考向三 因式分解应用题型拓展-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

MH,∴.CH=AH+√2BH. D ① ② (第7题) 考向三因式分解应用 题型拓展 1.D 2.D解析：由题意可知，a十b=2c, 则c=7(a+6).:a2-62<0, .(a+b)(a-b)<0..'.2c(a-b)< 0..'.c<0,a-b>0或c>0,a-b 0,即c<0,a>b或c>0,a<b.故选 项A,B不正确.a2-b2<0,∴.a≠ 62-h=子a+6P-h a+8+2a6)-6=子a 4 b)2>0,∴.c>ab.故选项C不正确， 选项D正确. 3.A解析：(n十11)2一n2=(n十 11十n)(n+11-n)=11(22+11). 11(2n+11)是11的倍数，.(1十 11)2一n2可以被11整除..∴.k=11. 4.A解析：由题意可知，a-b>1. a2-ab-ac+bc=11,.'a(a- b)-c(a-b)=11.,.(a-b)(a c)=11.a-b>1,a,b,c是正整 a-b=11①， 数，. 由②-①，得 a-c=1②. b-c=-10. 5.B解析：.m2-m-2=0, .m2-m=2..2m3-3m2-3m+ 2025=2m(m2-m)-m2-3m+ 2025=4m-m2-3m+2025= -(m2-m)+2025=-2+2025 2023. 6.B解析：a=(21+1)2一(2n 1)2=(21+1+21-1)(21+1-21+ 1)=4n×2=8..n为整数，.82 能被8整除.∴.a=(2m十1)2-(2 1)2能被8整除.，66,94,126不能 被8整除，88能被8整除，∴.选项中 的数为“奇差数”的是88. 7.C解析：S=x2-8.x+16+4y2+ 12y+9+k-25=(x-4)2+(2y+ 3)2+k-25.:S=x2+4y2-8.x+ 12y十k(x,y是整式，k为常数)为 “完全式”，∴k-25=0,解得=25， 8.D解析：4x3一xy2=x(2x十 y)(2.x-y),且x=11,y=10,∴.2x十 y=32,2x-y=12.∴.组成的密码应 包含11,32,12..密码共有6种： 113212,111232,321112,321211,121132, 123211..不能组成的密码为123011. 9.7解析：.x十y=1,x3十y°=4， x3+y3=(x+y)(x-xy+y2), .x2-xy+y2=4..(x+y)2 3.xy=4..1-3xy=4..cy=1. x2-xy+y2=4,∴.x2+y2=3. .x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2= 32-2×(-1)2=9-2=7. 10.3解析：a2十2b=7,b2 2c=-1,c2-6a=-17,∴.a2+2b+ b2-2c+c2-6a=7-1-17.∴.(a 3)2+(b+1)2+(c-1)2-11=-11. .∴.(a-3)2+(b+1)2+(c-1)2=0. (a-3)2≥0，(b+1)2≥0，(c 1)2≥0，∴.a-3=0,b+1=0,c-1= 0..∴.a=3,b=-1,c=1...a+b+ c=3一1+1=3. 11.49解析：x+y+之=6，x2+ y2+22=14,(x+y十z)2=x2+y2+ x2+2(xy+x2+yz),∴6=14十 2(xy十xz+yz).∴.xy+xz+yz= 11.(xy+xz+yz)2=x2y2+ 64 y222+z222+2zyz (z+y+z), xy2=6,.11=x2y2+y2x2+ x2x2+2X6X6.∴.x2y2+y2x2+ x2x2=49. 12.3036解析：x2y+y2之十 z2x=zy2+y2+zx2,..z2y+ y2之+22x一xy2一yz2一2.x2=0. .xy(x-y)+y(y-z)+zx(- x)=0..xy(x-y)+y[(y-x)+ (x一之)]十x(x一x)=0..xy(x y)+y2(y一x)+y2(x一2)+ zx(x-x)=0..xy(x一y)一 yz(x-y）-x(x-z)+y2(x 之)=0.∴.y(x-y)(x-z)-之(x 2)(x-y)=0.'.(x-y)(x 之)(y-之)=0.∴.y-之=0或x-y= 0或x一之=0，即y=之或x=y或 x=必.：x十y十之=2025，而x,y,之 为正整数，.当y=之时，x=2025一 2y.x为正整数，∴.2025-2y>0. y<2y可以取12,3， 1012,共1012个.同理，当x=y时， 之=2025一2.x,x可取1,2，…，1012 共1012个：当x=之时，y=2025 2x,x可取1,2，…，1012，共1012个. 综上所述，x,y,之共有3×1012= 3036(组)解. 13.99907062解析：要使四位 数最大，千位数字a要尽可能大，百位 数字b也应尽可能大，∴.不妨设a= 9,b=9..a+2b=3c+4d,.将 a=9,b=9代入，得9+2×9=3c+十 4d,即27=3c+4d.要使十位数字c 尽可能大，可从c=9开始尝试，若 c=9,则3×9+4d=27,解得d=0, .最大的“1234数”是9990.设 “1234数”M=1000a+100b+10c+ d(a≠0，且a+2b=3c+4d),则 M'=1000b+100a+10d+c,且b≠ 0,'.M-M'=900a-900b+9c 9a,:F()-M时为整数 :.900u=906+9c-9d,即 99 100(a-b)十c一d为整数.·.易得 11 a-b+c-d是11的倍数.，a+ 2b=3c+4d,.a+2b+3c+4d= 2a+4b..a+2b+3c+4d是个完 全平方数，∴.2a+4b是一个完全平 方数，且这个完全平方数是偶数.当 2a十4b=4,即a+2b=2时，自然数 解为a=2,b=0.:b≠0，∴.a十2b= 2无自然数解.当2a+4b=16,即a+ 2b=8时，自然数解为a=8,b=0或 a=6,b=1或a=4,b=2或a=2, b=3.此时3c+4d=8的自然数解为 c=0,d=2..b≠0且a-b+c-d 是11的倍数，.a=4,b=2,c=0, d=2.∴.M=4202.当2a+4b=36, 即a+2b=18时，自然数解为a=8, b=5或a=6,b=6或a=4,b=7或 a=2,b=8.此时3c+4d=18的自然 数解为c=2,d=3或c=6,d=0. ,a-b十c-d是11的倍数，.a 2,b=8,c=6,d=0..'.M=2860. ,.满足条件的M为4202和2860， 其和为4202+2860=7062. 14.(1)原式=(m+n)(m-n) 4(m-n)=(m-n)(n+n-4). (2)原式=(a+3)2一4b2=(a+3+ 2b)(a+3-2b). (3)△ABC是等边三角形. 理由：.·a2+2b2+c2=2ab+2bc, ∴.a2+2b2+c2-2ab-2bc=0. ∴.a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2=0. .·(a-b)2≥0，(bc)2≥0， .a-b=0且b-c=0. ..a=b,b=c. .a=b=c. .△ABC是等边三角形 15.(1)(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)(a+b)(a+3b). (3)由题意，可知图形的总面积为 a2+ab十b2,空白部分可看作两个三 角形，三角形的面积分别为？b(a十 1 26)=2ab+b,2a(a+b)= .S涂色=a2+ab十b2- ab-62 1 1 -2ab=2a2=32. ∴.a=8(负值舍去). 3号纸片的面积为24， ∴.ab=24. .b=3. 16.(1)②.解析：①设a+b=m, a一b=n(a,b为非负整数)，则a2 b2=m2=8.8=1×8=2×4, a十b=8, a+b=4, 或 解得 a-b=1 a-b=2, a=4.5, a=3, (不合题意，舍去)或 b=3.5 b=1. .8=32一12..8是“2次幂差数” ②设a十b=s,a-b=t(a,b为非负 整数)，则a2-b2=st=6.6=1× a十b=6,a十b=3, 6=2X3,. 或 a-b=1 a-b=2, a=3.5, 解得 (不合题意，舍去)或 b=2.5 a=2.5, (不合题意，舍去)..6不 b=0.5 是“2次幂差数” (2)·b,a是两个连续的正整数， .a=b+1. ∴.p=a2-b2=(a+b)(a-b)= (b+1+b)(b+1-b)=2b+1. b是正整数， ∴.2b+1为奇数. p为奇数。 (3),b=k-3,p=-2k+71,p= a2-b2, '.-2k+71=a2-(k-3)2. 65 ∴.-2k+71=a2-k2+6k-9. .a2=k2-8k+80=(k-4)2+64. .(k一4)2≥0 .a2≥64. 'a为非负整数， '.a≥8. ∴.a的最小值为8. 考向四运用分式方程 解决实际问题 1.C2.D 3.A解析：.AB=2BC=10米， .BC=5米.小刚通过AB的速 度为x米/秒，通过BC的速度是通过 AB的速度的1.3倍，∴.小刚通过BC 的速度为1.3x米/秒.又，小刚共用 时10秒通过AC+=10. x 4.B解析：设A商家每张课桌的售 价为x元，则B商家每张课桌的售价 为(x+30)元.根据题意，得1800 0解得x120.经检验，x120 是所列分式方程的解，且符合题意 ∴.A商家每张课桌的售价为120元. 5.B解析：设第一次购进计算器 x个，则第二次购进计算器3x个.根 据题意，得80=2580+1，解得x 3.x 20.经检验，x=20是所列分式方程的 解，且符合题意.∴.3x=60.∴.第一 次购进计算器20个，第二次购进计算 器60个..这笔生意该店共盈利 L50×(20+60-4)+4×50×90%] (880+2580)=520(元) 6.90解析：设乙工程队单独完成此 项工程需要x天，则甲工程队单独完 成此项工程需要2x天.依题意，得 30+30=1,解得x=45.经检验，x= 2x x 45是所列分式方程的解，且符合题 意.∴.2x=90.∴.甲工程队单独完成 此项工程需要90天拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 考向三 因式分 1.如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2ab+ ab3的值为 A.0 B.1 C.4D.9 2.已知实数a,b,c满足a2一b2<0,a十b一 2c=0,则下列结论中，正确的是 () A.c<0,a<b B.c>0,a>b C.c2<ab D.c2>ab 3.若n为任意整数，且(n十11)2一n2的值总可 以被k整除，则k等于 ) A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数 4.若a,b,c是正整数，a>b+1,a2-ab一ac+ bc=11,则b一c的值为 () A.-10B.1C.10 D.11 5.已知实数满足m2一m一2=0，则2m3 3m2-3m+2025的值为 () A.2022B.2023C.2024D.2025 6.如果一个数a=(2m十1)2一(2n一1)2(n为整 数)，那么我们称这个数a为“奇差数”.下列 数中为“奇差数”的是 () A.66B.88C.94D.126 7.我们定义：一个整式能表示成a2十b(a,b是 整式)的形式，则称这个整式为“完全式”.例 如：M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y 是整式)，则M为“完全式”.若S=x2十 4y2一8x+12y+k(x,y是整式，k为常数) 为“完全式”，则k的值为 () A.23B.24C.25D.26 8.在日常生活中，取款、上网等都需要密码.有 一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆 例如：对于多项式x4一y,因式分解的结果 是(x2+y)(x十y)(x-y),若取x=9,y 9,则各个因式的值是x2+y=162,x十y 128 解应用题型拓展 》“答案与解析”见P64 18,x一y=0,于是就可以把“162180”作为一 个六位数的密码.对于多项式4x3一xy2,若 取x=11,y=10,则用上述方法产生的密码 不可能是 A.113212B.111232C.123211D.123011 9.已知x十y=1,x3+y3=4,则x4+y4= 10.已知a,b,c满足a2+2b=7,b2-2c=-1, c2一6a=一17，则a十b十c= 11.已知x,y,之满足x十y十之=6， x2+y2+z2=14,x2=6,则x2y2十 y2之2+x2x2的值为 答案讲解 12.已知正整数x,y,之满足x十y十=2025， xy十y2之十z2x=xy2十yz2+x2,则x, y,之共有 组解. 13.现有一个四位自然数，它的千位数 字为a,百位数字为b,十位数字为 c,个位数字为d,满足a十2b= 3c+4d,称这个四位数为“1234数”，例如： 6742,满足6+2×7=3×4+4×2，称 6742是一个“1234数”，则最大的“1234 数”是 ;现有一个“1234数”M,将 它的百位数字和千位数字交换位置，再将它 的十位数字和个位数字交换位置，得到一个 新的四位数M.若F(M)=M一M 99 是一个 整数，且a+2b+3c+4d是一个完全平方 数，则所有满足条件的M的和为 14.新考法·阅读理解题分解因式x2一4y2 2x十4y,细心观察这个式子就会发现，前两 项符合平方差公式，后两项可提取公因式， 前后两部分分别分解因式后会产生新的公 因式，然后提取公因式就可以完成因式分解 了，过程如下：x2一4y2一2x十4y=（x+ 2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+ 2y-2) 上述因式分解的方法叫作分组分解法，请利 用这种方法，解答下列问题： (1)分解因式：m2-n2+4n-4m. (2)分解因式：a2+6a+9-4b2. (3)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2+ 2b2+c2=2ab+2bc,判断△ABC的形状 并说明理由， 15.数形结合思想我国数学家华罗庚曾说过， “数形结合百般好，隔裂分家万事非”.数形 结合的思想可以使某些抽象的数学问题直 观化、生动化.我们学习的多项式的乘法可 以利用图形的面积进行解释.如图①，现有 三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正 方形纸片，2号纸片是边长为b的正方形纸 片，3号纸片是长为a、宽为b的矩形纸片. (1)由边长分别为a,b的两张小正方形纸 片和两张长为a、宽为b的矩形纸片拼成如 图②所示的大正方形，可知大正方形的边长 为a十b,即可求得大正方形的面积.由此可 得到一个乘法公式： (2)如图③，根据所拼图形的面积，可以把 多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是 (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张 3号纸片可以拼接成如图④所示的图形.若 涂色部分的面积为32,3号纸片的面积为 期末压轴题特训 24,求a,b的值. 62号3号 b ① ② bbb ③ ④ (第15题) 6.新考法·新定义题对于任意非负整 数卫，a,b,若满足=a2一b2,则称 p为a与b的“2次幂差数”. (1)有下列两个数：①8；②6.其中，不是 “2次幂差数”的为 (填序号) (2)若p为a与b的“2次幂差数”，且b,a 是两个连续的正整数，求证：p为奇数 (3)若p为a与b的“2次幂差数”，且b= k一3，p=一2k+71,求a的最小值 129