第五章 三角函数（试卷）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

参考答案与解析 1a-K1=甚-=|e3\ 5.A由题，b2=ac,即(sinB)2=sin Asin C→(sinB)2= sin Asin C-[cos (A-C)-cos (A+C)] <la-Bl. [osA-C+cos]≤+cosB 第五章 三角函数 解得asB≥分即B∈(0，音] 一、选择题 故sinB+cosB=②sim(B+至)∈(1，W](注意，最大值是 1.B根据simA=cOsB,得到A=B+交或A十B=交（含）. 在B=冬时取到). 再旅据A+B+C=,解仔C=名x-2A.为了使B,C角满足 评析：三角形中的积化和差加放缩技巧，这一考点在强基计 划考试中频繁出现 题意，得到A-受∈(0，x)并且号元-2A∈(0，)，结合A∈ 6.B科月三角代装，令e=an号，向于0<e<1, (0,x,故A∈（受，子x)即可使得B,C角也满足题意。 最后我们考感方程sinA=anC=1an(受x-2A）=eot2A 即2x<0<2x+受（使为签数），代入题目，利用万能公式，题 的解； 日化为：2kx<0<2km+乏，且k为整数，(sin0)F+(cos0)= 记=c0sA∈(-9,0），则2x+2r-21-1=0.再记f0)= 1,求x解的个数.令 2 ! f(x)=(sin)+(cos),由于sin0,cos0均在(0,1)内， 21+2t-2t-1,而(t)=6t+4t-2, f(x)是一个单调递减的函数，而易知f(2)=1, 在(-号0)上板为负，所以)在(-号0)上道减.再注 故f(x)=1有且仅有一根x=2. :7.C因为2sin(x+x-y)=sin(y+-x)十 意列0)=-1<0，(-罗)=号>0，于是满足原题的三 sin(x+y-≈)=2 sin ycos(x-≈)， 则sin(z十z)cosy-cos(x十z)siny=sin ycos(x-z), 角形有且仅有一个解， sin(z+z)cos y=sin y[cos (x+)+cos (z-z)]= 评析：解三角形中较难的问题，关键是可能漏解或者误把不 2sin ycos xcos z. 满足题意的解当成正解，事实上，许多同学可能并没有发现 则tanx十tan之=2tany,故选C. 此题的：)应当是在(-竖0)上有解，丽幸(-1,0)，虽然 8.D原式即为V5+cos9+√9-2V3cos6-3cos20,令x= cos∈[-1,1]，则转化为求函数f(x)=√3+x+ 并不影响最后的结论， √9-2√3x-3.x的最大值，因为(x)=1+ 2.A令sina=,sing-y,则xye[0,l),tara=乙ziam9 -2W3-6x =1 5+3x一，令∫()=0得， 2√9-2V3x-3x √9-2W3.x-3x ·故1二x1一y=x十y一2x义三x士y,即xy(x十 1-zy 6x+43-3=0,解得6=3而25∈[-1,1门，且 6 =2xy,从而x十y=2(含)或xy=0. 25x+3x8= 号，由导数知识易知，当x=。时，函数f() 评析：重在代数变形的题目，换元后找寻三角函数的规律，很 快得到答案. 取最大值为+面。2返+一吾=2+@故 6 3 3.BCD由题：2sin(2A)=sin(B+A)+sin(B-A)→4 sin Acos A 选D =2 sin Bcos A,那么千万不要着急约去cosA,因为它可能为 二、填空题 0,所以这个题便看上去似乎有两种可能性： 9.解析：记t=cosx,则t∈[一1,1]，方程t一t-(a+1)=0有 [-1,1]上的解.将参数分离得到a=t-t-1,解得a的取值 ①c0sA=0,也即A=受，计算可得BCD均正确， 范为[-] ②sinB=2sinA,也即b=2a,再通过余弦定理可以解出各个 边，发现BCD是正确的. 答案：[-号1 评析：本题较容易，关键在于第一步能否用到和差公式，注意 评析：送分题，难度不大.注意新元的取值范围. 外接圈的半径可以通过R=2mA来计第， :l0.解析：由正弦定理，sinA:sinB=a:b=√7：3，代入已知方 4.ABA显然x=0是f()的一条对称轴：B(受，0）是() 程有mA一9。 