方差综合分析数据、做决策。 难点 1、已知方差反求参数（方程思想+分类讨论）。 2、结合实际情境合理选择统计量分析与决策。 3、多组数据综合对比，兼顾水平与稳定性。 4、方差与统计图、新定义融合的创新题型。 【对应练习题】 一、单选题 1．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，身高最整齐的是（     ） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 2．体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（     ） A．平均数改变，方差不变 B．平均数改变，方差改变 C．中位数改变，方差改变 D．中位数不变，方差不变 3．甲、乙两位同学进行了5轮的定点打靶训练，每轮打靶100次，他们的命中率折线统计图如图．下面根据统计图得到的结论中，正确的是（   ） A．甲打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 B．乙打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 C．甲打靶命中率的中位数大，但乙的成绩更稳定 D．乙打靶命中率的中位数大，但甲的成绩更稳定 二、填空题 4．甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 5．某实验将10名同学分为A，B两组（每组各5名），A组平均成绩为80分，B组平均成绩为90分，总平均成绩为85分，则组间离差平方和为______． 6．甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 三、解答题 7．“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现．校跳绳队教练选出甲、乙两名学生参加跳绳比赛，对这两名学生最近10次一分钟跳绳个数的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分统计图表． 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数统计表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲（个） 210 140 170 200 140 170 190 170 160 190 乙（个） 190 200 180 190 190 200 190 200 190 190 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数分析表 平均数 中位数 众数 甲 174 170 乙 190 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中 ， ； ； (2)从折线统计图看， 学生一分钟跳绳成绩较稳定（填“甲”或“乙”）； (3)教练认为乙学生一分钟跳绳成绩较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写一条即可） 8．校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行收集、整理和分析，下面给出了部分信息． 【数据收集】乙运动员10次测试成绩： 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中甲运动员10次测试成绩绘成条形统计图，如图所示． 【数据分析】甲、乙运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 甲、乙运动员测试成绩统计表 运动员 平均数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补齐甲运动员成绩条形统计图； (2)表中________，________，________； (3)学校从甲、乙两人中挑选一名运动员参加比赛，通过以上数据分析，你认为挑选哪名运动员更合适． 9．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是：． 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中的________，________； (2)若该校八、九年级各有名学生参加了此次知识竞赛，估计其中竞赛成绩达到优秀的学生共有________人； (3)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 10．学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为10分，评分均为整数）．规定：评分大于等于6分为“通过面试”，评分大于等于9分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． a．甲、乙得分折线统计图 b．甲、乙得分统计如下表： 平均数/分 中位数/分 方差 通过率 优先录取率 甲 7.3 3.21 乙 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________． (2)通过计算得出___________． (3)甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.2 数据的离散程度 知识点1：离差与离差平方和 1.离差：对于数据，平均数为，数据的离差为，反映单个数据与平均数的偏差。 2.离差平方和，记作，反映数据整体偏离平均数的程度。 3.公式： 知识点2：方差 1.定义：一组数据中，各数据与平均数差的平方的平均数，记作。 2.公式：。 3.意义：方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据波动越小、越稳定。 知识点3：数据变化对平均数与方差的影响 设原数据：平均数，方差 数据变化 新平均数 新方差 每个数据加 每个数据乘 每个数据乘加 【基础必考题型】 【题型1】离差平方和的概念与计算 1.核心知识点 离差：；离差平方和： 2.解题方法技巧 先求平均数，逐个算离差再平方，全部相加。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】10 【分析】先根据平均数的定义求出x，然后运用离差平方和的公式求解即可作答． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴这组数据的离差平方和为． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知数据6，7，8，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】2 【分析】根据离差平方和定义进行计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为 这组数据的离差平方和为． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【分析】本题考查离差平方和的计算，先求出这组数据的平均数，再根据定义计算离差平方和． 【详解】解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和为： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若一组数据，，…，的方差为16，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】160 【分析】用方差乘以数据的个数计算即可. 【详解】解：. 【题型2】直接计算方差 1.核心知识点 方差公式；先求平均数，再算离差平方的平均数。 2.解题方法技巧 步骤：求平均→算离差→平方→求平均。 【例题2】.（2026·广东茂名·一模）某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6，求： (1)这组数据的平均数、众数、中位数． (2)这组数据的离差平方和与方差． 【答案】(1)平均数：；众数：6；中位数： (2)离差平方和：；方差： 【详解】（1）解：按从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7． 平均数 ， 众数是6，中位数是； （2）解：离差平方和 ， 方差 ． 【变式题2-2】.（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算，按照方差计算步骤，先求出五次成绩的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴方差 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）比较下列两组数据的方差： A组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5： B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5． 【答案】，， 【分析】利用方差的运算公式运算出方差后比较即可． 【详解】解：A的平均数， ∴A的方差； B的平均数， ∴B的方差； ∴． 【题型3】根据方差判断稳定性 1.核心知识点 方差越小，数据越稳定。 2.解题方法技巧 平均数相近时，直接比较方差大小。 【例题3】.（2026·贵州铜仁·二模）某中学举行红色经典朗诵比赛，甲、乙两个班各选24名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是172厘米，其方差分别是，．则参赛学生身高比较整齐的班级是_____班．（填甲或乙） 【答案】乙 【分析】根据方差的意义，方差越小数据波动越小，身高越整齐，比较两个班方差的大小即可判断． 【详解】解：， 乙班参赛学生身高波动更小，身高比较整齐． 【变式题3-1】.（2026·山西运城·三模）小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下： 单位：分钟 平台 单号 1 2 3 4 5 A 28 30 32 29 31 B 15 20 45 38 32 若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（     ） A．平台A B．平台B C．两家都一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】判断配送时间稳定性需要比较两组数据的方差，方差越小，数据波动越小，配送越稳定，先计算两组数据的平均数与方差，再比较方差大小得出结论． 【详解】解： ， ， ， ， ， 平台A的配送时间波动更小，更稳定． 【变式题3-2】.（2026·福建漳州·模拟预测）芗城中学生物兴趣小组探究不同光照时长对绿萝幼苗生长影响，选取20株长势一致的绿萝幼苗，随机均分为A，B两组（每组10株）．在相同温度、湿度等环境条件下，将A组置于“弱光环境”（每日光照4小时）、B组置于“强光环境”（每日光照8小时）培养30天，随后测量并记录每株绿萝生长的高度（单位：），绘制出如图所示的折线统计图．已知两组数据的平均数均为，则生长高度更稳定的是________组（填“A”或“B”）． 【答案】B 【详解】解：根据折线统计图可知，A组波动较大，稳定性较差，B组波动较小，稳定性较强． 【变式题3-3】.（2026·河南三门峡·二模）2026年前两个月，我国新能源汽车出口58.3万辆，同比增长1.1倍，占汽车出口总量的四成以上，成为拉动汽车出口增长的核心动力．某新能源汽车厂家研发了A，B两种新车型，计划用于出口．由于装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要，该厂从每种车型中各随机抽取5辆试产车，分别从装配工艺和底盘质量两方面对其进行评分（满分均为10分），并对得分进行整理、描述、分析，部分信息如下． a．两种车型的装配工艺得分： A种车型：     B种车型： b．两种车型的底盘质量得分统计图： c．两种车型的装配工艺和底盘质量得分统计表： 项目 装配工艺得分 底盘质量得分      统计量 车型 平均数 方差 中位数 方差 A种 0.56 B种 8.6 0.24 9 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中__________，____________________（填“>”“=”或“<”）． (2)如果你是该公司的决策者，你会选择哪种车型进行量产？请结合“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景说明理由． 【答案】(1)9.2，9， (2)选择B种车型进行量产， 理由：在“装配工艺和底盘质量在出口市场中同等重要”的背景下，由，，可知B种车型这两个方面得分的方差均小于A种车型这两个方面得分的方差，说明B种车型质量更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法求出m和n，根据折线统计图判断方差的大小即可； （2）根据表格中的数据，选择一个方面说明即可． 【详解】（1）解：A种车型装配工艺得分从小到大排列：8，9，9，10，10， ∵5个数据排在中间的数是9， ∴． 观察折线图，A车型底盘得分波动更大，B车型得分更集中，因此方差． （2）略 【培优高频题型】 【题型4】数据变化后方差与平均数的计算 1.核心知识点 数据平移、伸缩对平均数与方差的影响规律。 2.解题方法技巧 套用变化规律，不用重新计算全部数据。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差是0.5，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是_______________． 【答案】10   4.5 【分析】根据数据线性变换的性质，新数据的平均数为原平均数乘以系数加上常数，新方差为原方差乘以系数的平方． 本题主要考查平均数，方差的计算，掌握平均数，方差的计算方法是解题的关键． 【详解】解：设原数据平均数为，方差为． 新数据为（）， 则新平均数为． 新方差为． 故答案为：10，4.5． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的方差为______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平均数与方差的定义及数据变换后的统计量关系，熟练掌握“通过平均数、方差的基本公式，代入新数据表达式推导其与原数据统计量的关系”是解题的关键．先根据原数据的平均数、方差定义，推导新数据的平均数，再代入方差公式推导新方差与原方差的关系，最后计算结果． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为． ∵ 原数据平均数，方差， 新数据为，设其平均数为，方差为． ∵ ， ∴ ， ∴ ，      ∴ ， 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山西运城·期末）已知一组数据的平均数是5，方差是2．那么另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．5；2 B．5；5 C．8；2 D．8；5 【答案】C 【分析】本题考查的是平均数，方差的计算，利用平均数、方差的定义公式，结合原数据的平均数和方差，计算新数据的平均数和方差即可． 【详解】解：∵原数据的平均数是5， ∴， 则新数据的平均数为： ， ∵原数据的方差是2 ∴， 新数据的方差为： ∴新数据的平均数是8，方差是2， 故选C． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【答案】C 【分析】此题考查了平均数和方差的求法． 根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为． 【详解】解：∵原数据的平均数， 方差 ∴新数据的平均数 新数据的方差 ∴新数据的平均数和方差分别为9和9， 故选：C． 【题型5】已知方差反求参数 1.核心知识点 逆用方差公式列方程；分类讨论。 2.解题方法技巧 设未知数→按方差公式列等式→解方程→检验。 【例题5】.（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一组数据的方差，则_____． 【答案】25 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解． 【详解】解：由方差公式可知， 该组数据的平均数为9， 因此，有 ， 整理得， 即 ， 所以 ． 故答案为：25． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，分析算式中的信息，______，______． 【答案】 2 6.8 【分析】根据方差公式中数据个数与各项系数的关系确定，再通过数据总和除以个数求平均数 ．先由方差算式中系数和为数据总个数得，再列数据计算 ．