专题09 几何综合压轴（3大题型49题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦初中几何综合压轴，汇编浙江多地2026年二模49题，涵盖单选、填空、解答三大题型，针对性强。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|正方形性质（题1）、圆与扇形（题2）、直角三角形性质（题3）|结合动态几何（题9函数图象）| |填空题|14题|旋转与翻折（题15）、等边三角形外心（题16）、反比例函数与正方形（题19）|融入实际情境（题14无人机测量）| |解答题|23题|菱形与垂直平分线（题27）、圆与相似（题29）、折叠与函数最值（题42）|综合动态问题与跨知识应用（题30抛物线与正方形平移）|

专题09 几何综合压轴（3大题型49题） 4大考点概览 考点01单选题几何压轴题 考点02填空题几何压轴题 考点03解答题几何压轴题 1．（2026·浙江丽水·二模）如图，在正方形中，点，分别在和上，且满足，若已知与的面积之差为，则下列选项中的线段长能用含的代数式表示的是（     ）单选题几何压轴题 考点1 A． B． C． D． 2．（2026·浙江丽水·二模）如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江绍兴·二模）学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在中，，为上一点（不与点，重合），连接，得到以下三个结论： ①若，则为斜边的中点． ②若，则为斜边的中点． ③若和均为等腰三角形，则为斜边的中点． 其中一定正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在矩形中，，，是对角线的中点，过点的直线分别与边，交于点，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江绍兴·二模）如图，一块长方形绿地，米，米，中间铺设了两条互相垂直的路径，路径两边互相平行（，），重叠部分为四边形，已知米，设四块绿地，，，的面积总和为，则与的函数解析式是（ ）． A． B． C． D． 6．（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江宁波·二模）小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D．4 8．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（     ） A．平分 B． C． D． 9．（2026·浙江台州·二模）如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图象上 10．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，点是边上的定点，点从点出发，依次沿的路线匀速运动，回到点时停止．设点运动的路程为，为，则关于的函数图象如图2所示，其中，分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（     ） A． B．点的纵坐标为144 C． D．点在该函数图象上 11．（2026·浙江台州·二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江丽水·二模）已知等边三角形（如图），以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接，，设，的度数分别为，，则在旋转过程中，关于的函数表达式为________．填空题几何压轴题 考点2 14．（2026·浙江嘉兴·二模）某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 15．（2026·浙江绍兴·二模）已知，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，将沿翻折得到，连结，，记的面积为，的长度为，当时，的取值范围是________． 16．（2026·浙江宁波·二模）如图，为等边三角形的外心，点以的速度从点出发沿方向运动，连结并延长交于点，点关于的对称点为点，连结，．设点运动的时间为，已知，当时，则点运动的路径长为_________cm． 17．（2026·浙江宁波·二模）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 18．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 19．（2026·浙江舟山·二模）如图，正方形的顶点A，B在坐标轴上，点A的坐标为，点B的坐标为．若经过点C的反比例函数与边交于点E，则点E的横坐标为_____． 20．（2026·浙江舟山·二模）在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 21．（2026·浙江宁波·二模）学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 22．（2026·浙江宁波·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 23．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为_______． 24．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，中，，，为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上，的中线交于点．当时，的长为______． 25．（2026·浙江台州·二模）图，在平行四边形中，，，，为对角线上的一点，其中，连接并延长交于点，延长至点，使，则的长为______． 26．（2026·浙江金华·二模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15，则k的值为____________ ． 27．（2026·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点是线段上的一动点（点不与，重合），连接交于点，作的垂直平分线分别交，于点，．连接，．解答题几何压轴题 考点3 (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若菱形的边长为5，，当取最小值时，求的长． 28．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 29．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，是上一点，连接交于点，连接，，． (1)若，求的长． (2)若，． ①求证：． ②记和的面积分别为和，求的值． 30．（2026·浙江温州·二模）抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，二次函数的最大值为15，求t的值． (3)已知正方形的边长为9，轴，在下方，点A在点B的左侧．在正方形任意平移的过程中，抛物线的一段（）在正方形的边界及其内部，其中，当达到最大值时，求点D横坐标的取值范围． 31．（2026·浙江绍兴·二模）如图1，中，，．点是斜边中点，连接．点为上一动点（不与端点，重合），连接．将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． (1)求证：． (2)如图2，过点作交于点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点．过点作于点．设． ①当时，求的值． ②当时，k的值与问（2）①所求的值相等，求的比值． 32．（2026·浙江绍兴·二模）某直五棱柱实心木质配件的立体图如图1所示，其底面是由边长为的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸（单位：），按的比例绘制的三视图如图2所示． (1)求该配件的表面积． (2)如图3，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面分别与俯视图中的，，相切于点，，，求的半径． 33．（2026·浙江绍兴·二模）如图，等腰的顶点，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)当，求的度数． (2)若点为的中点，求的度数． 34．（2026·浙江绍兴·二模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下风筝状纸板（阴影部分），点在对角线上． 【数学理解】 (1)该风筝状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“筝尾”的度数． 35．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点G，连结并延长交于点E．已知，F为上一点，满足，连结． (1)求的长． (2)求证：四边形是平行四边形． 36．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，对角线平分，经过顶点A，B且与边所在的直线相切于点E． (1)求证：为菱形． (2)当，菱形的高为4时，求的长． 37．（2026·浙江舟山·二模）图1为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB垂直于地面，叶片AC恰好与塔筒AB重合，三个叶片均匀分布（即）且长度均为80m，在距离塔底（点B）158m的点F处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D的仰角为． (1)求风电塔筒的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） (2)当叶片从图2位置开始绕点A沿顺时针方向第一次转动至图3位置时，学习小组测量发现叶片端点E的离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：，，） 38．（2026·浙江舟山·二模）如图1，在矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点为点，点的对应点为点，连接并延长交射线于点． (1)如图2，当点与点重合时，记与交于点，与交于点． ①求证：． ②求的值． (2)如图3，点在的延长线上，记与交于点，连接交于点，当时，求的值． 39．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得，过，，三点作圆，延长交圆于点，连接． (1)如图，当点在圆上时，若为中点，且为直径． ①求证：． ②求的长度． (2)如图，若，连接，且，求的长度． 40．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，，是斜边上的中线，，． (1)求的长． (2)如图2，是线段上的一点，连接，作与关于直线对称，延长交直线于． ①当时，求的长． ②求的最小值． 41．（2026·浙江温州·二模）如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． (1)求证：． (2)作于点F，于点G．若，求的值． 42．（2026·浙江宁波·二模）已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点． (1)如图1，求的值． (2)如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长． (3)如图3，连结，求的最小值． 43．（2026·浙江温州·二模）如图1，在四边形中，，，，，平分，交于点，点在上，且． (1)如图2，当点与点重合时，求的值． (2)如图3，点在射线上，且点在点上方时，连结，． ①当时，求的长． ②若，求的最小值． 44．（2026·浙江温州·二模）如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若半径为5，，求的长． 45．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，D为的中点，E为上一点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 46．（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 47．（2026·浙江台州·二模）如图，平行四边形中，交于点E，连接，是的中线． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 48．（2026·浙江台州·二模）如图，在等腰中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 49．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)【特例感知】如图1，当时，点在延长线上，求证：； (2)【问题探究】在（1）的条件下，若，求的长； (3)【拓展延伸】如图2，当时，点在边上． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 几何综合压轴（3大题型49题） 4大考点概览 考点01单选题几何压轴题 考点02填空题几何压轴题 考点03解答题几何压轴题 1．（2026·浙江丽水·二模）如图，在正方形中，点，分别在和上，且满足，若已知与的面积之差为，则下列选项中的线段长能用含的代数式表示的是（     ）单选题几何压轴题 考点1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形边长为，，，则，，由勾股定理及已知可得，得到，即得，，再根据面积得到，即得，由代入得，又由得，进而得到，即得到，得到，即可求解． 【详解】解：设正方形边长为，，，则，， ∵，， ∴， 即， 化简得，， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵与的面积之差为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段长能用含的代数式表示的是． 2．（2026·浙江丽水·二模）如图，，的角平分线交于点，以的中点为圆心，为半径的半圆分别交，于点，，连接，，．若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、平行线的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 利用圆周角定理得到，进而求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 扇形的面积为． 3．（2026·浙江绍兴·二模）学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在中，，为上一点（不与点，重合），连接，得到以下三个结论： ①若，则为斜边的中点． ②若，则为斜边的中点． ③若和均为等腰三角形，则为斜边的中点． 其中一定正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形内角关系以及举反例可说明②错误，再利用分类讨论证明①③正确． 【详解】解：①如图：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即为斜边中点，故①正确． ②．如图：在中，，，，，计算可得线段上存在非中点，满足，因此不一定是斜边中点，故②错误． ③．如图： ∵，在等腰三角形中钝角或直角只能是顶角，和均为等腰三角形， ∴、， 当时，即为斜边中点（①已证明），即③正确． 综上，正确结论为①③． 4．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在矩形中，，，是对角线的中点，过点的直线分别与边，交于点，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，设，可得四边形是平行四边形，进而，接着通过论证可得，利用即可求解. 【详解】解：过点作于，设， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴即：， 解得：， 即：. 5．（2026·浙江绍兴·二模）如图，一块长方形绿地，米，米，中间铺设了两条互相垂直的路径，路径两边互相平行（，），重叠部分为四边形，已知米，设四块绿地，，，的面积总和为，则与的函数解析式是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，得到，，，再根据平行线的性质，结合锐角三角函数相关知识，得到，，，分别表示出，，，的值，接着，利用面积公式分别求出，，，，最后利用求解即可． 【详解】解：在长方形中， ∵米，米， ∴米，平方米， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵米，米， ∴， 解得：米， 即米， ∴平方米， ∴平方米， ∵，， ∴， 解得：米， ∵，，， ∴且四边形是矩形， 同理可得， 解得：米， ∴（平方米）， ∵（平方米）， ∴ ． 【点睛】利用三角函数换算道路垂直宽度，总面积减去道路面积（剔除重叠部分）列出函数，切勿重复计算重叠区域． 6．（2026·浙江温州·二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 7．（2026·浙江宁波·二模）小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先根据全等三角形的性质求出，，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，， ． 8．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（     ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由垂径定理推出，由圆周角定理推出，，得到，即可证明． 【详解】解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即选项D正确； 若平分，则，由已知条件无法证明，故选项A错误； 根据垂径定理可得，不能证明，故选项B错误； 由已知条件无法证明，故选项C错误； 9．（2026·浙江台州·二模）如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】由图象最低点可知当为中点时面积最小，据此求出的边长及的值；由图象最高点为分段点，分析可知此时点与点重合，据此求出和的值；当时，，点在上，点在上， 作于， 再求出，然后说明，求出，最后求出，验证即可． 【详解】解：当为中点时，，此时最短 ， 的中垂线，， ∴且与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形，面积最小， 对应图象最低点 ， 解得． 为等腰直角三角形，为中点， ，， ，故B错； 由图象可知为分段点，此时点从边运动到边，即与重合， 垂直平分，在上， ， ，故A错误； 此时在上，与重合，四边形即四边形， ，， ， ． ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，故C正确； 当时，，点在上，点在上， 过作于，则，， 则 ， 根据题意可知，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以点不在该函数图象上． 则D不正确． 10．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，点是边上的定点，点从点出发，依次沿的路线匀速运动，回到点时停止．设点运动的路程为，为，则关于的函数图象如图2所示，其中，分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（     ） A． B．点的纵坐标为144 C． D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据图2最高点得出长，根据点横坐标得出长进而求出及点纵坐标；结合图2终点横坐标及选项D验证长，利用勾股定理逆定理推导长，从而判断选项． 【详解】解：由图2可知，的最大值为400，此时运动到点， ∴，解得，故A选项正确； 由图2可知，点为段的最低点，此时，过点D作， ∵点横坐标为36， ∴， 在中，， ∴点纵坐标为，故B选项正确； 在图1中，作点B关于的对称点F， 则，， 根据图2可知运动到点B和点F时，相等， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 由图2可知运动到点时， ∴， ∴， 选项C中，故C选项错误； 在中，， 若选项D正确，即点在函数图象上， 此时在段，， 则从点运动了， ∴， 又，∴， ∴，符合题意； 综上，D选项正确，C选项错误． 11．（2026·浙江台州·二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 12．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出正方形边长，过点作交于点K，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的性质得出，再用相似三角形的性质求出的长度，由等腰三角形的三线合一求出的长，进而求出、的长，从而得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，由一线三垂直得出，的长，再由勾股定理即可求出的长，从而得出比值； 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，， 四边形是正方形， ，， 过点作交于点K， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， （） ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， （） ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等）将分散的条件集中到可计算的直角三角形中． 13．（2026·浙江丽水·二模）已知等边三角形（如图），以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接，，设，的度数分别为，，则在旋转过程中，关于的函数表达式为________．填空题几何压轴题 考点2 【答案】或 【分析】根据旋转的性质得到和是等腰三角形，分情况讨论：当或当时，求出的度数，再利用三角形内角和定理分别求出和的度数，进而求出的度数，利用三角形内角和定理得到，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得：、、， 是等边三角形， 、， ， 分两种情况讨论： ①当时，， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②当时，， ， ， ， ， ， 即； 综上所述，在旋转过程中，关于的函数表达式为或． 14．（2026·浙江嘉兴·二模）某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 【答案】 【分析】根据题意先求出的长度，再结合三角形内角和定理得到，判定为等腰三角形得到，最后通过构造含角的直角三角形，利用三角函数求出的长度． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， 解得：， ， 在中，千米． 15．（2026·浙江绍兴·二模）已知，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，将沿翻折得到，连结，，记的面积为，的长度为，当时，的取值范围是________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：点在外部、点在内部，由翻折性质、矩形的判定与性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质得到相关角度与线段关系，再表示出的面积，按题意的一元二次不等式，由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：当点在外部时，过点作，过点作，如图所示： 将沿翻折得到， ，，， ， 四边形是矩形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 则， 的面积， 当时，，则， 令，则抛物线开口向上，与轴交点为和， 抛物线在轴下方图象对应的的取值范围是； 当点在内部时，过点作，如图所示： 由前面的求解过程可知，，，，， ， 在中，由勾股定理可知， 的面积， 当时，，则， 令，则抛物线开口向上，与轴交点为和， ，， 抛物线在轴上方图象对应的的取值范围是； 综上所述，当时，的取值范围是或． 16．（2026·浙江宁波·二模）如图，为等边三角形的外心，点以的速度从点出发沿方向运动，连结并延长交于点，点关于的对称点为点，连结，．设点运动的时间为，已知，当时，则点运动的路径长为_________cm． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质、三角形外接圆的性质可知，利用勾股定理求出，根据翻折的性质可知，由点 的运动轨迹可知点运动的轨迹是，根据弧长公式即可求出点的运动轨迹长度． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 点为等边三角形的外心， ，，， ， ，是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ， 由翻折可知， 当时，点在点的位置，点与点重合， 当时，点在的中点处，点与点重合， 点运动的轨迹是， 点为等边三角形的外心， ， 的长度为， 点的运动轨迹长度为． 17．（2026·浙江宁波·二模）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，由作图可知，是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 18．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【答案】2 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由折叠性质得，，由此得，，据此可判定是等边三角形，再根据等边三角形性质即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 19．（2026·浙江舟山·二模）如图，正方形的顶点A，B在坐标轴上，点A的坐标为，点B的坐标为．若经过点C的反比例函数与边交于点E，则点E的横坐标为_____． 【答案】 【分析】过点作轴于点，证明即可求解点坐标，然后求出点坐标，分别求出直线和反比例函数的表达式，再联立求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵正方形 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 同理可求 ∴将点代入得，， ∴反比例函数表达式为 设直线 则代入点，，可得 解得 ∴直线， 再与反比例函数表达式联立可得，， 整理得， 解得，（舍） ∴点E的横坐标为． 20．（2026·浙江舟山·二模）在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理可得，进而推出，结合垂直定义和角平分线性质推导出，作构造等腰直角三角形和直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，为中点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 过点D作于点G， ， 点为中点， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 21．（2026·浙江宁波·二模）学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为，根据图得到 ，即得，再利用勾股定理可得，即得，进而根据图即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为， 由图可得，小正方形的边长为， ∴ ， ∴， ∵若图中大正方形的边长为， ∴， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴图中点与点之间的距离为． 22．（2026·浙江宁波·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 【答案】/156度 【分析】由题意得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，过点作交于点，设，根据平行四边形的性质推出点与点重合，且点在上，，根据勾股定理得，根据等腰直角三角形的性质得，，继而得到，，证明得，解得，最后由可得答案． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作交于点，设， ∵与是的对角线， ∴点是的中点， ∵恰好经过中点， ∴点与点重合，且点在上， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且为斜边， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 即的长为． 24．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，中，，，为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上，的中线交于点．当时，的长为______． 【答案】 【分析】过E作交于G，先根据求出，根据折叠的性质可设，根据三角函数列方程求出x，再证明，求出，，根据勾股定理求出，证明，求出，即可得解． 【详解】解：过E作交于G， 是的中线， ， ， ， ， ， 由折叠可知，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．（2026·浙江台州·二模）图，在平行四边形中，，，，为对角线上的一点，其中，连接并延长交于点，延长至点，使，则的长为______． 【答案】 【分析】作，证明，得到，解直角三角形，求出的长，证明，得到，根据，求出，进而求出的长，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得. 26．（2026·浙江金华·二模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15，则k的值为____________ ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，线段比例关系，平行线间的面积转化，梯形面积公式与坐标几何及反比例函数中k的几何意义．先利用确定点的坐标关系，再设点坐标，关联反比例函数k，利用转化面积关系，用梯形面积公式建立方程求k即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵A，B两点在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点是线段上的一动点（点不与，重合），连接交于点，作的垂直平分线分别交，于点，．连接，．解答题几何压轴题 考点3 (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若菱形的边长为5，，当取最小值时，求的长． 【答案】(1)3 (2)证明：过点分别作于，于，连接， ， 四边形是菱形， 、， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 设， ， ， ， ， ， ； (3)1 【分析】（1）利用菱形的性质证明，进而证明； （2）过点分别作于，于，证明，设，则，进而求出，根据等腰三角形的性质求出，从而得出结论； （3）根据菱形的性质结合（2）中的结论得到，则， 由（1）知，，则，根据得到，利用勾股定理求出长，当时，最小，即最小，在中，利用勾股定理求出长，据此求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 、， 在和中， ， ， ； （2）略； （3）解：四边形是菱形， ， 由（2）知，， ， ， 由（1）知，， ， 垂直平分， ， 在中，， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 28．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． (1)作，垂足为，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，用勾股定理求出，根据三角形面积求出的长； （2）过点作，交于，求出，，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为， ∵交于点， ∴， 为的中点，， ． 又∵在直角三角形中，， ． 又， ∵， ； （2）解：过点作，交于， ， 又， ， ∴， ． 又，， ． 又， ． 在直角三角形中，， ，， ． 29．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，以为直径作交于点，是上一点，连接交于点，连接，，． (1)若，求的长． (2)若，． ①求证：． ②记和的面积分别为和，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由圆周角定理可得，利用直角三角形两锐角互余可得，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答； （2）①设，则，，利用角的和差可得，进而得到，即；再利用等角对等边即可证明结论；②如图：连接并延长交于点．先说明是的中位线可得，．设，利用勾股定理列方程可得．证明可得，即，即；再证明可得，即；最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴，， ∴． （2）①证明：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：如图：连接并延长交于点． ∵， ∴，． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，． 设，则有，解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴． 30．（2026·浙江温州·二模）抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，二次函数的最大值为15，求t的值． (3)已知正方形的边长为9，轴，在下方，点A在点B的左侧．在正方形任意平移的过程中，抛物线的一段（）在正方形的边界及其内部，其中，当达到最大值时，求点D横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将点代入中，即可解出答案； （2）令，解出的取值，将按照在对称轴左侧，右侧和两侧进行分类，从而解出答案； （3）根据题意，线段在二次函数顶点的下方或者过顶点，横坐标为的两个点的纵坐标相等，是两点之间的距离，欲使最大，离顶点越远越大，所以线段过顶点时的值最大，从而解出答案 【详解】（1）解：把代入，得， 解这个方程，得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：令，则， 解这个方程，得，， 由题意知，二次函数开口向上，对称轴为， ∵均距对称轴4个单位长度，与相距2个单位长度， 又当时，二次函数的最大值为15， ∴不在对称轴两侧； ∴当在对称轴的左侧时，在处取得最大值，则， 当在对称轴的右侧时，在处取得最大值， 则，即； ，； （3）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段（）在边长为9的正方形的边界及其内部，且， ∴不能在顶点上方， 因为正方形边长为9，再由图像可知，当线段过顶点时，必能取得的最大值， 此时线段与二次函数的交点的纵坐标为， 令，则，解得， 即的最大值为， ∵， ∴此时， ①当点与点重合时，， ②当点与重合时，， ∴时，达到最大值，且二次函数图象在正方形的边界及内部． 31．（2026·浙江绍兴·二模）如图1，中，，．点是斜边中点，连接．点为上一动点（不与端点，重合），连接．将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． (1)求证：． (2)如图2，过点作交于点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点．过点作于点．设． ①当时，求的值． ②当时，k的值与问（2）①所求的值相等，求的比值． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】（1）证明，即可求证； （2）①根据三角形中位线定理可得，，从而得到为等边三角形，，，再证明为直角三角形，在Rt中，可得，从而得到，再证明，，可得，即可求解；②设，可得，，由①得：，则，设，过点E作，交于点G．根据，，可得，然后分两种情况：当E在上时， 当E在上时，解答即可． 【详解】（1）解：由旋转性质：， ∴， 在中，O为中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图， 由（1）得：，， ∵点O为的中点，， ∴，， ∴为等边三角形，，， ∴，， ∴，即为直角三角形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②设， 根据题意得：， ∴， 由①得：，则， 设， 过点E作，交于点G． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当E在上时，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴， 化简得：， 解得：或，均不符合题意； 当E在上时， 同理，， 由①得：， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或或（舍去）， 此时， ∴． 32．（2026·浙江绍兴·二模）某直五棱柱实心木质配件的立体图如图1所示，其底面是由边长为的正方形裁去一个等腰三角形后得到的五边形，立体图标注尺寸为实际尺寸（单位：），按的比例绘制的三视图如图2所示． (1)求该配件的表面积． (2)如图3，若垂直于配件上下底面打磨出一个完整的圆柱体，该圆柱体上底面分别与俯视图中的，，相切于点，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出裁去一个等腰三角形的底边长，即可求解； （2）设的半径为，连接，则，证明，可得，，且点A在的垂直平分线上，再由切线的性质可得，，从而得到四边形为正方形，可得，可得，从而得到垂直平分，进而得到点N在上，且，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：裁去一个等腰三角形的底边长为， ∴该配件的表面积； （2）解：由（1）得：， 设的半径为， 如图，连接，则， 根据题意得：， ∴， ∴，， ∴点A在的垂直平分线上， ∵分别与，，相切于点，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点O在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点N在上，且， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 33．（2026·浙江绍兴·二模）如图，等腰的顶点，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)当，求的度数． (2)若点为的中点，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质求出，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据圆周角定理，得出答案即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角，得出，即可得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵等腰中，顶角， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图，连接， ∵等腰中，顶角， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：． 34．（2026·浙江绍兴·二模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下风筝状纸板（阴影部分），点在对角线上． 【数学理解】 (1)该风筝状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“筝尾”的度数． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据可证； （2）根据等角对等边及三角形内角和求出，根据可知的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 35．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点G，连结并延长交于点E．已知，F为上一点，满足，连结． (1)求的长． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； （2）在中，，，推导出，得到，继而推导出，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在中，，， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 即，  ∵， ∴四边形是平行四边形． 36．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，对角线平分，经过顶点A，B且与边所在的直线相切于点E． (1)求证：为菱形． (2)当，菱形的高为4时，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， 对角线平分， ， ， ， 为菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的性质，可知，再根据等腰对等边，可知，根据菱形的判定定理，可证； （2）连接并延长交于点F，证明，且是菱形的高，设，在中，利用勾股定理，求出，即． 【详解】（1）略 （2）解：连接并延长交于点F， 与边所在的直线相切于点E， 菱形， ，， ， ，且是菱形的高， ，， 设， ，， 在中，， 解得， ∴． 37．（2026·浙江舟山·二模）图1为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB垂直于地面，叶片AC恰好与塔筒AB重合，三个叶片均匀分布（即）且长度均为80m，在距离塔底（点B）158m的点F处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D的仰角为． (1)求风电塔筒的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） (2)当叶片从图2位置开始绕点A沿顺时针方向第一次转动至图3位置时，学习小组测量发现叶片端点E的离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作于点G，过点A作于点H，四边形是矩形，易得，利用三角函数求出，，再求出，已知，利用角的正切求出，根据，求出塔高； （2）过点E作，，两线交于点P，过点E'作于点Q，同（1）可得，求出，在中，求出，利用三角函数值得到，再求出，利用扇形的面积公式，求出单个叶片扫过的面积，再乘以3，得到三个叶片扫过的面积． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点G，过点A作于点H， 由题意可知， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 答：风电塔筒的高度为． （2）解：如图，过点E作，，两线交于点P，过点E'作于点Q， 同（1）可得，， 由题意可得， 在中，， ， ， 叶片扫过的区域面积是， 所有叶片扫过的区域面积是． 38．（2026·浙江舟山·二模）如图1，在矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点为点，点的对应点为点，连接并延长交射线于点． (1)如图2，当点与点重合时，记与交于点，与交于点． ①求证：． ②求的值． (2)如图3，点在的延长线上，记与交于点，连接交于点，当时，求的值． 【答案】(1)①证明：∵将绕点逆时针旋转至， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ∴， ，， ， ， ∴， ． ② (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，，根据矩形的性质得出，进而得出，根据平行线的判定定理即可得出结论； ②过点作于点，设，则，利用勾股定理及等积法得出，，，，根据得出，根据相似三角形的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案； （2）过点作，交延长线于，过点作于，连接，利用可证明，得出，进而证明，得出，根据“三线合一”的性质得出，根据旋转的性质及三角形内角和定理得出，进而得出，即可证明，得出，，，则，可得，，，，利用得出，，进而得出，，即可得出． 【详解】（1）解：①略 ②如图，过点作于点， ， 设，则， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）如图，过点作，交延长线于，过点作于，连接， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ， 在和中，， ∴， ， ， ， ， ∵，，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设，，则， ∴， ∴，， ∴，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 39．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得，过，，三点作圆，延长交圆于点，连接． (1)如图，当点在圆上时，若为中点，且为直径． ①求证：． ②求的长度． (2)如图，若，连接，且，求的长度． 【答案】(1)①见解析；② (2)7 【分析】（1）①先由四点共圆得到，然后由旋转的性质结合等角的补角相等证明即可； ②延长交于点，连接，先证明为等边三角形，则结合圆周角定理可得，然后再解即可； （2）延长交于点，过点作于点，先证明，再由等腰三角形的三线合一得到，最后对和运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：①∵点共圆， ∴ 由旋转可得，， ∵ ∴ ∴ ∴； ②延长交于点，连接， ∵为直径， ∴ ∵ ∴ ∵为中点，且为直径 ∴点为圆心， ∵经过圆心， ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴； （2）解：延长交于点，过点作于点 ∵ ∴ 由旋转可得，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴设， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中，由勾股定理得， ∴ 解得（舍负）， ∴． 40．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，，是斜边上的中线，，． (1)求的长． (2)如图2，是线段上的一点，连接，作与关于直线对称，延长交直线于． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）①由直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，由折叠的性质可得，即可得出，，，由平行线的性质并结合等边对等角得出，延长交于点，作于点，则，，证明，设，则，求出，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；②由①可得，，从而可得，由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时的长最小为，进而得出的最小值为，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，是斜边上的中线，，， ∴， ∴； （2）解：①∵在中，，是斜边上的中线， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点，作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； ②由①可得：，， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时的长最小为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 41．（2026·浙江温州·二模）如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E． (1)求证：． (2)作于点F，于点G．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据相切可知，即可判定全等三角形； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴． ∵为直径，与相切于点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：设， ∵， ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，过圆心， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（2026·浙江宁波·二模）已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点． (1)如图1，求的值． (2)如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长． (3)如图3，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）过点F作于点H，利用正弦的定义结合三角形面积公式即可求得结果； （2）延长，相交于点G，过点E作于点M，先证明，求得相关线段的长度，利用勾股定理得出的长度，通过角度和差关系得出，进而证得，从而求得结果； （3）过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，，根据（1）的结论证得，利用菱形的性质得出当O，P，D三点共线时，取到最小值，从而得解． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点H， ∵，， ， ∵的面积为， ∴，即， ． （2）解：如图2，延长，相交于点G，过点E作于点M， 在菱形中，，点E是的中点， 在和中， ， ∴， ， ，， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3，过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，， 可得，，， 在中，， ，， ， 由（1）知，， ，即， ， ， ， ． 在菱形中，，， ， ， ， ， ， ∴当O，P，D三点共线时，取到最小值，最小值为． 43．（2026·浙江温州·二模）如图1，在四边形中，，，，，平分，交于点，点在上，且． (1)如图2，当点与点重合时，求的值． (2)如图3，点在射线上，且点在点上方时，连结，． ①当时，求的长． ②若，求的最小值． 【答案】(1)． (2)①，② 【分析】（1）当与重合时，结合条件，可以推导出该点是的中点．因为，所以，在直角三角形中，求出，利用角平分线，得，即可求解； （2）①过点作，垂足为，延长交延长线于，根据已知求出，在和中，利用勾股定理和三角函数求出、，利用角平分线+平行模型证明是等腰三角形，进而求出、，由即可求解； ②将两条分散的线段和转化到同一直线上，延长到，使，构造．得到．将的最小值转化为的最小值．根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，即线段的长度． 【详解】（1）解：∵当点与点重合时，． ∴， ∵， ∴， 又∵平分，即， ∴． （2）解：①过点作，垂足为，延长交延长线于，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵平分，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ②延长到，使，连接、，作垂足为，如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当、、三点公共线时，等号成立，取最小值，最小值为， 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴、、三点公共线． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】这道几何综合题主要考查了矩形性质、角平分线定理、三角函数以及最值问题中的“将军饮马”模型．这道题的解题关键在于模型的识别与转化，几何难题往往需要“化折为直”，通过构造辅助线（如全等、对称）将分散的条件集中，利用勾股定理或三角函数求解． 第（1）问是基础铺垫，考察了角平分线定义与锐角三角函数的直接计算，体现了“数形结合”中由形得数的思想． 第（2）问①考察了在复杂图形中通过已知线段关系求未知线段的能力，重点在于利用方程思想求出中间量，，再结合勾股定理和三角函数求解． 第（2）问②是典型的最短路径问题（将军饮马变式）． 核心技巧：当题目中出现 为定值，且求两条折线段之和的最小值时，通常采用构造全等三角形或轴对称的方法，将折线转化为直线． 难点突破：通过构造 ，巧妙地将 转移到了 的位置，从而将问题转化为定值条件下的直角三角形斜边最值问题． 44．（2026·浙江温州·二模）如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易证垂直平分，得到，推出，再根据垂径定理得到，进而得到，推出，由切线的性质得到，证明，即可证明结论； （2）连接，由（1）可得，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，进而求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， 则， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，D为的中点，E为上一点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质求出，然后结合即可求出； （2）结合已知条件可知E是中点，根据直角三角形斜边中线的性质并结合已知条件求出，然后利用勾股定理可求出，进而求解． 【详解】（1）解：，D为的中点，， ，，       ， ．       ， ； （2）解： ， ，E为的中点，       ．   ， ，       ，       ，D为的中点， ． 46．（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由得，由折叠得，可得，由等角对等边可得结论； （2）由折叠得，过点作交于点，交于点，得，得出，设，则，由勾股定理得出，证明，四边形是矩形，得，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：是等腰三角形，理由如下： ∵正方形对折得到折痕， ∴，且垂直平分,， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，， 由折叠得垂直平分， ∴为的中点， ∴， 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴, 由折叠得, ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又, ∴四边形是矩形， ∴， 解得， ∴， ∴． 47．（2026·浙江台州·二模）如图，平行四边形中，交于点E，连接，是的中线． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）利用解直角三角形求出，即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴     ∵是的中线 ∴， ∴是等腰三角形 （2）解：∵四边形为平行四边形 ∴，，， ∴ ∴ ∴     ∵ ∴ ∴      ∴ ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 48．（2026·浙江台州·二模）如图，在等腰中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)75° (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，结合三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）过A点作，交于F点，三线合一，结合勾股定理求出的长，设，则，在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解∶由旋转得：， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴，     ∴； （2）解：过A点作，交于F点， ∵，， ∴， ∴ ，    设，则， 在中，由勾股定理，得 ，    解得； ∴. 49．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)【特例感知】如图1，当时，点在延长线上，求证：； (2)【问题探究】在（1）的条件下，若，求的长； (3)【拓展延伸】如图2，当时，点在边上． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2)４ (3)① ② 【分析】（）利用点的对称性和平行线的性质找出对应的角相等，解出答案． （）利用小问中的全等，得到新的条件，证明，得到，最后利用方程思想和相似解出答案． （）①同小问中证全等的方法，证，利用相似三角形对应边成比例解出答案． ②作辅助线，利用方程思想，将题中的线段设出来，经过两次８字模型的相似，求出的代数式，第三次利用相似解出答案． 【详解】（1）证明：∵点与点关于直线的对称, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，即， ∵， ∴，解得， ∴． （3）①解：∵点与点关于直线的对称, ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，点Ａ、F、P共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴． ②解：如图所示，延长线段交的延长线于点, ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，解得， 则， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与相似三角形的综合，解题的关键点是能找出线段是已知条件的相似三角形，得出新的条件，再利用相似和方程思想解题． / 学科网（北京）股份有限公司 $