专题05 二次根式运算11大题型的培优突破（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦二次根式运算全维度突破，构建“基础运算-性质应用-综合拓展”三阶方法体系，通过11类题型系统培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-6（21题）|混合运算步骤化、分母有理化技巧、双重非负性应用策略|从定义到性质，再到基本运算，形成“概念-性质-运算”逻辑链| |综合拓展|题型7-11（19题）|复合根式配方化简、柯西不等式求最值、勾股定理数形结合|从代数到几何，从静态计算到动态规律探究，体现知识迁移与应用意识|

专题05 二次根式运算的培优突破 题型1二次根式的混合运算（重点） 题型7复合二次根式化简（重点） 题型2与二次根式有关的化简求值问题（常考点） 题型8与二次根式有关的规律探究问题 题型3比较二次根式的大小 题型9二次根式与勾股定理综合（重点） 题型4二次根式的双重非负性的综合应用（重点） 题型10二次根式的应用（重点） 题型5含字母的二次根式化简 题型11柯西不等式（常考点） 题型6分母有理化（重点） 题型一 二次根式的混合运算（共4小题） 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）计算：． 【答案】3 【分析】先化简负整数指数幂，运用二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和加法即可得； （2）先化简二次根式、计算零次幂、用完全平方公式计算乘方，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先去括号计算二次根式的乘法和零指数幂，再计算加减即可求解； （3）先计算二次根式的乘除和化简二次根式，再计算加减即可求解； （4）先计算平方差和绝对值，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 4．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）下面是某同学二次根式运算的过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)该同学从第________步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程； (3)直接写出正确的运算结果与的大小关系． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式的运算法则逐步判断即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可； （3）利用“夹逼法”判断即可. 【详解】（1）解：除法没有分配律，故从第一步开始出现错误； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， 又， ∴. 题型二 与二次根式有关的化简求值问题（共4小题） 5．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 22 【分析】根据已知求出，再将代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 8．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则求得，结合完全平方公式求解即可； （2）由已知得到，结合完全平方公式求解即可； （3）先由已知得到，，结合分式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴． 题型三 比较二次根式的大小（共4小题） 9．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 10．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 11．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方法比较大小即可； （2）构造三边为， 的三角形，根据三边关系比较大小即可；根据平方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 12．（21-22八年级下·河南周口·期中）王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论． （2）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 题型四 二次根式的双重非负性的综合应用（共3小题） 13．（25-26八年级下·重庆·期中）若实数，满足，求代数式的值． 【答案】． 【分析】先求出，，则，，再代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 14．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）若为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定y的取值范围，再对原式变形，利用非负数的性质求出x和y的值，最后代入所求式子计算结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，即， ∵， ∴， 解得 把，代入得． 15．（25-26八年级上·全国·寒假作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二次根式的性质，解二元一次方程组．根据二次根式的性质，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ， ∴，，． 题型五 含字母的二次根式化简（共4小题） 16．（2026八年级下·全国·专题练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 17．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若（m，n为两个连续奇数，，），求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】根据是连续奇数得到，将代入二次根号内化简，得到，再利用奇数相加的性质证明p为偶数． 【详解】证明：∵ m，n为两个连续奇数，且， ∴ ， 又∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∵ m，n都是奇数，奇数加奇数为偶数， ∴ p一定是偶数． 18．（25-26八年级下·山东临沂·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， ∴ ． 题型六 分母有理化（共3小题） 19．（25-26八年级下·四川南充·期中）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)44 (3)3 【分析】（1）分子分母同乘以即可； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可； （3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 20．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 21．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： ． （3） ． 题型七 复合二次根式化简（共4小题） 22．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 23．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 24．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 25．（25-26九年级下·山东烟台·期中）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) (3)2026 【分析】（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可； （3）利用（2）的化简方法化简计算即可． 【详解】（1）解：小莉的化简结果正确，理由如下： ∵ （2）解： （3）解： ． 题型八 与二次根式有关的规律探究问题（共4小题） 26．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 27．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 28．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 29．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)7，2028； (2)（或）； (3)54 【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 以此类推，第个等式：； （3）解： ． 题型九 二次根式与勾股定理综合（共3小题） 30．（福建漳州市漳浦县中学2025-2026学年上学期期中检测卷八年级数学）若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】（1）分别计算，计算，得出，根据进而，，即可判断大小． （2）根据勾股定理求得，在根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 又，， ． （2）在中， 在中， 在中， 31．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理． 32．（2026·广东潮州·一模）按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①；②B；③ (2)①，；② 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为， 此时，， 周长的最大值为：． 题型十 二次根式的应用（共4小题） 33．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 34．（2026·广东珠海·一模）综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． (1)如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． (2)如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． (3)在（2）的条件下，证明秦九韶公式． (4)通过秦九韶公式推导出海伦公式． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可； ②设，则，由勾股定理得，，则，求出即可求解； （2）设，则，由勾股定理得，求出，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式，再把代入即可得出结论； （4）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵的三边的长依次为5、6、7，即， ∴， ∴ ； ②设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴； （2）解：如图： 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴， 将代入，得： ； （3）解：如图： 根据三角形面积公式可得： ， 即； （4）解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 35．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)的长度为米 (2)机器人先到达处 【分析】（1）过点作于点，分别求出米，米，从而可求出的长； （2）先由勾股定理求出米，再求出江江的总路程和机器人的总路程，根据“时间=路程÷速度”求解各自所需时间，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，在中，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米）， ∴米， 答：的长度为米； （2）解：在中，米，米， ∴（米）， 江江的路程：（米）； 机器人的路程：（米）； 江江所需时间：（秒）； 机器人所需时间：（秒）； ∵， ∴机器人先到达处． 答：机器人先到达处． 36．（2026·湖北宜昌·一模）【阅读理解】按照国际标准，书籍和纸张的长与宽都有固定的规格．例如：A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 【动手操作】 (1)将纸按如图1所示的方式折叠，通过观察、计算得到纸的长与宽的比值为________； 【应用拓展】 (2)纸的长与宽分别是多少？（结果用根号表示） (3)按如图2所示的方式折叠纸，求长方形的长与宽的比值． 