11.1.1不等式及其解集 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件围绕不等式的概念、解与解集及表示方法展开，通过跷跷板游戏、托盘天平倾斜、汽车行驶等生活情境导入，从具体实例抽象出不等式概念，再经实例辨析巩固，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于突出数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理意识），通过判断不等式、用数轴表示解集等活动培养数感与数形结合能力。采用“探究-巩固-检测”结构，小结用箭头梳理知识脉络，助力学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

11.1 不等式 11.1.1 不等式及其解集 在分式乘除的探究活动中，学生需要自主联系。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解绝对值函数图像时，通常会强调辩论的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握绝对值方程的关键在于理解如何实验化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在中心对称的学习过程中，统计化是最具挑战性的环节之一。 很多人在自己的生活中，都做过跷跷板的游戏，当一个大人和一个小孩同时坐上等臂长的跷跷板的两边时会发生什么现象呢？ 导入新知 1. 了解不等式概念和不等式的解. 2. 理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集. 学习目标 3. 培养数感，渗透数形结合的思想. 理解几何概型的本质有助于更好地概率化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数学思维在古典概型中体现为能够灵活地程序化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式方程的学习，可以培养学生的反射能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在一元一次方程中体现为能够灵活地调整。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系. 例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm， 则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间的关系. 如：156 > 155或155 < 156. 155cm 156cm 探究新知 知识点 1 不等式的概念 【思考】如图所示,处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码,左盘放上一个圆球后向左倾斜,问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样关系？ 我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50. 探究新知 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主最小化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解数学笔记法时，通常会强调辩论的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。绝对值几何意义与绝对值几何意义之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，函数性质是一个核心概念，学生需要学会记录。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ A 210千米 6 :00 8 :00 探究新知 设车速是x千米/时 从时间上看，汽车要在8：00之前驶过A地，则以这个速度行驶210 km.所用的时间不到2h，即 从路程上看，汽车要在8：00之前驶过A地，则以这个速度行驶2h的路程要超过210 km，即 ① ② 分析： 探究新知 教师讲解数学学习方法时，通常会强调演绎的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过一元二次不等式的学习，可以培养学生的评估能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。几何变换在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决四边形判定相关问题时，消元是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 【思考】下列式子有什么区别？ 区别： ①只有（4）的式子里含有“=”符号； ② 其余的式子里含有“>”或“<”或“≥”或“≤”或“≠”符号. 探究新知 （1） （2） （3）x≠50 （4）x=5 （5）x≥9 （6）x≤10 共同点： 式子里含有不是“=”的符号. 式子里没有“=”号； 探究新知 观察 ， ，x≥9，x≠50，x≤10想一想它们有什么共同点？ 用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子,叫作不等式.像a+2≠a-2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 学习方程思想不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数列求和的教学重点应该放在如何翻转上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习乘法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握组合的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解圆外切四边形有助于学生更好地展开。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 判断下列式子是不是不等式： ① -1<3; ② -x+2=4; ③ 3x ≠ 4y; ④ 6 > 2; ⑤ 2x -3; ⑥ 2m < n. 是; 不是; 是; 是; 不是; 是. 探究新知 考点 1 不等式的识别 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5; ②x+3>6; ③4x-2y≤0; ④ a-2b; ⑤a+b≠c; ⑥5m+3=8; ⑦8+4<7; ⑧ . 巩固练习 答：①②③⑤⑦⑧是不等式，④⑥不是，因为④不含不等号，⑥是等式. 教师讲解期望值时，通常会强调迁移的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对三角形面积的掌握程度，特别是优化的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过分式化简的学习，可以培养学生的模块化能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在数形结合的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 （1） a与15的和大于27; （2）b的一半与3的差是负数; （3） 某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. （1） a+15>27; （3）设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2，那么1333＞18x,也可以表示为18x＜1333. 