专题01 圆锥曲线技巧提升篇01——点差法与第三定义-知识讲解-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

专题01 圆锥曲线技巧提升篇01——点差法与第三定义(知识讲解) 【预备知识一】中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则中点， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得： ，整理得 ∴ 【思考】 ①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，则， 仍有 ，， 注：抛物线中同样存在类似性质： 【巩固练习一】 例1 人教A版（2019）选择性必修第一册 习题3.1 P14（拓展探索） 已知椭圆,一组平行直线的斜率是. (1)这组直线何时与椭圆相交? (2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上. 例2 椭圆，求以为中点的弦所在的在直线的方程。 例3：给定双曲线，过点能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。 【补充】，可以理解为AB两点无限接近（极限思想），也可以用椭圆切线方程得到 【预备知识二】第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现. 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【情景练习】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， 法二：通过椭圆的垂径定理转换 【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，， ，， 法二： 双曲线垂径定理 设， 【巩固练习二】 例1 课本习题 设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点. （1）如图，若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程． （2）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程 例2 2019全国二卷21题(节选) 已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，证明：△PQG是直角三角形． 【巩固练习三】定比点差法 【预备知识一】定比分点 若则称点P为线段AB的分点，点P分有向线段AB的比为，当点P在线段AB上时，点P为内分点，点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，点P为外分点(其中AB，AP，PB均为有向线段). 例1 若，，且，表示出P点坐标. 【解】 则有， ∴ 定比分点公式： 令，，，且点P分有向线段的比为，即. 则， 例2 已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率的直线l与椭圆交A，B两点(A点在B点的上方)，若有，则椭圆的离心率为 ． 策略一 韦达定理 令直线，， 由，得：( 则 由得，则 即，整理得：，得：所以 策略二 定比点差法 令，，则有 因为,则有，即 代入A,B坐标，有： ① ② ①－4×②得：，则有 ，又 代入椭圆方程得： 解得或（舍）. 即 1 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题01 圆锥曲线技巧提升篇01——点差法与第三定义(知识讲解) 【预备知识一】中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 【思考】 ①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，则， 仍有 ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型． ∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 注：抛物线中同样存在类似性质： 【巩固练习一】 例1 人教A版（2019）选择性必修第一册 习题3.1 P14（拓展探索） 已知椭