难点专题06 解析几何之直线与圆及椭圆、双曲线、抛物线（40题难题）-【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用）

【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用） 难点专题06 解析几何 之直线与圆及椭圆、双曲线、抛物线 （40题难题）（10单选10多选10填空10大题） 挑战新高考数学140+备考秘籍 1. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离） 2. 点关于线对称的一般性结论 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 3. 直径端点圆的方程 若圆的直径端点，则圆的方程为 4. 解析几何中的切线方程 ①过圆上任意一点的切线方程为 ②过椭圆上任意一点的切线方程为 ③过双曲线上任意一点的切线方程为 ④设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 解析结合中的切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆的切点弦方程为 ②椭圆的切点弦方程为 ③双曲线的切点弦方程为 ④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为 6. 相切的条件 ①椭圆与直线相切的条件是 ②双曲线与直线相切的条件是 7. 斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率) 8. 常见不等式 已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则() 9. 椭球体积 椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为 10. 纵坐标之和 y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为 11. 渐近线围成的四边形面积 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 12. 帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上 13. 斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 14. 椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 标准方程 焦点 焦点 焦半径 为离心率，为点的横坐标. 为离心率，为点的横坐标. 焦半径范围 为椭圆上一点，为焦点. 为双曲线上一点，为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为. （即） 如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则. 焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长. 与数量关系 直线过焦点与椭圆相交于两点，则. 直线过焦点与双曲线相交于两点，则. 已知点是椭圆上一点，坐标原点， 则. 已知点是双曲线上一点，坐标原点， 则. 焦三角形 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 直线过焦点与椭圆相交于两点，点， 则（即）. 直线过焦点与双曲线相交于两点，点， 则（即）. 切线方程 已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为. 已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为. 15. 抛物线的结论 如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为. 1． 2．焦半径：，，. 3．焦点弦：. 4．的数量关系：，. 5．三角形的面积. 6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切. 7．直线的斜率之和为零（），即. 8．点三点共线；点三点共线. 9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点. 一、单选题 1．（2025·江苏南京·一模）已知双曲线的左焦点、右顶点分别为，过点倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆喀什·二模）已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西九江·二模）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（    ）    A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有 9．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025·辽宁鞍山·二模）曲线与直线交于不同的两点、（），、分别为曲线在点、处的切线，、分别为直线、与直线的交点，为直线与的交点，则（   ） A． B． C． D．点在直线上 12．（2025·江西九江·一模）天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线极其相似．已知过坐标原点，且上的点到与两点的距离之积为常数，则下列说法正确的是（   ） A． B．上点的纵坐标的最大值为 C．若双曲线与交于点，则的面积为 D．若直线与有三个交点，则 13．（2025·广东惠州·三模）曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，为上一点，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值是1 D．存在点，使得为钝角 14．（2025·安徽滁州·一模）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 15．（2025·四川成都·三模）数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，则（   ） A．点在上 B．面积的最大值为1 C．曲线恰好经过4个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D． 16．（2025·黑龙江·一模）已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（    ） A．存在点，使得 B．的取值范围为 C．若的值与无关，且，则取值范围为 D．若的值与无关，则其最小值为． 17．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与抛物线有2个公共点 B．直线恒过定点 C．点的轨迹方程是 D．的最小值为 18．（2025·河南·一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 19．（2025·河南信阳·一模）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（   ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若为正三角形，则其面积为 C．若，则的面积的最小值为 D．一般情况下，的面积 20．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是曲线上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于原点对称 B． C．上有无数个整点（整点指横、纵坐标均为整数的点） D．的最小值为 三、填空题 21．（2024·四川·一模）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 22．（2025·陕西宝鸡·二模）直线恒与圆相切，则圆的方程为 ，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则 ． 23．（2025·山东聊城·模拟预测）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 24．（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，过作的角平分线的垂线，垂足为.若是圆上任意一点，则的取值范围为 . 25．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 26．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ． 27．（2025·安徽六安·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的方程为 ． 28．（2025·广西南宁·二模）已知曲线，则E的一条对称轴方程为 ；已知A，B是E上不同于原点O的两个顶点，C为E上与A，B不共线的一个动点，则面积的最大值为 29．（2025·湖北·模拟预测）已知点在抛物线上，为直线上的一动点，过点作的2条切线，切点分别为，直线分别交轴于点，则的最小值为 ，外接圆半径的最小值为 . 30．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点为的右支上的一点，直线被圆截得的弦长为，且，则的离心率为 ． 四、解答题 31．（2025·山东青岛·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为. (1)求的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 32．（2025·福建厦门·二模）已知双曲线（，）的左，右顶点分别为，，过C的右焦点的直线与的右支交于两点.当与轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)直线，与直线的交点分别为，为的中点. （i）求的最小值； （ii）证明：点关于直线对称的点在上. 33．（2025·河南·一模）已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 34．（2025·江苏南京·一模）设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线. (1)已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系； (2)已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为. ①证明：是、的等比中项； ②若点在圆上，求的最大值. 35．（2025·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为． (1)求的方程，并在图中画出该曲线； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值． 36．（2025·河北衡水·模拟预测）过三角形的重心作一直线，若这条直线将该三角形分成面积比为的两部分，则称这条直线为型直线，其中，，且.等边的边长为，重心为点，以动点为圆心，为半径作圆，该圆与线段相切，记点的轨迹为. (1)探究在中是否存在与相切的型直线，并证明； (2)若点在的2型直线上，在点处的切线与交于，两点，求； (3)若的外接圆与直线相切，且与的一条型直线相切，求的最小值. 37．（2025·湖北·二模）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. (1)求； (2)记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 38．（2025·湖南郴州·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16. (1)求双曲线的标准方程； (2)与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 39．（2025·四川自贡·二模）已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 40．（2025·吉林长春·一模）已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由； (3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，且，证明：为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$【数学为王挑战新高考数学140+】备战2025年高考数学之985高校强基计划入围资格（新高考通用） 难点专题06 解析几何 之直线与圆及椭圆、双曲线、抛物线 （40题难题）（10单选10多选10填空10大题） 挑战新高考数学140+备考秘籍 1. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离） 2. 点关于线对称的一般性结论 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 3. 直径端点圆的方程 若圆的直径端点，则圆的方程为 4. 解析几何中的切线方程 ①过圆上任意一点的切线方程为 ②过椭圆上任意一点的切线方程为 ③过双曲线上任意一点的切线方程为 ④设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 解析结合中的切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆的切点弦方程为 ②椭圆的切点弦方程为 ③双曲线的切点弦方程为 ④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为 6. 相切的条件 ①椭圆与直线相切的条件是 ②双曲线与直线相切的条件是 7. 斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率) 8. 常见不等式 已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则() 9. 椭球体积 椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为 10. 纵坐标之和 y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为 11. 渐近线围成的四边形面积 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 12. 帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上 13. 斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 14. 椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 标准方程 焦点 焦点 焦半径 为离心率，为点的横坐标. 为离心率，为点的横坐标. 焦半径范围 为椭圆上一点，为焦点. 为双曲线上一点，为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为. （即） 如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则. 焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长. 与数量关系 直线过焦点与椭圆相交于两点，则. 直线过焦点与双曲线相交于两点，则. 已知点是椭圆上一点，坐标原点， 则. 已知点是双曲线上一点，坐标原点， 则. 焦三角形 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 直线过焦点与椭圆相交于两点，点， 则（即）. 直线过焦点与双曲线相交于两点，点， 则（即）. 切线方程 已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为. 已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为. 15. 抛物线的结论 如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为. 1． 2．焦半径：，，. 3．焦点弦：. 4．的数量关系：，. 5．三角形的面积. 6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切. 7．直线的斜率之和为零（），即. 8．点三点共线；点三点共线. 9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点. 一、单选题 1．（2025·江苏南京·一模）已知双曲线的左焦点、右顶点分别为，过点倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，与渐近线方程联立，求出的坐标，利用为等边三角形即，得到的关系，即可得渐近线方程. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为为等边三角形，所以， 即， 整理可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程是， 故选：C. 2．（2025·全国·模拟预测）设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，证明是以为直径的圆与圆的公共弦，求出点坐标，求出以为直径的圆的方程，求出直线的方程即可求解. 【详解】由知为中点， 所以，以为直径的圆过点， 故是以为直径的圆与圆的公共弦， 联立圆圆的方程，可解得， 当时，以为直径的圆的方程，与圆的方程相减，可得直线的方程为， 直线的斜率为，考虑对称性，直线斜率的另外一解为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明是以为直径的圆与圆的公共弦. 3．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】    如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知， ，， 所以，， 所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 4．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解. 【详解】如图，设与交于点， 由，且是的中点， 所以，又， 所以，又，易得， ， 则，代入双曲线方程可得， 设点，则，， 又设，由可得，即， 由，得，即， 化简整理得， ，解得或， 又，，解得. 故选：D. 5．（2025·新疆喀什·二模）已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线性质以及垂直关系可得斜率关系，设，可得，所以；在中利用正弦定理以及三角恒等变换可得，，再结合双曲线定义以及离心率表达式化简即可得出. 【详解】如下图所示： 可知， 双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线， 因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 设，可得，所以； 由可得， 在中利用正弦定理可得， 可得， ； 再利用双曲线定义可得 整理可得， 因此可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用渐近线斜率以及垂直关系得出，再由中的正弦定理得出其边长，利用双曲线定义可得，即可求得. 6．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设， 则， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理的， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式. 7．（2025·江西九江·二模）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将曲线放入平面直角坐标系中，确定的坐标，再利用判别式法求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可. 【详解】如图，设为原点，我们可以把放入平面直角坐标系中， 连接，再利用曲线的对称性，我们不妨设， 因为，所以， 我们把视为以为主元的一元二次方程， 故，解得， 即，代入，解得，此时， 此时由两点间距离公式得，故D正确. 故选：D. 8．（2025高三·全国·专题练习）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（    ）    A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆定义可判断AB；结合图形的几何特征利用椭圆的离心率定义可判断C；结合图形的几何特征利用解三角形可判断D. 【详解】设P为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点作线段分别与球切于点， 故有， 由椭圆定义可知，该椭圆以，为焦点，为长轴长，故B正确．    设椭圆长半轴长为，半焦距为，设O为的中点， 与球切于点，，，故， 有，则 即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确． 由题意可得，则，故C正确． 由题意知（这是因为）， 则，故， 即，故D错误． 故选：D． 9．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点坐标即可求出点的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点. 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 10．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解. 【详解】如图，，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得，其中， ，则， ， 所以，即，则直线的斜率为， 所以直线，即， 联立，解得，即， 因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 将两圆的方程相减得， 故直线的方程为. 故选：B. 二、多选题 11．（2025·辽宁鞍山·二模）曲线与直线交于不同的两点、（），、分别为曲线在点、处的切线，、分别为直线、与直线的交点，为直线与的交点，则（   ） A． B． C． D．点在直线上 【答案】ABC 【分析】曲线与直线交于不同的两点，联立，可得范围； 由零点存在定理，可确定； 求导确定直线斜率写出直线方程，求出时、坐标由可得； 为直线与的交点，联立求出即可. 【详解】曲线与直线交于不同的两点、， ，整理得 解得或， 且，，故A正确； 令，且对称轴，， ,， ，故B正确； ，则，：，即. 令，得，即，同理可得, . ，， ， 关于轴对称，，故C正确； 为直线与的交点，联立， 整理得代入得： ， 即点在直线上，故D不正确. 故选：ABC 12．（2025·江西九江·一模）天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线极其相似．已知过坐标原点，且上的点到与两点的距离之积为常数，则下列说法正确的是（   ） A． B．上点的纵坐标的最大值为 C．若双曲线与交于点，则的面积为 D．若直线与有三个交点，则 【答案】ABD 【分析】A 选项：对于已知曲线的性质求参数值的问题，通过将特殊点代入曲线所满足的条件来求解参数.B 选项：方法一：利用圆与曲线的交点性质以及三角形面积公式，结合三角函数的性质来求解曲线上点的纵坐标的最大值.方法二：通过对关于的表达式求导，分析函数的单调性来求最大值.C 选项：方法一：根据双曲线的定义和勾股定理逆定理判断三角形的形状，再利用三角形面积公式求解.方法二：通过联立方程组求解交点坐标，进而求出三角形的高，再根据三角形面积公式求解.D 选项：将直线方程代入曲线方程，转化为关于的方程，根据方程根的情况确定参数的取值范围. 【详解】设上的点为，则过坐标原点， ，故A正确； 以为直径的圆与必有交点存在点满足， 设为上的点，则的面积， 又，故B正确； 双曲线的焦点为，，而， ， 为直角三角形，故的面积，故C错误； 的方程为，化简得（*）． 将代入（*）得， 要使得方程有三个不等的实根，则，故D正确． B选项另解：由对称性，不妨设上点在第一象限， 由（*）得，令， 则．由，得； 由，得． 在上单调递增，在上单调递减， ，即．故B正确． C选项另解：联立方程组得， 又，故的面积，故C错误． 故选：ABD． 【点睛】思路点睛： A 选项：遇到求曲线中参数值的问题，优先考虑利用曲线所过的特殊点或已知条件来建立方程求解. B 选项：求曲线上点的纵坐标的最大值，可以从几何角度（如三角形面积与曲线的关系）或代数角度（如求函数的最值）入手，根据具体情况选择合适的方法. C 选项：对于涉及双曲线和曲线交点以及三角形面积的问题，可以从双曲线的定义、勾股定理等几何性质出发，也可以通过联立方程组求解交点坐标来解决. D 选项：处理直线与曲线交点个数问题，一般将直线方程代入曲线方程，转化为关于一个变量的方程，然后根据方程根的个数来确定参数的取值范围. 13．（2025·广东惠州·三模）曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，为上一点，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值是1 D．存在点，使得为钝角 【答案】CD 【分析】根据已知有C的方程为，应用特殊点、判断A；若，则即可判断B；根据已知易知P应该在椭圆内（含边界），结合椭圆与曲线C的位置关系判断C；取曲线C上点，此时，再判断是否能找到一个特殊点，，即可判断D. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意，C的方程为. 因为点在曲线C上，而点不在曲线C上， 所以曲线C不关于x轴对称，A错误； 若，则，所以这不存在这样点，B不正确； 由，P应该在椭圆内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点，此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，C正确； 取曲线C上点，此时， 在曲线C上再寻找一个特殊点，， 则，即， 两边平方并整理得， 解得，即或. 因为，则取点，此时，D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：根据已知得到曲线方程，利用特殊值或特殊点及曲线性质确定相关临界点或临界值为关键. 14．（2025·安徽滁州·一模）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 【答案】ABD 【分析】对于A：根据方程可得，即可得离心率；对于B：根据双曲线的几何意义分析判断；对于C：联立方程求M，N两点坐标，进而可得面积；对于D：联立方程，利用韦达定理求，求弦AB的垂直平分线和点P的坐标，进而可得结果. 【详解】对于双曲线E：，可知，，， 则右焦点，渐近线方程为. 对于选项A：双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：直线l：，过定点，斜率为， 若直线l与双曲线E的左右两支均有交点， 则直线l的斜率应满足，可得，故B正确； 对于选项C：联立，解得， 联立，解得， 可取，， 由点M，N在y轴右侧，可得，解得或，即， 则， 同理可得， 则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：联立，可得， 设，， 则，可得， 设弦AB的中点为，则，， 可知弦AB的垂直平分线的斜率为， 则弦AB的垂直平分线的方程为， 令，可得，即， 则， ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 1.数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； 2.构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； 3.构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 15．（2025·四川成都·三模）数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，则（   ） A．点在上 B．面积的最大值为1 C．曲线恰好经过4个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D． 【答案】BCD 【分析】将点代入曲线的方程即可判断；取求，求直线与曲线的交点，即可判断；求直线与曲线的交点，即可判断；求出坐标平面内到定点，的距离和为的点的轨迹方程，求该轨迹方程与曲线的交点，即可判断. 【详解】将点代入曲线的方程左侧可得， 所以点不在上，故错误； 取可得，所以，，所以， 由曲线可得，因为， 设， 当时，， 当时，，代入曲线的方程成立， 所以直线与曲线的交点坐标为， 所以点的纵坐标的绝对值的最大值为， 所以面积的最大值为，故正确； 取可得，所以，， 取可得，所以直线与曲线交于点， 直线与曲线交于点， 所以曲线经过点，，，，故正确； 坐标平面内到定点，的距离和为的点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，由已知可得，又，， 所以， 所以椭圆方程为， 联立，所以， 所以，所以，所以， 故椭圆与曲线的交点为，， 如图， 故曲线上所有点都满足，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是结合曲线方程，确定曲线的范围及曲线上关键点的坐标. 16．（2025·黑龙江·一模）已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（    ） A．存在点，使得 B．的取值范围为 C．若的值与无关，且，则取值范围为 D．若的值与无关，则其最小值为． 【答案】BCD 【分析】首先对曲线进行化简，分类讨论点的位置判断A，利用点到直线的距离公式结合余弦函数的性质判断B，利用平行线间的距离公式结合直线与椭圆的位置关系判断C，D即可. 【详解】我们首先对曲线的方程化简，得到， 对于A，若点在曲线上时， 有，此时，不可能有； 当点在曲线上时，曲线的渐近线方程， 当点在上时，曲线的渐近线方程， 如图，因为直线与渐近线方程平行， 则不存在点，使得，故A错误； 对于B，因为可看作到 直线的距离的倍， 因为直线与平行， 且之间的距离为1，故， 由图可知，当点在曲线上时， 点到直线的距离有最大值， 设， 点到直线的距离为， 结合余弦函数有界性可得， 当且仅当等号成立，即， 则的取值范围为，故B正确． 对于C，设 由 得表示点到直线和的距离之和的倍， 的值与无关，则该曲线在两平行线和之间， 当与曲线椭圆部分相切时， 联立得，且，解得或， 所以的范围为，故C正确； 对于D，当为渐近线为 与曲线椭圆部分相切的直线时， 的值最小， 由平行线间距离公式得与的距离， 则， 且，故D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题关键是判断取值最小的情况，然后结合平行线间距离公式得到所要求的结果即可． 17．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与抛物线有2个公共点 B．直线恒过定点 C．点的轨迹方程是 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】求出直线直线的方程，联立抛物线只有一解可判断A，求出直线MN方程由直线系过定点判断B，由选项B可判断选项C，求出，利用导数求出最小值判断D. 【详解】设直线的方程为， 联立，消去得， 则， 对于A：抛物线在点A处的切线为， 当时得，即， 所以直线的方程为，整理得， 联立，消去的，解得， 即直线与抛物线相切，A错误； 对于B：直线的方程为，整理得， 此时直线恒过定点，B正确； 对于C：由选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外， 故点的轨迹方程是，C正确； 对于D：， ， 则，令， 则，设， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，D正确. 故选：BCD 18．（2025·河南·一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【答案】BCD 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 19．（2025·河南信阳·一模）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（   ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若为正三角形，则其面积为 C．若，则的面积的最小值为 D．一般情况下，的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . 对于A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故A正确； 对于B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 则， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为 ，故B正确； 对于C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以，即，化简得， 直线的方程为：， 所以点坐标为，点 到直线的距离为： ， 又 ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，所以其面积有最小值，故C正确； 对于D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： ， 所以阿基米德三角形的面积为 ，故D不正确. 故选：ABC. 20．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是曲线上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于原点对称 B． C．上有无数个整点（整点指横、纵坐标均为整数的点） D．的最小值为 【答案】BD 【分析】选项A，取特殊点，验证即可判断；选项B，由，分，讨论，即可判断；选项C，分，讨论，分析即可判断；将问题转化为点到直线的距离的倍，当时，由参数方程可得；当，由特殊点验证可得D正确. 【详解】选项A，满足，故点在曲线上，但不满足，故点不在曲线上，故曲线C不关于原点对称，故A错误； 选项B， 当时， 当时， 故曲线C上任意点P满足，故B正确； 选项C，当时，曲线C为 若为整点，则或 故有三个整点 当时，曲线C为 若为整点，则， 若，则，与矛盾 故曲线C上只有三个整点，故C错误； 对于D，问题可变为当时，点到直线的距离的倍， 当时，设， 则， 此时的最小值为； 当时，由B选项可得，此时时，取得最小值为，此时的最小值为， 综上，的最小值为，故D正确. 故选：BD 三、填空题 21．（2024·四川·一模）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线定义可得，结合平面几何知识求其最小值，列方程求，由此可得双曲线方程及其渐近线方程，设，表示。结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为动点在双曲线右支上， 所以， 所以， 不妨设点在渐近线上， 过点作，则， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立， 因为的坐标为，故， 所以的最小值为，由已知， 因为双曲线的焦距为， 所以，又， 所以（舍去），或， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为和 设点的坐标为，则，， 故，， 所以， 当且仅当，时等号成立; 所以的最小值为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值. 22．（2025·陕西宝鸡·二模）直线恒与圆相切，则圆的方程为 ，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】计算出原点到直线的距离，可得出圆的方程；利用三角形的面积公式可得出，不妨设点位于第一象限，则，，利用双曲线的焦半径公式以及三角形的面积公式可得出点，再利用可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为原点到直线的距离为， 所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为， 因为为的中点，则，则， 不妨设点位于第一象限，则，， 则 ，可得， 又因为，可得，即点，其中， 因为，整理可得， 解得，则，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用三角形的面积公式、双曲线的焦半径公式求出点的坐标，在利用两点间的距离公式求出、的值. 23．（2025·山东聊城·模拟预测）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据双曲线的性质得到，的关系，再结合基本（均值）不等式求的最小值. 【详解】根据题意作图如下 设，，. 因为双曲线的方程为 所以，. 易知 所以 而，则. 所以，即. 所以 当且仅当时，等号成立 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是探索，存在的数量关系，再利用基本不等式求最值.探索，的数量关系时，可利用，结合三角形的面积公式和双曲线的性质列式. 24．（2025·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，过作的角平分线的垂线，垂足为.若是圆上任意一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合双曲线的性质，确定在以为圆心，为半径的圆上，根据圆的标准方程，确定在以为圆心，为半径的圆上，将问题转化成两圆上两动点距离问题即可求解. 【详解】 延长，，使之交于点，因为平分，， 所以，为的中点，又坐标原点为的中点， 所以， 故在以为圆心，为半径的圆上， 由，得：， 则在以为圆心，为半径的圆上，因为， 故， 即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线的定义将问题转化为两圆上动点间距离的范围问题. 25．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于中点坐标公式和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式即可得解. 26．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 ， 【分析】设，根据，可得，从而可求出，法1：求出在处切线的方程及斜率，进而可求出过原点且垂直的方程，再将点的坐标用这两条直线的交点坐标表示，代入双曲线方程即可得解；法2：过作平行于，求出，其他同方法1. 【详解】设，因为，所以，即， 又因为，解得， 解法1：在处切线斜率为， 设直线n过原点O且，则的方程：， 与交于， 联立得，， 代入得， 又在双曲线右支上（异于顶点），则， 所以， 综上点的轨迹方程为，． 解法2：过作平行于，由题易得， 因为，且，， 所以，所以， 所以在以为圆心半径为1的圆上，其他同解法1． 故答案为：；，. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 27．（2025·安徽六安·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的方程为 ． 【答案】或. 【分析】由椭圆的方程可得焦点三角形的周长，从而求得面积，设出直线方程，联立写出韦达定理，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由椭圆，则，即，所以， 易知的周长为，由内切圆的半径， 则的面积， 设，则，可得， 由题意设直线，代入椭圆， 可得，， 则，， 由，即， 则，化简可得， 令，则，化简可得， 分解因式可得，解得，则， 所以直线或. 故答案为：或. 28．（2025·广西南宁·二模）已知曲线，则E的一条对称轴方程为 ；已知A，B是E上不同于原点O的两个顶点，C为E上与A，B不共线的一个动点，则面积的最大值为 【答案】 ，或； . 【分析】将方程中的换为，换为，检验方程是否变化，即可判断对称轴；令，求得，以及令，求得，从而确定的坐标，同时令，换元后，求得的范围，以及的范围，进而求得三角形面积的最大值即可. 【详解】对曲线：， 将换为，则，故曲线关于对称； 将换为，则，故曲线关于对称； 故该曲线关于，或对称； 令，则，故曲线过点；令，则，即， ，解得或，或，根据题意，不妨取； 对，即，解得， 不妨令，则，故， 故当时，，故， 则面积的最大值为. 故答案为：，或；. 29．（2025·湖北·模拟预测）已知点在抛物线上，为直线上的一动点，过点作的2条切线，切点分别为，直线分别交轴于点，则的最小值为 ，外接圆半径的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求抛物线方程，根据导数的几何意义求切线方程，并求点的坐标，并联立方程求点的坐标，根据点的坐标的特点，以及弦长，转化为二次函数求最值；根据坐标运算得到，，确定四点共圆，根据圆的几何性质，即可求解. 【详解】由题意知，，所以，所以抛物线， 设，因为，则，故， 直线，直线， 令，有， 由，可得，故， 所以，即. ， 所以当时，的最小值为2； 由题意可知C的焦点，故， ，同理，故， 所以四点共圆，则的外接圆的直径为， 即为到直线的距离，此距离为， 即的外接圆的半径的最小值为. 30．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点为的右支上的一点，直线被圆截得的弦长为，且，则的离心率为 ． 【答案】或 【分析】直线与圆的交点为，连接，过点作⊥轴，垂足为，设，由题意得，由条件得到，分在延长线上和在线段上两种情况求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线，即可求得双曲线的离心率. 【详解】直线与圆的交点为，连接、，令的中点为,连接. 过点作⊥轴，垂足为，则，， 圆，， 设，则， 因为为的中点，所以 因为，所以， 即，所以， ，， 若在延长线上，则， 因为在双曲线上， 所以，即， 所以，即 所以，整理得，解得.（负值舍去） 若在线段上，则， 因为在双曲线上， 所以，即， 所以，即 所以，整理得，解得. 故答案为：或. 四、解答题 31．（2025·山东青岛·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为. (1)求的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）证明过程见解析；（ii）存在，点， 【分析】（1）根据短轴长和离心率得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）当直线的斜率不存在时，计算出直线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，当时不合题意，当时，求出所过定点，验证后得到结论； （ii）由椭圆定义和圆的半径得到，所以，令，当直线斜率不存在时，，此时，求出，当直线斜率存在时，设，由余弦定理求出，，代入，解得或，均不合要求，舍去，综上，求出答案. 【详解】（1）由题意得，，故，， 又，解得， 所以椭圆方程为； （2）（i）， 当直线的斜率不存在时，此时直线与交于关于轴对称的两点， 设， 则，即， 又，所以， 所以，解得或， 当时，，此时与重合， 直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求， 当时，直线方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， ，解得， 设，则， 所以， 由得 ，化简得， ，解得或， 当时，，过定点， 直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求， 当时，，过定点， 显然此时满足， 其中也过点， 综上，直线过定点； （ii）存在点，使得与的面积之比为3：5，理由如下： 在轴上方，故在轴下方，即，， 由椭圆定义可知，， 又的圆心为，半径为4， 故，所以， 由于，， 所以， 令， 当直线斜率不存在时，，此时， 解得，令中得， 又在轴上方，故，满足要求， 当直线斜率存在时，设， 在中，，，， 由余弦定理得， 即，解得， 同理可得， 由可得， 解得或，均不合要求，舍去， 综上，存在点，使得与的面积之比为3：5 【点睛】思路点睛： 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 32．（2025·福建厦门·二模）已知双曲线（，）的左，右顶点分别为，，过C的右焦点的直线与的右支交于两点.当与轴垂直时，. (1)求C的方程； (2)直线，与直线的交点分别为，为的中点. （i）求的最小值； （ii）证明：点关于直线对称的点在上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据与轴垂直时得，由此可得双曲线的标准方程. （2）（i）设，与双曲线方程联立，表示点坐标，借助韦达定理可求最小值. （ii）设点关于直线的对称点为，表示，代入方程可得结论. 【详解】（1）对双曲线，令，得， ∴当l与x轴垂直时，. 由得，即，故， ∵，∴， ∴C的方程为. （2） （i）①不合题意. ②设， 联立得，， ∴，，解得， ∵，∴直线方程为：，故，同理， ∴ . ∴当时，. （ii）由，得， ∴，直线的方程为. 设点关于直线的对称点为，则， 解得，，即. ∵，由点在直线上可得 ∴点在直线上，故点关于直线对称的点在l上. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问（i）的关键是借助韦达定理表示并化简，即可得到最小值.解决第（2）问（ii）的关键是表示出对称点的坐标，借助点在直线上可证明结论. 33．（2025·河南·一模）已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用抛物线的定义可证明结论. （2）（i）设.由表示直线的方程，可得，根据求出的值可得结果. （ii）设的中点为，通过计算可说明三点共线，且为线段的中点，转化的面积可得结果. 【详解】（1）由题可知点为的焦点，设为点，抛物线的准线方程为. ∵为上一点，∴由抛物线的定义得等于点到的准线的距离， ∴以为圆心且过点的圆与的准线相切. （2） 设. （i）当时，点关于轴对称，点， 直线关于轴对称，成立. 当时，由得，直线的方程为， 将点的坐标代入，可得，则. 联立直线与的方程，可得， ∴. ∵， ∴， 化简可得，则， 由得，，由得， 故的方程为. （ii）设直线， 与的方程联立，可得， 由，得， 由得，，故点. 设的中点为， ∵， ∴，故. ∵，∴三点共线，且为线段的中点， ∴的面积为的面积的， 由为的中点得，的面积为的面积的， ∴的面积为的面积的. ∵， ∴. ∵点到直线的距离， ∴， 当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为. 34．（2025·江苏南京·一模）设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线. (1)已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系； (2)已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为. ①证明：是、的等比中项； ②若点在圆上，求的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，即可判断； （2）解法一：①设，利用导数的几何意义求出切线方程，即可得到直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据焦半径公式计算可得；②由①可得，求出的范围，即可求出的最大值；解法二：①设，利用导数的几何意义求出切线方程，再求出点坐标，最后根据弦长公式计算可得；②由①知，设，求出的范围，即可求出的范围，从而得解. 【详解】（1）圆心到的距离， 即直线与圆相切，所以. （2）解法一：①证明：由，知的准线方程为，. 设. 因为，且与的公共点为， 所以是曲线在点处的切线， 其方程为，即， 则（*）， 同理，，则（**）， 由（*）（**）得直线的方程为，即. 由，消去整理得，则. 又因为， 则. 又因为，所以， 故是、的等比中项. ②解：由①知，， 则 . 因为，所以， 则， 又因为，则， 从而可得，解得， 当时等号成立， 故的最大值为. 解法2：①证明：由题意知，则. 设. 因为，且与的公共点为，所以是曲线在点处的切线， 所以，即（*） 同理（**） 联立（*）（**）得，即， 所以， 注意到，因此， 所以是的等比中项. ②解：由①知，，设， 则 . 因为点在圆上， 所以，于是， 从而， 解得，即. 又当时，， 故的最大值为.    35．（2025·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为． (1)求的方程，并在图中画出该曲线； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得的方程； （2）（i）不妨设直线交圆于点，可判断点一定在椭圆上， 设可求出点坐标，进而求出直线方程； （ii）易知，则点也在圆上，所以， 联立和椭圆方程得到关于的一元二次不等式，即可解出的最小值. 【详解】（1）设，则有， 当时，化简得； 当时，化简得， 所以，曲线如图所示： （2）（i）如图所示，不妨设点在圆上，则，，所以点在椭圆上． 设， 解得，所以，所以， 所以直线方程为． （ii）由题意知，故点也在圆上，又为直径，所以． 设，，联立椭圆方程，得 ， 则， 因为，，， 则 所以， 即， 所以，所以， 解得，即的最小值为. 36．（2025·河北衡水·模拟预测）过三角形的重心作一直线，若这条直线将该三角形分成面积比为的两部分，则称这条直线为型直线，其中，，且.等边的边长为，重心为点，以动点为圆心，为半径作圆，该圆与线段相切，记点的轨迹为. (1)探究在中是否存在与相切的型直线，并证明； (2)若点在的2型直线上，在点处的切线与交于，两点，求； (3)若的外接圆与直线相切，且与的一条型直线相切，求的最小值. 【答案】(1)存在与相切的型线，证明见解析 (2) (3)的最小值为4 【分析】（1）选择合适的位置建立直角坐标系，求出的方程，再求出过点切线，再去分析该直线分的面积比即可； （2）由点在的2型直线上，结合三角函数重心的性质可得其位置，再利用中位线的特征求出； （3）先根据的外接圆与相切，可求出圆心和半径，再利用点到直线的位置关系求出与其相切的的型线，得到的最小值. 【详解】（1）存在与相切的型线，证明如下： 以为轴，边中线的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 由题意可知圆与线段相切，所以到距离与到点的距离相等，所以轨迹为抛物线， 因为为等边三角形，所以边的中线长为6，即，的轨迹方程为，且. 根据三角形的性质，易得点的坐标为，所以设过点的直线为， 联立，消得， 所以，解得， 当时，直线为，点在直线上，此时直线分三角形面积之比为， 同理，时，直线过点，也分三角形面积之比为， 所以存在两条2型线，得证. （2）设点的坐标为， 则的重心为， 因为点在的2型直线上，且因为，且，即分面积为， 所以过的顶点， 又因为，排除在、上， 所以在CD上，于是，解得，此时点为坐标原点， 过点的切线为，与交于，即为的中位线， 所以. （3） 因为线段的中垂线为，所以设圆心为， 又因为的外接圆与直线：相切， 所以圆心到的距离等于圆心到点的距离，所以，解得 ， 即圆心为，半径为4，则外接圆的方程为， 设该型直线为， 要与外接圆相切，则，解得，则为， 所以与边平行，由相似可得，所以设， 故的最小值为. 37．（2025·湖北·二模）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. (1)求； (2)记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 【答案】(1)，. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据函数在点处得切线方程即可求出，再根据规律求出. （2）（i）先求出和的关系式，再结合斜率性质，构造函数进行证明. （ii）根据点代入作差作和，利用，通过变形推理进行证明. 【详解】（1）解：由题意在处的切线方程为； 令，可得，即. 由可知在处的切线方程为； 令可得，即； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以. （2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且； . 由（1）可知； 则. 要证，即证，即证； 令，即证，再令，即证，即证. 构造函数，则，所以在上单调递增； 即.所以得证.即. （ii）由（i）可知，，所以. 因为，得； 即，即. 得，因为，所以； 所以. 所以.即. 当时，有，即； 所以，从而. 【点睛】常见的放缩法技巧： 38．（2025·湖南郴州·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16. (1)求双曲线的标准方程； (2)与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）4；（ⅱ） 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程. （2）（ⅰ）利用点差法列方程，化简求得正确答案. （ⅱ）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由，结合弦长公式以及来求得正确答案. 【详解】（1）因为当直线 垂直轴时，将代入 ,得 , 所以,所以 , 因为双曲线的离心率为的周长为16, 所以由题得 ， 解得 ， 所以双曲线的标准方程为 ; （2）设 , （i）因为两点在双曲线上,所以 两式相减得 , 得 , 即 ,所以 , 因为是的垂直平分线，有，所以 , 即 ,化简得 ,故 . （ii）由题意可知直线 斜率存在且 , 设直线 的方程为: , 由 ，消去并整理得 , 则 , 即 , 于是 点的坐标为 , 易知 ，所以 ,解得: , 代入得 , 得或 , 由在双曲线的右支上得: , 得，即 , 且 , 综上得, , 又 , 所以 因为，所以 ，故 , 所以 , 所以， 所以 . 39．（2025·四川自贡·二模）已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意，可设，得，利用导数求出切线的斜率结合斜率公式求出得解； （2）（ⅰ）设方程为，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，得到，利用建立关系式求解；（ⅱ）法一，设出直线直线，，的方程求出点的坐标，利用斜率公式求解得证；法二，利用极点极线法，求出点关于曲线的极线的方程，得证. 【详解】（1）由题知，轴，设切点，则， 由，则，所以， ，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（ⅰ）设方程为，，， 由，整理得， 于是，，，. 因为， ， 即， 又，所以. 于是，， 所以当时，的最小值为. （ⅱ）法一，由（ⅰ）知直线的方程为，，， 设，，又， 所以直线方程为，代入抛物线方程可得. 又直线的斜率， 设直线的方程为，直线的方程为. 将直线的方程代入直线的方程，可得，， 于是可得.同理. 所以直线的斜率 . 所以. 法二（极点极线） 因为， 所以点关于曲线的极线的方程为， 即，又因为直线的斜率， 所以，于是. 40．（2025·吉林长春·一模）已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由； (3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，且，证明：为定值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据离心率公式并代入得到方程组，解出即可； （2）首先讨论直线斜率不存在的情况，再采用设线法并联立双曲线得到判别式等于0，计算出坐标，最后利用三角形面积公式即可得到答案； （3）利用赋值法得和是C上的一个格点，从而总结出规律最后证明一般性即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以C的方程为． （2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为， 渐进性方程为，当时，，两渐近线夹角为， 则此时，点到直线的距离为1，所以此时； ②当直线的斜率存在时，设直线为， 由得， 因为直线与双曲线相切，所以且， 整理得且，即， 由得，则， 同理得到， 所以 ，， 所以. （3）在方程中，令，得，令，得，则． 因为， 所以，得是C上的一个格点， ，得是C上的一个格点． 按这种构造方式，由可以得到一系列格点． 下面证明C上的任意一个格点都满足该式： 任取两个由上述方式得到的相邻格点和， 假设在点和之间存在另外的格点，即存在，，满足． 因为是C上的格点，所以， 所以， 得， 设，，则． 由点，在C上，可得，，且， 所以，，再由，，，，得，， 故也是C上的格点． 另一方面，因为，，所以， 即，所以． 而，即． 显然，C上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立， 故C上的所有格点都满足． 由，，得． 所以 所以，为定值． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法并联立双曲线方程得到判别式等于0，再计算出坐标，最后计算面积即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$