第五章 三角函数（知识讲解&例题分析）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

强基数学·巅峰突破 第五章 三 知识要点回颜 一、几个常用公式 1.三角函数积化和差公式 sin acos B= 2[sin(a+B)+sin(a-B)] cos asin -2[sin(B)-sin(a-B)] cos acos B= [osa+m+osa一别 sin asin=-号l 2[cos(a+B)-cos(a-B)] 2.三角函数和差化积公式 sin a+sin B-2sin acos a 2 sin a-sin B-2cos (asin a 2 2 cos a+cos B-2cos (atB) 2 cos (a-B) 2 cos a-cos B--2sin asin (aB 2 2 3.三倍角公式 sin 3a =3sin a-4sina,cos 3a=4cos a- 3cos a.tan 3a= 3tan a-tan'a 1-3tan?a 4.万能公式 设tan号=a,则sina=1千a,cosa 2a 1-a2 2 1+a2, 2a tan a=1-a 5.等差角求和公式 对于求：sina+sin(a+d)+sin(a+2d)+…+ sin[a+(n-1)d], 如果我们给每一项都乘sim号，然后每项积 化和差，即有 sin asin号-cos(a-号）)-cos(e+号 sin(a+d)sin d 62 角函数 =2cos(e+号)-cos(a+g] sina+2u》sin号 =2cos(e+婴)-cos(e+月： 。。… sina+(a-1Dd]sin号 [cos(223)-cos(2)] 再把以上等式两端分别相加，并记原式的和 为Sn,则有 =sima+"'dsn受 nd n sin 所以S.= ina+”2d 、 sin 2 采用同样的方法，可以推导出角度成等差数 列的余弦三角函数的求和公式 cos a+cos (a+d)+cos(a+2d)+...+ nd sin osa+-1=是cosa+"2a小 2 sin 2 、反三角函数 反正弦函数：y=arcsin x,定义域是[-l,1],值 域是吾引奇函数，增函效， 反余弦函数：y=arccos x,定义域是[-1，l], 值域是[0，π]，非奇非偶函数，减函数； 反正切函数：y=arctan x,定义域是R,值域 是(-受)奇函数，增函数： 反余切函数：y=arccot x,定义域是R,值域 是(0，π)，非奇非偶函数，减函数； 反三角函数常用结论 第五章三角函数 当x∈[-1,1]时， ={(cos 3a+cos 9a+cos 15a+... sin(arcsin x)=x,cos(arccos x)=x; +cos[3a+6(n-1)a]} sin(arccos x)=1-x2 cos(arcsin x)=1-x2; +3{cos a+cos 3a+cos 5a+... arcsin(-x)=-arcsin x;arccos(-x) +cos[a+2(n-1)a]} =x-arccos x:arcsin x+arccos 2 -sin 3n@cos[3a+3(n-1)a]+ sin 3a 对于任意的实数x都有tan(arctan x)=x, 3sin na cosLa+(n-1)a] sin a cot(arccot x)=x; sin 6na 3sin 2na arctan(-x)=-arctan x;arccot(-x) 2sin 3a 2sin a Er-arccot ;arctan+arcot x-三， S-8+8nna 8sin a 当x≠0时，tan(arccot x)= 1 【例4】求边长为1的正五边形的外接圆、内 切圆半径和对角线长度. 1 cot(arctan x)= [解析]先求sinl8°的值. 典型例题精讲 因为sin3a=3sina-4sin3a, 所以sin3×18°=3sin18°-4sin318°， 类型一 三角公式的运用 cos36°=3sin18°-4sin318°→1-2sin218 【例1】求sin6°sin42°sin66sin78°的值. =3sin18°-4sin318°， [解析]sin6°sin42°sin66°sin78 4sin318°-2sin218°-3sin18°+1=0， _16cos6°sin6°sin42sin66°sin78° →(sin18°-1)(4sin218°+2sin18°-1)=0， 16cos6° 8sin12°sin42°sin66sin78 in18≠1，sin18=1十5（负根舍去）. 4 16cos6° _4sin24°sin42°sin66 设正五边形的外接圆、 16c0s6 内切圆半径分别为R, 2sin48°sin42°sin96° 1 1 16cos 6 16cos616 r,则R= x-x3 sin 36, 【例2】求函数y-1十2z+x的值域. x.1-x21,2x.1-x2 又sin18*-5,os1g-0+2g →R= 2 令x=an号运用“万能公式”，则 W/10-2√5 y=mos1=}m2e[ r=Rc0s36°= 2 X5+1 4 √/10-2√5 4 【例3】求Sn=cos3a十cos33a+cos35a+…+ W5+1 c0s3(2n-1)a. 2√J10-25 [解析]这里，可以先用余弦的倍角公式来 降次. 同理，根据余孩定理得对角线长5十1 2 因为cos3a=4c0s3a-3cosa.所以4c0s3a= 【例5】求sin410°+sin450°+sin470°的值. cos3a+3cosa.于是4Sn=(cos3a+3cosa) [解析] 方法1：.sin40=（sin0)2 +(cos 9a+3cos 3a)+(cos 15a+3cos 5a)+ (-cos20)2=3-4cos20+cos40 …+{cos[3(2n-1)a]+3cos[(2n-1)a]》 2 8 63 强基数学·巅峰突破 .sin410°+sin450°+sin470 =9_4c0s20°+4cos100+4c0s140°-c0s40°-c0s200°-cs280 8 =9-5(c0s20°-c0s40°-c0s80°) in 6x=Isi 8 8 又因为c0s20°-c0s40°-c0s80° 5r=1 2 -c0s40°=0， 【例7】 (1cos)(1+cos )(1+cos 所以：sin10+sin50°+sin70°= 6 的值. [解析]方法1：利用积化和差降次， 方法2：sin410°+sin450°+sin470 =sin410°+sin4(60°-10°)+sin4(60°+10) (1+cos)(1+co)(1+cos) +(s10+7sin10) cos 7cos =sn10+2品ws10r+6xax210×i10+ ·co号 sin10) 十 5π十cos7 8c0s10°+9 sin210cos210°+ 8sin10° =8eoe10+sim109y=号 =1十c0s7c0s 3π57π 7cos 7 [说明]证明cos20°-cos40°-cos80°=0，可 以将cos20°，cos40°，cos80°三项中的任意 两项结合，然后进行和差化积. 利用等差角求和公式， 推广：sma+sma+）+sim(a+）-号， cos+c0s+cos牙 sina十sin(e+2）)+sin(a+-答）=0， 5一am7 一in7 还十sim7 5π sima+-sin+-)+sime+）-多 2m号 1 类型二 三角函数和积互化 2, 【例6】 十co 求三角式cos7 3元十c05 5π 7 故原式值为后 的值. 方法2：同解法1， [解析] (1+0s牙)1+co1+cos5严) 则xsin牙=sin牙cos+sin7cos 十 sim牙cos π 3π5π -2(sm+0)+(m-sm)十 :c0s707c07 8sin牙 第五章三角函数 8π sin 7 1 所以sin2 -0或sim号-0或co A+B=0. 2 8sin号 若sin分-0，则 数愿式值为后 1-c0sA=1-(1-2sim含）=2sim=0： 【例8】已知：A,B,C为三角形ABC的三个 内角，求证： =0,则 若sinm2 cos B+cos C+ 2sin A A sinB+sinc≥4sin 1-osB=1-1-2sm2）=2sim9=0 [证明]左边=cosB十cosC+ 2sin A sin B+sin C 若co A+B=0, 2 A A =2cos 4sin 2cos 2 B十CB-C 2sin cos 则A生B=kx十受k∈，A+B=2m十 2 2 所以C=-2k元.1-c0sC=0. A 2sin 2 (1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0. =2sin号cosB。C+B-( 2 cos 类型三正、余弦定理的运用 2 【例11】设O为△ABC的外心，若A0= A cos B-C+ -2sin 2 2 B-C AB+2AC,求sin∠BAC的值. 2 [解析]延长AC到E, ≥4sin会=右边. 使得CE=AC.连接OA, 【例9】求tan20°csc60°(csc10°-1)的值. OC,OE.作直径BD, [解析] 原式=sin20° 2.1-sin10° 连接DE.因为AO=AB+ c0s20°√5 sin10° 2AC,即A0=AB+AE,所以，四边形ABOE =4W3(cos10°-sin10°cos10°) 为平行四边形，四边形ODEA为菱形. 3c0s20° 设AC=m,则OC=OA=OB=2m. 2√3L2cos(30°-20)-sin20] 3cos20° 在△AOC中， _23[2cos30c0s20]=2. 利用余弦定理可得：cos∠OAC= 从而 3cos20° 【例10】实数A、B、C满足A+B+C=π， cos A+cos B+cos C=1, sin∠OAC=15 41 求证：(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)=0. 又∠OAC+∠AOD=元，cos∠AOD=-1 [证明].C=π一A一B, cos A+cos B-cos(A+B)=1, ∠AOD=2∠BAO,利用二倍角公式可得 :.2cosABcos A B (2cosB1)-1. cos∠AOD=cos2∠BAO=2cos2∠BAO-1 2 2 2 子，所以cs∠BA0=，从而 2 2 2 eos4生B(-2sim会sin-8》）=0, sin∠BAO= 2 4 于是sin∠BAC=sin(∠BAO+∠OAC)=cos 65 强基数学·巅峰突破 ∠BAO·sin∠OAC+sin∠BAO·cos∠OAC b a.b=2 √3b6a=3 9×+×厘四 4-4 【例12】在△ABC中，三个内角A、B、C所对 所以C-V1-csC≤客等号成立当且 的边分别为a、b、c. 仅当a:b:c=√3：√6：5. 已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB. 因此sinC的最大值足7 (1)求角C的大小； (2)求sinA·sinB的最大值， 【例14】在△ABC中，BC=a,CA=b,AB= [解析](1)(a一c)(sinA+sinC) c.若b是a与c的等比中项，且sinA是 =(a-b)·sinB→(a-c)(a+c)=(a-b)b sin(B-A)与sinC的等差中项，求cosB的值. →a2+b2-c2=ab,于是 [解析]因b是a,c等比中项，故存在q>0, osc=+。->c-吾 满足b=qa,c=qa.① 2ab 因sinA是sin(B-A),sinC的等差中项，故 (2)由1得，A+B=,所以 2sin A=sin(B-A)+sin C=sin (B-A)+ sin(B+A)=2sin Bcos A. smA·simB=sinA·sin(F-A 结合正、余弦定理，得 =snA停sA+inA asincos A b sin B 2bc 即b2+c2-a2=2ac. -月n2A+inA-9m24+124 将①代入并化简，可知g2十g一1=2g2,即 4 4 4 =2A-)+所以当A=时， g=92+1,所以g2=5+1 2 nA·Q0sA取景大位子 进而cOsB= +6-8-生父=司 2ac 2g2 【例13】在△ABC中，已知AB·AC+ =5-1 2 2BA.BC=3CA·C第.求sinC的最大值. 类型四三角函数的最值 [解析]由数量积的定义及余弦定理知， 【例15】已知锐角α，3满足 AB.AC-cbcos Ab+c2a 2 sinP=mcos(a十)·sina(m>0,a+≠）， 同理得，B.BC=a2+cg-b,C才·C 2 若x=tana,y=tanB, =a2十-c.故已知条件化为 (1)求y=f(x)的函数表达式； 2 (2)在(1)的条件下，当a b2+c2-a2+2(a2+c2-b2) [至)时，求函数 =3(a2+b2-c2),即a2+2b2=3c2. 的最大值， 由余弦定理及基本不等式，得 [解析](1)由于sinB=mcos(a+3)sina cos C=a2+62-c2 a+6-a+26) (m>0a+≠ 2ab 2ab 所以sin(a+B-a)=mcos(a+B)sina, 06 sin(a+B)cos a-cos(a+B)sin a =mcos(a+β)sina, sin(a+B)cos a=(m+1)cos(a+B)sin a, 又因为镜角a,,a十时受， 所以tan(a+B)=(m+l)tana, tang=tan(a+月-a)=i干tan(a+B)tan a tan(a+B)-tan a mtan a =1+(m+1)tan2a' 故有y=f(x)=1十(m十1)z2· mx mx (2)f(x)=1+(m+1)x2 1+(m+1】 m （x≥1) 令8x)=+mk,剥有 g(x)=m+1-L=（m+Dx2-1>0, m mx mx 所以函数g(x)在[1，十∞)单调递增，函数 f(x). 在[1，十∞)单调递减，故有fx=f(1)=m +2 [说阴]带运明势位定理：-(m中： 十1→x年[1，十o0). →x2= 1 【例16】在△ABC中，AB=2AC,AD是角A 的平分线，且AD=kAC. (1)求k的取值范围； (2)若S△ABc=1且∠BAC为锐角，问k为何 值时，BC最短？ [解析]（1)方法1：设AC=m,则 AD=km,AB=2m, 设DC=y,BD=2y. 2m 在△ADB,△ADC B 2y 中，由余弦定理得： 14y2=4m2+km2-2·2m·kmcos0, y2=m2+k2m2-2·m·kmc0s0, →3k2m2-4km2c0s0=0. 67 第五章三角函数 ÷k=号cos0,:0e(,50<cos0<1, 4 k∈(0,3 4 方法2：5Ax=号×2 nsin A 1 nA+】XkmXmXsin A cs合-=tefo:7 .c0s2= 3 方法3：在△ABD和△ABC中由正弦定理： 「2ykm sin 0 sin B 3y →6-c0s0,9e(0,引： m sin 20 sin B ∴∈(o,) （2)方法1：Sac=7m20·2m=1 1 4 →m2=sin20k=3cos0, ..y2=k2m2+m2-2km2cos 0 2g5cos9+1-号cos0j 1116。 -cos20+9sin206cos Osin 0 1 18sin Ocos 0 18sin 0cos 0 3' 当且仅当c0s20=9sin20, 即1an0=3时取=” -A-2,(B0= 5 方法2：周为Sm=专×2 nXmX sin∠BAC =1→sin∠BAC=→cos∠BAC-Vm-1 1 m 在三角形ABC中，由余弦定理得： BC2=4m2+m2-4m2cos A =5m2-4√m-1 =5m2-2√(4m2-4)(m2+1) ≥5m2-(4m2-4+m2+1)=3, 强基数学·巅峰突破 当且仅当4m2-4=m2+1, 线的斜率， 即m2=5 3 →sin∠BAC=3 由解析几何有关知识，可得y∈ 这时cos∠BAC=4→cos0=30 方法4：导数法 5 10 y'-cos (2+cos )+sin g.sin >k=2cos0=210 (2+cos0)2 5 1+2cos 0 所以=时(BCn=瓦 (2+cos0)2’ [说明]思考：在(2)的方法2中. 令y=0→a0s0=-号 从而y「B 33 4√m-1=2√/(4m2-4)(m2+1)①， 方法：y2-（sin92 1-cos20 (2+cos 0/ 4√m2-1=2√(m-1)(4m2+4)②.为什么 (c0s0+2)2, 在解题过程中选择①而不是选择②的变形？ 令t=2+cos0,则t∈[1,3]， 【例17】求函数f()= 2+cos9(0∈R)的 sin e y=1-1-2)2--2+4-3 t2 值域. 3+4-1=-3}}°+∈引 [解析]方法1：y=f()=2中c0s0 sin 0 故y∈一33 →2y+ycos0=sin9, 3’3 类型五反三角函数 2y=sin 0-ycos 0=1+y2sin(0+), 由sin(0+p)|≤1， 【例18】设x1,x2是方程x2-xsin 5π+ 故2y川≤1+→y∈「-3， 3 33 cos后元=0的两个解，求arctan十arctan 方法2：令tan2 =t,t∈(-∞，+o∞)， 的值 2t [解析]设a=arctan x1,b=arctan x2,则 则y= 1+t 2t 2+1 3十，用判别式或均值不 tana=2,tamb=2a,b∈(-受，2} 1+t2 3 等式或求导都可得到y∈ 「-33 由根与系数的关系可知，4十y=sin后元>0， 3’3 3 方法3：数形结合 x1·22=Cos5r<0,.x1>0>x2, ae(o,),b(-5o）a+be(-,), 又.tan(a+b)= tana+tanb_x1十x2 1-tan atan b 1-xix2 sin 0 sin 0-0 =tan 5' y=2+c090c0S0(-2),可以看成单位 圆x2+y2=1上的点(x,y)与(-2,0)的连 故a十b-晋，即aretan十arctan-号 08 第五章三角函数 【例19】若x1满足sinx1+x1=1,x2满足 1 arctan 3 +arctan 7 1 arcsin x2十x2=1,求x1十x2的值. …+acan1+n十7+ [解析]构造函数y=sinx,y=arcsin x, arctan n+14 y=l一x,因为y=sinx,y=arcsin x的图象 类型六三角不等式证明 关于y=x对称，y=x与y=1一x垂直， 【例21】已知函数f(x)=sinxsin2x. (1)讨论f(x)在(0，π)上的单调性； 所以 1+g y=x, (2)证明：lf()1≤3,3， 8 【例2o】求证：对任意的n∈N,都有arctan3 (3)证明：sin'sin'2xsin24x…sin2≤3 1 arctan +…+arctan 1+n+n [解析](1)f(x)=2sin3 xcos x, arctan 1元 f'(x)=2sin2x(3cos2x-sin2x) n+1-4: =-8sin2xsin(z+号）sin(x-5)片 [解析] 由于tan -arctan 4 n+1 1 当xe(0,写)时，f(x)>0,fx)递增： 1 =n十1 n 1+1X n+2,只需证：arctan 3 当（赁，）时f)<0f()递减： n+1 +arctan 7 +…+arctan 当z∈（时f)>≥0，fx)递增。 1+n+n (2)证法1：由f(x)=2sin3 ccos x得，f(x)为 n -arctan n+2 R上的奇函数， 设f(n)=n f(n)-f(n-1) f2(x)=4sin xcos2x =4(1-cosr)cosx 十2n∈N,注意到：0mn- =4(1-cos2x)3×3cos2z n-n-1 3 =n+2n+1 1 1+n .n1 1+n十n2, 4 +n+2'n+1 ptan [arctan f(n)-arctan f(n-1)] 当1-c0s2x=3c0s2x,即eos=土号时等号 1 -tan(aretan 成立，故f()1≤3 8 1 叉由于fm)f(n-1)1十十7均大于0， 证法2：由四元均值不等式可得 [f(x)]2=sinx·sin22x=4sinx·cos2x 则[Larctan）--acan-1](-受，2》， sin2x·sin2x·sin2x·3cos2x mm1+∈,》.从m1+ 1 3 (十+i+so-器。 -arctan f(n)-arctan f(n-1). 