专题三 平行四边形、矩形与菱形（10大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题三 平行四边形、矩形与菱形 考点一：平行四边形的概念与性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【典例精讲】（2026春•义乌市校级月考）如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝12，AC＝16，BD＝20，则△OCD的周长为（　　） A．18 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质进行求解． 【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝12，AC＝16，BD＝20， ∴， ∴△OCD的周长为10+8+12＝30． 故选：B． 【变式训练1】（2026春•西湖区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知AB＝3cm，△OAB的周长比△BOC的长小2cm． （1）求AD的长． （2）若BD⊥CD，求AC的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，周长的计算，结合题意得到BC﹣AB＝2cm，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理得到OD＝2cm，在Rt△COD中，由勾股定理列式求解即可． 【解答】解：（1）∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD， ∴△OAB的周长＝AB+OA+OB，△BOC的周长＝BC+OB+OC， ∵△OAB的周长比△BOC的长小2cm，AB＝3cm， ∴（BC+OB+OC）﹣（AB+OA+OB）＝2，即BC﹣AB＝2cm， ∴AD＝BC＝AB+2＝3+2＝5cm； （2）BD⊥CD，即∠BDC＝90°， 在直角三角形BCD中，AB＝CD＝3cm，BC＝5cm， 由勾股定理得：BD4（cm）， ∴OB＝ODBD＝2cm， 在Rt△COD中，由勾股定理得：OC（cm）， ∴． 【变式训练2】（2026春•邹城市校级月考）如图，已知在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）若BE＝CE，∠B＝70°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）由AD∥BC可得∠ADE＝∠DEC，再由∠ADE＝∠EDC，从而可得∠DEC＝∠EDC，继而可证得CD＝CE； （2）由题意可得AD∥BC，继而可求得∠DAE＝∠BEA，AB＝BE，从而可求得∠BEA的度数，由此即可求得∠DAE的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∴∠DEC＝∠EDC， ∴CD＝CE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠BEA． ∵BE＝CE，CE＝CD， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣70°）÷2＝55°， ∴∠DAE＝55°． 考点二：平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC ∴四边行ABCD是平行四边形． （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD ∴四边行ABCD是平行四边形． 【典例精讲】（2026•密云区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，且AD＝BD，过点C作DB的平行线，与过点B所作的BC边的垂线相交于点E． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）若AC＝2BC，AC＝8，求CE的长． 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到CD∥BE，根据平行四边形的判定定理得到四边形BDCE是平行四边形； （2）根据勾股定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BE⊥BC， ∴∠CBE＝∠ACB＝90°， ∴CD∥BE， ∵CE∥BD， ∴四边形BDCE是平行四边形； （2）解：∵AC＝2BC，AC＝8， ∴BC＝4， ∵BD2＝CD2+BC2，AD＝BD， ∴BD2＝（8﹣BD）2+42， ∴BD＝5， ∵四边形BDCE是平行四边形， ∴CE＝BD＝5． 【变式训练1】（2026春•东莞市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AE＝CF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由全等三角形的判定定理ASA证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论． 【解答】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． ∴AB＝CD， ∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【变式训练2】（2026春•丹阳市期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点A、B、C的位置，需要在图中确定点D，使得以D、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形．若点A的坐标是（1，﹣1），请你在图中建立平面直角坐标系xOy，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点D的位置，并写出所有符合条件的点D的坐标． 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据平行四边形的判定画出图形，即可得到结论． 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系xOy如下： 所有符合条件的点D的坐标为（2，﹣2）或（4，2）或（0，0）． 考点三：平行四边形的性质与判定 平行四边形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例精讲】（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝8cm，DC＝10cm，E是DC上一点，且DE＝3，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【分析】分点Q在AE的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【解答】解：∵P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，设运动时间为t（s）， 当点Q在AE的左侧时，AP＝tcm，DQ＝2tcm， ∵DE＝3cm， ∴QE＝（3﹣2t）cm， ∵AB∥CD， ∴AP∥QE， 故当AP＝QE时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴t＝3﹣2t， 解得t＝1（s）； 当点Q在AE的右侧时，AP＝tcm，DQ＝2tcm， ∵DE＝3cm， ∴QE＝（2t﹣3）cm， ∵AB∥CD， ∴AP∥QE， 故当AP＝QE时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴t＝2t﹣3， 解得t＝3（s）． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为1或3． 【变式训练1】（2026春•长沙校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC，BE＝5，AD＝3，求BF的长． 【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得EF＝CE，然后利用勾股定理求BF． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥EC，EC⊥AC， ∵AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：∵四边形AECD是平行四边形，AD＝3， ∴EC＝AD＝3， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EC⊥AC， ∴EF＝EC＝3， 在直角三角形BEF中，BE＝5， 由勾股定理得：． 【变式训练2】（2026春•鹿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．DE＝3OD，BF＝3OB． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若BD⊥AC，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA＝OC、OB＝OD，结合DE＝3OD，BF＝3OB，可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵DE＝3OD，BF＝3OB， ∴DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形． （2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD． ∵OA＝OC， ∴OE⊥AC， ∴OE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE． ∵∠AEC＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10， ∴C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40． 考点四：矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【典例精讲】（2026•黄岩区二模）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝30°，可得∠E度数． 【解答】解：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD，∠E＝∠DAE， ∵∠ADB＝30°， ∴∠ADB＝∠CAD＝30°， ∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝30°， ∴∠E＝15°， 故选：A． 【变式训练1】（2026•阜阳一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝12，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，三角形的中位线定理，得到，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵3， ∴6， ∵点E是边AD的中点， ∴3， ∴． 故选：B． 【变式训练2】（2026•天河区二模）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OB＝5，求AD的长． 【分析】由矩形的性质得出OAAC，OBBD，BD＝AC＝10，∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OA＝10，OBBD，∠BAD＝90°，AB＝CD＝6， ∴BD＝AC＝10， ∴AD． 考点五：矩形的判定 （1）矩形的判定： ①定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【典例精讲】（2026春•吴忠期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案； （2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长； （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【变式训练1】（2026春•京口区期中）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AEBC，连接DE，CE． （1）求证：AB＝DE； （2）当△ABC满足条件 AB＝AC（答案不唯一）　 时，四边形ADCE是矩形． 【分析】（1）证明四边形ABDE是平行四边形，即可得出结论； （2）先证四边形ADCE是平行四边形，再证AC＝DE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CDBC， ∵AEBC， ∴AE＝BD， ∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝DE； （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形， ∵AEBC，BD＝CDBC， ∴AE＝CD， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 由（1）可知，AB＝DE， ∵AB＝AC， ∴AC＝DE， ∴平行四边形ADCE是矩形， 故答案为：AB＝AC（答案不唯一）． 【变式训练2】（2026春•同步）如图，四边形ABCD为平行四边形，BE，CE，AF，DF分别为▱ABCD四个角的平分线．四边形MENF是矩形吗？为什么？ 【分析】证明∠E＝∠F＝∠EMF＝90°，再由矩形的判定即可得出结论． 【解答】解：四边形MENF是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BE、CE为∠ABC、∠BCD的平分线， ∴∠EBC∠ABC，∠BCE∠BCD， ∴∠EBC+∠BCE（∠ABC+∠BCD）180°＝90°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣90°＝90°， 同理：∠F＝90°，∠AMB＝90°， ∴∠EMF＝∠AMB＝90°， ∴∠E＝∠F＝∠EMF＝90°， ∴四边形MENF是矩形． 考点六：矩形的性质与判定 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【典例精讲】（2026春•西城区校级期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝BC＝CD，AE＝EC，四边形ECDF是平行四边形． （1）求证：四边形EBCF是矩形； （2）连接AO，若AD＝12，BE＝2，求AO的长． 【分析】（1）利用四边形ECDF是平行四边形，推出BC∥EF，BC＝CD＝EF，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出EB⊥BC，即可证得四边形EBCF是矩形； （2）过点O作OG⊥AD于G，利用AD的长度及AB＝BC＝CD，求得各段线段长；结合矩形EBCF的性质，根据中位线定理，求出OG与BG的长度，进而得到AG的长；最后在Rt△AOG中，通过勾股定理算出AO的长度． 【解答】（1）证明：由条件可知EF∥CD，EF＝CD， ∵BC＝CD， ∴BC＝EF， ∵BC∥EF， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∵AE＝EC，AB＝BC， ∴EB⊥BC， ∴∠EBC＝90°， ∴四边形EBCF是矩形； （2）解：取BC的中点G，连接OG， 由条件可知AB＝BC＝CD＝4， ∵四边形EBCF是矩形， ∴CE＝BF，∠EBC＝90°， ∴EB⊥AD， 又∵OG⊥AD， ∴OG∥EB， ∴∠EBC＝∠OGC＝90°， ∵O是EC的中点，G是BC的中点， ∴OG是△CBE的中位线，， ∴， ∴AG＝AB+BG＝4+2＝6， 在Rt△AOG中，由勾股定理：． 【变式训练1】（2026春•越秀区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD． （1）求证：四边形OCPD是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质即可得到结论； （2）证明∠COD＝90°，CD5，四边形OCPD是矩形，从而可得答案． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵DP∥AC，CP∥BD， ∴四边形OCPD是平行四边形， ∴四边形OCPD是矩形； （2）解：由题意可得： ∴OCAC＝3，ODBD＝4，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°，CD5， ∵DP∥AC，CP∥BD，∠COD＝90°， ∴四边形OCPD是矩形， ∴OP＝CD＝5． 【变式训练2】（2026•广东校级一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EOAC，在Rt△EBD中，EOBD，得到AC＝BD，可证出结论； （2）根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，余角矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， ∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）∵平行四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD， ∴AO＝OB， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4， ∴BC2， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4． 考点七：平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 【典例精讲】（2026春•韶关期中）如图，直线l1∥l2，点P在直线l1上，过点P向直线l2引直线，与l2的交点分别是A、B、C、D，若测得PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝5cm，PD＝6cm，并且其中有一条是表示直线l1与直线l2之间的距离，那么你认为直线l1与直线l2之间的距离应该是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此即可判断． 【解答】解：四条线段的长，其中有一条是表示直线l1与直线l2之间的距离，那么直线l1与直线l2之间的距离应该是PB＝3cm． 故选：A． 【变式训练1】（2026春•青浦区校级月考）如图所示，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，若AB＝6，则直线l1，l2间的距离可以是（　　） A．6 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先分析题意，得出l1，l2间的距离＜6（垂线段最短），即可作答． 【解答】解：过点A作AH⊥l2， ∵直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，且AB＝6，AH⊥l2， ∴l1，l2间的距离＜6（垂线段最短）， 故选：B． 【变式训练2】（2025春•广阳区校级期中）如图，若直线m∥n，下列关于直线m，n之间距离的说法正确的是（　　） A．AB的长是m，n之间的距离 B．AD的长是m，n之间的距离 C．AC和DE的长是m，n之间的距离 D．AE的长是m，n之间的距离 【答案】C 【分析】根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【解答】解：根据平行线间的距离定义可知： 表示直线m，n之间距离的是线段AC和DE的长， 故选：C． 考点八：菱形的概念与性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【典例精讲】（2026•秦淮区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AO＝CO 【答案】B 【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确； B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误； C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确； D、菱形的对角线互相平分，OA＝OC，故D选项正确． 故选：B． 【变式训练1】（2026•聊城二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥AD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OA＝4，ON＝1，求DC的长． 【答案】． 【分析】先证明△BON∽△AOD，再根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠BON＝∠AOD＝90°， ∵BM⊥AD， ∴∠AMN＝90°， ∴∠MAN+∠ANM＝90°， ∵∠OBN+∠BNO＝90°，∠BNO＝∠ANM， ∴∠OBN＝∠MAN， ∴△BON∽△AOD， ∴， ∵OA＝4，ON＝1，OB＝OD， ∴， ∴OD＝2， ∴， ∴． 【变式训练2】（2026•长沙模拟）如图，四边形BECD是菱形，AD⊥ED交EB的延长线于A． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）如果AB＝BC，AD＝6，求菱形BECD的面积． 【分析】（1）由菱形的性质推出DC∥AB，BC⊥ED，又AD⊥ED，推出AD∥BC，判定四边形ABCD是平行四边形； （2）判定四边形ABCD是菱形，推出AB＝DC＝AD＝6，由菱形的性质推出BE＝DC＝6，得到AE＝2AB＝12，由勾股定理求出DE＝6，于是得到菱形BECD的面积BC•DE＝18． 【解答】（1）证明：∵四边形BECD是菱形， ∴DC∥AB，BC⊥ED， ∵AD⊥ED， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB＝DC＝AD＝6， ∵四边形BECD是菱形， ∴BE＝DC＝6， ∴AE＝2AB＝12， 由勾股定理得到：DE6， ∴菱形BECD的面积BC•DE66＝18． 考点九：菱形的判定 （1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA ∴四边形ABCD是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形 【典例精讲】（2026春•香洲区校级期中）如图，过菱形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE． （1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （2）若AB＝2，∠DAB＝60°，AE＝AH，求四边形EFGH的面积． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AB∥CD，OA＝OC，证明△OAE≌△OCG，先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据EG⊥FH即可证明四边形EFGH是菱形； （2）设AE＝x，则BE＝2﹣x，先证明菱形EFGH是正方形，求出，即可得到答案． 【解答】解：（1）过菱形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点， 由菱形ABCD可得AB∥CD，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCG， ∵∠AOE＝∠COG， ∴△OAE≌△OCG（ASA）， ∴OE＝OG． 同理可得OF＝OH， ∴四边形EFGH是平行四边形． 又∵EG⊥FH， ∴四边形EFGH是菱形． （2）设AE＝x，则BE＝2﹣x， ∵AE＝AH， ∵∠OAE＝∠OAH，OA＝OA， 则△OAE≌△OAH（SAS）， ∴OE＝OH， ∵， ∴EG＝FH． ∴菱形EFGH是正方形， ∵OA＝OC，∠HOA＝∠FOC，OH＝OF， ∴△AOH≌△COF（SAS）， ∴AH＝CF， ∵AH＝AE， ∴AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CB﹣CF， ∴BE＝BF， ∵∠HAE＝60°，AE＝AH， ∴∠EBF＝120°，△AEH是等边三角形， ∴EH＝x， ∴∠FEB＝∠EFB＝30°， 过点B作BM⊥EF于点M， ∴BMBE（2﹣x）， ∴BM（2﹣x）． ∴， ∴， ∵0＜x＜3， ∴． ∴， ∴四边形EFGH的面积为． 【变式训练1】（2026春•宝山区校级期中）在▱ABCD中，点E、F是边AD和BC的中点，连接BE、DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）连接BD，若BD平分∠EBF，求证：四边形BFDE是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形 的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠FBD，根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠FBD，求得∠EDB＝∠EBD，得到BE＝DE，根据菱形的判定定理得到四边形BFDE是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F是边AD和BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形； （2）如图， ∵AD∥BC， ∴∠EDB＝∠FBD， ∵BD平分∠EBF， ∴∠EBD＝∠FBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE， ∵四边形BFDE是平行四边形， ∴四边形BFDE是菱形． 【变式训练2】（2026春•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（7，4），C（0，4）． （1）若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）先求出OP＝2t，BQ＝t，AO＝3，BC＝7，再分类讨论：①若点P在点A的左侧，②若点P在点A的右侧，逐项分析求解即可； （2）先求出，再分类讨论：①以AC为边，四边形ACMN是菱形，②以AC为边，四边形ACNM是菱形，③以AC为边，四边形ACNM是菱形，④以AC为对角线，四边形ACNM是菱形，逐项分析求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（7，4），C（0，4）． 由题意，得OP＝2t，BQ＝t，AO＝3，BC＝7， ①若点P在点A的左侧，如图 ∴AP＝OA﹣OP＝3﹣2t， 由题意可得：PA＝QB， ∴3﹣2t＝t， 解得t＝1， ②若点P在点A的右侧，如图 ∴AP＝OP﹣OA＝2t﹣3， 由题意可得：PA＝QB， ∴2t﹣3＝t， 解得t＝3， 综上所述，t＝1或3时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形； （2）点N的坐标为（0，﹣4）或（5，4）或（﹣5，4）或．理由如下： ∵点A（3，0），C（0，4）， ∴AO＝3，OC＝4， ∴， ①如图，以AC为边，四边形ACMN是菱形， ∵C（0，4）， ∴N（0，﹣4）； ②如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形， ∵CN＝AC＝5，CN∥AM， ∴N（5，4）； ③如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形， ∵CN＝AC＝5，CN∥AM， ∴N（﹣5，4）； ④如图，以AC为对角线，四边形ACNM是菱形， 设CM＝AM＝CN＝x， ∴OM＝x﹣3， ∵OC2+OM2＝CM2， ∴42+（x﹣3）2＝x2， ∴， ∴， ∴； 综上所述，以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为（0，﹣4）或（5，4）或（﹣5，4）或． 考点十：菱形的性质与判定 关于菱形，应从平行四边形的边的变化上认识其特殊性：邻边相等的平行四边形是菱形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、四条边都相等、对角线互相垂直．同时平行四边形的性质菱形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用菱形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． 【典例精讲】（2026春•丹阳市期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）当∠ADE＝　90　 °时，四边形BECD是菱形． 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定方法即可求解； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∴∠OEB＝∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO＝CO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（AAS）， ∴OE＝OD， ∴四边形BECD是平行四边形． （2）解：当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BOE＝∠AOE＝90°， ∴BD⊥BC， ∵四边形BECD是平行四边形； ∴四边形BECD是菱形， 故答案为：90． 【变式训练1】（2026春•江阴市期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 【分析】（1）①如图1，当点P在BC上时，由DQ＝PC，建立方程解出t即可；如图2，当点P在BC的延长线上时，PC＝3t﹣10，由DQ＝PC，建立方程解出t即可． （2）①如图1，当点P在BC上时，若四边形PCDQ是菱形则DQ＝PC＝CD＝6，建立方程求出m，n的关系即可；②如图2，当点P在BC的延长线上时，先证明四边形ACPQ是平行四边形，得到PQ＝AC＝8，再求出DQ＝PD＝5，建立方程求出m，n的关系． 【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时， DQ＝t，PC＝10﹣3t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴DQ∥PC， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝10﹣3t， ∴t＝2.5（秒）． ②如图2，当点P在BC的延长线上时， PC＝3t﹣10， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝3t﹣10， ∴t＝5（秒）． 综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为平行四边形． （2）①如图1，当点P在BC上时， 若四边形PCDQ是菱形， 则DQ＝PC＝CD＝6， ∴nt＝10﹣mt＝6， ∴mt＝4， ∴， ∴3m＝2n． ②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AC8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠ACD＝90°， ∵四边形PCDQ是菱形， ∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE， ∴PQ∥AC， ∴四边形ACPQ是平行四边形， ∴PQ＝AC＝8， ∴QE＝PE＝4， ∴DQ＝PD5， ∴nt＝mt﹣10＝5， ∴m＝3n． 综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形． 【变式训练2】（2026•中山市校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．请解答以下两个问题． （1）试判断四边形BDFG是什么特殊的平行四边形？请说明理由． （2）如果AF＝8，CF＝6，求四边形BDFG的面积． 【分析】（1）首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BDFG是菱形； （2）首先过点B作BH⊥AG于点H，由AF＝8，CF＝6，可利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF的长，然后由菱形的性质求得BG＝GF＝DF＝5，再求出EF的长即可解决问题． 【解答】解：（1）四边形BDFG是菱形． 理由：∵AG∥BD，BD＝FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴CE⊥AG， 又∵BD为AC的中线， ∴BD＝DFAC， ∴四边形BDFG是菱形， （2）∵AF＝8，CF＝6，CF⊥AG， ∴AC10， ∴DFAC＝5， ∵四边形BDFG是菱形， ∴BD＝GF＝DF＝5， ∵DE∥AG，CD＝AD， ∴CE＝EF＝3 ∴S菱形BDFG＝GF•EF＝15． 1．（2025春•夏邑县期中）如图，a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离是（　　） A．1cm B．6cm C．9cm D．1cm或9cm 【答案】C 【分析】由两条平行线之间的距离的定义，即可得到答案． 【解答】解∵a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为4cm， ∴a与c之间的距离是5+4＝9（cm）． 故选：C． 2．（2026春•常州校级期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（　　） A．25° B．130° C．50° D．65° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝50°， ∴∠C＝130°． 故选：B． 3．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，BD＝2CD，F为AD的中点，E为OC的中点．若BC＝18，则EF的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．6 【答案】A 【分析】连接DE，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得BD＝2OB＝2OD，AD＝BC＝18，推得OD＝CD，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得DE⊥OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：连接DE，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝18， ∴BD＝2OB＝2OD，AD＝BC＝18， ∵BD＝2CD， ∴OD＝CD， ∵E为OC的中点， ∴DE⊥OC， ∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°， ∵F为AD的中点， ∴． 故选：A． 4．（2026春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若，则OH的长为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得，OB＝OD，利用菱形的面积公式求得，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，， ∴，OB＝OD， ∵该菱形的面积为30， ∴， ∵DH⊥AB，OB＝OD， ∴， 故选：A． 5．（2026春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝100°，AB＝BE，求∠BAE的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．50° 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质求出∠ABE的度数，再结合BA＝BE，利用等腰三角形的内角和定理求出∠BAE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ABC， ∵∠ABC＝100°， ∴， 又∵BA＝BE， ∴△ABE是等腰三角形，∠BAE＝∠BEA， ∴， 故选：B． 6．（2026•新兴县一模）如图，平行四边形ABCD的周长为12cm，则CD+AD＝　6　 cm． 【答案】6． 【分析】根据平行四边形的对边相等求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵平行四边形ABCD的周长为12cm， ∴CD+AD12＝6（cm）， 故答案为：6． 7．（2026春•大兴区期中）如图，四边形OABC是平行四边形，顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是　（5，2）　 ． 【答案】（5，2）． 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC＝OA即可得到结论． 【解答】解：如图，在▱OABC中，O（0，0），A（4，0）， ∴OA＝BC＝4，BC∥AO， ∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等， ∴顶点B的坐标为（4+1，2）， ∴B（5，2）， 故答案为：（5，2）． 8．（2026春•常州校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则AC长为　8　 ． 【答案】8． 【分析】先证△AOB是等边三角形，推出OA＝AB＝4，再结合矩形的性质即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA，OB，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AB＝4，∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝OB＝4， ∴AC＝2OA＝8， 故答案为：8． 9．（2026•市北区二模）如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，连接OE，若∠CAE＝15°，则∠OEA＝　30　 °． 【答案】30°． 【分析】根据∠BAD的平分线AE交BC于点E，可得∠BAE＝45°，由AD∥BC，可得∠AEB＝45°，然后由∠CAE＝15°，可得∠BAC＝60°，即△OAB是等边三角形，因此可得 AB＝BO＝BE，可得∠BOE＝75°，因此可得∠AEO＝∠BEO﹣∠BEA＝30°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， AO＝BOAC； ∵AE是∠BAD的角平分线； ∴∠BAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形； ∴∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°， ∵在Rt△ABE中，∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∵△ABO是等边三角形， ∴AB＝BO， ∴OB＝BE， ， ∴∠AEO＝∠BEO﹣∠AEB＝75°﹣45°＝30°， 故答案为：30°． 10．（2026春•义乌市期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠ABC＝60°，点E、F分别在线段AD、BD上，且DE＝DF，连结BE，若BE平分∠AEF，则DE的长为　14﹣2　 ． 【答案】14﹣2． 【分析】根据题意，结合图形，得到GE＝BF＝GB，在Rt△BDH中利用勾股定理求出BD，在Rt△BGH中利用勾股定理求出GB，从而得到结果． 【解答】解：过点B作BH⊥AG于H点，过B作BG∥EF，交AH的延长线于G， ∵BE平分∠AEF， ∴∠GEB＝∠FEB， ∵BG∥EF， ∴∠FEB＝∠EBG， ∴∠EBG＝∠GEB， ∴GB＝GE， ∵DE＝DF，BG∥EF， ∴DG＝DB，GE＝BF＝GB， ∵∠ABC＝60°，AB＝6， ∴∠BAH＝60°， 即∠ABH＝30°， ∴AH， ∴BH2＝AB2﹣AH2＝27， ∴BH＝3， ∵DH＝AD+AH＝10+3＝13， ∴Rt△BDH中，BD2＝BH2+DH2＝27+169＝196， ∴BD＝14， ∴GH＝DG﹣DH＝14﹣13＝1， ∴在Rt△BGH中，GB2＝BH2+GH2＝27+1＝28， ∴GB＝2， ∴BF＝2， ∴DF＝BD﹣BF＝14﹣2， ∴DE＝14﹣2， 故答案为：14﹣2． 11．（2026春•东莞市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，在射线AD上以2cm/s的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段BC上以1cm/s的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． （1）AP＝ 　2t cm，BQ＝ 　（18﹣t）　 cm； （2）在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得AD＝12cm，BC＝18cm，AP＝2tcm，CQ＝tcm，所以BQ＝（18﹣t）cm，于是得到问题的答案； （2）因为PD∥CQ，所以当PD＝CQ时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论，一是点P在边AD上，则12﹣2t＝t，求得t＝4；二是点P在边AD的延长线上，则2t﹣12＝t，求得t＝12，所以当t值为4s或12s时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形． 【解答】解：（1）∵点P从点A出发，在射线AD上以2cm/s的速度向右运动，点P，Q运动的时间为t秒， ∴AP＝2tcm； ∵BC＝18cm，点Q从点C同时出发，在线段BC上以1cm/s的速度向点B运动， ∴CQ＝tcm， ∴BQ＝（18﹣t）cm， 故答案为：2t；（18﹣t）． （2）存在， ∵AD∥BC，点P、Q分别在AD、BC上， ∴PD∥CQ， ∴当PD＝CQ时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 如图1，点P在边AD上，四边形PDCQ是平行四边形， ∵AD＝12cm，AP＝2tcm， ∴PD＝（12﹣2t）cm， ∵PD＝CQ， ∴12﹣2t＝t， 解得t＝4； 如图2，点P在边AD的延长线上，四边形DPCQ是平行四边形，则PD＝（2t﹣12）cm， ∵PD＝CQ， ∴2t﹣12＝t， 解得t＝12， 综上所述，当t值为4s或12s时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形． 12．（2026春•大兴区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝45°，AE⊥BD于点E．求∠BAE的度数． 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AOBC，OBBD， ∴AO＝OB， ∵∠AOB＝45°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣45°）＝67.5°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°． 13．（2026•商河县二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：OE＝OF． 【分析】根据矩形性质推出OA＝OB，进而证明AAEOABFO，利用全等三角形性质即可证明OE＝OF 【解答】证明：四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，BOBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠AEO＝∠BFO＝90°． 在△AEO和△BFO中， ， ∴△AEO≌△BFO（AAS）． ∴OE＝OF． 14．（2026春•福州期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使得CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接AF，DE，且AF⊥CD于点M，若AE＝6，EF＝8，求△ECD的面积． 【分析】（1）证明△ABE≌△DCF（SAS）得出AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，进而得出AE∥DF，即可证明四边形AEFD是平行四边形，结合已知AE⊥BC，即可得证； （2）设EC＝x，勾股定理分别求得AF2，AB2，在Rt△ABF中，BF2＝AB2+AF2建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵▱ABCD中， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠B＝∠DCF， 又∵CF＝BE， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵AF⊥CD， ∴∠CMF＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠CMF＝90°， 在Rt△AEF中，AE2+EF2＝AF2， ∴AF2＝62+82＝100， 设EC＝x，则BE＝CF＝8﹣x，BF＝BE+EF＝16﹣x， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， ∴AB2＝（8﹣x）2+62， 在Rt△ABF中，BF2＝AB2+AF2， ∴（16﹣x）2＝（8﹣x）2+62+100， 解得，， ∴． 15．（2026春•镇江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长． 【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得BD＝CD，AD⊥BC，结合四边形ACDE是平行四边形，AE∥BD，AE＝BD，从而得证； （2）不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α，先求得α＝22.5°，接着通过外角求得∠EOH，得到△EOH为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得OH，最后通过AO﹣OH可求得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE∥CD，AE＝CD． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC． ∴AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形ADBE是平行四边形． 又∵∠ADB＝90°， ∴平行四边形ADBE是矩形． （2）解：不妨设∠HEA＝α，那么∠HEB＝3∠HEA＝3α， ∴∠BEA＝∠HEA+∠HEB＝4α， ∵四边形ADBE是矩形，AB＝4， ∴∠BEA＝4α＝90°，， ∴α＝22.5°， ∴∠OEB＝∠OBE＝α＝22.5°， ∴∠EOH＝∠OEB+∠OBE＝45°， ∵EH⊥AB， ∴∠OEH＝45°， ∴EH＝OH， ∵EH2+OH2＝OE2＝2OH2， ∴， ∴． 16．（2026春•番禺区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形． 【分析】根据平行线的性质得出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定得出△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质得出OE＝OF，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据线段垂直平分线求出AE＝CE，即可得出答案． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AC的垂直平分线是EF， ∴AO＝CO， 在△AOE和△COF中， ，∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AFCE是菱形． 17．（2026春•中山市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，连接BM，DN． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求四边形BNDM的周长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DMO＝∠BNO，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，MN⊥BD，根据全等三角形的性质得到OM＝ON，根据菱形的判定定理得到平行四边形BNDM是菱形； （2）根据菱形的性质得到BN＝DN，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO＝∠BNO， ∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB＝OD，MN⊥BD， 在△MOD和△NOB中， ， ∴△MOD≌△NOB（AAS）， ∴OM＝ON， ∵OB＝OD， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∵MN⊥BD， ∴平行四边形BNDM是菱形； （2）解：∵四边形BNDM是菱形， ∴BN＝DN， ∵∠C＝90°，BC＝16，CD＝8， ∴DN2＝CN2+CD2， ∴DN2＝（16﹣DN）2+82， ∴DN＝10， ∴四边形BNDM的周长＝4×10＝40． 18．（2026•南明区模拟）如图所示，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，DE是AB边上的高，∠OAB＝∠BDE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠BAD＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）结合垂直的定义、对顶角性质、三角形内角和定理求出∠AEM＝∠DOM＝90°，则AC⊥BD，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证； （2）根据菱形的性质求出OAAC，OBBD，∠OAB∠BAD＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理求出OB＝2，OA＝2，则BD＝4，AC＝4，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【解答】（1）证明：如图，AC交DE于点M， ∵DE是AB边上的高， ∴DE⊥AB， ∴∠AEM＝90°， ∵∠OAB＝∠BDE，∠AME＝∠DMO，∠OAB+∠AME+∠AEM＝180°，∠BDE+∠DOM+∠DMO＝180°， ∴∠AEM＝∠DOM＝90°， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴OAAC，OBBD，∠OAB∠BAD＝30°， ∵AC⊥BD，AB＝4， ∴OBAB＝2， ∴OA2， ∴BD＝4，AC＝4， ∴菱形ABCD的面积AC•BD44＝8． 19．（2026•云南一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC，AD于点E，F，垂足为O，OE＝OF．连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）已知AB＝4，延长BC到点G，使CG＝OC，连接OG，∠G＝15°，若点E是BC的中点，求△EOG的面积． 【分析】（1）利用EF是AC的垂直平分线，得到AC∥EF且AO＝CO，结合OE＝OF先证四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，完成证明； （2）先根据菱形性质和中位线定理求出OE的长度，再通过角度推导得到相关角的度数，作OH⊥BC后用含30°的直角三角形性质与勾股定理求出各线段长，最后结合EG的长度，用三角形面积公式算出S△EOG． 【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，AC⊥EF， ∵OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：在菱形AECF中，∠COE＝90°，O是AC的中点， ∵点E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， 则， ∵CG＝OC，∠G＝15°， ∴∠COG＝15°， 则∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝60°， 如图，过点O作OH⊥BC于H， ∴∠EOH＝30°， 则， ∴， 同理，在Rt△OEC中，，CE＝4， 则， ∴， ∴． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题三 平行四边形、矩形与菱形 考点一：平行四边形的概念与性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【典例精讲】（2026春•义乌市校级月考）如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝12，AC＝16，BD＝20，则△OCD的周长为（　　） A．18 B．30 C．32 D．36 【变式训练1】（2026春•西湖区校级月考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知AB＝3cm，△OAB的周长比△BOC的长小2cm． （1）求AD的长． （2）若BD⊥CD，求AC的长． 【变式训练2】（2026春•邹城市校级月考）如图，已知在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）若BE＝CE，∠B＝70°，求∠DAE的度数． 考点二：平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC ∴四边行ABCD是平行四边形． （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD ∴四边行ABCD是平行四边形． 【典例精讲】（2026•密云区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，且AD＝BD，过点C作DB的平行线，与过点B所作的BC边的垂线相交于点E． （1）求证：四边形BDCE是平行四边形； （2）若AC＝2BC，AC＝8，求CE的长． 【变式训练1】（2026春•东莞市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AE＝CF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【变式训练2】（2026春•丹阳市期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点A、B、C的位置，需要在图中确定点D，使得以D、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形．若点A的坐标是（1，﹣1），请你在图中建立平面直角坐标系xOy，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点D的位置，并写出所有符合条件的点D的坐标． 考点三：平行四边形的性质与判定 平行四边形的判定与性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例精讲】（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝8cm，DC＝10cm，E是DC上一点，且DE＝3，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【变式训练1】（2026春•长沙校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC，BE＝5，AD＝3，求BF的长． 【变式训练2】（2026春•鹿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．DE＝3OD，BF＝3OB． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若BD⊥AC，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长． 考点四：矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【典例精讲】（2026•黄岩区二模）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式训练1】（2026•阜阳一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝12，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练2】（2026•天河区二模）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OB＝5，求AD的长． 考点五：矩形的判定 （1）矩形的判定： ①定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【典例精讲】（2026春•吴忠期中）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【变式训练1】（2026春•京口区期中）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AEBC，连接DE，CE． （1）求证：AB＝DE； （2）当△ABC满足条件 　 时，四边形ADCE是矩形． 【变式训练2】（2026春•同步）如图，四边形ABCD为平行四边形，BE，CE，AF，DF分别为▱ABCD四个角的平分线．四边形MENF是矩形吗？为什么？ 考点六：矩形的性质与判定 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【典例精讲】（2026春•西城区校级期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝BC＝CD，AE＝EC，四边形ECDF是平行四边形． （1）求证：四边形EBCF是矩形； （2）连接AO，若AD＝12，BE＝2，求AO的长． 【变式训练1】（2026春•越秀区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD． （1）求证：四边形OCPD是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求OP的长． 【变式训练2】（2026•广东校级一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积． 考点七：平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 【典例精讲】（2026春•韶关期中）如图，直线l1∥l2，点P在直线l1上，过点P向直线l2引直线，与l2的交点分别是A、B、C、D，若测得PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝5cm，PD＝6cm，并且其中有一条是表示直线l1与直线l2之间的距离，那么你认为直线l1与直线l2之间的距离应该是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式训练1】（2026春•青浦区校级月考）如图所示，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，若AB＝6，则直线l1，l2间的距离可以是（　　） A．6 B．3 C．7 D．8 【变式训练2】（2025春•广阳区校级期中）如图，若直线m∥n，下列关于直线m，n之间距离的说法正确的是（　　） A．AB的长是m，n之间的距离 B．AD的长是m，n之间的距离 C．AC和DE的长是m，n之间的距离 D．AE的长是m，n之间的距离 考点八：菱形的概念与性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【典例精讲】（2026•秦淮区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AO＝CO 【变式训练1】（2026•聊城二模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥AD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OA＝4，ON＝1，求DC的长． 【变式训练2】（2026•长沙模拟）如图，四边形BECD是菱形，AD⊥ED交EB的延长线于A． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）如果AB＝BC，AD＝6，求菱形BECD的面积． 考点九：菱形的判定 （1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA ∴四边形ABCD是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形 【典例精讲】（2026春•香洲区校级期中）如图，过菱形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE． （1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （2）若AB＝2，∠DAB＝60°，AE＝AH，求四边形EFGH的面积． 【变式训练1】（2026春•宝山区校级期中）在▱ABCD中，点E、F是边AD和BC的中点，连接BE、DF． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形； （2）连接BD，若BD平分∠EBF，求证：四边形BFDE是菱形． 【变式训练2】（2026春•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（7，4），C（0，4）． （1）若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 考点十：菱形的性质与判定 关于菱形，应从平行四边形的边的变化上认识其特殊性：邻边相等的平行四边形是菱形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、四条边都相等、对角线互相垂直．同时平行四边形的性质菱形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用菱形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． 【典例精讲】（2026春•丹阳市期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）当∠ADE＝　 　 °时，四边形BECD是菱形． 【变式训练1】（2026春•江阴市期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 【变式训练2】（2026•中山市校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．请解答以下两个问题． （1）试判断四边形BDFG是什么特殊的平行四边形？请说明理由． （2）如果AF＝8，CF＝6，求四边形BDFG的面积． 1．（2025春•夏邑县期中）如图，a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离是（　　） A．1cm B．6cm C．9cm D．1cm或9cm 2．（2026春•常州校级期中）如图，在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（　　） A．25° B．130° C．50° D．65° 3．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，BD＝2CD，F为AD的中点，E为OC的中点．若BC＝18，则EF的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．6 4．（2026春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若，则OH的长为（　　） A． B． C． D．5 5．（2026春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝100°，AB＝BE，求∠BAE的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．50° 6．（2026•新兴县一模）如图，平行四边形ABCD的周长为12cm，则CD+AD＝　　 cm． 7．（2026春•大兴区期中）如图，四边形OABC是平行四边形，顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是　　 ． 8．（2026春•常州校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则AC长为　　 ． 9．（2026•市北区二模）如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，连接OE，若∠CAE＝15°，则∠OEA＝　　 °． 10．（2026春•义乌市期中）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠ABC＝60°，点E、F分别在线段AD、BD上，且DE＝DF，连结BE，若BE平分∠AEF，则DE的长为　 ． 11．（2026春•东莞市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，在射线AD上以2cm/s的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段BC上以1cm/s的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． （1）AP＝　 cm，BQ＝ 　　 cm； （2）在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 12．（2026春•大兴区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝45°，AE⊥BD于点E．求∠BAE的度数． 13．（2026•商河县二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：OE＝OF． 14．（2026春•福州期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使得CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接AF，DE，且AF⊥CD于点M，若AE＝6，EF＝8，求△ECD的面积． 15．（2026春•镇江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，D为BC中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝3∠HEA，求AH的长． 16．（2026春•番禺区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形． 17．（2026春•中山市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，连接BM，DN． （1）求证：四边形BNDM是菱形； （2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求四边形BNDM的周长． 18．（2026•南明区模拟）如图所示，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，DE是AB边上的高，∠OAB＝∠BDE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠BAD＝60°，AB＝4，求四边形ABCD的面积． 19．（2026•云南一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC，AD于点E，F，垂足为O，OE＝OF．连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）已知AB＝4，延长BC到点G，使CG＝OC，连接OG，∠G＝15°，若点E是BC的中点，求△EOG的面积． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $