2026届高三全真模拟考试数学试卷（新高考Ⅰ卷）

**基本信息** 2026届高三数学全真模拟卷依新高考Ⅰ卷结构，覆盖函数、几何、概率等核心知识，解答题分层设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、概率、函数最值等|基础概念辨析，突出抽象能力| |多选|3/18|统计回归、三角函数性质|选项分层，考查推理意识| |填空|3/15|集合运算、三角恒等变换|简洁设问，检测运算能力| |解答题|5/77|函数单调性、立体几何线面角、概率分布列、椭圆切线、数列恒成立|综合设问，如概率题分析操作次数分布体现数据意识，数列题探究恒成立参数发展创新意识，贴合高考命题趋势|

2026届高三全真模拟考试数学试卷 新高考Ⅰ卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 复数 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限 2. 一个袋中有5个红球、3个黑球，从中不放回地任取2个球，已知取出的2个球中至少有1个红球，则这2个球颜色不同的概率为 A.      B.      C.      D. 3. 若 ，则 A.      B.      C.      D. 4. 的展开式中 的系数为 A.      B.      C.      D. 5. 函数 的最小值为 A.      B.1      C.      D. 6. 已知正项等比数列 满足 ，，则 A.15      B.16      C.17      D.18 7. 已知非零向量 ， 满足 ，，且 ，则 与 夹角的余弦值为 A.      B.      C.      D. 8. 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为 A.1      B.      C.2      D.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9. 已知随机变量 ，其中 ，且 ，则 A.      B.      C.      D. 10. 已知函数 ，则 A. 的最小正周期为 B. 直线 是 的一条对称轴 C. 在 上单调递减 D. 方程 在 上有两个解 11. 某次实验得到 组样本数据 ，其经验回归直线为 . 已知 ，，，且样本相关系数 . 下列说法正确的是 A. B. 样本相关系数 C. 当 时，预测值为6.2 D. 若所有 都增加2，则新的经验回归直线为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知集合 ，，则             。 13. 已知 ，则             。 14. 已知 ，，，则 的最小值为             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数 。 （1） 当 时，求 在 上的值域； （2） 讨论 在 上的单调递增区间； （3） 若 在 上单调递减，求实数 的取值范围。 16.（15分）在四面体 中，，且 ， 平面 。点 为 的中点，点 在线段 上，且 。 （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值； （3） 求二面角 的余弦值。 17.（15分）一个袋中有2个白球和3个黑球。每次操作从袋中随机取出1个球，若取到黑球，则将该黑球染成白球后放回；若取到白球，则直接放回。记第 次操作后袋中白球个数为 ，其中 。记 为首次使袋中5个球全为白球所需的操作次数。 （1） 求 的分布列和数学期望； （2） 求 ； （3） 求 。 18.（17分）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 。设 为坐标原点，点 ，其中 。过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，。 （1） 求椭圆 的方程； （2） 证明直线 的方程为 ，并求 的面积； （3） 若 的面积是 面积的3倍，求 及 。 19.（17分）已知数列 满足 ， 记 ， （1） 求数列 的通项公式； （2） 求 ； （3） 若存在常数 ，使得 对任意 恒成立，求实数 的值。 参考答案与解析 一、单项选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B A C A C 二、多项选择题答案 题号 9 10 11 答案 ACD AD ABD 三、填空题答案 题号 12 13 14 答案 选择题与填空题解析 1. ，故 ， 对应点为，位于第二象限。 2. 记事件为“至少有1个红球”，事件为“两球颜色不同”。则 ， 所以。 3. 由题意得 ， 即，故。 4. 的通项为，的通项为。由，得， 故，，。所求系数为 5. 当时，当时，故在处取最小值，最小值为。 6. 设公比为 ，由 得 ，。于是 ， 所以 7. 由 ，得 即 ，所以 ，从而 ， 8. 对 ，令 则 所以 ，即 时恒成立。又 故 时不可能恒成立，最大值为 。 9. 由 且 ，得 ，即 ，A正确。此时 故B错误。又 ，C正确； 故D正确。 10. 故最小正周期为 ，A正确。其对称轴满足 即 ，，当 时，，B正确； 当 时，，， 故 ，C错误； 将 图象向右平移 个单位得 ，D错误。 综上，选AB。 即 ，B错误。又 ，在 上先正后负，C错误。方程 等价于 当 时，，共有两个解，D正确。 11. 经验回归直线过样本中心点 ，所以 ，A正确. 设回归直线斜率为 ，则 . 因此 ， 得 ，B正确. 当 时，，C错误. 所有 都增加2后，回归直线斜率不变，截距增加2，新的经验回归直线为 ，D正确. 故选ABD. 12. 由 ，得 ，所以 。由 ，得 ，所以 。因此 13. 由 得 ，故 。 14. 因 ，所以 。原式为 令 ，则 ，且 当 时等号成立，故最小值为 。 解答题解析 15. 记 。 （1） 当 时，，所以 在 上单调不增。又 ， 故值域为 。 （2） 若 ，则 ，方程 的两个正根为 ， 因为 当且仅当 ，故此时 的单调递增区间为 。 若 ，当 时， 的最大值不超过 当 时， 在 上从 开始单调减小或先减后仍不为正。因此 ， 此时无单调递增区间。 （3） 由 （2） 可知， 在 上单调递减当且仅当 对任意 成立，故实数 的取值范围为 。 16. 以 为坐标原点，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 于是 ，。 （1） ，，。因为 ，， 且 ， 为平面 内两条相交直线，所以 平面 。 （2） 平面 的方程为 ，其一个法向量为 。又 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 （3） 由 （1） 知， 平面 ，所以二面角 的平面角为 。又 ，， 因此 故二面角 的余弦值为 。 17. 由题意，若当前白球个数为 ，则下一次操作后白球个数变为 的概率为 ，保持为 的概率为 。 （1） 两次操作后， 的可能取值为 ，，。有 ， ， 故分布列为 数学期望为 （2） 设 。由条件期望可得 两边取期望，得 ， 于是 ， 故 （3） 表示前三次操作后恰有4个白球，第四次取到剩下的黑球。先求 当 时，第四次取到黑球的概率为 ，所以 18.（1） 因椭圆经过点 ，故 。又 ， 所以 ，得 。故椭圆 的方程为 （2） 设切点为 ，则椭圆在该点处的切线方程为 该切线过 ，故 ， 因此两个切点 ， 的横坐标均为 ，即直线 的方程为 又切点在椭圆上，所以 从而 ， 于是 （3） 直线 到点 的距离为 故 由 ，得 ， 即 。又 ，所以 。 此时 ， 因此 19.(1) 由 得 又 ，所以 因为 ，故 （2） 由 （1） 得 所以 （3） 由 （1） 知 由于函数 在 上单调递减，当 时， 即 又 ，故 所以当 时，，满足题意。 另一方面，由 可得 若 ，则 ， 其中 ，且 ，故 不可能有界。 综上，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟考试数学试卷 新高考Ⅰ卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 复数 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限 2. 一个袋中有5个红球、3个黑球，从中不放回地任取2个球，已知取出的2个球中至少有1个红球，则这2个球颜色不同的概率为 A.      B.      C.      D. 3. 若 ，则 A.      B.      C.      D. 4. 的展开式中 的系数为 A.      B.      C.      D. 5. 函数 的最小值为 A.      B.1      C.      D. 6. 已知正项等比数列 满足 ，，则 A.15      B.16      C.17      D.18 7. 已知非零向量 ， 满足 ，，且 ，则 与 夹角的余弦值为 A.      B.      C.      D. 8. 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为 A.1      B.      C.2      D.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9. 已知随机变量 ，其中 ，且 ，则 A.      B.      C.      D. 10. 已知函数 ，则 A. 的最小正周期为 B. 直线 是 的一条对称轴 C. 在 上单调递减 D. 方程 在 上有两个解 11. 某次实验得到 组样本数据 ，其经验回归直线为 . 已知 ，，，且样本相关系数 . 下列说法正确的是 A. B. 样本相关系数 C. 当 时，预测值为6.2 D. 若所有 都增加2，则新的经验回归直线为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知集合 ，，则             。 13. 已知 ，则             。 14. 已知 ，，，则 的最小值为             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数 。 （1） 当 时，求 在 上的值域； （2） 讨论 在 上的单调递增区间； （3） 若 在 上单调递减，求实数 的取值范围。 16.（15分）在四面体 中，，且 ， 平面 。点 为 的中点，点 在线段 上，且 。 （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值； （3） 求二面角 的余弦值。 17.（15分）一个袋中有2个白球和3个黑球。每次操作从袋中随机取出1个球，若取到黑球，则将该黑球染成白球后放回；若取到白球，则直接放回。记第 次操作后袋中白球个数为 ，其中 。记 为首次使袋中5个球全为白球所需的操作次数。 （1） 求 的分布列和数学期望； （2） 求 ； （3） 求 。 18.（17分）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 。设 为坐标原点，点 ，其中 。过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，。 （1） 求椭圆 的方程； （2） 证明直线 的方程为 ，并求 的面积； （3） 若 的面积是 面积的3倍，求 及 。 19.（17分）已知数列 满足 ， 记 ， （1） 求数列 的通项公式； （2） 求 ； （3） 若存在常数 ，使得 对任意 恒成立，求实数 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $