第九章 解析几何（知识讲解&例题分析）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

第九章解析几何 第九章 解析几何 知识要点回硕 的参数t的几何意义是：有向线段P。户的 数量. 一、直线和圆 x=x0十rcos0, 1.直线系 2.圆 0为参数，r为半径， 过直线l1:A1x+B1y+C=0与l2:A2x+ y=yo+rsin 0, (xo,yo)为圆心坐标. B2y十C2=0的交点的直线系方程为 x=acos 0, m(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0. 3.椭圆 为参数，a,b分别为长、短 y=bsin 0, 2.点(xoyo)关于直线Ax十By十C=0的对称 半轴长。 点为(x1,y1),则 x=asec 0, 4.双曲线 0为参数. x1=x0 2A(Axo+Byo+C) A2+B2 y=btan 0, 2B(Axo+Byo+C) 1x=2pt2, y1=y0 A2+B2 5.抛物线y2=2px的参数方程 y=2pt. 特别地，当直线斜率等于士1时，将 三、圆锥曲线的一些重要结论 (xoyo)的横、纵坐标分别代入直线方程，即 1椭圆十1(a>6>0)的左右焦点分别 可求得对称点的纵、横坐标. 3.若三角形三个顶点坐标分别为A(x1,y1), 为F1,F2,P(xo,yo)在椭圆上. B(x2,y2),C(x3,y3), ①椭圆面积公式：S椭圆=πab; ②焦点三角形面积公式： 则三角形面积S= 2 y2 1 S-ang(∠R,PF,=00≠0)： x3 y3 1 4.设两圆的方程分别为x2+y2+D1x+E1y十 ③准线方程：x=士Q F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0,直线 ④焦半径：|PF=a+exo,|PF2|=a-exo; (D1-D2)x十(E1-E2)y十(F1-F2)=0是 ⑤过焦点弦长公式：|AB|=2a士e(x1十x2) 到两圆等幂点的轨迹方程.特别地，当两圆 (过左右焦点分别取“十”或“一”，x1,x2分别 相交时，直线是过交点的直线，当两圆相切 是A,B两点的横坐标)， 时，直线为过切点的公切线. 若以x的正半轴为始边，以F1P为终边的角 二、参数方程 为a(0≤a<2π)，则 1.过点P。(xo,yo),倾斜角为a的直线参数方 焦半径：PF=1-。PF=1十s ep 程标准形式 其中e为离心率，p为焦点到准线的距离. |x=xo十tcos a, t为参数，其中点P对应 2ep y=yo+tsin a, ⑥过焦点弦长公式：AB=-280s 强基数学·巅峰突破 之双的线 _y2 62 =1(a>0,b>0)的左右焦点 典型例题精讲 分别为F1,F2,P(xo,ya)在双曲线上 类型一 定值问题 ①准线方程：x=士Q 【例1】求直线(2m+1)x+(3m-2)y-5m十 1=0(m∈R)被圆x2+y2=16所截得的弦长 ②焦半径：|PF1I=|a+e.xoI,|PF2|= 的最小值. la-exol; 解析]将m看成变量，x,y看成常数（变 ③焦点三角形面积 换主元)，整理得： S=6coig(g=∠FPF:(0≠0). m(2x+3y-5)+(x-2y+1)=0对于任意 3.抛物线y2=2px(p>0),过焦点弦长公式： m∈R都成立，所以 |AB|=x1十x2十. 12x+3y-5=0, /x=1, 解得 所以直线恒过 4.过圆锥曲线Ax2+By2+Dx+Ey十F=0上 x-2y+1=0, Iy=1, 一点(xo,yo)的切线方程， 定点(1,1). 将x2改为xox,将y2改为yoy,将x改为 直线被圆x2+y2=16所截得的弦的长最小时， 工十，将y改为y十”，即 该直线垂直于过(1,1)和圆心(0,0)的直线. 2 2 所以()=4-(2→4=21， Ax+B%y叶D,+E.告”+F=0, 2 所以直线被圆截得的弦长的最小值是 设P(xo,y)是圆锥曲线Ax2+By2+Dx十 2√/14. Ey十F=0外一点，过P作曲线的切线，切点分 【例2】 别是M,N,过M,N的直线方程为Axox+ 在△ABC中，∠B=a,且AB十 Byoy+D.zE.yyo+F=0. 2 2 BCI =m,求证：AC边所在直线恒过一 四、坐标系平移和旋转 定点 坐标系平移 [证明]欲证直线AC过定，点，只要说明AC 坐标系xOy与坐标系x'O'y'相应的坐标轴 所在直线方程是过两条定直线交点的直线 彼此平行，并且具有相同的正向.坐标系x'Oy 系方程 是由坐标系xOy平行移动而得到的.设P点 以B为坐标原点，直线BC为x轴建立坐标 在坐标系xOy中的坐标为(x,y),在x'O'y 系，设|AB|=p,|BC=q,则 中坐标为(x',y'),而(a,b)是O在坐标系 A(pcos a,psin a),C(g,0). x=x'+a, xOy中的坐标，于是： 于是，直线AC的方程为y=psin a(红一g), y=y+6. pcos a-g 坐标系旋转 即psin ax-（pcos a-q)y-pasin a=0. 坐标系xOy与坐标系x'O'y'的原点重合，且 两边同除以pq,得 对应的两坐标轴夹角为0，坐标系x'O'y'是 in -sin a0. 由坐标系xOy以O为中心逆时针旋转0角 9 后得到的，于是： 又+1=m,则上式化为(my-sina)十 x=x'cos 0-y'sin 0, y=y cos 0+x'sin 0. [sina·x-(eosa十1)y]=0.这表明无论 第九章解析几何 1为任何实数(g≠0)，直线AC恒过直线 所以2px-by=0且2pab-2pbx=0, 2pa my-sina=0和sina·x-(cosa+1)y=0 得x=a,y= b 的交点（定点). 【例4】 设椭圆十之1a>2的离心率为 4 【例3】已知抛物线y2=2px及定点A(a,b), B(一a,0),(ab≠0，b2≠2pa)M是抛物线上 怎，斜率为女的直线1过点正(0,1)日与椭圆 的点，设直线AM,BM与抛物线的另一交点 交于C,D两点. 分别为M1,M2. (1)求椭圆方程； 求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1, (2)若直线l与x轴相交于点G,且G式= M2存在且M1和M2不重合)，直线M1M2 D龙，求k的值； 恒过一个定点.并求出这个定点的坐标， (3)设点A为椭圆的下顶点，kAc,kD分别为 [证明方法1：设M0m小，M(%m小 直线AC,AD的斜率，证明：对任意的k恒有 M,2m小则由A,M,M共线，得 kAC·kAD=-2. [解析] 1)南箱网若 +￥=1(a>2)的离 b-m 2p m1-mm_m2 心率为得：b=2,a=6,所以，精圆的方 2p2p 3 .b-m=2pa-m2 1十m, 程： 4 m=2Da二m,同理m2=2 (2)设直线l的方程y=x+1,C(x1,y1), b-m m D(x2,y2),由方程组 .M1M2所在直线方程为 2p_（x-m) 4 Nm1三m1十m2226 →(2+3k2)x2+6kx-9=0, y=kx+1 即(m1十m2)y=2px+m1m2,消去m1,m2,得 6k 2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+Ap2a2- 于是x1十x2= 2十3，由直线1与x轴交 2pabm(1), 于G点，知k≠0，G(-名0小又GC-D死. 分别令m=01,代入，得x=ay=20, b 可得(a十2)=（-1-)故 把x=a,y= 20代入方程(1)知此式恒成立. 6k 四1+x2=五，所以一2十363 3 即MM2过定点(a,6 2pa (3)因为A(0,-2)得c=当十2 方法2：将(1)整理得：（2px一by)m十 kAD=y2十2 -9 (2pab-2pbx)m=Ap2a2-2paby, 由x1x2= 2+3k2,于是 因为直线M1M2恒过一个定点，所以上式与 m无关， kx·ko=+2)%+2》_m+3)k+3》 x122 强基数学·巅峰突破 k2x1x2+3k(x1十x2)+9 1y一为=十1（红一2），令y=0,得 ℃1x2 x2一x1 -18k2 =2+2+30:+ x=T2- y2(x2-x1）_=x1y2+x2y =-2. y2+y1 y2+y1 -9 2+3k2 ⊙/x1y2十x2y1,0),因为2一。2=1，● y2+y1 a2 【倒】已知双萄线号-苦-1a,6>0)的两 x听=a2+ 3,同理号=a+ 3 条渐近线斜率之积为一3，A,B分别为左支 和右支上的动点。 所以：OP|·OQ= 2飞2一x2y 2十x2y1 2一M y+y (1)若直线AB的斜率为1，且直线AB与y xiy-aiyi 轴交于点D(0,5a),AD=入DB,求λ. (+-(e+9 -y y-yi (2)若A关于x轴的对称点为M,直线AB a2(y2-y) 与x轴交于点P,直线BM与x轴交于点Q, =a2. y3-y1 O为坐标原点，求证OP·OQ=a2. 类型二 焦半径问题 [解析](1)渐近线方程y 【例6】设P为双曲线上任意一点，PQ为双 曲线在P处的切线，F1,F2为双曲线的焦点， a 求证：PQ平分∠F1PF2. 双曲线方程为一 a-3a=1 (a>0),直线lAB:y=x十5a,方程联立得： [证明]夜双由线方程为器-芳-1a>0。 y=x+5a, b>0),F1(-c,0),F2(c,0),当P为双曲线 22 y2 →2x2-10ax-28a2=0 顶点时，命题显然成立； =1 a23a2 根据双曲线的对称性，不妨设双曲线右支上 因为xA·xB=-14a2<0, 一点P(xo,yo)(x0>0),由双曲线焦半径公 所以A,B在y轴的两边 式得：|PFl=|exo+al,|PF2|=|exo-a, A(-2a,3a),B(7a, 因为双曲线在P点处的切线方程 12a), z0x_y0y=1, 62 DE 令y=0→x=a ，所以切线与x轴交，点坐标 xo (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(x1,-y1) 1y-w=二1(x-x2),令y=0,得 为Do小 x2一x1 x=4-(一2)=y-x2y PF a+c 于是PF2 lexo+al xo FD y2-y1 y2-y1 lexo-al a2 DF2' xo P(212二x2y,0） y2-y1 由三角形内角平分线定理得，切线PQ平 第九章解析几何 分∠FPF2. 因为P(xoy)在椭圆方+】 62 =1上， 同理可证双曲线的其他情况， 6 【例7】证明：椭圆上一个点的两条焦半径的 所以tana= cyo 夹角被椭圆在P点处的法线平分. 同理：P℉，到1的角B满足iang=1+hk一c k-k2b2 [证明]如图，设椭圆 C的方为：+芳 因为a,B∈(0，，所以&=B. 1,F1(-c,0),F2(c,0), 类型三离心率问题 l是过椭圆上一点P(xo,yo)的切线， 【例8】已知点Q(4,0),抛物线y-千+2上 ⊥l于P且交x轴于D. 动点P(x,y),求y+|PQ的最小值 证法1：过P(xo,yo)点的切线方程： [解析]抛物线y= 1:+=1, P(x.y +2的焦点F(0 过P(x0,yo)点的法线方程： 3),有|FP|=y-1 1:(停)-（爱）=（是3）， (因为抛物线上，点到 焦点距离和到准线距离相等).所以 1与x轴交于D()0,FDl-十c, y+|PQ=|FP|+1+|PQ≥|FQ+1=6. 所以 a2+cxo 当P为FQ与抛物线的交点P'时取等号， F2DI=c- F2Da2-cxo 故y+|PQ的最小值为6. 由焦半径公式得PF1=a十exo, PF2=a-exo, 【创】已如双曲线芳- =1(a>0,b>0)的 左、右焦点分别为F(一c,0),F2(c,0),若双 FD 所以F2D PF PF2T 由三角形内角平分线 曲线上存在一点P,使得sin∠PFP=a」 定理得，椭圆P点处的法线平分∠FPF2. sin∠PF2F1c 求该双曲线的离心率的取值范围. 证法2：由过P(x0,yo)点的切线方程可知其 [解析]因为在△PFF2中，由正弦定理得 斜率为及= -b2x0 ayo PF2 PF sin∠PF1F2sin∠PFzF1 PF的斜阜点=十，PF,的斜率 则由已知，得p品p即PF,=PF: 2=0,所以1到PF1的角a满足 xo-c 由双曲线的定义和点P在双曲线的右支上 yo ,b2x0 得：PF,-PF2=2a,则SPF2-PF2=2a, k1-k=xo十cTa2y0 tana=1十kk11 b2xoyo (xo+c)ayo 即PF,=2a 二。，由双曲线的几何性质知： =a'yi+b'xi+lcxo (a2-b2)xoyo+a2cyo PF,>c-a,则2a>c-a,即 c-a 强基数学·巅峰突破 c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0,解得 IAF+BF2 2 =|MN2, -√2+1<e<2+1,又e∈(1，+o∞)， 当且仅当|AF|=|BF|时，等号成立，故 故双曲线的离心率e∈(1，√2+1). [说明]根据双曲线的定义，结合其几何性 IMN的最大值是1， ABI 质，构造PF2>c一a不等式是解题的关键. 方法3：如果是填空题，可以考虑特殊情形， 【例10】抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F, 即等边三角形ABF,如图 准线为1，A,B是抛物线上的两个动点，且满 所示， 足∠AFB=5,设线段AB的中点M在1上 故|AF=|BF|=|MN|, 的投彩为N,求的最大值 故以的大值是1 类型四 参数方程问题 [解析] 方法1，设∠ABF=90<<), 【例11】 椭圆等+号-1上恒有两点关于直 3 在三角形ABF中，由正弦定理，得： 线y=4x十m对称，求m的取值范围， IAFI BF 1ABI sin 0 sin-0) sin 3 [解析]设椭圆上两点A(x1y1), B(x2,y2)关于直线y=4x十m对称， →IAFI+IBFL ABI sin0叶sin(-0）sin AB中点为M(x,y),则3x十4y=12. 3十4y2=12.相减得到： AFI+IBFI 3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 IABI =2as05 由于M是AB的中点，所以x1十x2=2x0, y1+y2=2y0, 如图，由抛物线的定义及梯形中位线定理， 即6，x(x1一x2)+8y0(y1一y2)=0,则 得MN= AFI+BFI 2 k=1一业=二3x=-1 x1-x24y0 ,所以=3x.代 所以 M-cos-，故吉0=时， A 入直线方程y=4x十m得x0=一m, IMN的最大值是1. y0=-3m, IABI 又3m2+4·(一3m)2<12,得m取值范围 方法2：由抛物线的定义及梯形中位线定理， 得IMNI=AF+IBF 是 2/132√13 13’13 如图，在三角形ABF中，由余弦定理，得： 【例12】 A,B是双曲线若-若-1a>0,心 IAB=1AFBF-21AFI IBFIc0s 0)上不同的两点. (1)若线段AB的中垂线（不与x轴重合）过 |AB2=(|AF|+|BF|)2-3|AF·IBF≥ 点Q(4,0),求AB中点M的横坐标x; (1AFI+BF1):-3(AFI+IBFL) (2)问OA是否可能垂直于OB?并证明之. 第九章解析几何 [解析](1)设A(asec a,btan a), 交于不同于S的另一点，记作P+Q(若1与 B(asec B,btan B),则 椭圆工相切，则规定S为P+Q).并规定 Ma(sec atsecB)b(tan attan B) nP=P+P+…十P, 2 2 n个 b(tan atan B) (1)若点P(2√2,0)，Q(0,-√2)，求P+Q, = b(tan a-tan B) 2 a(sec a sec B)ko- a(sec a-sec B) 2P以及100P的坐标， (2)在椭圆工上是否存在不同于S的点P, b(tan a+tan B) 满足3P=S？若存在，求出所有满足条件的 a(sec a+sec B)-8' 点P的坐标；若不存在，请说明理由， 由题意知bAB·kM= b(tan a-tan B) a(sec a-sec B) [解析] (1)根据新 b(tan a+tan B) 定义P十Q“和”的运 a(seca+secβ)-8 算，画图如下： 62(tan2a-tan2B) P+0 过S作PQ的平行线， a2(sec2a-sec2B)-8a(sec a-sec B) 所以b(tan2a-tan2B)+a2(sec2a-sec2β) 1 因为kQ=2=ks,所以平行直线过原点，可 8a(seca-secβ)=0， 知P十Q的坐标与S关于原点对称，所以 (a2+62)(sec2a-sec2B)-8a sec a- P+Q(一2，一1).过S作P处切线的平行 secB)=0,即seca+secB= a2+b2· 线，可知2P的坐标为(2，一1)， 所以x=a(seca十secB2_4a2 以此类推100P(一2，一1). 2 a2+b2 (2)存在.设A(acos a,bsin a),B(acos B, (2)若OA⊥OB时，设双曲线的渐近线y= b bsin B),C(acos Y,bsin Y),D(acos 0,bsin 0), a 的倾斜角为日，则情形一：当A、B在双曲线 则AB/∥CDe bsin a-bsin3_bsin y-bsin0 acos a-acos B acos y-acos 0 一支上时，则∠AOB<20,即∠AOB<20 2sin aB a+β 2 2 →9>于，此时b>a. a&-B. a+B 2sin 2 ·sin 2 情形二：当A、B分别在曲线两支上时，则 2sin y-0.y+0 ··cos =∠A0B>2(受-)，即0>平，此时有 2 2 2sin r-o y+0 2·sin 2 b-a. 2 综上，OA⊥OB的充要条件为b>a. 台tana寸e=tan} 2 Ba+Y+0(mod 2x). 【例13】已知S(2,1)为椭圆r:8+兰-1上 而S(2,1)对应的参数为牙，于是，若点P,Q 的点，对椭圆T上的任意两点P,Q,用如下 对应的参数为α，β，则P十Q对应的参数Y满 办法定义它们的“和”P十Q:过点S作一条 平行于PQ(若点P与Q重合，则直线PQ表 足y=a+月-平(mod2x).设P(acos9, 示椭圆T在P处的切线)的直线1与椭圆T bsin),且对应的参数为9.则2P对应的参 强基数学·巅峰突破 数为2g-不(m0d2),3P对应的参数为 [解析]方法1：设A(x1,y1),B(x2,y2）, C(t2,2t), (mod 2x). x-2y-1=0, 由 →y2-8y-4=0→ 故g吾一md2py晋+2于是p的 y2=4x, y1+y2=8,y1y2=-4;x1+x2=18,x1x2=1. 坐标为(22cs（T+27）②sin(+2）片 .∠ACB=90°，∴.CA·CB=0, 即(t2-x1)(t-x2)+(2t-y1)(2t-y2)=0, 从而，所求坐标为P(-1-原-》或 t4-14t2-16t-3=0→ (t2+4t+3)(t2-4t-1)=0,2-4t-1≠0， P(-1+,--2) (否则C在已知直线上) 类型五解析几何的一般问题 t2+4t十3=0→t=-1或t=-3.故C点的 【例14】在平面直角坐标系xOy中，点A,B 坐标为(1，-2)或(9，-6). 在抛物线y2=4x上，满足OA·O庐=一4.F 方法2：同上，以AB为直径的圆的方程： 是抛物线的焦点，求S△OFA·S△OFB的值. (x-x1)(x-x2)+（y-y1)(y-y2)=0,即 [解析]方法1：点F的坐标为(1,0).设 x2+y2-18x-8y-3=0, A件n,B(要)小则由OO丽=-4， 因为y2=4x,所以y4-56y2-128y-48=0 →(y2+8y+12)(y2-8y-4)=0, 符60y)户+为=-4，即60m为+8)=0， y2-8y-4≠0，y2+8y+12=0→y=-2或 y=一6.故C点的坐标为(1，一2)或(9，-6). 则y1y2=-8.故S△0FA·S△OFB =(2OF1·1I·(g10F·12l) 方法：设A等)B(里)，C()。 kc=二 4 4 =}1=2. yo y yo+y2 44 44 方法2：设A(t,2t1),B（t,2t2),由 因为∠ACB=90°，∴.kc·kBC=-1, OA.O庐=-4，得(t1t2)2+4t1t2=一4， 即(y0+y1)(y0+y2)=-16,即 即(t1t2十2)2=0，则t1t2=一2. y6+(y1+y2)yo+y1y2+16=0. 故S△OFA·S△OFB= 因为y1十y2=8,y1y2=-4,故C点的坐标 为(1，-2)或(9，-6). (30F1·2）·(21oF·12） 【例16】曲线y2=2px(p>0)与圆(x-2)2+ =|t1t2|=2. y2=3交于A,B两点，线段AB的中点在直 【例15】直线x-2y-1=0与抛物线y2=4x 线y=x上，求p的值. 交于A,B两点，C是抛物线上的一点， [解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ∠ACB=90°，求C点的坐标. (x-2)2+y2=3与y2=2px,得： 第九章解析几何 x2+2(p-2)x+1=0①. x2-2(b+4)x+b2=0. △=△(p-2)2-4>0, 故|AB=√1+(-1)7·√4(b+4)2-4b 方程有两个不等的正根 x1十x2=-2(p-2)>0, =8√b+2 解得：0<p<1. S△PAB= ×8v肝2xl6-l 所以十2=2一，x1x=1: 2 2 =2√2×√/63-1062+12b+72. y7+y2=(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1十x2)且 令f(b)=b3-10b+12b+72, y1十y2=x1+x2. f'(b)=3b2-20b+12=(3b-2)(b-6). 得y1y2=4(2-p)(1-p). 因为y≤0→b≤0，所以f(b)在（一，0]单 又y1y3=4p2x1x2=4p2.所以 调递增， y1y2=2p=8-12p+4p2 所以△PAB面积的最大值为2√2×/72=24. 解得=7-四成=7+亚（会）. 4 4 【例1】已知m>1,直线1：x-my一号-0 故p的值为7二√7 椭因C后+y-,F,上分别为罐网C的 4 左、右焦点。 【例17】如图，过抛物 (I)当直线l过右焦点F2时，求直线1的 线C:y2=8x上一定 方程； 点P(2,4)作倾斜角互 (Ⅱ)设直线1与椭圆C交于A,B两点， 补的两条直线分别交 △AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H.若 抛物线于A(x1,y1), 原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数 B(x2,y2)两点. m的取值范围. (I)求直线AB的斜率； （Ⅱ)如果A,B两点均在抛物线C:y2=8x(y≤ [解]（1)周为直线：一my一空=0经 0)上，求△PAB面积的最大值. 过F2(√m2-1,0). [解析](I)设直线PA的斜率为kA,直 线PB的斜率为kB, 所以m-受，得m2-2,又因为m>1 pM=y二4=8(y-4) 8 所以m=√2. x1-2 -16=y十4：同理 故直线1的方程为x一√2y一1=0. 8 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2y2), y2+4 由PA,PB倾斜角互补知：kPA十kB=O,即 x=my+m ， 由 消去x得 y+%=-8,∴kB=次y=8 2_y2+y m2+y2=1 88 y个 （Ⅱ)设lB:y=一x十b,P到直线AB的距离 为d=16-b1 √2 M 将y=一x十+b代入y=8x整理得： 3 强基数学·巅峰突破 2y2+my+N-1=0, 即√(x-1)十y=|x|+1.化简整理得 y2=2(|x十x).故，点M的轨迹C的方程为 则由△=m2-8(m-1)=一m2+8>0, 4 4x,x≥0， y?= 所以m2<8,且有y1十y2=一 0,x0. 2 1 (Ⅱ)在点M的轨迹C中，记C:y=4x(x≥0)， 8-2由于F1(-c,0,F2(c,0), C2:y=0(x<0).依题意，可设直线 故O为F1F2的中，点， y-1=k(x+2), l:y一1=k(x十2).由方程组 由AG=2G0,BA=2H0,可知G(号，等， y2=4x, H(导号)故1GH=。)》 可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① 9 (1)当k=0时，此时y=1.把y=1代入轨迹 +y-y2)2 9, C的方程，得x=故此时直线1：y=1与轨 设M是GH的中点，别M店，吉)， 6 迹C拾好有一个公共点（任，1. 由题意可知，2|MO引<|GH|,即 (2)当k≠0时，方程①的判别式为 4[(吉)+()]< △=-16(2k2+k-1).② x二x)2+二z2 设直线1与x轴的交，点为(xo,0),则由 9 9 ,即x1x2十y1y2<0. y-1=(x+2),令y=0得= 2k+1.③ 而+n购=(mn+空)(m+空)+ △<0， =m+1Dg-》. (i)若 由②③解得 xo<0, 所以答-合<0.即m<4.又因为m>1 k<-1,或6>司 且△>0，所以1<m<2. 即当及∈(-©，-1DU(侵，+∞)时，直线1 所以m的取值范围是(1,2). 与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此 类型六探索性问题 时直线1与轨迹C恰好有一个公共，点. 【例19】在平面直角坐标系xOy中，点M到 点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记 △=0，，△>0， (iⅱ)若 或 由②③解得 点M的轨迹为曲线C. x<0x≥0， (I)求轨迹C的方程； k∈{-1，}成-≤&<0，即当 1 (Ⅱ)设斜率为k的直线1经过定点P(一2,1). 求直线1与轨迹C恰好有一个公共点、两个 k∈{-1,2时，直线1与C只有一个公共 共点、三个公共点时k的相应取值范围. 点，与C2只有一个公共点， [解析](I)设点M(x,y),依题意得 |MF|=|x|+1, 当k∈[-，0)时，直线1与C,有两个公共 38 第九章解析几何 点，与C2没有公共点 y=y1y2y,0这四个不同的实根， 故当∈[-0U{-1,2时，直线1与轨 故由韦达定理得y1十y2十y3十0=0，从而 y3=-(y1+y2).② 迹C恰好有两个公共点。 因PF平分∠APB,由角平分线定理知， △>0， (iii)若 由@③解得-1<k<-合，或 IPAI IFAI x<0, IPBI FBI 5,结合①，②，有 0<k<2即当∈(-1，-)U(0,2)时， PA2 4 4 PBI2 、2 直线1与C1有两个公共点，与C2有一个公 停 +(y3-y2)2 共点，故此时直线1与轨迹C恰好有三个公 (y1+y2)2-y)2+16(2y1+y2) 共点.综上可知， (y1十y2)2-y2)2+16(2y2十y1) (y2-8)2+16(4y7+y号-16) 当k∈(-∞，-1)U(2+∞)U{o时， (y-8)2+16(4y+y2-16) 直线1与轨迹C恰好有一个公共，点； y2+64y1-192 y+64y号-192 当k∈[-号0)U{-1,号时， 即y+64yy-192y=y%+64yy-192y%,故 直线1与轨迹C恰好有两个公共点： (y-y2)(y1+y1y+y2-192)=0. 当∈(-1，-)U(0,号)时，直线1与轨迹 当y=y2时，y2=一y1,故y3=0,此时点P 与点O重合，与条件不符. C恰好有三个公共点. 当y1+y72+y-192=0时，注意到①，有 【例20】在平面直角坐标系xOy中，设AB是 (y+y2)2=192+(y1y2)2=208. 抛物线y2=4x的过点F(1,0)的弦，△AOB 因y1+y2=4√13>8=|2y1y2|,故满足①以 的外接圆交抛物线于点P(不同于点O,A, 及y+y2=4√13的实数y1,y2存在，对应可 B).若PF平分∠APB,求|PF|的所有可 得满足条件的点A,B.此时，结合①、②知 能值. IPF列=+1=y十y)P+4_+2-4 设A小B(P(答) 4 [解析] 由条件知y1y2y3两两不等且非零。 √208-4=/13-1. 设直线AB的方程为x=ty+1,与抛物线方程 真题实战演练 联立可得y2-4ty-4=0,故y12=一4.① 、选择题 注意到△AOB的外接圆过点O,可设该圆的 1.(2012·北大)已知A(-2,0),B(0,2),点C 方程为x2十y+dr十ey=0,与x=兰联 是圆：x2十y2一2x=0上的动点，则三角形 ABC面积的最小值是 () 立得， A.3 B.2 若+(1+)y十ey=0,镀四次方程有 C.3+2 D.3-√2 g 强基数学·巅峰突破 2.(2018·北大)已知P(x,y)为椭圆芒+￥-1上 「11 4 A.84 引 的动点，则√x-2x+y+1+√y一2y+x+1的 「11 「137 C.82 D.24 最小值为 ( 7.(2015·清华)（多选）设A,B是抛物线y= A.25-2 B.25-√2 x2上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则 C.2√2-5 D.以上选项都不对 A.|OA·1OB|≥2 ®.(2018北大)已知M为椭圆+y2-1上的 B.OA+OBI22 动点，求|3x十4y一12的取值范围( C.直线AB过抛物线y=x2的焦点 A.[0,12+2√13] D.O到直线AB的距离小于等于1. B.[12-2√/13,12+213] 8.(2015·清华)（多选）在极坐标系中，下列方 程表示的图形是椭圆的有 () C.[0,12-2√13] 1 1 D.以上选项都不对 A.0= cos 0+sin 0 B.p-2+sin 0 1 4.2010·清华)设双曲线C素 4 C.=2-cos 0 D.-1+2sin 0 9.(2015·清华)（多选）设曲线L的方程为 x (a>2,k>0),椭圆C2:2 +义=1.若C2的 4 y4+(2x2+2)y2+(x-2x2)=0,则() 短轴长与C1的实轴长的比值等于C2的离 A.L是轴对称图形 心率，则C,在C2的一条准线上截得线段的 B.L是中心对称图形 长为 C.LC{(x,y)川x2+y2≤1|》 A.2√2+k B.2 D.LC{(x,w-2≤y≤号 C.4√4+k D.4 10.2016·清华)椭圆二+ 6 =1,两条直线 5.(2011·清华)AB为过抛物线y2=4x焦点 F的弦，O为坐标原点，且∠OFA=135°， l1:y= 2x,山：y=一x,过椭圆上一点 C为抛物线准线与x轴的交点，则∠ACB的 P作两条直线的平行线，又分别交两 正切值为 条直线于M,N两点.若|MN|为定值， A.2√2 则号 c D. A.√2 B.3 C.2 D.5 6.(2012·清华)椭圆长轴长为4，左顶点在圆 11.(2016·清华)（多选）已知抛物线E:y2= (x-4)2+(y-1)2=4上，左准线为y轴，则 4x,F(1,0),过F作弦交E于A,B,M为 此椭圆离心率的取值范围是 AB中点，则下列说法正确的是 () 第九章解析几何 A.以AB为直径的圆与x=一 始终相离 C.y轴上使∠OQ'C=∠ODQ'的点Q'有且 仅有2个 B.IAB最小值为4 D.y轴上使∠OQ'C=∠ODQ的点Q'有且 C.|AM川最小值为2 仅有4个 D.以BM为直径的圆与y轴有且仅有一个 交点 16,218·清华)（多选）P为椭圆G:着+兰-1 12.(2017·花大)椭圆等+芳-1a>6>0, 上的动点，过P作C切线交圆C2:x2+y2=12 于M,V,过M,N作C2切线交于Q,则 直线4：y=-2,直线：y=号x,P为椭 圆上任意一点，过点P作PM∥L,且与直线 A.S△m的最大值为 l2交于点M,作PN∥l2且与L交于点N, 若|PM2+IPN2为定值，则 B.S△mg的最大值为 A.ab=2 B.ab=3 C.Q的轨迹是罗+y c-2 08-9 36481 13.(2017·清华)椭圆之 DQ的氧法是+茶-1 =1与过原点且 9 1.（2019·济华)椭因若+苦-1，其右熊点 互相垂直的两条直线的四个交点围成的菱 形的面积可能是 F(2,0).直线1过F交椭圆于A,B两点， A.16 B.12 P在x=3上，若△ABP为正三角形， 则S△PAB的最大值为 () C.10 D.18 14.(2017·清华)已知某个椭圆的离心率e的 A号 B.3 取值范围为 [117 '2 ,直线y=一x+1交椭 C.3 /3 D.23 圆于M和N,且OM和ON垂直，求长轴的 取值范围 ( 18.(2020·洛华)（多选）P为双曲线号-y-1 A.[5,6 B.[6,√7] 上一点，A(-2,0),B(2,0),令∠PAB=a, C.[7,8 D.L√8， ∠PBA=3,下列为定值的是 ) 15.(2017·清华)（多选）y=2x交椭 A.tan atanβ 8 苦-1于A,椭圆上有一点P,PA,PB分 B.tan受tan号 C.S△PaB·tan(a+B) 别交y=-x于C,D.则 D.S△PAB·cot(a+B) 19.(2020·北大)从圆x2+y2=4上的点向椭 A.椭圆上使得|OQ12=1OD1·|OC1的点 Q有且仅有4个 圆C:号+y=1引切线，两切点间的线段 B.椭圆上使得|OQ12=|OD·1OC的点 称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦 Q有且仅有2个 相交的区域面积为 强基数学·巅峰突破 A.号 24.(202·北大)内接于椭圆子+号-1的菱 B哥 形周长的最大值和最小值之和是() A.4√13 B.14/13 c.至 c. D.上述三个选项都不对 D.上述三个选项都不对 20.（2020·北大)设直线y=3x+m与椭圆 25.(2024·清华)（多选）直线l:ax+by+c= 5十交于A,B两点，0为坐标原点 0,P(y,Qx-4tt。 ax2+by2+c 则三角形OAB的面积的最大值为( 下列选项中正确的有 () A.8 A.若x>1,则1与射线PQ相交 B.10 B.若x=1,则l与射线PQ平行 C.12 C.若x=-1,则l与射线PQ垂直 D.上述三个选项都不对 D.若x存在，则Q在l上 21.（2020·清华)设A,B分别是x轴，y轴上 26.(2024·清华)（多选）抛物线C:x2=4y,焦 的动点，若以AB为直径的圆C与直线 点为F.过焦点F的直线1交C于A,B两 2x+y一4=0相切，则圆C面积的最小 点.过A作平行于B点切线的直线交C于 值为 点P,交y轴于点D.设A(x1y1),B A哥 (x2y2),P(x3y3),则 () c D.元 A.y1y2=4. B.S△ABP的最大值为16. 22.(2021·清华)已知y2=4x,过A(-2,3)作 C.DF=AF 抛物线两条切线，交y轴于B,C两点，则 D.x1十x3=2x2 △ABC外接圆方程为 27.(2025·清华)正方形ABCD,点P满足 A.x+1+(-}-号 PA:PB:PC=1:2:k,则k的可能取 B.(x+1)2+(y-1)2=13 值为 () A.1,2 B.2,3 c(+)+(0-)=9 C.3,4 D.1,3 D(+)+g-1=7 二、填空题 4 23.(2022·清华)曲线C:(x2+y2)3=16x2y2, 28.已知点P(0,1),椭圆子十y=m(m>1) 则 ( 上两点A,B满足AP=2P官，则当 A.曲线C仅过(0,0)一个整点 n ,点B横坐标的绝对值最大 B.曲线C上的点与原点最大距离为2 C.曲线C围成的图形面积大于4π 29.已知双曲线C:无-若=1a>0,6>0)的右顶 D.曲线C为轴对称图形 点为A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与 第九章解析几何 双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若 ①C过(0,0)； ∠MAV=60°，则C的离心率为 ②C上点的纵坐标的取值范围为[一2,2]； 30.设直线x-3)+m=0(m≠0)与双曲线 ③C关于x轴对称； 2 ④P为C上的动点，A,B的坐标为(0,1)和 善=1。>0.6>0)的两条新近线分别交于 (0,-1),则△PAB面积的最大值为. 点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|, 38.(2019·北大)已知A(-3,0),B(0,3),点 则该双曲线的离心率为 P在抛物线y2=2x上，则△ABP面积最小 31.(2018·北大)椭圆C1与双曲线C2共焦点 值为 FF2,P是C1,C2的一个交点且∠FPF2 39.(2015·北大)椭圆二+=1的一条切线 =5,两个曲线离心率为e1e,则上+1的 e e2 与x,y轴交于A,B两点，则三角形AOB 最大值为 的面积的最小值为 32.(2018·北大)已知椭圆号+誉=1与圆x+ 香人2 =1(a>b>0)的右焦点F(c,0) y=2,在椭圆上取一点M作圆的切线，切 关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则 点弦与坐标轴交于P,Q,O为坐标原点，则 椭圆的离心率是 S△oQ的最小值为 33.(2017·北大)已知(x-2)2+(y-3)2=1, 41.(2020·清华)P为椭圆4+兰=1上一点 3 则之的最大值与最小值分别为 A(1,0),B(1,1),则|PA|+|PB|的取值范 围为 34.(2018·清华)已知抛物线y=x2及其焦点 F,F与Q(x,y)连线段的中垂线为该抛物线 2(2024·南京)双曲线 69 =1,过左、右 的切线，则Q点的轨迹方程为 焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A, 36.（2017·诗华)已知双面线号一-芳=1，E为 B,C,D,若ABCD构成正方形，求双曲线的 离心率为 其右焦点.若左支上存在一点P,使得F2P 43.(2024·中国科大)直线与双曲线的交点个 中点M满足1OM=§，则双曲线的离心率 数是 e的取值范围为 坠(2024·活华)双曲线C芳=1，斜率为 36.(2019·北大)若点1,5 22 关于y=kx的对 1的直线l交C于A,B两点，D为C上另一 点，AD⊥BD,△AOD,△BOD重心分别为 称点在(x-2)2+y2=1上，则k= P,Q,△ABD外心为M,若kP·kQ·kaM 37.(2017·清华)曲线 =一8，则双曲线的离心率为 Cw√x2+(y-1)·√x2+(y+1)2=3, 45.(2025·北大)椭圆x2-2xy+2y2=4的面 判断以下结论的正误 积是 强基数学·巅峰突破 三、解答题 48.(2017·北大)已知a,b,c成等差数列，点 46.(2019·北大)求证：一个点光源与一个篮 P(-1,0)在直线l:a.x+by+c=0上的 球形成的影子轮廓为二次曲线. 投影为M,又已知N的坐标为(0,3)， 求|MN|的最小可能值. 47.(2015·北大)从O出发的两条射线11，l2, 49.(2017·清华)已知C1:x2+y2=5, 已知直线1交11，l2于A、B两点，且 S△OB=c(c为定值)，AB的中点为X,求 C:+y2=1,试证明：对C的任意直径 证：X的轨迹为双曲线. AB,均存在C1上的动点P,使得PA,PB 均与C2相切. 144 第九章解析几何 50.(2019·清华)u=+3y 52.(2018·清华)抛物线y2=2px(p>0)的焦 √2+y 点为F,过抛物线外一点P(xo,yo)作抛物 D={(x,y)|x2+(y-2)2≤1}， 线的切线11，l2,切点分别为M(x1,y1) 若(x,y)∈D,求u的取值范围. 和V(x2,y2).证明： (1)L1的方程为y1y=(x+x1); (2)|PF2=|MF|·|NF|; (3)∠PMF=∠FPN. 51.(2019·清华)抛物线对称轴为x轴，焦点 为坐标原点，且过点（一1,0）.过原点作直 线y=1x与抛物线交于A(x1,y1)(y1> 53.(2016·北大)一直线与一双曲线交于A,B 0),B(x2,y2),作直线y=2x与抛物线交 两点，与该双曲线的渐近线交于C,D两个 于C(x3y3)(y3>0),D(x4y4). 点，证明：AC=BD. (1)求抛物线的方程； yIy2 y3y4 (2)求证：，(y,十2)A,0+y) (3)设AC,BD分别与y轴交于P,Q, 求证：|OP|=|OQ. 145 强基数学·巅峰突破 54.(2017·北大)求y=x2上任三点所确定的 :56.A,B为y=1一x2上在y轴两侧的点，求过 外接圆半径的取值范围. A,B的切线与x轴围成的三角形面积的最 小值. 5.(2017·北大)已知C:号+发1(a>b2 57.(2011·北大)C1和C2是平面上两个不重 与C2:一 =1(c>d>0),F1、F2为C 合的固定圆，C是平面上一个动圆，C与 左右焦点，C2的渐近线与C1的一个交点是 C1,C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲 P,满足PF⊥PF.已知C的离心率为三， 线？说明理由. 求C2的离心率. 146 第九章解析几何 58.(2010·清华)设A,B,C,D为抛物线 58,(201·济华)尼如双线C名-茶 =1 x2=4y上不同的四点，A,D关于该抛物线 的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D (a>0,b>0),F1,F2分别为C的左右焦 处的切线l,设D到直线AB,直线AC的距离 点.P为C右支上一点，且使∠RPF,=若， 分别为d1,d2,已知d1+d2=√2ADl 又△F1PF2的面积为3√3a2. (I)判断△ABC是锐角三角形、直角三角 (1)求C的离心率e; 形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明 (2)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上 理由； 的任意一点，问是否存在常数入（入>0），使得 (Ⅱ)若△ABC的面积为240，求点A的坐 ∠QF2A=入∠QAF2恒成立.若存在，求出入 标及直线BC的方程. 的值；若不存在，请说明理由. 147 强基数学·巅峰突破 60.(2012·清华)已知两点A(一2,0)， 61.(2013·清华)点A在y=kx上，点B在 B(2,0),动点P在y轴上的射影是H, y=-x上，其中k>0,|OA|·IOB| 且PA·PB=21PH2: =+1,且A,B在y轴同侧. (1)求动点P的轨迹C的方程； (1)求AB中点M的轨迹C; (2)已知过点B的直线交曲线C于x轴下方 (2)曲线C与抛物线x2=2y(p>0)相切， 不同的两点M,N,设MN的中点为R,过R 求证：切点分别在两条定直线上，并求切线 和点Q(0,一2)作直线RQ,求直线RQ斜率的 方程. 取值范围. 148 第九章解析几何 62.(2014·济华)椭圆形+芳-1，圆+=， 63.(2015·清华)圆(x+3)2+y2=100,圆心为 A,点B(3,0),作圆上任一点M与B点连 记M为椭圆上一点，从M引圆的两条切 线的中垂线，交AM于V. 线，设切点分别为P、Q,直线PQ与x轴、y (1)求N的轨迹C的方程； 轴交于E和F,求S△DF的最小值. (2)y轴上一定点D(0,16),过D点的直线 L交C于PQ两点，DP=入DQ,求A的取值 范围； (3)在曲线C上任取两点P,Q,且P,Q不 垂直于x轴，线段PQ的中垂线交y轴于点 (0).求证：-号<3，<号 149 强基数学·巅峰突破 64.（2016·清华)已知圆C:x2+y2=16,A,B 为圆与x轴的交点(xA<xB).L1,l2是A、B 66@·清率)点a∈盖+s. 处的切线.P为圆上一个不与A,B重合的 M(2,1).求满足S△OM≤3的整点的个数. 点，过P点的切线交l1,L2于C,D两点.AC 与BD交于点M(m,n). (1)求m2与n2的关系； (2)存在一点Q(a,0)(a>0),使得|QM的 报小值是求。的值 67.(2018·山东)已知圆O:x2+y=4与曲线 65.(2023·清华)已知x2=4y,M(2,2),过M C:y=3x-t,A(m,n),B(s,p),(m,n,s,pE 点的直线交抛物线于A,B两点，过A,B两 N*)为曲线C上的两点，使得圆O上任意一 点作抛物线的切线交于P点，求S△BP的最 点到点A的距离与到点B的距离之比为定 小值和P点的轨迹. 值k(k>1),求t的值. 150参考答案与解析 方体中恰有4个的体积不超过尽，综上，这些小长方体中体 故M(O)=R2-OD,M.(O)=OC2-R=CC·CS= 板不大子日的长方体个数的最小值为4 又D为A'B'的中点，设射线B'A'与球O的球面的交点 46.解：分析根据数量积公式计算两 为T, 直线夹角余弦值： 射线A'B'与球O的球面的交，点为U, 如图所示，设CA与VB所成角 则R-OD=TD,而AA'·A'S=A'T·A'U=TD2-1= 为9,9e0,受) :Ac.店=(cB-C).AG 故R-0D=1+千°，故16=1+1即2=20即1= =CB.Ac-CV·AC =4×4×cos(x-∠BCA)-3 25. X4Xcos(π-∠VCA) =-16Xcos∠BCA+12Xcos∠VCA 故正三的高为20-（四）√厚体积为× =-16Xc0s∠BCA+12×3+4-(22 4_8▣ 2×3×4 =-16X 163 4 3 coS∠BCA+ 第九章 解析几何 21 AC.VB 一、选择题 .c0s= -16Xcos∠BCA+17 IAC·IVB| 1.D只需求圆上点到直线AB的最小 4X2√2 距离.因(x一1)2十y2=1,直线AB的 Ecos∠CA+172 ,在△BCA中，cos∠BCA= 方程为x一y十2=0，由圆心到AB的 32 42+42-AB =2-AB=1-AB 3记，根据三角形的三边关 距离d=1-0+2=3gE.故△ABC 2×4×4 √2 2 32 系可知0<AB<4V2,0<AB<32,所以cos∠BCA 面积的最小值 =1-AB 32 (0,1) ·2(3-1）=3-.选D S=1 、2 点评：数形结合是解析几何问题中的重要思想，善于利用可 则cos0= 极大简化解决问题的难度 因此CA与VB所成角余弦的无最大值，有最小值为0. 2.B如图，设A(0,1),F1和F。是椭圆 47.解：如图，如果P在球外，则过P作球的切线PT,切点为T, 的两个焦点，P为椭圆上任一点，则 作球的割线PMN,由圆中切割线定理可得PM·PN为定 √2-2x+1+y+√y-2y+1+x 值，且定值为PT2=PA·PB=PO一R. =PF,+PA=PA+2a-PE.从几何关 T 系可以看出，PA一PF≤一AF,所以 选B. 3.B设x=2cos0,y=sin0,原式可被写作6cos0+4sin9-12l= |2/13cos(0+o)-12l, 知其取值范围为[12-2√13,12+2√13]. 评析：参数方程的基本运用. 4.D因为a1=aE,b1=2E,a2=a,b2=2, 26:-丝→2=0-44=kd-4) 将C的右准线方程=g三 a2 c√2-4 k→y2=4 →线段长=2y=4.选D. 而当P在球的内部时，MN为过P的动弦，则由圆中相交弦 5.A方法1：焦点F(1,0),C(一1,0)，将AB方程y=x一1与抛物 : 定理可得PM·PN=R一PO.在上述两种情况种，我们把 线方程y2=4x联立， 定值定义为P关于球O的暴，记为Mp(O).设正三棱锥的 解得A(3+22,2+22),B(3-2√2,2-22). 侧棱长为1， 由题设D在球O的内部，而C在球O的外部， 1+2呢号km-22E一E 于是，=2+2区g 4-2V2 331 强基数学·巅峰突破 ke-kB=2√2. an∠ACB=千kkE 9.ABD曲线方程较为复杂，故用取特殊值方法」 y+(2x+2)y2+(x-2x2)=0→ 方法2：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形 (y2+x2)2+2(y2-x2)=0 ABCD中，∠BAD=45°， 显然，若，点(a,b)在该曲线上，(a,一b),(一a,一b)也在该曲线 BE∥DA,CF=2,AF=AD 上.L是轴对称图形，也是中心对称图形，A,B选项都正确。 BF=BE,求∠ACB 再考虑特殊值，取y=0,则x=√2满足题意.故C错误；再以x tan∠ACF=tan∠CAD 为主元改写方程，有 x+(2y-2)x2+y+2y=0.该方程有解的一个必要条件 为△=(2y2-2)2-4(y+2y2)=4-16y≥0 有tan∠BCF=tan∠EBC=2 ∠ACB=∠ACF+∠BCF=2∠ACF, 评析：题目较为复杂，通过特殊情形入手，一一验证即可， tan∠ACB=tan2∠ACF=2√2. 10.C设点P的坐标为(xo),则过点P平行于11的直线为 1 评析：要善于利用圆锥曲线的儿何性质，往往能达到事半功倍 4y为=2(x一)，过点P平行于1的直线为 的效果」 4:y-%=- (x=4+2cos t, 合（红-，分别联立1，和14，和山 6.B设左顶，点为 t∈[0,2x],则对称中心(6十 (y=1+2sin t, 解得M(色22)N(色2,2%)站合 2 2cos t,1+2sin t). 令=1一6-20s”则在m坐标系中， P在精圃 + =1上有|MN v=y-1-2sin t, 椭圆对称中心在原，点，其左准线为u=一6一2c0st, √22)+(6士2-2】 2 4 4 因此-g=-4=-6-2c0se=日 c √厚+厚+6 a =[日，]造B 6+(-) 7.ABD介绍几个常用的结论：若对于抛物线y一2px=0, A(x1y1),B(xy)是其上的两个点，若直线AB过点C(t, 由1MN为常发即知子的=0，得/层=2，故选C 0),则有下面一套常用结论（其他结论可能不常用，因此不在 评析：本题考查解析儿何知识，较为简单，也可采用特殊值 此讨论)： 法：将P取为两特殊点(a,0)及(0，b),此时易知|MN|的长 (1)x=t,yy=一2t证明：设直线AB为x=y十t,与抛 物线方程联立可得：y2一2pmy一2pt=0,由韦达定理可知 度分别为号及25，由号=26牌得，日=2 为=一2，又由抛物线的方程可以得到西-) 11.ABC取AB中点M,E:y=4x的准线方程1：x=一1.则 4b2 =t2, dM.0=A生B.D=AE-当，周光以AB为 2 2 注意：该条结论是可逆的， 直径的圆与1：2=-1相切，与=一号相离，A正骑： (2)OA.OB=x1,+y=t-2t,当且仅当t=2p时， AB=2d(M,1)≥2d(F,1)=4,当且仅当AB与x轴垂直 OA⊥OB.证明略. 时取等，B正痛：AM=AB≥2，C正确：设B的坐标为 (3)|OA|·|OB|=√(x+x)·(2)·(x+x)≥ 2 (b,2b),b≠0，BF方程应为(b一1)y=2b(x一1)，与y2=4x √2x1x2(2p)2(xx)产=4p(x1x2). (4)当且仅当AB垂直于x轴的时候，|AB取到最小值.证明 联解得A(，一)， 略，用均值不等式即可，过A,B两点的切线的交点的横坐标 有M(管+亦6古)BM中点到y轴的距离为 1 为一t.证明略. 有了以上结论，这道题就只需解释一下选项D了，因为直线 36+1 4 461 AB恒过点(0,1)，这个，点到原，点的距离即为1，所以，点到直线 的距离就小于或等于1了， BM-名安)+(-6+ 评析：作为一道选择题，如果没有这些结论储备，是会在计算 上花很长时间的，所以把这些结论记下来当作结论储备还是 +宿+6++++1≠（学+） b 很不错的 因此D错误 8.BC将p=/x2+y2,sin9= cos 0-- y 一代 12.C设M(2m,m),N(2n,一n),则P(2(m十n),(m一n)),根据题 z2+y 意，PM+IPV2为定值，那么1OM+ION=PM+ 入式子，将极坐标化简为直角坐标形式即可知道，A为直线， PN2=5(m2+n)为定值，另一方面，由于P在椭圆上，故 B,C为椭圆，D为双曲线.故选BC. 评析：本题直接考极坐标与直角坐标的转换，需要注意！ +=1，所以（侍+）水+)+ 332 参考答案与解析 (是-是)m=1. 方法2：令x=2x',将之变为一个圆，由几何知识容易知道 OD·OC=R2=2,因此在原图中OC·OD|=IOA|2=5 故u=2b,号=2 (需要一定仿射几何学知识)，其余同上. 评析：解析几何中较为常规的题.其难点在于：如何设出未 对于选项CD,因为原图中|OC·OD|=5,故在y轴上有且 且仅有两个满足题意 知数使得计算起来很方便， 13.B四个交，点的坐标为(r1cos0,r sin 0),(一rcos9,一rsin), (r2sin0,一2cos),(-r2sin0,r2cos),其中r1,r2均为正数， 满足hcos》+n》=l,,sin)+cos 4 9 4 9 =1 所以十1=1+1=8≥2，菱形的面积2，的取 4936r1r2 位范周为[借12]， 评析：本题可直接设点运算，运算量稍大，熟悉仿射几何学 评析：分析好条件，从条件中挖掘出能快速找寻答案的设元 背景的同学可以很快地做出答案 方式 16.AC设P(2cos0,√3sin0),0∈[0,2π]，则过P的切线方程 14.A设箱国方程为若+若=1，与y=-2十1联立即有( 为os9工+sn9=1,设Q,),则由切点孩的相 2 3 +6)x-2a2x+a2-a6=0. 关结论知直线MN的方程为x。x十y。y=12,而这就是过P 2a2 w+v=。+6· 的切点Q(xoo),则由切点弦的相关结论知直线MN的方 则由韦达定理→ 程为xox十yy=12,而这就是过P的切线方程，因此有 zo=6cos 0, 那么kw·kN=y.y=1-xu)1-xv)=1-a) ly6=4√3sin0 由此易得Q的轨莲为弱十。=1.对于 TMTN a2(1-b2) S△pQ,可通过求出底和高的方式计算，IOP|= =-1→6=、 /4cos0+3sinθ，OP直线方程： 2a2-1 V3sin6·x-2cos9·y=0,故Q到它的距离 a d=1613sin dcos 0-813sin dcos a 3sin 201 ,因此 √/4cos0+3sin0 √/4cos9+3sin a≤是.故2a∈[5同，选A 1 评析：本题思维难度和计算难度不大，是解析几何的老套 SAORQ-2 √3sin29 ·√/4cos0+3sin0= √/4cos0+3sin0 路，通过韦达定理去求目标式」 9m翔←9 y= 22, 评析：切点弦相关知识的基本运用 15.AC方法1：连立方程 可得 =2或 3y2 8 2 =1, y1=1 17.C方法1：设AB:y=(x-2),则A, 1y=k(x-2). x1=一2， 不妨设A(2,1),B(一2，一1)，设P(2√2cos0W2sin8), B坐标满足 y=-1, + →(3k+ =1 2sim0-1（x-2)+1与y= 1 1)x-12kx+(12k2一6)=0，因此 联立可得AP的直线方程y 2√2cos0-2 2 x联立有=2 2sin0-2V2cosg AB中点M的提垒标为兰专产=与剩MP=1十 2 W2cos0+√2sin0-2 3(k2+1) ·+E+3+,AB=· 同理可得xn 2√2cos6-2W2sind √2cos0+√2sin0+2 V√R+1=V+.I2)-436+1D12-6_ 3k+1 故1OD·OC1=1xxn1= 5(cos 0-sin 0)2 4 (cos 0+sin 0)2-2 5(cos 0-sin 0)2 26·由1Mp-9a知，3平-8 2-(cos0-sinθ)2-2 =5,另-方面由于1OQ12∈[b, =1,从1AB=2厅·是-6， a门=[2,8]，因而共有四个解.故对于选项CD,显然选C. Ss-9.66-3,故造C 2 方法2：如图，x=3为椭圆的准线， 设AB中，点为M,且A,B,M,F在直线x=3上的投影分别 为A',B,M,F 设MA=MB=a, 别NMM=号(BB+AM)=(BF+AP)=。,游合 333 强基数学·巅峰突破 MP=√3a得到∠MPM= 21.C据题意，圆必过原，点，所以面积最小的圆应以O到该直 ∠MPM=45°=∠BMM,直线 线的垂线段的长为直径，即半径 AB的斜率为1，从而AB:y=x ,=·一42从而Sclm=2=5.选C 一2，和椭圆的交点(x。,y)满足 2√2+15 5 y=x0-2, 22.C设过点A(一2,3)的直线 →4z-12x。+6=0, 方程：x=t(y-3)一2，其中 B(0,y1),C(0,y2). 其两个解之差x,一，=24·4·6-6. 令x=0可得，= 4 t +3,yg 从而AB=x:-·√2=V6, =+3 .6=3)5,故选C 联立直线与抛物线y2=4x,可 2 得y-4ty十12t+8=0. 18.AC设P(xy),由对称性不妨设P在第一象限，则 其判别式△=16t-4(12t+8)=0,即t-3t-2=0, 1- 因此t十t2=3,t1t2=-2.进一步y,十y2= 一y 为定值，所以A 4 2,2+6=8y=(是+8)(2+3= 正确.也即 2an号 a是 -a受 1-tanB 为定值，那么tam2tan乞 6t2+9=-2,BC中点坐标为(0，号)月 2 与此同时|y一y=√(y+y2)-4y1y2=√7. 不可能为定值，香则am会十an号也为定值，这样an号， 因此以BC为直径的国的方程为x2十(-号）广=.设过 1an号均为定值，不符.又因为 BC两点的圆系方程为2+(-)）+Xx=,将A(-2 s=2%ma+m=号(2+)= 3)代入可得入=1，整理可得过A,B,C的圆的方程为x2+y 5yo +x-3y-2=0. 所以51ama十0=-号5，co(a十0=一号店前者为 8 23.ABD设曲线C:f(x,y),则 定值，后者不是，故C正确，D错误」 f(x,y)=f(-z,y)= 19.A如图所示，设点A(2cos0, f(x,一y),D正确： 2sin 0) (x2+y2)3=16.x2y 则BC直线方程为cos日·x十 ≤16(x+y) 4 2sin8·y=1 =4(x2+y2)2, + 由子之 =1在点(acos0, 解得x2十y≤4故B正 bsin6)的切线方程为cos日，工十 确，C错误； 由B选项可知，x2十y sin0·y=1 ≤4，又因为(x,y)是整 点.所以x2+y2的值只 则a=1,6=之，因此c0s0,x十2sin9·y=1为精圆 能为0,1,2，分别代入曲线C的方程，只有(0,0)一组整，点， 故A正确. x十4y=1的切线系方程.由椭圆的面积可得ab= 2 ,故 2.D由+号-1，得9r+4 选A 36,化为极坐标方程为p= 20.B方法1：直接计算 十s0设精圆号+号-1的内 36 联立方程可得241x2+150m.x+25m2-400=0 则AB=而·1z-x:=0×40241-m 接菱形ABCD,则OA⊥OB,设A 241 d=mS=之AB·d=器·√m2=m万≤10，故面 20 (00),B(e0+2）,则10AP √10 36 pi= 0B== 积的最大值为10，故选B. 4+5cos20' 方法2：仿射变换 36 36 4+5sin0' 不坊设号=X,寸=Y,则X+Y=1,直线为4Y=15X+m, 4+5cos(9+受） 36×13 则d=m故S=7d·AB= OA+1OBI= 16+20+25sin0cosθ 36×13,当 √24I 36+空sm20 分X1m×2√241=m-√m(241m≤2 sim29=0时，|AB2取得最大值，即|AB|的最大值为/13，所 241 /241 241 以菱形的周长的最大值为4V√13，当sin29=1时，1AB取 则S△0B=20S'≤10，故面积的最大值为10，故选B. 334 参考答案与解析 得最小值，即AB1的最小值为2区，所以芨形周长的最 13 当=T即=2时取等号， 小值为8所以内接于精国号+号-1的支形用长的 即SAABM≥8，所以S△BP=2S△ABM≥16，故B错误. 13 对于C,由直线n的方程可得D(0,y1十2)，|AF|=y1十1， 最大值和最小值之和是4V+48y区=100区 DF=y1+1, 13 13 所以|AF|=|DF,故C正确： 25.AB若x>1,则a.x1+by1十c>ax2+by2十c>0,或ax1十 by2+c<ax:+by:+c<0, 对于D,周为y=子，所以)=之，则直线m的斜率为 即，点P,Q在直线的同侧，且直线l与线段PQ不平行.故 A正确： 2x2, 若x=1,则ax1十by1十c=axg十by2+c,即a(x2一x1)十 故直线n的方程为)一y=号（红一x),即y=号x十1十2， b(y2-y1)=0, 若b=0,则x1=x2,过P,Q两点的直线与直线l斜率都不存 联立x=4y,消去y得x2-2x-4(y1+2)=0,故x十 在，故平行， x,=2xg,故D正确. 27.B设点P(x,y),以A为原，点 若60，则头二头=一号∴阳=，即泣P,Q两点的直线 x2一x1 建立坐标系，不妨设正方形边 D 与直线【平行，故B正确； 长为1，则A(0,0),B(1,0), ax +by+c C(1,1),又PA:PB:PC= 因为|x= ax+by+c √a+b ax,+by+ca+b+c,即|z|为P, 1:2:k,所以PB=4PA2, PC2=kPA,即(x-1)2+ √a+b y=4(x2+y),整理得： Q两，点到直线（的距离的比， 若x=一1，则|x=1,即P,Q两点到直线l的距离相等，且 (+子)广+=台此时点P 在直线1两侧，但1与射线PQ不一定垂直，即C不正确； 若点Q在直线1上，则ax2十b2十c=0, 在以0(-号0）为圆心，半径为1=号的圆0上，又 结合题设及分母不为0，不存在实数x,使，点Q在直线！上， PC=PA,所以(.x-1)+(y-1)2=k(x2+y2),当 故D不正确. k=1时，此时点P在CA的垂直平分线y=一x十1上，代入 26.CD如图所示，切线记为m,PA记为n. 对于A,直线1的斜率存在，故设直线1的方程为y=kx十1， (+号）+y=号中，得3x2-2x+1=0,4=4-12= 联立/x=4y 一8<0，方程无解，所以=1不符合题意： y=x十1消去y得 x2-4kx-4=0,△=16k+ 当≠1时，些显得：(+）广+(+)》 M 16>0,所以x1x2=-4,故 D 2k (k-1)2 =六污=1，放A错误： 对于B,不妨设x<x2,过B 此时点P在以0（已已）为圆心，半径为 m 作y轴平行线交n于M,根据 1-可的圆0，上 2k D选项知，△ABP的面积等于△ABM的2倍，（下面证明 一下)， 要使这样的点P存在，则圆O1与圆O,要有交点，当k=2 SIBMI()SAM=IBMI()D 时0（子）n=22 3 选项的证明知道x1十西=2红：，别SA哪=分BM1(2: 此时，22<00=号<2+2放=2特合题忘：当 3 )=IBMI(:-)=2SAABM =3时，0(-百）=8吧， 直线m的方程为y=号十十2，当发=西时，M,号+ y1+2), 北时，288<00-受<放-3特合题意 24 24 2 BM=受++2- xi+i+2= X(x1+ 4 当=4时：0（市品）得 由A选项知=一4 此时，0,0，= 页<10-4巨，圆0，与图0，内含，故k=4 5 15 故5w合a-)(西+) 不符合题意；综上，=2或k=3符合题意.故选B 二、填空题 (✉+)（✉+）川 28.解析：设A(z1y),B(,),由AP=2PB得：-x1=2x2, 1-y1=2(y-1),.-y1=2y-3,因为A,B在椭圆上，所 (1+高)广≥（√国·奇 ）=8,当且仅 以+=m+=m+2y-=m十 335 强基数学·巅峰突破 (-)》广=”，与+=m对应相减得：=3十” 2ysin0=2,因此Sa0= -OP1·1OQ1= 4 3sin0cosθ 店=一子(m2-10m十9)<，当且仅当m=5时取最大位. .2 答案：5 评析：求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的 答案：号 过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个） 33.解析：有两种解题思路： 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以 (1)利用几何含义，原方程是圆，目标式子代表与原点连线的 解决 斜率，所求最值即为直线与圆相切的情况，利用点到直线的 29.解析：如图，A(a,0),双曲线的一条渐近 距离公式，将相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求解 即可得到相切时的直线斜率， 线y=女，即6x-ay=0,则|AM= (2)设y=x,代入方程消去y,得到关于x的二次方程，令 IAN1=b,又因为∠MAN=60°，所以 其判别式等于0，也可以解出斜率值. △AMN为正三角形，过A作AP⊥MN 答案：最大值为5+？5，最小值为5=？区 于P,则1AP1=5b,另一方面，由点到 3 3 评析：非常基础的问题，没有难度，但是注意计算不要出错 直线的距离公式知A点到渐近线bx-ay=0的距离为d= 34.解析：设切点为(m,m),解得该切线的方程为y=2mx一m.然后 b1=，所以地=6，所以旦=5，故e= 2 我们考虑Q(xy)和F(0,）的连线段的中垂线是切线，得 Vb+a 2 L 到两个方程： 2y5.故本题正确答案为2 3 3· y-4 答案9 ①斜率： 二一@中点在切线上. 30.解析：由于|PA=|PB,所以，点P在线段AB的中垂线上，设C 即号(+子）=2加音-m:两式联立，消去m 为线段AB的中点，则直线PC的斜率为-3，又因为直线PC过 点P(m,0),所以直线PC的方程为y=一3(x一m).联立直线方 得到+8 x 程x一3y十m=0与双曲线的两条渐近线方程bx士ay=0,可得 /ma,mb）,则C 化简得(4y+1)(4y-1)2=-16x(4y+1), A点B点的生搭为(a平6a6),(a) 这个方复的解为y=一上 路+兰+兰#A标 ma ma mb 点坐标为 2 2 答案：y=- 代入到直线PC的方程y=一3(x一m)中，化简可得a=2b, 评析：此题是轨迹方程求解的参数法的经典例子，从解题思 则c=56,e==5 路上说，想到如此解题可能不算因难，但此题的计算量不 a 2 小，能在考试的有限时间算出正确答案确实也非易寧， 35.解析：我们先求中点M的轨迹方程：设M(xM,yM),根据中 点这一信息，我们推出P的坐标为(2xM一c,2yM).P在双曲 C 线上，故2v-c心_②=，即为轨选方程，于是1OM a" bc2 十后=十2公-车展小位为”。 46 Aa" 4 c2-6 答案： 故 4b2、c2 4a2 年≥品解得e≥号5 31,解析：设C1,C2半长轴分别为a1,a2,则由P同时在C1,C 答案：[号，+) 上，可以得到PF1十PF2=2a1,PF1-PF,=2a2,因此PF 评析：问题的关键在于求中点M的轨迹方程， =a!十a,PF2=a1一a2,在三角形PF1F2中用余弦定理可 以得到 6,解析：设成A(号，号），注意到以0A为半径的圆+了=1与 (+o)+(a-a.)-(o+a.)-(2e() 圆(x一2)十y=1仅交于点B(1,0).点A关于y=kx的对称点 必然在以OA为半径的圆上，因此此对称点只能为，点B.容易发 +3(日)广=4，记=2os0, 12 sin，则L+ 1 e 3 e 见∠A0B=6因比y一的领角为3，从后长=复 29+2g5m5/2+(2g） 3 答案9 答案 37.解析：对于①，(0,0)不在C: 32.解析：假设椭圆上的点M坐标为(3cos0,2sin6),则PQ为 √+(y-1)F·√+(y十1)F=3上，错误；对于②， 点M到圆的切点弦，由切，点弦方程知PQ方程为3xc0s日+ 3=√x+(y-1)2·√x+(y+1)≥ 336 参考答案与解析 √/y-1).√y+1)F=|y2-11,解得y∈[-2,2]：对于 42.解析：F(一c,0),F,(c,0),当 ③，经过验证，若(xy)满足C: x=一C时， √+(y-1)产·√x+(y+1)=3,则(x,-)也满足 3y2 =1,6a 1 方程：对于④，注意到方程表明|PA|·|PB=3,故只需 c2-a2 b2 PALPB,这样的P即为单位圆上的动，点.联立单位圆方程， a 和C:√+y-1).√+（y+1)产=3，无解，④错误. 答案：②③ 到=号所以=所以 评析：对于课内不熟悉的方程，只需要遵从基本的定义，验 1AB1=26 证和简单计算即可， 因为ABCD为正方形，所以|AB|=|AD|=2c, 38.解析：AB边的长度是一个定值3√2，我们只需要求AB边上 高的最小值即可.设P(xo,y),P到AB边上的距离h= 所以26 =2c,化简得6=ac所以c2-a2=ac, y x0-y+3 2 -。+3 2 -y+3 所议。-e-1=0,解得e=15,因为e>1,所以 2 v② √2 ② ,显然，当y。=1 时小取到最小位2污此时，三肩形的西农为只 e=1+6 2 答案：只 答案：1+⑤ 2 43.解析：因为直线是二元一次方程，双曲线是二元二次方程， 39.解析：利用参数方程，可设切点坐标为(acos0,bsin) 所以它们联立方程组，利用二元一次方程代入消元y后，得 (9∈[0,2x),则切线方程为工cos0+义sim9=1.A,B坐标 到的是关于x的一元二次方程， 根据一元二次方程解的个数为0,1,2， 为(90），(0，品g,共中(inos9≠0以.故5am 则可以判断方程组解的个数也为0,1,2， 之1oA1oBl=sin cos9 ab ab 即它们的交点个数就为0,1,2 =Tsin29≥ab, 答案：0,1,2 答案：ab 44.解析：在△AOD中，取AD中点E,由P为△AOD的重心， 评析：此题和2014年“华约”的第五题类似，我们可以再一次 则P在OE上， 体会到切线结论的便捷和参数方程在圆锥曲线消元中的 妙用. 设A(),B()BC则= 40,解析：设精团另一焦点为，线段QF与直线y=乌，交点 =y十业 2 为M,设QF1=n,QF=m,O,M分别为FF1,QF的中点，所 以QF平行OM,又OM⊥QF, 期有-是=1，三-答-1，两我作差得，正_ 62 6 (m+n=2a, 2ab =0 所以m+=4c,整理得 m=b+c 可得2-)(+》-y-业)(y+4》=0. ,=m=6 2ac a" 62 n-b+c 则0=二兰=6x十)=6西= z-x2 a2(y+y3)a'yo a'koe ,则k0E· 代入m+n=4c2,整理得：b(b-c)(b+bc+2c2)=0,所以 2 答案号 同理可得，k·k-仁， ,又AD⊥BD,所以 41.解析：由已知，A(1,0)是椭圆的右焦点设左焦，点为A'(一1 kAD·kBD=一1，又kAB=1, 0),连接PA',则|PA+|PB|=2a-PA'|+|PB|,即转化 可得6e·kn·k=一么=一8，所以 a =2,进而e=C 为求|PB一|PA'|的最值.因为|A'B|=√5，所以当P,A',B 三点共线，即点P落在第一象限P上与第三象限P,上时， a? =V3 分别取最小值与最大值，如图，则|PA|十|PB|的最小值为 答案：3 4一5，最大值为4十√5 45.解析：设椭圆C1:x2一2xy十2y=4, 将椭圆C,上所有点的纵坐标伸长为原来的√2倍得到椭圆 C2:x2一√2xy+y=4,由，点(y,x),(-y,一x)均在椭圆C 上，可得椭圆C,的对称轴为直线y=x和y=一x, 0 设直线y=x与椭圆C:交于A,B两点，直线y=一x与椭圆 C交于C,D两点， 答案：[4-√5,4+√5 联立=， 得x=2(2+√2)， x-√2xy+y2=4, 337 强基数学·巅峰突破 则|AB1=2·|xA-xg=2√21xA=2V2√2(2十√2)= 150.解：设P(x,y)为圆x2+(y 3 2)2=1上任意一点，过点P 4√2+2， 作PM垂直直线x十√3y=0, y=Bx 联立 得x2=2(2-√2)， 垂足为M,则点P到直线x x2-√2xy+y2=4, +W3y=0的距离|PM|= 则1CD1=2·|x-xn=22xc|=2√2.√2(2-2)= 1z+B型-十5y,点P到 4√2-2， W1+3 2 所以a=2√2+√2，b=2√2-√瓦，则椭圆C,的面积为元ab 原点的距离【OPI= x+3y=0 4√2π， √+y,+5y Vr2+y 所以精圆C的面积为1=4元 2lPM=2sin∠POM. OPI 答案：4π 设直线y=kx与圆x2十(y一2)2=1相切， 2 三、解答题 =1，解 √k2+1 46.解：在点光源发出的光线中，与篮球相切的所有光线组成一 得=士√5.易知∠POM的最小值为30°，最大值为90° 个圆锥面，把地面看为截的平面，而投影则为平面与圆锥面 所得的曲线，由圆锥曲线的定义，知原命题成立， 2≤n∠nOMS1,1<2sin∠POMS2. 47,证明：设20为112的夹角，以0为原点，l1,2的角平分线 所以u的取值范围是[1,2] 为x轴建立平面直角坐标系.记A的坐标为(xA,yA),B的 51.解：(1)y2=4(x+1). 坐标为(zgyg),则其中点X的坐标为（巴，4）， (2)联立直线y=k1x和抛物线y=4(x十1)，消去x,得到 2 2 k1y2-4y-4k1=0. 2 一4=-1为定值，证毕. x=4十2 2 (3)AC方程为y-y,=(x-x,)-出 x3一x1 由|OA|·IOB引为定值→ 于是1OP川=y-x·当二y x3一x1 →|xAxB为定值. 而ya=tatan,yg=-Zgtan9,代入上式有 y3+y1y3+y1 w含 (y-) 2 故X的坐标符合双曲线形式→X的轨迹为双曲线. 类似可以得到1OQ1=一2业十4 故命题等价于证明 y2十y 评析：本题想要找到一个计算量小的方法并不容易，难度不 大，但对思维要求非常高，需要熟悉求曲线轨迹的一些方 y十4+y+4=0,即yy+y十为十 y3+y1 y:+y 法，在建系时尽可能使自己的计算简便， yyy+4(y1+y2+y十y)=0. 48.解：根据题意a十c=2b,于是直线过定，点A(1,一2).而∠PMA= 注意y12=yy,=一4，证毕. 90°，说明M在以PA为直径的圆上运动，圆的上顶，点是(0，W2 52.解：(1)由切线公式y-f(x)=f(x)(x-x),我们计算 1),故MN|的最小可能值为4一√2. f'(x1.抛物线方程为y=2x(p>0),则用隐函数求导法 评析：稍有难度的解析几何题，关键是想到数形结合的思路， 则2y=2≥y=号厂u)=是将共代回切线公式，有 y 而不是一味地硬算垂足坐标。 49,解：我们转换一个思路证明这道题：当P在圆上运动时，过 y-y=卫（红-x),利用=2px1精作变换即有y= P作椭圆的两条切线PA,PB,则AB一定是直径. p(x十x1). 设P的坐标为(5cos0,W5sin),PA,PB的斜率为k1,g (斜率不存在时的讨论是简单的，此处不赘述).PA,PB的 (2)准线为x=-专故MF=x十号NF=x:+号 方程为y一√5sin0=(x一5cos0)k,与椭圆联立，得到(4k P(x,yo)为两条切线yy=(x十x1),y2y=(x十x2)的交 +1)x2+8k(5sin 0-2kcos 0)x+20(sin 0-kcos 0)2-4 点，推出(x=x2)2i二〉y十y,=%y =0. y1一y2 y1-y2 2 利用切线性质，△=[8k(√5sin日-√5kcos8)]一4(4k2+1)· x1= (z-z:)y -=二xy=4业 [20(sin0-kcos2-4]=0,化简得(4-5cos20)k2+10sin0 y1一y2 y1一y2p ·cos日·k十(1一5sinθ)=0，这个关于k的方程的两根即为 故Pr=(专)+6=(20-)广+(） 与地，江客到长长一-1妆成定，子关心为世的定 +++ 径.最后，当日取遍[0,2π]时，AB取遍所有的直径，所以原命 题成立. INF·MF=+号(+)+月 评析：此题的难点在于算法的巧妙设计！如果处理不当，此 题的计算会相当麻烦！ +多+。 4p2 2p 338 参考答案与解析 不难看出|PFI2=|MF·|NFl, p十q十r十s=0, (3)k= pq+rg+pr+sq+sr+sp=1-26, ,kMF三 x-2 pgr+pqs+rsp+rsq=2a, pqrs=a+6-r, y1十2 2 (y十y) 、9、r、s不全为0，于是b+g+r+s=(力十q十r十s)2-2 yiy2-p 2p 2 8网=-21-260>0，剥6>2 故tan∠MFP )若d+6-r≤0则广≥6>于是>合成立： 2y1p(y1+y2) EM一EFP 2x-p yyp (2)若a2+b-r2>0,则4b-2=b2+g+r2+s2≥4√pgr =1十kF·kP 1+产， =4√a+6-r, 2y1(y1y2-力)-(21-)(y1十y)_(y2-y) 整理得2≥+6>0+-=子 (2x1-p)(yy2-p)+2y1(y1+y)p+y1y 同理计算知an∠PFN=业二再加上 于是>2亦成立 p'+yiy? IPF|2=IMF|·INF|,有△PFM≌△NFP, 最后，我们取圆心在y轴上，且过原点的圆，得到>？时这 故∠PMF=∠FPN, 个圆均可与抛物线有三个不同的交，点，故最后满足题意的 评析：此题体现了抛物线的一个较好的几何性质.计算量 取值范国就是>2 稍大. 53.解：以双曲线的中心为原点，实轴为x轴建立平面直角坐标 评析：这是一个非常因难的解析几何问题.方法1思路清晰， 系.设按双贵线的方套为号-芳-1，直线方程为=？十加 计算也不复杂，但是需要学生掌握又乘运算，才能得到三角 形内角的正弦值，方法2则技巧性非常强，对学生的代数能 (斜率不存在时命题显然成立)，A,B,C,D四点的横坐标为 力要求很高。考试时，建议此题猜答案就走，猜答案的方法 xA,BC,xD.根据图形，推出A、B、C、D四，点在直线上的 其实荒是方法2最后验证>号的情况。 排布规律为：A、B在两侧，C、D在中间.或者C、D在两侧， A、B在中间.无论是上述哪种情况，均可得出： 5.解：C的离心率为→a=4h,b=7k,c=3k AC=BD台(xA-xe)=(xn-EB)台xA十xB=xC十xD, 设P(zpy),由PF⊥PF:知kR,·m,=-1. 将直线方程与双曲线联立，得到 (b2-a2k2）.x2-2a2km.x-a2m2-a2b=0. 故yp x-36‘p十3-1，与P在描圆C1: 故十贸男外学场其出 am 高十爱-1上联上，有%=，= 7 k 3 am 2ak n=b千ak,e+n=am6a: 而(xpyp)又在C。的渐近线上→ 故xA十xg=xc十xn成立，命题得证。 d249 /32+49_92 2=3298,√32 8 评析：不算太难的解析几何题，关键步骤在于转化AC=BD 评析：常规的解析几何题，一步步代入条件运算即可，要注 的条件，转化得当只需要简单的验证. 意渐近线的定义， 54.方法1：设抛物线上三点坐标分别为(x1,x),(x,x)和 56.解：不妨设过A点的切线交x轴 (x3x3), 于点C,过B点的切线交x轴于 AB=(2:-z-zi),AC=(z;-z1,-i). 点D,直线AC与直线BD相交 于是ABXAC1(叉乘)= z:-z1 Z:-z1 于点E,如图，设B(x1,y1), i-xi i-xi A(x2y),且有y2=1-xy1= |(x2-x1)(x3-x2)(x1-xg). 1-x,x1>0>x.由于y= 另一方面Ai×AC1=|A1IA心1sinA,外接圆半径R 一2x,于是直线AC的方程为 盛解得R IBCIABIIACI 2ABXACI 2x2x=2-y2-y:① 直线BD的方程为2x1x=2-y1-y.② = 1 2 √1+(x1+x2)][1+(x十x)门[1+（红1十x)门 联立直线AC,BD的方，解得E(21一) ∈(2，+∞)： 方法2：设该外接圆的方程为(x一a)十(y-b)=r2,和抛物 时0令y04c(2产0小 线联立，得到 对子@合y=0得D(云0小 x+(1-2b)x2-2ax+(a2+b2-r2)=0. 根据题意，该联立方程至少有三个实数解，于是该联立方程 于是1CD1=2业-2-业-1+d1+ 2x1 2.x2 2.x1 2x2 四个解均为实数解（可能会有重根），不妨设为p、9r、5 根据四次方程的韦达定理，得到 Saan=2CDl1一xx:1,不妨设 339 强基数学·巅峰突破 x1=a>0,-x2=b>0,则 若圆C与圆C1外切，与圆C:内切，则ICCI=r十”1，ICC (+1产)a+ =r-r2(或|CC:|=r+r1,1CC2|=r2-r) 所以CCI-|CC2|=x1+r(或|CC,+|CC1I=r1+r2): (2a+26++ I+ab+ab) 所以1ICC|-ICCI=r1+r2=|CC2或ICC,|+ICC =r1十r2=C,C,,所以圆C的圆心的轨迹是过C1,C,的直 =a+o(2++)≥·22+ab+.回 线（除直线与圆C1、圆C,的交点外） 方法1：运用均值定理求面积的最小值： (3)当圆C和圆C相交时，即n一r<CC<r十n, (i)若圆C与圆C1,圆C2都外切，则CC|=r十r,|CC1 不妨设a5=s>0,则有Sn=号(+2s+号) =r:+r,所以CC|-CC|=r1-r;若圆C与圆C1,圆C2 (++++ 都内切，则CCl=r-r1,1CC|=r-2(或|CC=r-r, 9s CC1=2-),所以CC,|-1CCI川=r-2<CC1,由双曲 9个 线的定义，圆C的圆心的轨迹是以C,C为焦，点、实轴长为 ≥16·（仔）·()门庐-8（侵）=8× r1一的双曲线（圆C、圆C的交点除外） (i)若圆C与圆C内切，与圆C:外切，则|CC|=一r, (3)=85.@ CCg|=r+r,所以|CC,|+|CC1|=r1+r2； 若圆C与圆C1外切，与圆C:内切，则|CC|=r十r1, 又由当，=4= 3 ,x2=-b= 5=5 时，③，④处的等 1CC,=r-r,所以|CC,|+CC1|=r1+r2:所以|CC|+ 3 3 ICC|=r1+r2>CC|,由椭圆的定义，圆C的圆心的轨 号均可取到」 迹是以C1,C:为焦点、长轴长为r1十r2的椭圆（圆C、圆C, .(Sownm 的交点除外)： (4)当圆C1和圆C,内切时，即CC|=r1-r, 方法2：运用导数求面积的最小值： (i)若圆C与圆C1,圆C:都外切，则CCI=十r,lCC 不坊设g)=2(+2十），事实上，其最小位也可用号 =r2+r,所以|CC|一|CC,|=r1一r2;若圆C与圆C1,圆C 函数的方法求解。 都内切，则CC1=r一r,|CC|=r一r2(或|CC1|=r1一r, 由R0=(3+2-)知，当0<<时. CC=r-r或1CCl=r-r,CC,|=r-r),所以1CC 3 -ICC1I=r1-r2(或|CC,1+ICC,1=r1-r2或1CC,|- g()<0:当弓<时g()>0. CCl=r-n); 所以1lCC2|-|CCII=r1-r=|C,Ce|或|CC2|+1CC1 则go)在(0，)上单调递减，在（停+∞）上单润道培. =r一r2,所以圆C的圆心的轨迹是过C1,C,的直线（除直 线与圆C、圆C的交点外)； 于是者=时，R取得最小值。 (i)若圆C与圆C内切，与圆C外切，则CC=r一r,CC= r2十r,所以|CC|+|CC|=r+r2>|CC2|,所以圆C的圆心的 57.解：不妨设圆C,圆C和圆C的半径分别为r1r2r(r1> 轨迹是以C1,C。为焦点、长轴长为r十：的椭圆（圆C1、圆 C,的交点除外)； (1)当圆C和圆C2相离时，即CC>r1十r, (5)当圆C1和圆C,内含时，即CC|<r1-r, (ⅰ)若圆C与圆C1,圆C,都外切，则|CC|=r1十r,|CC。| (i)若圆C与圆C1,圆C都内切，则CC1=r-r,CC =2十r,所以CC-CC:=n-r2 =r-r,所以|CC:|+|CC1=r1-r2>|CC,所以圆C 若圆C与圆C1,圆C2都内切，则CC=r-r1, 的圆心的轨迹是以C1,C为焦点、长轴长为r1一”的椭圆； 1CC|=r-r2,所以CC|-1CC|=m1-r； (ⅱ)若圆C与圆C内切，与圆C,外切，|CC|=r1一r, 所以1CC|一|CC|川=r1一r,<|CC21,由双曲线的定义， CC:=r2+r,所以|CC|+|CC,|=r1+r2=|CC21,所以 圆C的圆心的轨迹是以C,C为焦点、实轴长为r一r2的 圆C的圆心的轨迹是以C1,C2为焦点、长轴长为r十r的 双曲线； 椭圆 (iⅱ)若圆C与圆C1内切，与圆C2外切，则|CC|= 点评：这道题主要是考查分类讨论的数学思想方法，但是解 r-r1,|CC=r2十r,所以|CC|-|CC|=r1+r2;点C的 答过程并不难，理清思路即可， 轨迹是以C1,C2为焦点，实轴长为r1十r2的双曲线： 58.解：1)设A(),B(,),C(,),则D (2)当圆C和圆C外切时，即|CC=1十r2, (i)若圆C与圆C1,圆C:都外切，则CC1|=r1十r,CC (子)由=子2，斜奉=一子，因地可以接直 =r2十r,所以CC|-|CC|=r1-r2;若圆C与圆C1,圆C 都内切，则1CCl=r-n,CC|=r一2，所以CC-|CC= 线BC方程为y=-名x十6.把)=子2代入，签理得 r1一r2;所以CC2|一|CC1|=r1一r2<|C1C2|,由双曲线 十2.xox-4b=0,所以x1+x2=-2xo. 的定义，圆C的圆心的轨迹是以C,C。为焦点、实轴长为 因为AB,AC都不平行于y轴，所以直线AB,AC斜率之和 r1一r2的双曲线； (i)若圆C与圆C1内切，与圆C2外切，则|CC|= 为kA8十kC= 主z)(z-x6) x1一x0 r-r1,CC=r十r(或|CCl=r1-r,lCC|=n2+r), 1 .CC-ICC=r+CC+ICC=r+r); (x+x:+2x)=0. 340 参考答案与解析 可知直线AB,AC的倾斜角互补，而AD平行于x轴，所以 的斜率的取值范围 AD平分∠CAB.作DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足，则 0=1+k-=-(k-3）广+号∈E-11D. △ADE≌△ADF,可得|DE=|DFL.由已知|DE|+IDF =厅AD1,可得DE=号AD1,所以∠DAE=∠DAF 61.解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则y1=x1,y2= 45°，所以∠CAB=90°，△ABC为直角三角形. -红，由10A1·0B=+1得x4,=1,即+ 4 (2)如图，根据(1)的结果，可以设直线AB、AC的方程分别 （x1一x) =1,又x=十2，y=当十出=k,,于是 4 2 2 2 为y-x=-(-x)y-=x- M的轨途方程为一若=1，于是AB中点M的软链是然 点为（士/k十1,0），实轴长为2的双曲线 (2)将x2=2py(p>0)与x2-兰=1联立得 6 y2-2ky十=0， 曲线C与抛物线相切，故△=4bk一4k”=0, 又因为，k>0,所以k=1,且y=k=k, 把y=子x分别代入，得r+红-店-4，=0， x=士√2k=士√2， x2-4x-x+4xo=0, 因此两切点分别在定直线x=√2，x=一√瓦上， 所以AB=2V2x。+2,|AC=2√21x。-21. 两切点为DE,B(-Ey=音 由已知可知7|AB1·|AC1=240, 于是在D(√2，k)处的切线方程为 所以2×81云-4利=240，解得=士8， y=(x一②+，即为y=。 1 所以A(8,16)或A(-8,16).当取A(-8,16)时， 在E-2)处的切线方程为)=-E(x十)十，即为 求得B(4,4),又BC斜幸-2，=4， √21 ∴.BC方程为y一4=4(x-4),即4x一y-12=0. y=- 当取A(8,16)时，直线BC的方程为4x+y十12=0. 62.解：设M(acos9,bsin 0),0∈[0,2π)，因为MP,MQ分别是圆 50.解：1由Sa5m,=6co∠EPE=3Vc. 的切线，设P(x1y1),Q(z2,y2),所以MP为xx1十yy1=b, 2 即b2=3a2,c2=a2+6=4a2,e=2. MQ为xx2十yy2=b.又因为这两条直线都经过M点， @双自我方程后-若- 所以acos 0x1+bsin 0y1=b,acos0xg+bsin Oy2.=b, 所以PQ为acos0.x+bsin0y=b2, 先研究∠QF2A=90°时，Q(2a,3a),得∠QAF2=45°，因此， 所以=, b 若存在入，也应有入=2. acos 'sin 下面求M(x,y)的轨迹，M满足∠MF2A=2∠MAF 所以S△B0F= 2xe1yx1=之acos sin月/e” a tan∠MAF2= x千atan∠MF,A=y c-x 2a-x 当且仅当M的坐标是（士号。，士罗）时，S=取得装小 2y 由tan2a= 2tana得： x十a 1-tana 1-（ 2az,化简为3x x+a 评析：该题并不难，但可能有些同学对于解析几何的偏一点 3y2 a=0,即子-1与双曲方程完充全一致 的知识不太熟悉，这道题主要是对圆锥曲线切点弦方程的 ∴.存在A=2,使∠QF2A=2∠QAF2恒成立. 考查，在解析几何一章讲义中我们明确提出过该方程的表 达，只要知道了切点弦方程的表达做出此题就会减少大量 注：(1)此结论对于离心率e是其他值的情形，不一定存在入 时间. 使∠QF,A=入∠QAF； 63.解：(1)注意到AN+BN=AN+MN=AM=10,因此，点N (2)此题应先从特殊情形时，找出入的值，再进行证明： 在以A,B为焦点，2a=10的椭圆上.故N的轨迹C的方程 (3)也可以分析Q点在无穷远处的极限情形，即： AQ∥浙近线，∠QAF,→60°，QF:∥渐近线，∠QF2A→120°， 为+=1. .∴.1=2 60.解：(1)设P(x,y),则（一2一x,-y)·(2-x,-y)=2x2→ (2)不妨设P在Q上方.若斜率不存在时，：x=0,则入=3 5 y-x2=4. 斜率存在时，由图象可知，1与y轴夹角越大，DP越大， (2)设过点B的直线为x=ky十2，代入y2-x=4, 得方程(1一)y-4y一8=0有两个负根，解得1<k<√2. Dà越小，剧可得号<1. 另-方面.MN的中成R(台)，于是可得直线阳 故入的取位范固为号<1≤1. 341 强基数学·巅峰突破 层+活-1. 6,解：设A(2。%),直线0M的方程为y=2,即2-2 (3)设P(xy),Q(x2y2.则 =0. 又因为线段PQ的中垂线交y轴于点(0，y), saow=21oM12-2l≤3 √5 2 故x+(。-y)=x4+(y-y). 设x0-2y。=k,则k=0,士1，士2，士3，士4，士5，士6，x0 9 将工12：消去，化简即得：以=一320十为 2yo+k, 转用-8<，+<8，得到-是<<是 代入点+答<1，化荷得29y+%≤20-， 当k=0时，29y6≤200，y。=0,±1，士2，有5个整点： 评析：典型的解析几何问题.第一问只需利用中垂线的几何 当k=1时，29y%+4y≤199，y=0,士1，士2，有5个整点： 性质便可迎刃而解.第二问结合图象可大大简化问题，第三 当k=2时，29y%十8y。≤196，y=0,士1，士2，有5个整点： 问处理的技巧也需要注意，并没有通过设直线方程求点，而 是直接设了点的坐标，这样可大大简化计算。 当=3时，29y%+12≤191，y=0,士1，士2，有5个整点； 64.解：(1)设P(xoy),则过P作圆C:x+y=16的切线的 当k=4时，29y+16y。≤184，y。=0,±1，士2，有5个整点； 方程为xx,十yy。=16. 当k=5时，29y+20y。≤175，y。=0,±1，士2，有5个整点； 交1，z=-4于点D(-4,16十)，交4：x=4于点 当k=6时，29y十24≤164，y=0,士1，士2，有5个整点； yo 根据对称性，当k=一1，一2，一3，…，一6时，也分别有5个 c(4,164 整点， yo 所以共有65个整点满足条件】 .有AC:y= 二五（十0.BD:y=-生(-40，联立有 2yo 2yo 67.解：设P()为国0上任意一点，剥由题意知卧=6： x=y=16-2 即PA=kPB, 2yo 于是(x-m)+(y-n)2=k[(x-s)2+(y-p)2门， m=to, 而x+y6=16,故有 =当，即m2+4n=16. 整理得2+y-2(二m)z-2p-2y k2一1 k2一1 2 =(m+m)-(+p) (②)因为Qa0)为定点：M在方程后+号-1上，且1QM k2-1 因此点P的轨迹是一个圆，因为P(x,y)为圆上任意一点， 的成小佳是写那么方银：-0十y=0客与后 y 所以此圆与圆O:x2十y=4必为同一个圆， =1相切. 于是有-2C二m)=0,2力-2=0. k2-1 k2-1 两方程联立，化简有3x2一8ax十4a十9=0.由相切→ (m2+n)-皮(s+方)=4， 40=29 k一1 整理得ks一m=0,k2p一n=0, 65.解：设直线AB的方程为y=k(x-2)+2,A(工1，y), 所以m+)-(+D)=+)-(+) B(x2,y2）, : k2一1 及一1 联立y=6(x-2)+2, k(2+力)=4. 整理可得x2一4k.x十8k一8=0. x2=4y, 因为sb∈N,所以≥1p≥1从而=十方≤2， 4 由韦达定理可知x1十x2=4k,x1x2=8k一8. 又因为k>1,所以s=p=1,k=2,m=n=2. 切线AP方程为y=合(-)十=2 1 1 4 xi,切 因此将A(2,2),B(1,1),代入y=32-,得1=专 线BP方程为y=豆1四一4， 1 1 1 第十章 不等式 y=2x1-4i 联立 解得 1 y=2- 一、选择题 1.A S=(a+bc)(b+ac)= =(m+)=2,y=(）- Ca(a+b+c)+bc][b(a+b+c)+ac] =(a+b)(a+c)(b+c)=(1-c)(1-b)(1-a)>100,故a,b 4=子(8k-8)=2k-2, 1 >1或者a,b0.当a,b≤0时， 则P的轨迹方程为y=x一2，此时 s=1-0×21-b1×21-ad Sa=子-412士2-=令6-408t=8 <[20=0+20+20-]-手后 4 |2k2-4k+4|=4√k-2k+2(k-2k+2)≥4√1XT=4. 当a,b>1时，S=(1-c)2(1-b)(1-a)= 当=1时，等号成立. 故S△ABP的最小值为4. 1-c)(e+ab)≤c1-c)+1-c) 342