【答案】(1) (2)纸的长与宽分别是； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为，即可得出结果； （2）根据A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同，可得纸的长与宽的比为，设纸的长与宽分别是，再根据纸的面积为，列出方程求解即可； （3）设纸宽，则长，由折叠性质得，分别求出，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长与宽的比值为； （2）解：∵A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同， ∴纸的长与宽的比为， 设纸的长与宽分别是， 由题意得，即， 解得，则， 答：纸的长与宽分别是； （3）解：设纸宽，则长， 由折叠性质得， 因此， 由折叠性质得， 长方形中， 长宽比（大比小）为： ． 题型十一 柯西不等式（共5小题） 37．（江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学2025-2026学年下学期期中质量监测卷八年级数学）我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_____； (2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，为 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值，为． （3）解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 38．（浙江杭州市萧山部分学校2025--2026学年第二学期八年级期中学情调研数学试卷）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【答案】(1)正数时，代数式有最小值，最小值为 (2)， (3)当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是元 【分析】（1）根据例题求得代数式的最小值； （2）根据，进而求得，即可求解． （3）根据题意得出，进而求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：令 ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，代数式有最小值，最小值为8． （2）解： 当且仅当时， ∴， 又∵ ∴ ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （3）由题意得： 当且仅当时，即 当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是120元． 39．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 40．（25-26八年级下·山东日照·期中）【阅读理解】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】 (1)已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】 (2)当时，求的最小值； 【学以致用】 (3)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1)3；6 (2)5 (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短的篱笆为20米 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可； （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算； （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当取最小值6时，， 解得：或（舍去）， 即当时，代数式的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， ∴当时，式子的最小值为5． （3）解：设，， 则，欲使最小， ∵， ∴， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短的篱笆为20米． 41．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________； (2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4)的最小值为 【分析】（1）将变形为，再将代入求解即可； （2）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （3）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②令，则，，原式变为再根据材料2的方法求解即可； （4）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：令， ∴原式 ； （3）解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ②令，则，， ∴， ∴， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式运算的培优突破 题型1二次根式的混合运算（重点） 题型7复合二次根式化简（重点） 题型2与二次根式有关的化简求值问题（常考点） 题型8与二次根式有关的规律探究问题 题型3比较二次根式的大小 题型9二次根式与勾股定理综合（重点） 题型4二次根式的双重非负性的综合应用（重点） 题型10二次根式的应用（重点） 题型5含字母的二次根式化简 题型11柯西不等式（常考点） 题型6分母有理化（重点） 题型一 二次根式的混合运算（共4小题） 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）计算：． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）下面是某同学二次根式运算的过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)该同学从第________步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程； (3)直接写出正确的运算结果与的大小关系． 题型二 与二次根式有关的化简求值问题（共4小题） 5．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知，，求代数式的值． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 8．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 题型三 比较二次根式的大小（共4小题） 9．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 11．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 12．（21-22八年级下·河南周口·期中）王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 题型四 二次根式的双重非负性的综合应用（共3小题） 13．（25-26八年级下·重庆·期中）若实数，满足，求代数式的值． 14．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）若为实数，且，求的值． 15．（25-26八年级上·全国·寒假作业）若a、b、c满足的关系是，求a、b、c的值． 题型五 含字母的二次根式化简（共4小题） 16．（2026八年级下·全国·专题练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 17．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若（m，n为两个连续奇数，，），求证：p一定是偶数． 18．（25-26八年级下·山东临沂·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型六 分母有理化（共3小题） 19．（25-26八年级下·四川南充·期中）已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 20．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 21．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 题型七 复合二次根式化简（共4小题） 22．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 23．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 24．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 25．（25-26九年级下·山东烟台·期中）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 题型八 与二次根式有关的规律探究问题（共4小题） 26．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 28．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 29．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 题型九 二次根式与勾股定理综合（共3小题） 30．（福建漳州市漳浦县中学2025-2026学年上学期期中检测卷八年级数学）若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 31．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 32．（2026·广东潮州·一模）按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 题型十 二次根式的应用（共4小题） 33．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 34．（2026·广东珠海·一模）综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． (1)如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． (2)如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． (3)在（2）的条件下，证明秦九韶公式． (4)通过秦九韶公式推导出海伦公式． 35．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 36．（2026·湖北宜昌·一模）【阅读理解】按照国际标准，书籍和纸张的长与宽都有固定的规格．例如：A系列纸为长方形，且长与宽的比值都相同，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 【动手操作】 (1)将纸按如图1所示的方式折叠，通过观察、计算得到纸的长与宽的比值为________； 【应用拓展】 (2)纸的长与宽分别是多少？（结果用根号表示） (3)按如图2所示的方式折叠纸，求长方形的长与宽的比值． 由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 题型十一 柯西不等式（共5小题） 37．（江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学2025-2026学年下学期期中质量监测卷八年级数学）我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_____； (2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 38．（浙江杭州市萧山部分学校2025--2026学年第二学期八年级期中学情调研数学试卷）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 39．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 40．（25-26八年级下·山东日照·期中）【阅读理解】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】 (1)已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】(2)当时，求的最小值； 【学以致用】 (3)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 41．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________； (2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $