第5章 三角函数-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

全国重点大学招生强基计划数学解难 第五章 三角函数 知识要点回顾 一、几个常用公式 1.三角函数积化和差公式 in ncos[sin(sin sin(-sin(] cosac0sB-2[cos(a+B)+c0s(a-B)]sin asin g--[c0s(a+8)-cos(a-B)] 2.三角函数和差化积公式 sina+sing=2sin（a寸2cosa,2sina-sing=2cos（a寸2sina,2 2 2 2 oso -2es on a sin (sin a 2 2 2 3.三倍角公式 sin 3a=3sin a-4sin a,cos 3a-4cosa-3cos a. 4.万能公式 设am号=a,则na1中ase-言ang产 2a 5.等差角求和公式 对于求：sina+sin(a+d)+sin(a+2d)+…+sin[a+(n-1)d], 如果我们给每一项都乘以sn号，然后每项积化和差，即有 sin asin号-[cos(e-号)-cos(a+号)小sim(a+d0sin号 d -[os(a+号)）-as(+受小sma+2dsin号-[ms(e+)-os(e+受】 sna+a-1Dd]sn号-2cos(e+22）-osa+n2a小 再把以上等式两端分别相加，并记原式的和为S,则有 s.×sim号-2[os(a-号）-cos(a+2"24)]=sin(e+"2d)sin nd sin sin 2 采用同样的方法，可以导出角度成等差数列的余弦三角函数的求和公式. nd sin cos a+cos(a+d)+cos(a+2d)+...+cosLa+(n-1)d]=- co). 2 sin 2 52 第五章三角函数 二、反三角函数 反正孩函数：y一aresin,定义域是[一1,1门，值域是[一受，受]，奇函数，增函数： 反余弦函数：y=arccos x,定义域是[一1,1]，值域是[0，π]，非奇非偶函数，减函数； 反正切函数：y=-aretan,定义域是R,值域是(-受，受）奇函数，增函数： 反余切函数：y=arccot x,定义域是R,值域是(0，π)，非奇非偶函数，减函数； 反三角函数常用结论 当x∈[-l,l]时，sin(arcsin x)=x,cos(arccos x)=x; sin(arccos x)=√/1-x2;cos(arcsin x)=√1-x2; aresin(-r)=-arcsin x;arccos(-x)=x-arccos x;arcsin x+arccos 2 对于任意的实数x都有tan(arctan x)=x,cot(arccot x)=x; arctan(-x)=-arctan x;arccot(-x)=x-arccot x;arctan z+arcot = 当r≠0时，tan(arccot x)= cot(arctan )-1 1 D典型例题精讲 【例1】求sin6°sin42°sin66°sin78的值. [解析]sin6°sin42°sin66°sin78° =16cos6°sin6sin42sin66sin78°_8sin12°sin42°sin66°sin78° 16c0s6° 16cos 69 =4sin24sin42°sin66°_2sin48°sin42°=sin96°=1 16c0s6° 16cos6° 16cos616 【例2】求三角式cos号十cos经+c0s野的值. 5元 [解析]令x=60s号十c0s3买+c0s 则xsin=sin牙cos+sn牙cos3+sin牙cos5 5π -（sin2牙+0)+(sin钙-sin2）+2(sin要-sin铲) n6π=1s 1 zsin呀=2sin牙.x=7. 所以e0s十c0s3+c0s牙- 0s5π=1 x一x 【例3】求函数)=1十2+x的值域. [解折]千片后· .1-x=1.2x ,1-x2 令x=am台运月“万能公式”，则y=号sim1…cos1=sin2.∈[-，] 53- 全国重点大学招生强基计划数学解难 【例4】设O为△ABC的外心，若AO=AB+2AC,求sin∠BAC的值. [解析]延长AC到E,使得CE=AC.连接OA,OC,OE.作直径BD, 连接DE.因为A0=A官+2AC,即A0=A官+A它，所以， 四边形ABOE为平行四边形，四边形ODEA为菱形. 设AC=m,则OC=OA=OB=2m.在△AOC中， 利月余孩定理可得：c0s∠OAC-是，从而sinm∠OAC=. 4 又∠OAC+∠A0D=,60s∠A0D=-千∠AOD=2∠BA0,利月二倍角公式可得 m∠A0D=cos2∠BA0-2as∠BA0-1=-子，所以cs∠BA0-5,从万sn∠BA0-= 4 于是sin∠BAC=sin(∠BAO+∠