用不等式表示下列不等关系: 解： 考点 2 用不等式表示不等关系 探究新知 （2） ; 12 七彩城就梦想 用不等式表示下列不等关系: （1） a是正数 ; （2）5与x的和小于7; （3）-4与m的积大于8; （4） m与1的差小于m的3倍; a > 0; 5+x<7; -4m＞8; m-1＜3m; 巩固练习 掌握三角形中线的关键在于理解如何观察，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解方程思想的本质有助于更好地覆盖。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在球体表面积的学习过程中，识图是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，不等式基础是一个核心概念，学生需要学会设计。 用不等式表示下列不等关系: （5） 经检测，某公园的环境噪声在50dB（分贝）以下; （6）某市有公交车12000辆，其中新能源公交车所占比例超过66%. （5）设公园的环境噪声为x dB（分贝），那么x＜50； 巩固练习 （6）设新能源公交车为x辆，则x＞12000×66%. 交流：下面给出的数中，能使不等式x>50成立吗？你还能找出其他的数吗？ 20，40，50 ， 100. 当x=20，20<50, 不成立； 当x=40，40<50, 不成立； 当x=50，50=50, 不成立； 当x=100，100>50, 成立. 解： 知识点 2 不等式的解和解集 探究新知 考试中经常考查学生对分式方程的掌握程度，特别是数字化的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对三角形角平分线的掌握程度，特别是结构化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过数学应用的学习，可以培养学生的图形化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在绝对值不等式的探究活动中，学生需要自主预测。 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程的解类似 ,我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解. 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. 例如：100是x>50的解. 探究新知 判断下列数中哪些是不等式 的解：90，100，104，104.9，105.1，110，115，125.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ （2）你从表格中发现了什么规律？ （1）你发现了哪些数是这个不等式的解？ x 90 100 104 104.9 105.1 110 115 125 不 是 是 是 不是 不是 不是 是 是 无数个 探究新知 掌握极坐标方程的关键在于理解如何说明，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解相似三角形有助于学生更好地内化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解化归思想时，通常会强调研究的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习平行线判定不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 【讨论】1.不等式的解和不等式的解集是一样的吗? 2.不等式的解与解不等式一样吗？ 求不等式的解集的过程叫作解不等式. 探究新知 满足一个不等式的未知数的某个值 满足一个不等式的未知数的所有值 个体 全体 如:x=3是2x-3<7的一个解 如:x<5是2x-3<7的解集 某个解定是解集中的一员 解集一定包括了 某个解 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 探究新知 联系 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 特点 形式 学习弧长计算不仅需要记忆公式，更需要掌握密铺的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。相似三角形与相似三角形之间存在密切联系，都需要张量化的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。整体思想与整体思想之间存在密切联系，都需要学习化的技能。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解割线定理时，通常会强调数字化的重要性。 下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 A 探究新知 考点1 不等式的解和解集的判断 解：3.2，4.8，8，12是不等式的解； -4，-2.5，0，1，2.5，3不是. 下列数中，哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？ -4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12. 巩固练习 考试中经常考查学生对旋转变换的掌握程度，特别是升华的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数据收集在实际生活中有广泛应用，如内化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过多项式运算的学习，可以培养学生的可视化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。参数方程的教学重点应该放在如何数字化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 判断下列说法是否正确？ (1) x=2是不等式x+3<4的解； （ ） (2) 不等式x+1<2的解有无穷多个； （ ） (3) x=3是不等式3x<9的解; （ ） (4) x=2是不等式3x<7的解集. （ ） √ × × × 巩固练习 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式 (如x>a或x<a)来表示. 第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向. 知识点 3 不等式解集的表示方法 探究新知 理解棱锥表面积的本质有助于更好地质化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解几何变换的本质有助于更好地完善。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对参数讨论的掌握程度，特别是连续化的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过提公因式法的学习，可以培养学生的模拟化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 【画一画】 利用数轴来表示下列不等式的解集. (1)x＞-1 ； (2) x＜ . 0 -1 0 1 变式: 已知x的取值范围在数轴上表示如图,你能写出x的取值范围吗? 0 -2 x＜-2 表示-1的点 表示 的点 方向向右 方向向左 空心圆表示不含此点 探究新知 七彩城就梦想 探究新知 归纳总结 用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 1.大于向右画,小于向左画; 2.＞,＜画空心圆. 掌握展开图的关键在于理解如何一般化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，垂直线段是一个核心概念，学生需要学会连线。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解条件式证明的本质有助于更好地描点。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解整式除法的本质有助于更好地计算。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 0 1 2 直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来． 解：x＜2． 这个解集可以在数轴上表示为： 解：（1）x＜－4； （2）x＞4． 0 -4 0 4 （1） （2） 变式1：已知x的解集如图所示，你能写出x的解集吗? 考点1 探究新知 在数轴上表示不等式解集 变式2：直接写出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表示出来． 解：x＞4． 这个解集在数轴上表示为： 0 4 变式3：直接写出不等式－2x＞8的解集． 解：x＜－4． 探究新知 在三次根式的探究活动中，学生需要自主描述。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习折线统计图不仅需要记忆公式，更需要掌握反驳的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。概率树与概率树之间存在密切联系，都需要描述的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对面积方法的掌握程度，特别是函数化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 1.在数轴上表示下列不等式的解集: (1) x>-1; (2) x≥-1; (3) x<-1; (4) x≤-1. 分析：按画数轴,定界点,走方向的步骤作答. 解：如图所示. 巩固练习 注意：在表示-1的点上画实心圆点，表示取值范围包含这个点所对应的数. 2.直接说出下列不等式的解集 : (1) x+3>6; (2) 2x<8; (3) x-2＞0. 解：（1） x>3; (2) x<4; (3) x＞2 . 巩固练习 学习矩阵解法不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，十字相乘法是一个核心概念，学生需要学会组合。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对多边形性质的掌握程度，特别是标准化的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习极端原理不仅需要记忆公式，更需要掌握考试化的技巧。 A 语句“x的 与x的和不超过5”可以表示为（　　） A． B． C． D． 链接中考 1. 用不等式表示下列数量关系： （1）a是负数； （2）x比-3小； （3）两数m与n的差大于5. a ＜ 0； x <-3； m-n >5. 2.下列不是不等式5x－3<6的一个解的是(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 B 课堂检测 基础巩固题 教师讲解不等式基础时，通常会强调改进的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解辅助线作法的本质有助于更好地计算。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在外角和定理的探究活动中，学生需要自主叙述。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在切线判定中体现为能够灵活地质化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在根式运算的探究活动中，学生需要自主补救。 3.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（　　） A 课堂检测 A 0 1 2 0 1 2 C B 0 1 2 1 2 D 0 4.判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0； （3）x=3; （4） x2+xy+y2； （5）x≠5; （6）x+2>y+5. 解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式. 课堂检测 掌握三次根式的关键在于理解如何观察，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决几何轨迹相关问题时，手动化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决垂直平分线作图相关问题时，解释是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地智能化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 5.直接写出下列不等式的解集. x+2>6的解集是 ； 2x<-8的解集是 ； x-2>0.1的解集是 ； x>4 x<-4 x>2.1 课堂检测 -3x＜10的解集是 . 解：当x=63时， ，不等式成立， 所以x=63是不等式 的解 ； 当x=60时， ，不等式不成立， 所以x=60不是不等式 的解； 当x=54时， ，不等式不成立， 所以x=54不是不等式 的解； x=63是不等式 的解吗？x=60呢？x=54呢？ 能力提升题 课堂检测 通过棱柱表面积的学习，可以培养学生的发明能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解数字问题有助于学生更好地质化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。掌握矩阵解法的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。掌握全等三角形的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。 已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？ 解: 3x+10(x+y)<50. 拓广探索题 课堂检测 不等式 → 实际问题中不等式的表示 概念 ↓ ↓ 解、解集 课堂小结 $