4 所以arctan 十arctan7 3 当且仅当sinx=3c0sx,即x=m一写或x arctan arctan f(n)-arctan f(o)= 1 +(k∈ZD时等号成立，所以)≤3 3 8 arctan n十2，所以对任意的n∈N,都有 n 证法3：因为f(x)=2 sin'xcos a= 2sin'xcos x (sinx十cos2x) 强基数学·巅峰突破 (anx十1)P,令tanx=t(1≥0)，则问题转 2tan'x 化为求g()= 2t3 (十1)(1≥0)的最大值. 求导g)=21D3-,令g)=0. (t2+1)9 sin'g rsin 8 得t=√5. 当t∈(0，√3)时，g(t)>0,函数g(t)单调 递增； sin2xsin32xsin34x…sin32"-1xsin22"x≤ 当t∈(3，十∞)时，g'(t)<0,函数g(t)单调 递减。 (是).sin'csin2zsin4r…sin22-sin2r 所以函数g(t)的最大值为 sin x(sin2xsin2xsin4x...sin32"sin22"x) 5-2Xg-3g,故1x<3 16 8 (3)证法1：由于(sin2xsin22x…sin22"x) 所以：sin2xsin22zsin24x…sin22"z≤3 Isin'xsin2x...sin2"x=sin x sin2 xsin 2... sin2"xsin 2"sin22"x=I sin x f (x) 真题实战演练 f(2x)...f(2")sin22"x 、选择题 ≤|f(x)f(2x)…f(2”-1x)|, 1.(2017·北大)在三角形ABC中，已知sin2A+ 8/ 3 所以sin'sin22z…sin2≤3产 sin2B=4 sin Asin B,则三角形的形状为 4 证法2：利用数学归纳法，适当进行放缩」 A.等腰三角形 B.钝角三角形 当n=1时，sinx·sin22x=sin xsin2x·sin2x C.直角三角形 D.无法确定 2.(2017·北大)三角形满足一个内角是另一 个内角的两倍，且边长为连续正整数，则三 假设当n=k时原式成立， 边长可能是 () 即sin'rsin2zsin4x…sin22x≤3 A.4,5,6 B.6,7,8 那么，当n=k十1时，有 C.7,8,9 D.以上答案均不正确 sin2xsin22xsin24x...sin22xsin22 3.(2017·北大)设a=sin14°+c0s14°， <() b=sin16°+c0s16°，c= a2+b2 ·4·sin22x·cos22*x 2 ,则a,b,c的 大小关系是 () ,·2sin32x·cos2*x sin2x A.b>c>a B.b>a>c ≤(.3.2cs24 C.c>b>a D.以上都不对 8 sin 2x 4.（2017·北大)在三角形ABC中，已知 <( sin A=- 0sB=是则△ABC为 4 tan 2x () 即当n=k十1时不等式也成立. A.锐角三角形 B.直角三角形 综上所述，不等式对所有的n∈N*都成立 C.无法确定 D.以上答案均不正确 第五章三角函数 5.(2018·北大)△ABC中，acos B-bcos A= 11.(2016·清华)（多选）下列能构成唯一 台·则合的直为 △ABC的是 () A.a=1,b=2,c∈Z A.2 B.1 B.A=150°，asin A+csin C+√2 asin C C. D.以上选项都不对 =bsin B C.cos Asin Bcos C+cos(B++C)cos Bsin C 6.(2010·清华)在△ABC中，三边长a,b,c,满 =0,C=60° 足a十c=3动，则tam号amS的值为 A () D.a=√3，b=1,A=609 12.(2017·清华)（多选）已知△ABC的三个内 A 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (bcos C+(a+c)(bsin C-1)=0, c 则△ABC a十c=√3， 7.(2011·清华)若A+B= ,则cosA十 ( cos2B的最小值和最大值分别为 ( A.面积的最大值为5 A.1-33 B.周长的最大值为后 2’2 B岛 C1+ n1+号 C.B= 3 2 8.(2012·清华)在锐角△ABC中，已知 D.B=开 A>B>C,则cosB的取值范围为 ( ) 13.(2017·清华)（多选）已知对任意实数x,均 有ac0sx+bcos3.x≤1，则 () A.() n.) A.|a-2bl≤2 B.|a+bl≤1 D.() C.la-bl≤√2 D.|a+2bl≤2 C.(0,1) 14.(2017·清华)x为0到5之间的实数，则下 9.(2015·清华)（多选）△ABC的三边分别为 列方程有解的是 () a,b,c,若△ABC为锐角三角形，则( A.cos(cos x)=sin(sin x) A.sin A>cos B B.tan A>cot B B.sin(cos x)=cos(sin x) C.a2+b2>c2 D.a3+b3>c3 C.tan(tan x)=sin(sin x) 10.(2016·清华)（多选）下列计算正确的是 D.tan(sin x)=sin(tan x) ( 15.(2017·清华)已知0<x<1,则下列正确的 A1an1+1an618+an121°=3 是 () tan1tan61°tan121 B.tan 1+tan 61+-tan 1213 tan1°tan61°tan121° ）<sinx<sinx C.tan1°·tan61°+tan1°·tan121°+ tan61°·tan121°=3 29 D.tan1°·tan61°+tan1°·tan121°+ 、sinx∠（1)s卫x tan61°·tan121°=-3 强基数学·巅峰突破 16.(2017·清华)△ABC中，sinA+ 为g(a),则当a取遍所有实数时，g(a)的最 sin Bsin C的最大值是 大值为 A号 A.1 B.2 B.不存在 C.3 D.前三个答案都不对 C.5+1 D.3+23 23.(2016·北大)已知三角形ABC的三边长 2 4 分别为a,b,c,有以下4个命题： 17.（2018·清华)一摩天轮的底部距离地面2 (1)以√a,√石，为边长的三角形一定存在； 米，摩天轮半径长为10米，运转一周需要 (2)以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在； 12分钟.问摩天轮运转一周的过程中，人在 距离地面17米及以上的总时长是() (3)以十，十，为边长的三角形一定 2,2,2 A.2分钟 B.4分钟 存在； C.6分钟 D.8分钟 (4)以|a-b+1,|b-cl+1,|c-a|+1为 18.(2018·清华)[(1+√3tan10)sin10°+ 边长的三角形一定存在，其中正确命题的 2cos40°]√1十c0s20的值是 个数为 () .√3 B.√2 A.2 B.3 c C.4 D.前三个答案都不对 D.√6 24.(2016·北大)cos7c0s1C09 10x的值 11 19.(2018·清华)（多选）A,B,C为三角形的内 为 ) 角，已知tanA,tanB,tanC均为整数，问 tanA的可能值是 ( A A.4 B.3 D.前三个答案都不对 C.2 D.1 64 20.(2019·清华)（多选）判断下列选项中式子 n 25.(2020·清华)lim 2 arctan =() 正确的有 ( k2 k=1 A.sin2+sin+sm-1 A. B. B.os经+eos+cos-司 c号 D号 C.sin6sin42”sin66sin78°= 26.(2020·清华)（多选）△ABC三边均为整 16 数，且面积为有理数，则边长a可以为 D.c0s6cos42°c0s66cos78°= ( 16 21.(2019·北大)c0s10°cos50°c0s70°的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) 27.(2020·北大)在△ABC中，∠A=150°， A③ 4 B V3 8 D1,D2,…,D220依次为边BC上的点，且 c语 BD1=D1D2=D2D3=…=D2019D2020 D.都不对 D2o2C,设∠BAD1=a1,∠D1AD2=a2,…, 2.(2015·北大)已知x∈[0，引 ∠D2019AD2020=a2020,∠D2020AC=a2021, ,对任意实数 则sina1sina,sina22L的值为 ( a,函数y=cos2x-2 acos x十1的最小值记 sina2sina4…sina2o2o 第五章三角函数 1 1 34.(2024·西安)单位圆内接△ABC,取 A.1010 B.2020 sinA,sinB,sinC作边长构成新△A'B'C', 1 C.2021 D.前三个答案都不对 则 () 28.(2020·清华)使得nsin1>1+5cos1成立 A.能构成新△A'B'C',且S△ABC> 的最小正整数n的值为 ( 吉5ar A.3 B.4 1 B.能构成新△A'B'C',且S△ABc= C.5 D.6 29.（2020·清华)设a,3为锐角，且cos(a十B)= C能构成新△A'B'C,且SANc<,S2 部台则1an6的最大值为 ( D.不能构成新△A'BC 二、填空题 L号 35.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC C.1 D.√2 于点D,且BD=1,则4a十c的最小值为 30.(2020·清华)sinarctan1+arcsin5 36.已知 tan a 2 3√10 arccos 10 tan(a+) ,则sin(2a+) A.1 B.72 10 37.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A, C.32 B,C的对边，a=2,且(2+b)(sinA-sinB) 5 n.号 =(c一b)sinC,则△ABC面积的最大值 31.(2021·清华)（多选）已知f(x)=sin x cos x 为 38.(2017·北大)已知三角形的两条高为10和 ,设f(x)的最 20,则第三条高的取值范围是 大值为M,最小值为m,则 39.(2019·清华)函数 AM-号 B.m=5 f(x)= mx十cos23的值域是 sin 2x-8 C.M D.m= 40.(2017·北大)(1+osg(1+cs号x 5 32.(2024·厦大)对于x∈ ,则 41.(2017·清华)在△ABC中，sin2A=sinB+ sin Bsin C,则A-2B= f(x)=√sinx十√cosx的值域为 A.[1,2] B.[1,2] 42.(2019·北大)函数f(x)=x十1-x 1+x31+x C.[1,8 D.以上全错 的范围是 33.(2024·复旦)f(x)=tan xsin x-sinx 43.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、 一tanx+1在[0,2元]上的零点个数为( c,则 b、c,且满足acos B-bcos A=3 A.1 B.2 tan A C.3 D.4 tan B 强基数学·巅峰突破 44.若实数a满足cosa=tana,则1 54.(2024·清华)已知{sin0,sin20,sin39 sin a -+cos"a -{cos 0,cos 20,cos 30), 的值为 55.(2024·清华)tan(arctan2+arctan2 十…十 45.(2014·北大)已知f(x)=arctan 2+2x+c 1-4x arctan- 在（一子·）上是奇函数，则c 56.(2025·北大)已知2x2+y2=1,则x+2y 46.(2016·清华)圆心在(0,1)的单位圆沿x 的最大值是 轴正向滚动，初始时刻P(0,0).当圆心滚动 三、解答题 至（受，1）时，此时的O币 57.(2014·北大)求证：tan3°为无理数. 47.(2016·北大)若x∈(0,2x)且满足c0s工 √/1-sin2x sn工二=2，则x的取值范围是 √/1-cos2x 48.(2019·济华)已知0<a<<受，比较大小 b-a,sin b-sin a,tan b-tan a 49.(2020·清华)sinarctan1+arccos 3一十 √10 arcsin 50.(2016·清华)已知tan4a=3, 3， sin 4a sin 2a sin a cos 8acos 4a cos 4acos 2a cos 2acos a +sin a cos a 51.(2022·北大)在△ABC中，S△c=2(a b),其外接圆半径R=2, 4(sin2A-sin2B)=(3a-6)sin B, sinA,B+sin令 C 2 52.(2022·北大)已知√1-x2=4x3-3.x,则该 方程所有实根个数与所有实根乘积的比值 为 53.（2023·北大)一个三角形一条高长度为2， 另一条高长度为4.则这个三角形的内切圆 的半径的取值范围是 第五章三角函数 58.(2019·北大)当x∈(0,1)时，比较anx, 60.(2015·北大)求整系数多项式f(x), x 使f(sin10°)=0. n2,a工的大小顺序 x2, 61.(2017·北大)在△ABC中，求cosA+ 59.(2010·北大)0<a<受，求证：sina<a< √2cosB+√2cosC的最大值. tan a. 75 强基数学·巅峰突破 62.（2017·北大)在△ABC中，证明： 64.(2012·北大)求出参数a的值，使得方程 cos A+cos B+cos C>1. sin2xsin4,x-sin xsin3.x=a在区间[0， π)上有唯一的解. 63.(2010·北大)存不存在0<x<受，使得 65.(2012·北大)设A,B,C分别为三边长均 sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列？ 为1的三角形三边上的一点，求AB2+BC2 +CA的最小值. 76 第五章三角函数 66.(2019·清华)在△ABC中，外接圆半径68.(2013·北大)对于任意0，求32cos0- R=2,sinA,sinB,sinC成等比数列. cos60-6c0s40-15c0s20的值. (1)求角B的取值范围； (2)求S△ABC的最大值. 69.(2015·北大)称四个顶点都在三角形边上的 67.(2018·清华)如图所示， 正方形为此三角形的内接正方形.若锐角 在Rt△ABC中，∠ABC= △ABC的三边满足a>b>c,求证：这个三角 90°，斜边AC上有一点D 形内接正方形边长的最小值为acsin B a+csin B' 使得AB=AD,E为BC 上一点使得∠BAD=∠BDE=O, 求器 77 强基数学·巅峰突破 70.(2011·清华)已知△ABC不是直角三 72.(2012·清华)在△ABC中，A,B,C的对边 角形 分别为a,h,c.已知2sim2AB=1+ 2 (l)证明：tanA+tanB+tanC cos 2C. =tan A tan Btan C; (1)求C的大小； 2)若3anC-1=in tan an C,且sim2A, (2)若c2=2b2-2a2,求cos2A-cos2B sin2B,sin2C的倒数成等差数列，求cos 的值. A一C的值. 2 71.(2010·清华)在△ABC中，已知2sinA+B+ sin x+sin y=3, 2 73.(2013·清华)已知 cos2C=1,外接圆半径R=2. cos z-cos y=5 (1)求角C的大小； cos(x+y),sin(x-y),cos(x-y). (2)求△ABC面积的最大值. 78 第五章三角函数 74.(2014·清华)函数f)= 76.(2016·清华)已知f(x)=Asin(wz+p)+B, 2 (cosx-sinx)· 部分自变量、相位、函数值的取值如下表， simx+军)-2 asin a+b(a>0)的最大值为1， (1)求f(x)的表达式； (2)求f(x)的增区间； 最小值为-4，求a、b. (3)求f(x)在(0，π]内的所有零点. 7π 3 12 ωx+p 0 2 f(x) 1 3 75.(2015·清华)f(x)=sin(x+)+ 77.(2013·清华)设9∈(0,5)，求函数f(0)= 2os(受-）-1xe0,5: sin0cos30+sin30cos0的最大值. (1)求f(x)的递减区间： (2)若f(x)一m=0有两个不同的实数根， 求m的取值范围. 79 强基数学·巅峰突破 78.(2024·北大)在△ABC中，求cos Acos Bcos C80.(2024·北大)在△ABC中，求2sinA+sinB+ 的最小值或下确界. sinC的最大值的取等条件. 79.(2024·北大)在△ABC中，若BC边上的 81.(2025·北大)若a,3是3cosx+2sinx=c 高为0，求)的范周. 的两解，且a-B≠kπ(k∈Z),求tan(a十3). bc 80强基数学·巅峰突破 <0,所以G(x)在(1，十©)单调递减，所以G(x)<G(1)=0, 即nx<2-1,从而当x>1时，2nx<分(x-1)< A由nA=osB=知B=3 13-1 ∴.sinC=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A进行分情况讨 是（-10，于是nx+是-<-子，从而 论，若cosA= 吾即A为纯角时， 之n计十1x-1D,即1< .sin C=4. 4+3.(-号) 51 <0,与C为三角形内角 13 3 1D,故fa2-1<a-10.即a1-1K}(a.-0.由于 矛盾：故cosA=，cosC=一cos(A+B=-sin Asin B-cos an>1,a+1>1,所以a,-1>0,a+1-1>0,故a+1-1|< Acos B>0,推知△ABC为锐角三角形. la.-1,t≥2时a,-1<la-1<是a 评析：必须计算三个角的余弦值来确定三角形的具体形状」 中间涉及分类讨论和较为复杂的计算，对学生的代数思维和 <<la,-1=。 计算能力要求较高· 5.A先用正弦定理将边转化为角，即 4 (1-) sin Acos B--sin Beos A=-子sinC,又因为C=元-A-B得到 sin Acos B-sin Bos sin 3 sin Acos B+ 1 3故maxC=3 3 sin Bcos A,合并同类项之后两边除以cos Acos B,得anA tan B =2. 第五章 三角函数 6.C a+c=36sin A+sin C=3sin B=3sin(A+C) 一、选择题 台2sinA+C 2 s42C=6sin4生o4生9 2 2 1.C对原等式左侧用和差化积公式，右侧用积化和差公式， →cos4,S=3cosA+C或 得到 2 2 sin(A+B)cos (A-B)=-cos (A+B)+cos (A-B), 4生=0=cs号>B=x含去小 2 进而sin Ccos(A-B)=cosC+cos(A-B). 容易验证C=90°时，上式成立.下面我们考虑C≠90°的情况， C cos AC-cos A+C 2 2 亦即sinC≠1. aman号 A C cos 2cos 2 cos A C+ -cos C 利用上式得到cos(A-B)=-sinC 2 2 当Ce(0,受)U(受)时·m表示单位国上的点和 -cos C 7.B首先尽可能化简结论中的表达式cosA十cosB,沿着两 (0,1)连线的斜率的倒数，不难分析得出 -cos C >1,于 个方向：①降次把三角函数的平方去掉：②去角：原来含两 1-sin C 个角，去掉一个 是上述方程在C≠90°时无解.综上所述，三角形为直角三 角形. ccoccco2+ 2 2 评析：在与三角形有关的三角函数问题中使用和差化积、积 化和差是非常常见的技巧，运用和差化积、积化和差，得到和 cos 2B)=1+cos (A+B)cos (A-B)=1-cos (A-B), 角的部分即可转化为三角形的第三个内角， 见答案是B. 2.A我们对前三个选项逐一验证即 可.A选项：假设△ABC中，AB=4, 8A2B>B+C>受和B<受，因此c0sB∈(0，号)，选A AC=5,BC=6,如图所示，AD是内 9.ABC因为△ABC为锐角三角形，故∠A+∠B>90°.那么 角平分线.根据角平分线定理，计算 sin A>sin(90-B)=cos B,tan A>tan (90-B)=cot B, 得CD=号，BD=号.转用角平分线C1 AB正确；C显然正确，任意两边的平方和大于第三边的平方 也是判定锐角三角形的一个很重要的工具；构造一个边长为 长公式，AD=√AB·AC-DB·DC=9=CD,于是 3 1.1,1.1,√2的三角形，可知D错误， 10.BD设t=tan1°，则 ∠C=∠CAD=?∠A成立.同样的方法可以验证B和C选 tan61°=tan(60°+1°)=tan60°+tan1 项均不正确。 1-√3t 评析：涉及三角形角平分线相关的长度计算问题，以及内角 tan121°=tan(120°+1°)= tan120°+tan1 为两倍的证明技巧，都是初中平面几何竞赛的常见内容， 1-tan120°tan1 3.A易知b>a. =t-V3 c2-1+2(sin28°+sim32)<1+sin32°=6， 1+W3t 直接代入计算即得am1十an61+tam121 =一3及 c2=1+号(sm28+sin32)>1+sim28=a2. tan1°tan61°tan121° tan1°.tan61°+tan1°.tan121°+tan61°.tan121°=-3， 评析：二倍角公式，送分题. 故选B、D. 304 参考答案与解析 11.ADa十c>b,a+b>c知1<c<3,又c∈Z,则c=2,此时可 (对cosx),有√cos(tanx)cos2(sinx)≤ 以构成三角形，A正确：B中若a,b,c同时乘相同的倍数，等 式仍然成立，则B也不能；C中未给定边长，故不能；D中设 3[cos (tan )+2cos (sin )]cos lan z+2sinz 1 另一边为c,由余弦定理3=1十c2一c,解得c=2或一1（舍 再设p(x)=tanx十2sinx一3x,则 去).(1，√3,2)可以构成三角形，从而有唯一解，因此三角形 ()-sec'z+2cos x-3-tan'-4sin0. 唯一确定，D正确，综上选AD. 12.AC根据题意，有bcos C+√3 bsin C-(a十c)=0: 于是有amx十2sinr>3r今cos an十2sin2<cos,故 3 应用正弦定理，将A代入为π一B一C,则该式可化为 cos (tan z)cos2(sin z)<cos'z sin Bcos C+3sin Bsin C-sin C-sin(B+C)=0, 当0<x<arctan交时，f(x)>0.又f0)=0, 则展开后可以得到sinC(√3sinB-1一cosB)=0, 故f(x)>0. 2sm(B-吾)=1，B=吾 当aretan受<x<受时，估第知1>sinx>车 A5a=名sin吾=9<9（空）=5.(9】 则tan(sinx)>l,原式不能取到等号.故D无解. =3 评析：AB两个选项很好处理，C选项需要考虑1an在趋近哥 16 时的震荡，难度较大；D选项几乎无法严格证明.碰到后试验 B.由余弦定理，b=a2+c2-2 accos B=(a十c) 几个值之后就猜测其无解吧. -2ac1+osB)=3-3ac≥是，所以周长装大为2C正 15.B因为0<x<1,in2<1.设f(x)=im工，则(x)= x 确：D.错误 评析：常规的解三角形题目，套了一点基本不等式的内容， xcos z-sin 2cos x(z-tan )< x x 非常容易， .f(x)单调递减.而x2<x,故有f(x2)>f(x). 13.ABC记cosx=m,cos3.x=4m-3m(m∈[-1,1])，根据 答案选B 题意有ma十(4m3-3m)b≤1， 评析：只用构造函数证明即可，难度不大 A.令m=±号，可得号(a-2b)<1,-号(a-2b)<1,正 l6.C方法1：考虑局部调整法，即去证明sin Bsin C 确；B.令m=士1，可得a十b≤1，-(a+b)≤1，正确；C.令m= sin BC,从而将原式变为只合A的代数式 2 ±方得后a-631,a-b<,正确：D.令m=士 √2√2 2 2 当z(0,受]时，sinx为上西画数 可得号a+261,-号a+261.与mE[-1门矛盾， 剥在A(0,]时，由均值不等式和琴生不等式 不正确， Vsin Bsin C≤(snB+snC≤nB4C, 2 14Cx∈[0，]>cos2,snxe[0.1]→cos(osx .sin Bsin Csssin'B+C 2 sin(sinx)∈[0，l].那么若有cos(cosx)=sin(sinx),则必 有c0sx叶n=受而c0s十sn≤E,子盾！故A,B均 故sinA+sin Bsin C≤sinA+sin'B+C= 2 sin A+cos'A =sin A+cos A+1 不正确，对于C,令x→空，则anx→十oo,sinx一1.那么取 2 2 定一个充分大的N,则存在一个小子受但是与其非常接近 由辅助角公式易知sinA+cosA+1≤5+」 2 2 方法2：不妨设B≥C,则 的xo,使得tan zo=N元.则tan(tanx)=tan(Nr)=0.但 sin A+sin Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos B+sin B. 是sin(sinx,)趋近于sin(受）1.再取一个z,使得 sin C=sin B(sin C+cos C)+cos Bsin C 将C固定，用辅助角公式有 anx1=2Nx十平，里然与受色非常接近。 sin B(sin C+cos C)+cos Bsin C=sinC+(sin C+cos C)2. ∴1an(anz)=an(交)=l,而sin(sinx)仍然趋近于 sin(B+), sin C sin(2）=l.则在[xz]之间，tan(tanx)=sin(sinx)必 其中tan9=sinC+cosC 然有解. 再考虑√/sinC+(sinC+cosC)= 对于D,设f(x)=tan(sinx)一sin(tanx),则 √1+1g2C+sm2c- 2 f(x)=sec(sin z)cos x-cos (tan x)secx -cos'z-cos (tan z)cos(sin z) W+sin2- /3 2 cos 2C= cos'(sin z)cos'a 当0<<arctan-受时，有0Kanx<受0<sinz<受 2sin(2C-9)≤ 3+5_5+1 2 2 对于cos(tanx)cos2(sinx),用均值不等式和琴生不等式 其中等号成立条件为 305 强基数学·巅峰突破 1有g(a)的最大值0. cos 2C=- ,sin2C=25.代回原式3 4 (3)a∈(-o∞，1]时，y在t=0时有最小值1. cos 2B=- m2B-25,即B=C 5 故此时g(a)有最大值1. 5 综上所述，g(a)的最大值为1，选A, ·原式的最大值为⑤+」 评析：简单的二次函数最值讨论. 2 23.B不妨假设0<abc,a十b>c. 评析：方法1用的是不等式中常用的局部调整法—一将部 (1)正确.因为有√a+B-≥√a+b->0. 分变量调为相等，于是所求代数式最值成为一个单变元函 (2)错误.a=2,b=3,c=4即为反例. 数，再研究这个单变元函数的变化.而方法2则是笔者自已 直接做的方法，通过两步辅助角公式强行将答案算出.此题 (3)正确.因为有b+4-b生=>0. 2 2 2 有较大的区分度。 (4)正确.因为有(|a-b1+1)+(|b-c+1) 17.B不难算出，人在距离地面17米及以上的部分占整个圆 (|c-a|+1)>|(a-b)+(b-c)1-|c-a|=0. 周的子（国心角为120），所以答案为4分钟. 评析：一道灵活结合了不等式和三角形的问题，考查学生的 代数基本功，总体难度也不算大， 18.D原式 「cos10°+V3sin1 cos10° sin10°+2cos40°√1+2cos10°-1 2,Dcos青os7…eas =「2sin40°sin10 =(cos音cos7os骨os晋os7） L cos 10 +2cos40°V2cos10 =(2sin40°sin10°+2cos10°cos40)W2 =2√2cos30°=√6. 评析：较简单的三角求值问题，一步一步化简即可。 16 19.BCD由三角形中的常见的恒等式tanA十tanB十tanC= tan Atan Btan C知，本题可转化为边的不定方程问题x十y = 十=xy必，x,y,之∈Z,不妨设x≤y≤x, 三(2sin音os）-cos晋 2sin1了 则xyz=x十y十之≤3z,由此得xy≤3，从而易得x=1,y= 1 2,之=3（注意本题容易证明三个正切均为正）， (2sincos）…cos=…= 11 故tanA的可能取值为1,2,3. 4sim 评析：常见的三角恒等式。 32x= 32sin sin 11 2,故原式位为 1024 20,CD由等差角求和公式知sm经+sn经+sin警 评析：熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难 (1+cos牙) 题，但是要注意计算不能出错 2sin 1，故A错误：同理B左侧的值为一号，故B 2 25.A设arctan存=0，则 错误；由例1知C正确；由积化和差公式知D项左边 tan 0=2 k+1-(k-1) =(c0s60°+c0s72°)(cos36°+c0s120) =十+)六=iam(a-D 4 .=a-B,即 (侵+2(-号+) 2 4 4 16,故D正确 arctanarctan (1)-arctan (-1) 2 21.B本题是一道三角函数的计算问题，利用和差化积公式 ∴之aretan是=-arctan2-arctan0+arctn3-arectan1十 即可， arctan 4-arctan 2+...+arctan (n++1)-arctan (n-1) 原式=(cos60°+c0s40)c0s70 =arctan n+arctan (n+1)- 4 =2(2os70+cos40cos70） 2n十1元 -x-arctan14 =号（分os70+zos10+ 2cos30°） an 2=3x *十 =0s30- 26.CD边长为3,4,5的直角三角形显然符合，若a=1,则三边 81 长为1,1,1（舍）或1,8,8 2.A令1=cos,则x∈[0，]时，1e[01.则原题转化 由海伦公式知S=号28+1)(28-D, 2 为：对t∈[0,1]，当a取遍所有实数时，求函数 因(28十1,28一1)=1，故a≠1， y=t-2at十1的最小值g(a)的最大值. 若a=2,则三边长为2,8,8+1，则S= 而该函数是一个二次函数，其对称轴为t=a 1 1 (1)a∈[0,1]时，y在t=a时有最小值1一a. √28+3)×3(28-1D=7√3(28+1)-4J 故此时a=0时有g(a)最大值1. 又3[(28+1)2-4]=3(mod4),故S年Q,综上a=3或a=4 (2)a∈[1，十∞)时，y在t=1时有最小值2-2a.故此时a= 符合 306 参考答案与解析 2.D不芍设∠AD,C=月，BD,=m,则。 AD 33.B依题意，f(x)=tan zsin x-sinx-tanx十1=(tanx sin B' AD 1(smx-1),而x∈[0,2]，里然x≠受且x≠经，因北 sin a2 sin B2 mx1,由f2)=0,得1am=1,解得=票或=号， 所以f(x)在[0,2x]上的零点个数是2. 34.C在△ABC中，设角A,B,C对应的边分别为a,b,c,由正 B- D D2 D3 Da D2020 孩定理可得：ABC=2,即mA=号，nB 因此ina=inB,同理na=n色 ，sinC=乞，即a:b:c=sinA:sinB:inC,可知能枸成新 b sin a2 sin B2 sin a sin B 因此sinB·sina盟=msin B_2021 msin B」 BC·sinB sin B2 020 AC 2021·AC 2021·AC △MBC,且△ABCn△MFC.所以Sm=子SE< CE =2021·AC402故选D. 片 28.Cm>1+5cos ,估算1+5cos ∈(4,5).选C 二，填空题 sin 1 sin 1 29.A cos a cos B-sin asin B=sin a 35.解析：由题意得7 aesin120°=2asin60°+2csin60,即ac sin B 2 sin 28 22 -at,得2+上=1，得4a+c=(a+c)(日+） sin B cos B tan a= 1+sin'91+1-cos2里 2 +4a+5≥2√a 9.4+5=4+5=9,当且仅当C=4如 =3=cos2g上式是两点M3,0),N(cos2g,-sin29)连线 sin 28 即c=2a时，取等号】 答案：9 的斜率.由Be(0,受)知，N在2+y=1(g<0)上.所以(am 36.解析： tan a tana(l-tana）= 2 tan a+1 tan a+1 3· 1-tan a 30.A考虑复数之1=1十i,必=2十i,心=3十i,其辐角主值依 解得tana=2或ana三二子 次等于题中三个角.因为名1它之=10i, 当tana=2时，sin2a= 2tan a4 所以arg,)=空，原式=sin名=1.选A. tan'a+15 3l.BC由f=ino+snx+号os, s2a-a- 3 tana+1 则了(x)=c0s2x十c0sx-号sin,该号函数在 光时sm2a十c0s2a=方月理音1ama=一子时， [0,]递减。 sin 2a-- os2a=，此时sn2a十os2=号 3 且f0)=2>0f受)=-号<0， 所以sm(2a+)-号(sim2a+cos2a) 因此我们需要解出x∈[0受]，使得∫()=0，经测试 答案唱 ，0s,=时特合. sinx。=4 37.解析：由正弦定理得，(2十b)(a一b)=(c一b)c, 5 a=2,.a2-b=c2-bc. f(x)在(0,2)单调递增，在(x。,)单调递减，f(0)= 2 即b十c2-a=bc,由余弦定理得： f,)器（受）=1，因光M-器 由b2+c2-bc=4→b+c2=4+bc→A=60°. ,b2+c2≥2bc→4+bc≥2bc→bc≤4， 32.C因为x∈[0，受]，所以0≤sinx≤1,0≤c0sx≤1，设y Sar=c·s咖A长E √sinx+√cosz,则y=sinx+2√sinx·cosz+cosx. 答案3 再设i=sinx十cosx=Esin(z+天），因为x十平∈ 138.解析：设三角形三边长为a,b,c,不妨设a对应的高为10，b [要]所以1同，且n·o=.所以 对应的高为20，（对应的高为九，则由三角形的面积公式， 2 10a=20b=hc,知a=2b.而由三角形三边长，|a一b<c< =+写=+后可观*可知，在 1a+61→6c<36代回原式即有9<<20， [1,N2]y=t十√2√-1为增函数，又t=1时，y2=1t= 答案：(9,20)】 √2时，y2=2√2，所以1≤y2≤2√2，又y>0,所以1≤y≤ 评析：几何中的代数运算，注意到高可由面积公式表示，再 √22=8. 配合三角形三边长的不等关系即可得结果. 307 强基数学·巅峰突破 39,解析：记t=sinx十cosx(t∈[-√2W),于是 方法3：过C点作CD⊥AB,垂足为D, f(x)= sin 2x-8 则acos B=DB,bcos A=AD. sin z+cos x-3 =-1-8=t+3∈[-2+3， t-3 由题设acos B-bcos A= √2+3]. 号，又DB+DA=G 答案：[-2+3，√2+3] 联立解得：AD= 1 5c, 40.解析：方法1：考虑计算sin18°，设其为x,则由cos36°= sin54°，有1-2x2=3x-4x3→(x-1)(4x2+2x-1)=0, DB=4 , ÷x=5-1.故原式=1十c0s361+c0s108) CD 4 故tanA AD DB tan B CD AD 4. =21-1-)=(+)5）=是 DB 方法4：由射影定理，得 方法2：cos吾0sx=-cas0s号 3 3 acos B+bcos A=c,acos B-bcos A=- 5c. 4 联立解得：acos B=-青c,beos A= 5c,故 sin sin 4 (1+cosF)(1+cos号x)=1+cos号+cos号 3 tan Asin Acos B 5c tan B sin Bcos A 1 =4 59 答案：4 答案：{ 44.解析：方法1：由cosa=tana→cosa=sina cosa=sin a, 评析：本题考查了三角函数中计算sin18°的技巧.这个技巧 由 cos'a+sin a=1 cos'a=sin a=15-1 2 来源于三倍角公式，应该熟练掌握. 4l.解析：sin Bsin C=sinA-sinB=(sinA-sinB)(sinA+ 所以。+osa=+(5)=2 sin a 5-1 sin B)=2sin A Bcos AB.2sin A Bcos AB 方法2：由cosa=tana→cos2a=sina, 2 2 2 2 sin(A+B)sin(A-B)=sin Csin(A-B), 故de十cosa=+sina sin a 故得到sinB=sin(A-B),A=2B,A-2B=0. (sina+1)+(1-cosa)=2. 答案：0 答案：2 评析：公式sin2A-sinB=sin(A十B)sin(A一B)和平方差 45.解析：奇函数意味着f(0)=0,因此c=一arctan2,要严格证 公式长得很像，让人不得不怀疑其正确性.但事实上，通过 明奇函数，只需利用 和差化积是可以证明的. 42.解析：利用三角换元，令x=an09e(-受，受） arctan A+arcan B=arctan产是平可. +1-x 答案：一arctan2 则f(x)= sin 0+cos'0-sin 0- 点评：只需对反函数有简单的认识就可以解决该问题 2si0+m9叶1=-2(m0-子）+号周北 46.解析：如右图，当圆心滚动至 (受1)时，圆周上的每个点都 fx=-2x(-1-士）广+号=-2.1=号 沿国月走了受的距离，也就是 ●0 答案：(-2，号] 43.解析：方法1：由正弦定理得： 子个国周长度，那么P点该动 sin Acos Bsin Bcos Asin C. 至如图p',显然有O币= (-1,0). 5sin Acos B-5sin Bcos A=3sin(A+B), 答案：（一1,0） 5sin Acos B-5sin Bcos A=3sin Acos B+3sin Bcos A, 2 Acs=8 in sA→合4 47.解析：易有cosx>0,sinx<0,即x∈（号x,2x）: 方法2：由余弦定里得，a·十6-6.+6- 答案：（三x2) 2ca 2bc 48.解析：（1)先证明sinb一sina<b-a,即证a一sina< 是a-6=g, 6-sinb,对于画数fz)=x-sinx,x∈(0，受) 则有an A=sin Acos B a. 2ca 导函数f'(x)=1-cosx>0,于是a-sina<b-sinb成立 tan B sin Bcos A 6.+6-a (2)再证b-a<tanb-tana,即证tana-a<tanb-b.对于 2bc 函数gx)=1anx-x,x∈(0，受)，导函数g'(2)= cos'x c2+a2-b2 5 c2+62-a 1>0,得证. 答案：sinb一sina<b一a<tanb-tana 308 参考答案与解析 49.解析：必1=3十i,心2=2十i,心=1十i, 53.解析：设△ABC的三边为a,b,c,不妨设h。=2,hb=4,则有 .8123=(3十i)(2+i)(1+i)=10i S△Ax=a=2b.所以bc<3b. ag()=受，即原式=1. 2S a+b+c -始=4（层 36+c 答案：1 3+分 50.解析：因为 sin cos2agA+9=n日·c0s20=sin1 c0s20 cos9大 答案：( 2cos02sin dcos 0 sin 20 54.解析：，{sin0,sin20,sin38}={cos0,cos20,cos38}, c0s28 c0s28 cos 26' .∴.sin0+sin2θ+sin30=cos0+cos20+cos30, 所以— sin 4a sin 2a sin a 十 cos 4acos 2a +sin a 由和差化积公式得： cos Sacos 4a cos Zgcos g cos a sin 4a sin 2a sin 2a sin 4a sin 4a sin 0+sin 30-2sin 30 cos 30-2sin 20cos(0) 2 2 cos Sacos 4a cos 4acos 2a cos 2a cos Sacos 4a cos 4a -sin 8a-tan 8a= 2an4a=√3. 2sin 20cos0.cos 0+cos 30-2cos 030 cos30 2 2 cos 8a -tan'4a 2cos 20cos(-0)=2cos 20cos 0,.'.sin 0++sin 20+sin 30= 答案：W3 2sin 20cos 0+sin 20=sin 20(2cos 0++1), 51.解析：因为R=2,所以4（sin2A-sin2B）=（3a-b)sinB cos 0++cos 20++cos 30=2cos 20cos 0++cos 20=cos 20(2cos 0++1), .∴.sin2θ(2cos0+1)=cos28(2cos0+1) →a-6=(5a-bb→a=36,因为Sac=乞(a-b),所 .sin29=cos20或cos0=-】 言c0s0=-号时，0=要十 以加sinA=ca-b)>sinA=c-c=5-1,进而有sinB bc 2元或弩+2k,∈，此时c0s0=c0s20=-之，不满足集 =n-1-9,于是(mA2B+n号)-(nA2B+ 2 合的互异性，故会去，当sin20=c0s20时，20=天十km,k∈ 70=音+经，keZ.满足题意0=46长乙 8 -sin ABcos:A+B+2sin A Bcos A+B 答索：0=4十1Dx,k∈7 2 2 8 cs(A-B)co(+sin A-sin B 55.解析：因为arctan 2 n2 =arctan(n+1)-arctan(n-1)于是 =1-sin Asin B+sin A-sin B arctan2+aretan号++acam2 =arctan 13+arctan 12- =1--1(1-9)+(6-)-(1-9)=1 2 21 arctan 1,于是tan(arctan2+arctan 2 +arctan 2) 因为0<A-B<x,0<C<x, 所以s血42B+m号=1 tan(arctan 13+arctan 12-arctan 1)= 2 13+12 答案：1 tan(arctan 13+arctan 12)-1_ 1-13X12-1 18 1+tan(arctan 13+arctanl2) 13+12 1+1-13×12 52.解析：令x=cos9(0∈[0，π]).则√/个-c0s0=4cos20 3cos 0, 答案：骨 sin 0=2cos0+2cos0-cos 0-2cos 0=2cos0-cos 0- 2(1-cosθ)cos8 56,解折：已知2x+y=1,设-号0s0y=sn0.对+2y cos 0(2cos0-1)-2sin'Ocos 0=cos 20cos 0-sin 20sin0= w 1 cos(20+9)=c0s30,即cos(Ξ-0）=c0s30,由于受 os9+2sm0气√号+4sin(9+）=3y2im(叶g）,共中 -9∈ 是9(0受)当0+9=受+2kx,k∈Z时， [-受，]，30e[03],所以30=至-9浅30=号-0+2x 或30=日-受+2x减30=-(5-9）. x+2y=8in(叶g)取最大3所以十2y的荒大位 2 为3 21 因而其全部解为x=c0s受或cos要或c0s3西. 答案：9 Q 三、解答题 由题意知，所求值为： 57.解：反证，若tan3°为有理数， 3 3 8cos 5元 3元 -cossinc0s 元 由an6°=tan（3十3)=1an3十an3知an6°为有理教， 1-tan3° 6 =12=12. 习理，m9=1a加g+s9=巴”m答色为有理教.快 次类推 答案：12 可得tan12°，tan15°，…，tan30°均为有理数， 309 强基数学·巅峰突破 而m30-侣为无理数，不居。 63.解：不存在.否则有cosx一sinx=cotx一tanx (cos z-sin z)(cos z+sin a) 所以tan3°为无理数. sin xcos a 评析：此题主要考查学生的数学思维，想到利用有理数封闭 则cosx-sinx=0或者1=cosx十sing 性（即对有理数做加减乘除后均为有理数）去做的同学就会 sin zcos x 很容易做出来. 若c0s一n2=0,有x=子而此时号写， 乞，21,1不成等差 58,解：由x∈(0,1)，知x<x<1anx,且(n} 数列； cos'r-tan x 若1=osr+sin2,有(sin xc0sx)2=1+2 sin cos. x-sin zcos工>0， sin xcos x x'cos'r 解得sin zcos x-=l士√2. 因此an2随x单调递增，故an卫<tan工 而ino=名n2xe(0,号]，子盾利 又因为lan2>1,则有am工<lanx<an2z 注：如果开始未给定等差数列顺序，则由对称性，不妨设x x 59.证明：方法1：不妨设f(x)=x一sinx,则f(0)=0, ∈(o,] 且当0<<交时，f(x)=1-cosx>0, 则sin xscos x,sin z<tan x,cosx<cotx,tanx≤cotx, 2 故sinx,tanx,cosx,cotx或sinx,cosx,tanx,cotx成等差 于是f(z)在0<r<受上单调递增. 数列， 也可得到cosx一sinx=cotx-tanx. ∴.f(x)>f(0)=0.即x>sinx. 64.解：方法1：a=sin4xsin2x-sin zsin3.z 同理可证：g(x)=tan,x-x>0, 1 g0)=0,当0K<受时g)= (cos 2x-c0s 6)(cos 2-cos 4x) 于是gu)在0<<受上单调递培。 =(cos 4x-cos 6x)=sin sin 5z. 在0<号上，有g>g0)=0. y “y=sin zsin5x关于x=受对称，故在区间[0，x)上有唯一 即tanx>x. 解，解只可能是x=号或0。 故sina<a<tana. 注意：也可用三角函数线的方法 当x=乏时a=1: 求解 当x=0时，a=0,而sinx·sin5x=0, 方法2：如图可得：sina=MP,a= 还有后号，号学x4个根，合去， 3 4 AP,tan a=AT. :S△mA<S扇每POA<SAOAT' 故a=1. ∴20A·MP<20A:<0A·AT 方法2：由方法1知a=2(c0s4红-cos6z) ∴MP<AP<AT. (2 cos2x-1-4cosx+3c0s 2x) 故sina<a<tana. 60.解：sin(3×10)=号→3sin10°-4sim10°=号， 令1=c0s2x,则a=之(-4+2r+31-1） 可得-8sin310°+6sin10°-1=0， =21-1)(-4f-21+1). 所以该整系数多项式f(x)=一8x3十6x一1. 评析：容易想到利用倍角公式求出该多项式，最简单的是三 由于cos2x=cos(2π-2x)=cos2(x-x), 倍角公式 故原方程在区间[0，x)上有唯一解，解只可能是x=受或0， 61.解：cosA+√2cosB+√2cosC -cos A+2cos B+Ccos B-C ①x=乏时a=1,此时1=sin zsin5x在区间[0，x)上有唯一 -cos 2 2 解， ≤cosA+2V2cosB+C 因为1=sinzsin5x≤1在区间[0，π)上当且仅当 2 =1-2sim+2sn≤2， sinx=1,sin5x=1,即x=受时取￥号： ②x=0时a=0,但z=行，号，号，吉元时均有sin2sim 24 等号取到当且仅当A=受，B=C=平时. 5x=0,故原方程在区间[0，π)上的解不唯一，舍去综上所 评析：三角形中运用和差化积得到和角，再转化为第三个角 述，a=1. 是非常基本的变形技巧， 65.解：设AF=x,BD=y,CE=g,0<x,y,≈<1， 62.证明：cosA+c0sB+cosC>1→cosA+cosB>2sin号台 则AB2=x2+(1-y)2-2x(1-y)c0s60° C 2cosA+BA-B2sinC白osA-B≥sim2分 =x+1-2y+y-x十xy,同理BC=y2+1-22+x-y十%， 2 cos 2 2 2 CA=+1-2x+x2-x十x, cosAB>c0s4生-2sin会sn号>0，证.￥ AB+BC+CA:=2x+2y+2-3x-3y-3x+y+y+ 2 2 评析：较为基础的三角变形技巧. +3=(x+y+-多)广+2[x-+0-)+x-]+ 310 参考答案与解析 形的一条边建立在BC上时，如图所示，易知sinB-L csin B 等号在=y==合时取到 b acsin B abc →x1= ae·2R a+csin B a+c·2R 2Ra一bc,同理可知其他 abc 情况，内接正方形的边长分别为x=2干a(一条边建立 abc D 在AC上)，西=R千a一条边建立在AC上)，因为工 评析：三角形中的正弦、余弦定理是重点考查对象. abc abc abc 66.解：(1)由题意得，sinB=sin Asin C,即b=ac,于是由余弦 :-2Rab 2Rbac(2Ra+be)(2Rbac)(a-b)(c- 定理，得 2R)<0,所以1<x2,同理可知x1<x,于是x1最小，从而 cosB=+-b=。+c-ac≥ 2ac 2ac 2, 这个三角形内接正方形边长的最小位为加 得到Be(0,晋] 70.解：(1)证明：tanC=-tan(A+B)= tan A+tan B tan Atan B-]' (2)Sacsin B-2R'sin Asin Bsin C-8sinB8X 整理得tan Atan Btan C=tanA+tanB+tanC, (停)=2厅，等号取到当且仅当原三角形为等边三角彩。 (2)由已知得3 tan Atan C=tanA+tanB+tanC,与(1)比 较知tanB=√3，B= 67.解：不妨设AB=1,△ABD中，由三角函数性质得 3 1 1 2 24 BD=2sim号，△EBD中，∠DBE=受-∠ABD= 2 sin 2A sin 2C sin 2B 3 ?因此∠DEB=元-20， .sin 2A+sin 2C4 sin2Asin2C√3 DB BE 由正弦定理，sm∠DEB-sin0得BE= sn号sin sin(A+C)cos (A-C) 38, sin 2 cos 2(A-C)-cos 2(A+C) o9故B-2sin号cos0 而sin(A+C)=simB=5, 2cos 2(A+C)=cos 2B=-1 BC=tan 0=sin BC 30 sin 2 代入①式得 2cos 2(A-C)+1=3cos (A-C), .4c0s2(A-C)-3cos(A-C)-1=0, 能=lm 0-0+ 30 30 sin 2 一3 00 2 cos1-0=1或-子ms42S=1或9 2 评析：本题表示出比不难，但求极限需要掌握一些相关的 、 71.解：由2sim4,B+cos2C=1得 知识. 2 6服解：方法1：由降累公式得3200=32(H92)。 2os号 -1=-c0s2C, 由三倍角公式得cos60=4c0s320-3cos20, 所以cosC=-(2cosC-1) 由二倍角公式得6cos40=12cos20-6, p 2cos2C+cos C-1=0,(2cos C-1)(cos C+1)=0, 将以上三式代入得32cos9-cos68-6cos40-15cos20=10. 因为C为△ABC内角，所以cosC+1≠0， 方法2：根据二倍角和三倍角公式知： 32cos9-cos68-6cos40-15c0s20= 所以csC=，C= 32cos0-(2cos230-1)-6(2cos220-1)-15(2cos0-1) =32cos0-[2(4cos30-3cos0)2-1]-6[2(2cos20-1)2 (2c=2RsnC=4.号=25.又由余弦定理得 2 1]-15(2cos0-1) c=a2+6-2abcos C,12=a2+6-ab, =32cos0-(32cos0-48cosθ+18cos0-1)-(48cos0- 又a+b-ab≥2ab-ab=ab,所以ab≤12. 48cos0+6)-(30cos0-15)=10. 评析：方法1和方法2在最后计算结果时，可取日=0°，直接 4 得结果为10. 所以5a=名bsnC=点长912=8v后. 69,解：先求出建立在一条边上的面积，根据轮换性写出其余两 当且仅当a=b即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取 种情况，再根据条件a>b>c判断边长的最小值是何种情况 得最大值33」 取到. 72.解：1)由条件得2sin,C-1+c0s2C=2cosC 2 1 M cos C=- c- csin B (2)因为u=csinA-2 csinA,b=csin B_2 csin B sin C sin C V3 B Q a HP c=2b:2a=8c sin'B &c'sinA 设正方形的边长为x,△ABC外接圆半径为R,当内接正方 3 311 强基数学·巅峰突破 2sin'B-2sin'A= 子，故c0s2A-os2B=2snB 评析：此题就是基本的三角函数问题.关键在于利用三角公 式化筒. 2sinA=是 76.解：(1)由x与wx十9的关系，可得 (sin z+sin y=3' ① 73.解：3 由wx十9与f(x)的关系，可得A=2,B=1, (cos t-cos = )=2(+)+1. 0+释as+)器 (2)f)的培区同即为y=n(一营+最)的增区同。 由D得2sin生as号- 3,③ 解不等式26x+受≤-言：+品≤2x+要，有 由@得2sn生2n分之=- 2 5，④ 需得m2=一，月光sn(-y》 2tan文-义 2 1+tan'z-y 增区为[x+] 2 3))在sin(信x最)一时的x值为f)的索高， 17:cos (2-y)= 15 1-tan2-y 2 8 1+tan2文-义17 此时号-=2+或2x+ 2 由两个方程解得x= 5 74.解：fx)= (cos z-sin )sin ()-2asin+b (cos a-sin )(sin +cos )-2asin 故f)在0内的所有零点为=音 77.解：方法1：f(0)=sin0cos0+sin'dcos'0= =-simz-2 asin+6+号， sinOcos0(sin'0++cos'0)=(1-2sinOcos0)sinOcos0. 令1=sinx,则/(x)=--2a1+6+2为一个二次函数， 当0=子时，nos0取最大值号， 其中t∈[-1,1]. 分情况讨论， ÷1-2r0as0·smas0<号×子（1-2sin0os0 （I)对称轴-a<-1,则f(x)mx=f（-1),f(x)im=f1) -D-1+2a6+-1a=号 (29≤1×(2naog+2smaa2）=6 4 2 /)=-1-2a+6+2-46=-1 1-2 n9=2sin0cos0nsin9cos0=3(0=天） 经检验成立 所以高数了0的最大值为品 ()对称轴-1≤一a<0,则f(x)mx=f(-a),f（z)n=f1). 方法2：f(θ)=sin'fcos0+sin0cosθ=sin'Ocos9(sin'0+ r-a)=a2+合=1， cos'0)=(1-2sin2Ocos20)sin'Ocos0. →a=-1±5与 f1)=-1-2a+b+2 1 =一4 因为s（-（n(+）》 2 a4 ≤号(0=至时“=”成立)： 0<a≤1矛盾.综上 b=-1. 评析：题中三角函数的化简十分简单，这道题本质为函数的 令sin @cos9=(0,7]则 最值问题，比较常规.在函数一章讲义中已经详细给出了二 ga)=1-2rr=t-2x,e(o,2] 次函数最值的分类情形，同学们只需要仔细耐心地去分类， 计算基本都可以算对，难度不大. 则g'(t)=3t-10t=t(3-10r)>0, 75.解：1Df)=sin(x+)+2cos(受-）-1 所以s)在：(0，]单洞道增， =sn(x+答）+cos(x-答）=sim(+答) 所以g)的最大值为g(合)。即了(9》的最大值为6 78.解：在△ABC中，要使cos Acos Bcos C最小，则△ABC为钝 n(等-)s(景) 角三角形，不妨假设C为纯角，则A∈(0，受)，B∈(0， 手是易知fx)的逅减区同为[牙] ）-1<c0sC<0,则c0sAc0sBc0sC>-c0 s Bcos A.因 20=1()=(）- 为0<c0sA<1,0<cosB<1,所以0<cos Acos B<1,则 于是由图象得m的取值范围为 1<-cos Acos B<0,cos Acos Bcos C>-cos Bcos A> [) 一1.当△ABC为等腰三角形，且C无限接近于π时，cos Acos 2 Bcos C无限接近于一1，即cos Acos Bcos C的下确界为一1. 312 参考答案与解析 70.解：由三角形西积公式得女s如A=合a·了4，即6mA= 1 子，由余孩定理得a8A=6+之-4 第六章 数列与极限 ,故b2+c2= 2bc 2 becos A-+3 besin A,所以b+c)°=6+c2+2c 一 、选择题 bc 1.C设等差数列为x1= =+da=+2. 1 26ccOs A+3csin A+2c=2cos A+3sin A+2=13 sin (A+ x,=车+3d,公差为d,则x1十x:十x十西=1+6d=4>d 1 2 十2≤√13+2，其中sim9=cos9三号 当且仅当： 1 1 √13 A十9=吾，即A=受-9时，等号成立，又心 7 m=x1x=16 15 bc m=16' 6+c+2bc26c+26c=4,当且仅当b=c时，等号成立，故 或者 15 n=xx=16 7 m一nl=号选C bc bc +)∈[4，+2] 2.A由a1=1,Sn+1=4an+2(n≥1)…①可知 bc 当n=1时，S2=4a1+2,所以a2=5; 80.解：显然要使2sinA+sinB+sinC取最大值，则sinA≥ 当n≥2时，有S。=4a-1十2(n≥2)…②， simB,simA≥sinC,所以B,C都为锐角，所以A∈[答x小 由①-②式得，an+1-2a,=2(am-2a,-1)(n≥2)， B-C∈(-受，），由于simB+sinc=sim(BC+ 又a:-2a=3,所以a+1-2a.=3X2"-1(n∈N). 2 8）+m(8-8）=mB时wS,所以 上式月以得学-号又号=1 2 所以2=1+号.故令=2012时，得 2sinAsinB sin Csinoin 2” a213=22012×3019,故选A. 十mB+snC≤2sinA+2c0s合，当B=C时，取等号.令A 评析：当数列递推式同时出现前n项和以及通项时，一般考虑 全部转化为前n项和或通项。 =2x,x∈[答，受），构造通数f(x)=2sin2z+2cosx,xe 3.B设公比为q(g≠0)，a十log:k,a十log:k,a十logsk的公比相 [吾，受）所以fx)=4cos2x-2sinx=-8sinz-2sinz 当于a+-log:b.a+-ogk,a十合logk的公北，相当于og +1g+号o照十言的公比，即相当于+1+叶 1a 十4.令(x)=-8sinx-2sinx+4=0,解得：sinx= 3丽-1或sinx=二√-1（含去）.记in=3丽-1 8 8 号的公比，(+号）广=：+D(+号）解得1=- 因为血吾<n工=丽<1，所以∈（告，受），当 8 公比q=3 x(z）时()>0f(x在(0，x)内单调递增：当z 4.C考虑2的幂次.把2个数：1,2放入第一组，把2个数： 3,4,5,6放入第二组，把2个数：7,8,9,10,11,12,13,14放 ∈(，)时f'(x)<0,f(z)在(0，x)内单调递减，所以 入第一组… 那么，任取n∈N”,如果一个无穷等差数列在前2”一2个数中 当sinx=sinx1= -1,即x=石=aresin时， 有至少两个数，这个等差数列的公差不超过2”一2.但接下来 8 8 2”个数都会是同一组的，而该数列必有数在这2”个数中. f(x)mm=f(x1)=2sin2z1+2cosx1,所以当A=2 arcsin 矛盾！ 3-1,B=C时，2sinA十simB+sinC取得最大值. 稍微把这个2的幂次的分组方法改动一下，如变成3的幂次、 4的暴次…分析方法与上述相同.故分组方法有无数种， 8l.解：因为3cosa+2sina=c,3cosB+2sinB=c,两式作差可 评析：组合数学中简单的极端思想，如果不熟悉这种思考方 得，3cose-c0s+2(sne-sn)=0,中-6sin生. 式的话可能会无从下手. sm24cosn2=0,即sn(2as空2 6,A运用等差角求和公式，在式子上下同乘sin号，然后积化 2 2 和差得到： 3in生）=0，所以m=02os-3sin- 2 2 、(sin2+sin2反+…+sinn2)sim号 0,中sin=0或am生-号 23 sin② 当sin2-0时8-日=2m,m∈，与题设。-8≠x牙 1 2 盾，舍去 >2台 2×3_12 血号 当am生-号时，ma 2 2 1-am乎1哥 (oms2n1反-os号）>2sn号 313