inB-3V② 14 .'sin C=sin(A+B)=sin Acos B++sin Bcos A= 的一个对称中心：C.a=0时，f(x)只有三个根，不是偶数个， 错误.D.f(x)=sinx·sin2x=sinx·2 sin acos=2sinx· 9×+×- 214 cosx=2(1一cosx)·cosx,通过对三次方程在区间[-1,1]内的极 位分析知的最大位为小于子错民。 Swabsin C 2 评析：函数图象和函数性质分析.常规套路，细心解出即可， 答案 391 强基数学·巅峰突破 11.解析：不难说明cot0-tan0=2cot20成立. +sin378°=sin18°-sin(360°-18°)+sin(360°+18°) 于是9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=tan10° cot10°+2tan20°+4tan40°+8tan10°=2tan20°-2cot20°+ 3sin18,所以sn6-sin3114+sin3126=-子sin18, 4tan40°+8tan10°=4tan40°-4cot40°+8tan10°=8tan10 cos 30-cos(0+20)=cos 0cos 20-sin 0sin 20=cos (2cos20 -8cot80°=0. -1)-2cos0(1-cos28)=4cos3θ-3cos6,因为sin36°= 答案：0 cos54°，所以2sin18°cos18°=4c0s18°-3cos18°，即 评析：此题难度很大，该变形式的应用场合很少，属于较偏 4sin18+2sin18-1=0,解得：sin18°=5-1或sn18- 的问题. 4 12.解析：由余弦定理，a2+62-c2=2 abeos C,代入所给式子中 -5-1(舍去)， 4 得：S=3 6 bcos C对比面公式S红bsC,知C=30 所以sin6”-sim114+sin3126°=-3×5-1-3-35 4 4 16 再由正孩定理，2R=sin AsinB=smC=2,故，56-a= c 16.解：在△ABC中，若a=2,b=√2， 2V3sinB-2sin(150°-B)=√3sinB-cosB,由辅助角公式易 c=2√2，D在BC上，由余弦定理可 得其最大值为2，当B=120°，A=30°时取到. 得：cos∠BAC=+c2-a B D 答案：2 2bc 评析：熟悉正余弦定理和面积公式即可， 13.解析：sin'a+sinB=sin(a+3)=sin acos B-+sin Bcos a. 2+8-4-子，同里：osB=5g2,cosC=-9,在△ABC 8 81 I)若a十D受，则a>受-B,sina>sin(受-) 中，B∈0x.C∈0x.所以simB=mC=年，设 4 =cos B,sin B>>cos a. ∠BAD=a,∠CAD=B,则a+B=∠BAC,在△ABD,由正弦 故sin'a+sinB>sin acos3+sin Bcos a,矛盾！ AD BD AD (2)若a十K受，则sina<cosB,sin e0sa, 定理可得：mB=sin/BAD,同理在△ADC,m DC 所以2 DCXDB 2sin asin B 同理推出矛盾！ sin∠CAD' AD sin Bsin C 综上a+日=受 cos(a-B)-cos(a+2≤1-cos∠BAC sin Bsin C sin Bsin C 4<1,所以AD 答案：号 >2DCX DB. 评析：此题并不好做.它是一个双变量的方程，理应是解不 17,解：设∠BED=a,则∠BDE=牙-a,∠ADF=若十a, 3 出来变量的任何表达式的，但是此时要求求解α十B,说明问 题具有巧合性， ∠AFD=R 2 -a,设EF=a,DE=√3a,DF=2a.在△BED 14.解析：由数量积的定义及余弦定理知， AB .AC-cb cosA6tc-a 中，BD=DE sin a snB,则BD=2 asin a,在△AFD中， 2 AD 同理得，BA.B元-。+c-b,C.C席=。+。-d sinA,则AD=4 cos,所以AB=AD+BD= 2 2 sim(-a） 故已知条件化为b+c2-a2+2(a2+c2-b) =3(a2+b2-c2), 2asin a+ 4 acos&=2/② 3 asin(a+p),所以e 即a2十2b2=3c2.由余弦定理及基本不等式，得 cosC=a2+6-c_a+6-号(a+26) 2·a·3a 3 2ab 2ab 14 sin(a+g,当sin(e+p)=1 -品+品2品·品， 时是的及小雀方品 所以mC=aC< 18.解：原不等式等价于 等号成立当且仅当a:b:c=3:√6：5. cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)8. cos Acos Bcos C 因此sinC的最大值是 在三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C, 3 管来号 cos(B-C)sin Bsin C+cos Bcos Ctan Btan C+l cos A sin Bsin C-cos Bcos C tan Btan C-1 tan A(tan Btan C+1)2tan A+tan B+tan C 三、解答题 tan B++tan C tan B++tan C 15.:sin 30-sin(0+20)=sin Ocos 20+cos Osin 20=sin 0(1- tan A+tan B=x 2sin8)+2sin0(1-sin0)=3sin0-4sin30,从而得到： 令tanB+tanC=y, sim20=子sin0-子sin30,则sin6-sim2114+sim2126= tan C+tan A= 是(sm6°-m14+5n126)-(sm182-sn342+ 则原不等式等价于红+z)y+x+y≥8. yx之 sin378),由于sin6°-sin114°+sin126°=sin6°-sin(120 而上式左边≥22？区=8，故原不等式 -6)+sin(120°+6)=sin6°-sin6°=0，sim18°-sin342 得证 392第五章 三角函数 一、选择题 6.已知0<<1，(1广+(-f=1,求x 1.满足sinA=cosB=tanC的互不相似的 △ABC一共 个 解的个数是 ( A.0 B.1 A.0 B.1 C.2 D.无穷个 C.2 D.以上答案均不正确 2.已知 tan2a+tan2β sina+sin3,则 7设，y,之均不为(+2)，为整数，已知 1+tan2a+tan2B sin(y+z-x),sin(x+z-y),sin(x+y-z) sin asin的最大值是 ( 成等差数列，则依然成等差数列的是() A.0 B.v2 2 A.sin x,sin y,sin z B.cos x,cos y,cos z c D.以上都不对 C.tan x,tan y,tan z 3.△ABC的三边分别为a、b、c,若c=2,∠C= D.前三个答案都不对 子，且snC+sin(B-A-2sin2A=0,则有 8.函数f(0)=√/3+2√3cos0+cos0+ √/5-2√3cos0+cos20+4sin0的最大值是 ) A.b=a B.△ABC的周长为2+23 A.√2+√3 B.2√2+3 C.√2+23 D.前三个答案都不对 C.△ABC的面积为2,8 3 二、填空题 D△ABC的外接圆半径为2 9.已知sin2x+cosx十a=0在实数范围内有 解，求a的取值范围是 4.已知函数f(x)=sin xsin2x,则 10.在锐角△ABC中，a=√7，b=3,sinA+ A.f(x)有对称轴 √7sinB=2√3，三角形的面积为 B.f(x)有对称中心 11.9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80° C.f(x)=a在(0,2π)上的解为偶数个 D.fx)-名有解 12.已知三角形三边a,b,c和面积S满足： 5.在△ABC中，a,b,c成等比数列，a,b,c所对 得w+8-)=5c=1,6a的最大 角为A,B,C,求sinB十cosB的取值范围是 值为 ( ) l3.设锐角a,3满足：sina十sin2B=sin(a+B), A.(1,√2] B[2回 a十B= 14.在△ABC中，已知AB·AC+2BA·BC= c.1,2+3 D[22+同 3CA·C,则sinC的最大值为 253 三、解答题 :17.直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角 15.求sin36°-sin3114°+sin3126°. 形ABC的边AB,BC,CA上，且∠DEF=90°， ∠EDF=3O°，求SADEE的最小值. SAABC :18.锐角三角形ABC中，求证：cos(B一C)· 16.在△ABC中，若a=2,b=√2，c=2√2，D在 cos(C-A)cos(A-B)8cos Acos Bcos C. BC上，比较AD与2 DCXDB的大小 254