本题主要考查方差与平均数的概念及计算，熟练掌握方差公式中数据个数的体现、平均数的计算方法（数据总和除以个数）是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以一共有10个数据，所以， 所以这10个数据分别为7，7，7，8，8，6，6，5，5，9， 所以． 故答案为2，6.8． 【压轴素养题型】 【题型6】数据增减对方差的影响判断 1.核心知识点 加入接近平均数的数据，方差变小；加入极端数据，方差变大。 2.解题方法技巧 看新增数据与平均数的距离，判断波动变化。 【例题6】.（25-26八年级下·浙江舟山·期中）某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】分别计算增加队员前后的平均数和方差，比较大小即可得出结论． 【详解】解：原数据的和为 ∵原数据的平均数为 原数据的方差为 新数据的和为，新数据的平均数为 新数据的方差为 ∴平均数不变，方差变小． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工和瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________．（填“变小”“不变”或“变大”） 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 5000 【答案】变大 【分析】本题主要考查了方差的计算，熟练掌握方差公式是解题的关键．先分别求出调整前后员工月工资的平均数，再根据方差公式计算调整前后的方差，最后比较方差大小． 【详解】解：调整前：员工月工资总和为（元） （元） 调整后：电工人数，木工人数，瓦工人数 员工月工资总和为（元） （元） 因为， 所以与调整前相比，该工程队员工月工资的方差变大， 故答案为：变大． 【变式题6-2】.（2026·山西阳泉·二模）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 a 165 m B组 166 165 b 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】(1)，164，，A (2)平均数不变；方差发生变化，且方差变小 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义解答即可； （2）求出人数增加后A组所有同学身高的平均数和方差，即可求解． 【详解】（1）解：把表示A组同学的身高的数据从小到大排列为163，165，165，165，166，167，168，169，位于正中间的两个数为165，166， ∴中位数； 表示B组同学的身高的数据中164出现的次数最多， ∴众数， ∵两组同学中身高的平均数相同，且A组同学中身高的方差小于B组同学中身高的方差， ∴两组同学中身高更整齐的是A组； （2）解：人数增加后A组所有同学身高的平均数为， 所以人数增加后A组所有同学身高的平均数不变； 人数增加后A组所有同学身高的方差为， 所以人数增加后A组所有同学身高的方差发生变化，且方差变小． 【变式题6-3】.（2026·山西阳泉·一模）某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 90 90 90 6.33 乙组 90 b 87 12 丙组 a 90 90 c (1)填空：______，______，______； (2)根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由． (3)如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论． 【答案】(1)90；89.5；1.67（或） (2)选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可） (3)一致 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）对比平均数和方差，再作决策即可； （3）对比平均数和方差，再作决策即可． 【详解】（1）解：； 将乙组成绩由小到大排列为：，则； ； （2）解：选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可）． （3）解：结果一致， ∵三位候选组员的成绩都是90分， ∴平均分不变仍为90分， 增加一名候选组员后，，，， ∵， ∴， ∴增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果一致． 【题型7】运用方差实际情境决策题 1.核心知识点 用平均数与方差做选择；既看水平又看稳定。 2.解题方法技巧 水平优先看平均，稳定优先看方差。 【例题7】.（2026·安徽合肥·二模）为了营造“书香校园”的良好氛围，某中学开展了“一周阅读”打卡活动．为了解活动效果，校学生会随机抽查了八年级（1）班和（2）班各10名同学，统计了他们一周（7天）的自主阅读总时长（单位：小时），并进行整理，绘制了如下所示统计图表： 平均数 中位数 方差 八（1）班 8 3 八（2）班 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：统计表中的_________，________； (2)若该校八年级共有600名学生参加了本次活动，估计其中有多少名学生一周阅读时长达到或超过平均数； (3)根据以上数据，你认为该校八年级（1）班和（2）班中哪个班级学生阅读时长整体较好?请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)8；8 (2)该校八年级学生中，一周阅读时长达到或超过平均数的人数约为360人 (3)八年级（1）班学生阅读时长整体较好，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义进行计算即可； （2）根据样本中达到或超过平均数的人数计算出占比，再乘以全校八年级学生数即可； （3）从平均数、中位数和方差的角度评价两个班级的数据即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，八（1）班的平均数为， ∴， 将八（2）班抽取的10名同学一周阅读时长从小到大排列为： 4，6，6，7，8，8，9，9，10，13， 其中第5个数和第6个数都是8， ∴八（2）班的中位数为，即； （2）解：由题意可知，抽取的20名学生中，一周阅读时长大于或等于8小时的有12人， （人）． 答：该校八年级学生中，一周阅读时长达到或超过平均数的人数约为360人； （3）解：八年级（1）班学生阅读时长整体较好，理由如下： 八年级（1）班和（2）班参加“一周阅读”打卡的10名学生的平均时长相等，中位数也相等，但八年级（1）班学生的时长的方差较小，因此八年级（1）班学生的时长更加稳定，整体较好．（答案不唯一，合理即可） 【变式题7-1】.（2026·山西吕梁·二模）2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 【答案】(1)85；86；80 (2)选择乙小组参加比较合适，理由见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数， 众数的定义，即可求解； （2）答案不唯一，从四个统计量中，任选两个角度说明理由即可． 【详解】（1）解：甲组的平均数为：, 乙组数据从小到大排列为：，，，，，，， 则乙组的中位数为：，乙组的众数为： ∴；；； （2）选择乙小组参加比较合适． 答案不唯一，从以下四个角度中任选两个角度说明理由即可． 理由如下：①从平均数来看，甲组初赛成绩的平均数为分，乙组初赛成绩的平均数为分，两组初赛成绩的平均数相等． ②从中位数来看，甲组初赛成绩的中位数为分，乙组初赛成绩的中位数为分，乙组初赛成绩的中位数大于甲组初赛成绩的中位数． ③从众数来看，甲组初赛成绩的众数为分，乙组初赛成绩的众数为分，乙组初赛成绩的众数大于甲组初赛成绩的众数． ④从方差来看，甲组初赛成绩的方差为，乙组初赛成绩的方差为，乙组初赛成绩的方差小于甲组初赛成绩的方差，所以乙组初赛成绩更稳定． 【变式题7-2】.（2026·辽宁阜新·二模）年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； (3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)七；减小 (3)人 【分析】（1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）①利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； ②判断加入数据后方差分子、分母的变化即可； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【详解】（1）解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； （2）解：①∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生； ②原八年级成绩平均数为，加入一个分后，新的平均数仍为. 新增数据与平均数的差的平方为，方差分子不变分母增大，因此方差减小； （3）解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 【变式题7-3】.（2026·湖南岳阳·三模）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据．现从这两个班级中分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息． 【数据收集】甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 a 8 6 乙班 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________、___________； (2)小明对小刚说：“体育考试在即．每个班级按时间多少进行排名，运动时间更多者排名更靠前．虽然我俩的平均每周锻炼时长都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____________班的学生．（填“甲”或“乙”） (3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由． 【答案】(1) (2)甲 (3)乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析 【分析】（）根据中位数、众数的定义解答即可； （）根据中位数的意义即可判断求解； （）先求出甲班的方差，再根据中位数和方差的意义即可判断求解． 【详解】（1）解：甲班数据由小到大排序为：， ∴中位数， ∵乙班条形图中，时长为小时的人数最多， ∴众数； （2）解：甲班中位数为，乙班中位数为，小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后名，所以小明是甲班的学生； （3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下： 甲班方差， 乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； 乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定，故乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 易错点 1、混淆方差与极差，用极差代替方差判断稳定性。 2、方差公式漏除以数据个数，算成离差平方和。 3、数据变化规律记错，如平移时方差改变、伸缩时方差未平方。 4、判断稳定性时忽略平均数，只看方差不看水平。 5、计算离差平方时符号错误，负数平方未变正。 重点 1、方差的定义、公式与计算步骤。 2、方差的意义：方差越小越稳定。 3、数据变化对平均数、方差的影响规律。 4、用平均数与方差综合分析数据、做决策。 难点 1、已知方差反求参数（方程思想+分类讨论）。 2、结合实际情境合理选择统计量分析与决策。 3、多组数据综合对比，兼顾水平与稳定性。 4、方差与统计图、新定义融合的创新题型。 【对应练习题】 一、单选题 1．现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，身高最整齐的是（     ） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，方差反映数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，数据越整齐，本题中各队人数和平均身高都相同，只需比较方差大小即可得到结果． 【详解】方差越小，数据波动越小，身高越整齐， 本题中四个队平均身高相同，人数相同，且 ， 甲队的方差最小，身高最整齐． 2．体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（     ） A．平均数改变，方差不变 B．平均数改变，方差改变 C．中位数改变，方差改变 D．中位数不变，方差不变 【答案】A 【分析】本题考查平均数中位数方差的性质，当一组数据中每个数据同时减去同一个常数时，平均数和中位数会相应改变，方差反映数据的波动程度，不会随加减同一个常数改变，据此推导判断即可． 【详解】解：设实际成绩为，由题意得记录成绩为． ① 分析平均数：设实际平均数为，记录平均数为：，因此平均数改变． ② 分析中位数：实际成绩排序后，中位数是中间位置的数，所有记录成绩都比对应实际成绩少，数据排序顺序不变，因此记录中位数比实际中位数少，中位数改变． ③ 分析方差：设实际方差为， 记录方差为：， 因此方差不变． 综上，平均数改变，方差不变，A选项符合题意． 3．甲、乙两位同学进行了5轮的定点打靶训练，每轮打靶100次，他们的命中率折线统计图如图．下面根据统计图得到的结论中，正确的是（   ） A．甲打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 B．乙打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 C．甲打靶命中率的中位数大，但乙的成绩更稳定 D．乙打靶命中率的中位数大，但甲的成绩更稳定 【答案】C 【详解】解：甲的命中率从小到大排序后为65%，72%，83%，87%，，∴中位数为， 乙的命中率从小到大排序后为75%，79%，80%，80%，82%，∴中位数为， ∴甲打靶命中率的中位数大； 甲打靶命中率的平均数为， 乙打靶命中率的平均数为， 由题图可得出甲的打靶命中率波动程度大于乙的， ∴甲打靶命中率的平均数大，但乙的成绩更稳定． 二、填空题 4．甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人； 乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 5．某实验将10名同学分为A，B两组（每组各5名），A组平均成绩为80分，B组平均成绩为90分，总平均成绩为85分，则组间离差平方和为______． 【答案】250 【分析】根据组间离差平方和的定义，通过每组人数乘以该组平均数与总平均数差的平方，再将两组结果求和即可求解． 【详解】解：组间离差平方和 = ． 6．甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【答案】甲 【详解】解：观察成绩分布图可知：甲的成绩大多集中在环，距离平均成绩8环的波动更小，离散程度更小，因此甲发挥更稳定． 三、解答题 7．“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现．校跳绳队教练选出甲、乙两名学生参加跳绳比赛，对这两名学生最近10次一分钟跳绳个数的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分统计图表． 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数统计表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲（个） 210 140 170 200 140 170 190 170 160 190 乙（个） 190 200 180 190 190 200 190 200 190 190 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数分析表 平均数 中位数 众数 甲 174 170 乙 190 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中 ， ； ； (2)从折线统计图看， 学生一分钟跳绳成绩较稳定（填“甲”或“乙”）； (3)教练认为乙学生一分钟跳绳成绩较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写一条即可） 【答案】(1)192，170，190 (2)乙 (3)从平均数看，，所以乙的平均成绩要好些； 从中位数看，，所以乙的成绩要好些； 从众数看，，所以乙的成绩要好些； 从稳定性看，乙的成绩要更稳定，所以乙的成绩要好些． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据数据波动越小，成绩就越稳定判断即可； （3）从平均数、中位数、众数和稳定性进行分析即可． 【详解】（1）解：乙的平均数， ∴， 甲的10次成绩按照从小到大的顺序排列后为：140，140，160，170，170，170，190，190，200，210； 排在中间两个数的平均数是， ∴， 乙的10次成绩中，数据190出现的次数最多，为6次， ∴； （2）解：从折线统计图看，乙学生成绩波动要小，所以乙学生一分钟跳绳成绩较稳定； （3）略 8．校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行收集、整理和分析，下面给出了部分信息． 【数据收集】乙运动员10次测试成绩： 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中甲运动员10次测试成绩绘成条形统计图，如图所示． 【数据分析】甲、乙运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 甲、乙运动员测试成绩统计表 运动员 平均数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)补齐甲运动员成绩条形统计图； (2)表中________，________，________； (3)学校从甲、乙两人中挑选一名运动员参加比赛，通过以上数据分析，你认为挑选哪名运动员更合适． 【答案】(1) ； (2)，， (3)选择乙运动员参加比赛 【分析】（1）求出第6次的成绩，据此补齐条形统计图即可； （2）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （3）根据平均数，中位数，方差进行分析求解即可． 【详解】（1）解：甲运动员的10次测试成绩的平均数是，总成绩为， ∴第6次的成绩为， 据此补齐条形统计图略 （2）解：将甲运动员的10次成绩从小到大排列为：， 中位数是第5和第6个数据的平均数，即， 乙运动员的平均数， 乙运动员成绩的方差 ； （3）解：选择乙运动员更合适，理由如下： 从平均数看，乙的平均数大于甲的平均数，说明乙的整体成绩较慢； 从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，说明乙的中间水平成绩较慢； 从方差看，乙的方差小于甲的方差说明乙的成绩更稳定． 综合来看，乙运动员的成绩更稳定，所以选择乙运动员参加比赛． 9．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，． 九年级名学生竞赛成绩在组的数据是：． 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中的________，________； (2)若该校八、九年级各有名学生参加了此次知识竞赛，估计其中竞赛成绩达到优秀的学生共有________人； (3)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)，； (2)； (3)八年级学生的竞赛成绩更好，见解析． 【分析】（1）根据众数的定义找出八年级学生成绩的众数；九年级学生成绩的中位数是把名学生的成绩从大到小排列，第名和第名学生成绩的平均数，第名的成绩是分，第名的成绩是分，所以九年级学生成绩的中位数为； （2）利用抽查的八、九年级学生成绩的优秀率代表整体的优秀率，估计整体优秀率，求出成绩达到优秀的总人数； （3）因为两个年级成绩的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级，所以八年级学生的成绩更好． 【详解】（1）解：八年级出现次数最多的数据是，共出现的三次， 八年级学生成绩的众数是； 由扇形统计图可知，九年级学生达到A的人数有人，达到B的人数有， 参加竞赛的人数为， 九年级学生成绩的中位数是把名学生的成绩从大到小排列，第名和第名学生成绩的平均数， 第名的成绩是分，第名的成绩是分， 九年级学生成绩的中位数为； （2）解：八年级抽查的名学生成绩，达到优秀的有人， 占抽查总人数的， 九年级抽查的名学生成绩，达到优秀的占抽查总人数的， 该校八、九年级学生成绩达到优秀的学生共有人； （3）解：八年级学生的竞赛成绩更好， 理由：因为两个年级成绩的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级，所以八年级学生的成绩更好． 10．学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为10分，评分均为整数）．规定：评分大于等于6分为“通过面试”，评分大于等于9分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． a．甲、乙得分折线统计图 b．甲、乙得分统计如下表： 平均数/分 中位数/分 方差 通过率 优先录取率 甲 7.3 3.21 乙 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________． (2)通过计算得出___________． (3)甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①乙的方差更小，成绩更稳定；②乙的通过率更高． 【分析】（1）根据折线图中数据，以及中位数，平均数的计算公式求出，再结合优先录取率定义算出，即可解题； （2）直接根据方差公式计算即可； （3）从方差和通过率分析即可． 【详解】（1）解：由折线图可知，甲的分数为， ， 乙的分数为， ， ； （2）解：； （3）（3）①乙的方差更小，成绩更稳定； ②乙的通过率更高． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $