专题07 几何基础、几何证明（5大题型52题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦几何证明与计算，精选2026年浙江各地二模真题，52题覆盖线段相等/角度相等证明、全等判定、线段长计算、角度问题5大题型，梯度设计提升综合解题能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |几何证明|28题|全等三角形、四边形性质、圆的性质|结合折叠（第2题）、尺规作图（第3题），多问设计从证明到推理| |几何计算|24题|解直角三角形、图形变换、最值问题|动点与圆综合（第5题）、旋转与函数关系（第16题），贴合中考几何综合趋势|

学科网 www.zxxk.com 专题07几何基础、几何证明（5 ☆8大考点概览 考点01几何证明线段相等 考点02几何证明角度相等 考点03几何证明全等 考点04求线段长 考点05角度问题 考点1 几何证明线段相等 1.(2026浙江宁波二模)如图1，四边形ABCD内接于⊙O,AC ∠ABD=2∠BDC. 图1 图2 (1)求证：AB=BD; (2)求证：BE2=0EAE; (3)如图2，过点A作AF⊥BD交BD于点F,若DF=5,EF=7, 【答案】(1)证明：设∠BDC=a,则∠ABD=2a, :AC是⊙O的直径， ∠ADC=90°， .∠ADB=90°-a, .∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-a, .∠ADB=∠BAD, :AB=BD (2)证明：连接OB,如图所示： D C:∠B0C=2LBDC=2a,∠0AB=∠BDC 让教与学更高效 大题型52题) 是⊙O的直径，连接BD交AC于点E, 求BE的长. , 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且0A=0B, 、∠0AB=∠0BA=a, ·∠0BE=∠ABD-LOBA=a, .∠OBE=∠BAE, :LOEB=∠BEA, △OBE∽△BAE, BE OE AE BE' 即BE2=0EAE; (3)8 【分析】(1)设∠BDC=Q,则∠ABD=2a,求出∠ADB=90°-Q, ∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-a,从而得出∠ADB=∠BAD,根据等角对等边，即可得出答案； (2)连接OB,证明a0BEn△BAE，得出BE=OE 即可得出答案 AE BE (3)过点O作OG⊥BD,交BD于点G,连接OB,设BE=a,则AB=BD=12+a,根据 A0BBAB1E,得出OE=OB-OA,从而得出EC=E,根据平行线分线段成比例定理得出 EG OE BE AB AB FG OA FG OA 1 出G-BG,得出关于a的方程6=a2+a=a1+,P0 从而得出 解方程即可 2 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点O作OG⊥BD,交BD于点G,连接OB,如图所示： D GE C:.BD =2BG =2DG B 设BE=a,则AB=BD=12+a, 1 ..BG=DG=6+a, 2 .EG=BG-BE=6 20, FG-DG-DF-1+24 1 由(2)得，△OBEn△BAE, 丽学科网 ww w zxxk com OE OB OA BE ABAB OE BE ÷0AAB :AF⊥BD,OG⊥BD, .0G∥AF, EG OE FG-OA' EG_BE FG AB 得EG·AB=BE·FG, 6- 1 12+a=a1 20 化简得，a2+a-72=0 解得a1=8,a2=-9(舍去) 即BE=8. 2.(2026浙江舟山二模)如图，四边形纸片ABCD,点E在BC上， 点D重合；继续把纸片沿MN(点M在CD上，点N在AE上)折叠， 发现NE恰好叠合在射线NA上. (1)求证：AE∥CD. (2)求证：BE=CE. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据折叠的性质以及平行线的判定证明即可； (2)由第一次折叠可得∠AEB=∠AED,再由平行线的性质证明∠C 【详解】(1)证明：由第二次折叠可得，MN⊥CD,MN⊥AE, .∠CMN=∠ANM=90°， AE∥CD; (2)证明：由第一次折叠可得，∠AEB=∠AED,BE=DE, :AE∥CD, 让教与学更高效 小明将纸片沿AE折叠，发现点B与 使MC叠合在射线MD上，此时他 ∠CDE即可. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .∠AEB=∠C,∠AED=∠CDE, ·LC=LCDE, .DE =CE, .BE =CE. 3.(2026浙江宁波·二模)如图，E是正方形ABCD的边CD上一点（不与C,D重合），分别以B,E为 圆心，大于BE长为半径画颈，两弧相交于冠M,N,直线MN交AC于点F,连结5，DF,Br D E NX (I)根据题中的尺规作图法可知：直线MN是线段BE的_· (2)求证：FD=FE. (3)当LEBC=20°时，求∠ABF的度数. 【答案】(1)垂直平分线或中垂线 (2)见解析 (3)LABF=25° 【分析】(1)根据尺规作图可直接进行求解； (2)由题意易得LBCF=LDCF,则有△BCF≌△DCF(SAS),然后可得BF=DF,进而问题可求解； (3)由题意易得LCDF=∠FED=∠CBF,然后可得LFBE+LFEB=90°，则有LFBE=45°，进而问题可 求解。 【详解】(1)解：由题意得：直线MN是线段BE的垂直平分线； (2)证明：如图2，在正方形ABCD中， D R M EAC平分LBCD, X C (图2) 画学科网 www.zxxk.com ·LBCF=LDCF, BC=CD,CF=CF. .ABCF≌ADCF(SAS), :BF=DF, 又：直线MW是线段BE的垂直平分线， :BF FE ∴DF=EF. (3)解：：△BCF≌△DCF, LCBF=∠CDF. .DF =EF, :∠CDF=∠FED=∠CBF. ,∠FED+∠FEC=180°， :∠FEC+∠FBC=180°， :∠BCE+∠BFE=180°， .∠BFE=180°-90°=90°， :∠FBE+∠FEB=90°， .∠FBE=45°， .∠CBE=20°， .∠ABF=90°-∠FBE-∠CBE=25°. 4.(2026浙江台州·二模)如图1，已知ABC内接于⊙O,直径AD1 动点，连接BF分别交AD,AC于点H,K,过点F作FG∥AB交AC H G OG ?O E E E D D 图1 图2 图3 (I)求证：∠BAE=∠CAE; (2)如图2，连接FC,若BF为⊙O的直径， 让教与学更高效 BC,垂足为E.点F为AC上一 于点G. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求证：GF=GC; ②若AG=2GC,BC=6,求AC的长； (3)如图3，若AB=5,BC=6,直接写出FG的最大值： 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②6 3125 796 【分析】(1)根据垂径定理得BD=CD,由同圆等弧等角可证； (2)①设LBAE=∠CAE=a,由同角的圆周角相等，及平行线的性质可得∠GFC=∠ACF,则FG=GC ;②连接AF,先证∠AFG=90°，根据直角边是斜边的一半，得出∠FAG=30°，可得∠BAC=60°，则 ABC为等边三角形，可得AC的长； (3)作FP1AC于J连接O1,F,0F,作B11AC于1.可先求4E=4,由三角形面积可得B1=24 根据am∠4GF=m∠BI-若，得出当P设大时、GF段大，即当O、人F三点我线时。 OF⊥AC. 此时01最小。F1最大.GP也最大.求得015.版据勾股定军求得 AO=+AJ G示芬，即可求解 进而得0F-受F1=0P-01=子根品荟 【详解】(1)解：：AD是⊙O的直径，AD⊥BC, BD CD. ∠BAE=LCAE. (2)解：①设∠BAE=∠CAE=a,则LBAC=2C, :0A=0B, .∠BAE=∠AB0=a. :ZACF ZABO=a. FGI‖AB, ∴.∠AGF=∠BAC=2. :∠GFC=∠AGF-∠ACF=a. .∠GFC=LACF. :FG=GC. ②连接AF, 学科网 www.zxxk.com F :BF是⊙O的直径， E D 图2 ∠BAF=90°. FG‖AB, ∠AFG=90°. AG=2GC,GF=GC, FG1 AG 2 ∠FAG=30°. ∠BAC=60°. △ABC为等边三角形， .AC=BC=6. (3)解：作FJ⊥AC于J,连接OJ,FJ,OF,作BI⊥AC于I. :AD是⊙O直径，AD⊥BC,BC=6, E BE=CE=BC=3,∠AEB=90°. 2 :AB=5, AE=√AB2-BE2=V52-32=4. BCAE-ACB6xx 1=24 5 让教与学更高效 如图： 学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 :Rt△ABI中， B =5 24 tan∠BAI= AB 5 25 FGI‖AB, ∠BAI=∠AGF. FJ24 ∴.tan∠AGF=tan∠BAI= AF-25 :当FJ最大时、GF最大. :0J+FJ20F, :当O、J、F三点共线时，OF⊥AC. 此时OJ最小.FJ最大.GF也最大 .AJ=IAC=5 2 2 0J3 tan∠CAE三Cg=3-O人，即54. 2 01=15 8 :在Rt△AOJ中，A0=VOJ2+AJ2= 0F2 FJ=0F-0=2515_5 8841 FJ_24 5 GF 25 即424. GF 25 GF=125 96 5.(2026浙江台州二模)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=8,点E是边BC上的动点（不与B,C重 合)，过A,E,C三点的圆交菱形ABCD的边CD于点F,作FM⊥AE于点M,交AB于点N. D D R 图1 图2 备用图 (I)如图1，连接EF和AF,求证：△AEF是等边三角形. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，连接BD交NF于点0，连接OA,OE,0C. ①求证：0A=0E=0C. ②设BE=x,B0=y,求y关于x的关系式. (3)AN的最小值为_ 【答案】(1)见详解 20见详解②y=5(x+8) 3 (3)16√3-24 【分析】(1)证明ABE≌ACF,再根据同弧所对的圆周角相等可知∠AFE=60°即可求解； (2)①根据中垂线可知OA=OE,再根据菱形的对角线是菱形的对称轴可知OA=OC,即可求证；②过 点E作GE⊥OB,过点O作OH⊥AB,根据三角函数，用x,y来表示OA,OE,进而构造等量关系化简即 可； (3)以N为圆心，AN为半径画圆，当E为切点时，取得最小值. 【详解】(1)证明：连接AC, B 在菱形ABCD中，∠ABC=60°， :BA BC, .ABC是等边三角形， ∴.AB=AC, ∴.∠BAC=∠BCA=∠ACD=60°， :四边形AECF是圆的内接四边形， ∠AEC+∠AFC=180°， :∠AEC+∠AEB=180°， ∴.LAEB=LAFC, 在△ABE和△ACF中， 耐学科网 I∠AEB=∠AFC ∠ABC=∠ACD AB=AC :△ABE≌△ACF(AAS), ∴.AE=AF, 在圆内，AE=AE 则∠ACB=∠AFE=60°， △AEF是等边三角形； (2)①证明：连接AC, 在等边三角形△AEF中，FM⊥AE, .FM是边AE边上的中垂线， .0A=0E, :AC、BD是菱形ABCD的对角线， BD是AC的垂直平分线， ∴0A=0C, .0A=0E=0C; ②解：过点E作EG⊥OB垂足为点G, 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD= .∠CBD=LABD=30°， www.zxxk.com 让教与学更高效 过点O作OH⊥AB垂足为点H, AB=8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE =x,BO y, BG=BE.cos∠CBD= x, GE=BE·sin∠CBD= x, OG=BO-BG=y- -x, .BH=BO·coS∠ABD= 5y,0H=B0sin∠4BD=2 H=4B-8H=8 2， 0A=0E, 0A2=0E2, jj9 √3(x+8) (3)解：：FM是边AE边上的中垂线， .AN =NE, 以N为圆心，AN为半径画圆， D NA M 当E为切点时，NE取得最小值， :.NE⊥BC 设AN=m, .BN 8-m NE =m ∴sin LABC=E-=m=V5 BN 8-m 2 .m=16V3-24 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .AN的最小值为163-24. 6.(2026浙江温州·二模)等腰ABC中，AB=AC,P为边AC上一点，△PBC的外接圆与∠ACB的角 平分线交于点D,过点P作BP的垂线交BD的延长线于点E,连结AE,anLACB=2 5 (I)求证：BD=DE. (2)若PE∥CD,BC=10. ①求AP的长. ②求、 SAARP 【答案】(1)见详解 (2)03:②4 9 【分析】(I)观察BD所在的图形，首先连接DP,由角平分线的条件易知BD=DP,然后利用Rt△BPE证 明DP=DE即可解决； 2)由PE/CD可CD为直径，而可知PC=BC,然后等费三角形ABC中，根据an∠ACB求 出AC,继而求出AP的长；观察图形可知，△AEP,△ABP底边是相同的，因此作BF⊥CA于F,EH⊥CA 的延长线于H,然后求的值即可求解 BE 【详解】(1)证明：如图1，连接DP, :CD平分∠BCP, B 图1 .∠BCD=∠DCP, 学科网 www zxxk.com :BD=DP. ∴.∠DPB=∠DBP. 又PE⊥BP, LBPE=90°， .∠DPB+∠DPE=∠DBP+∠DEP=90°， ∠DPE=∠DEP, .DP DE, :BD DE (2)解：①如图2，过点A作AM1BC于M, PE∥CD,PE⊥BP, 图2 CD⊥BP. 由(1)已知BD=DP, CD垂直平分BP, .PC=BC=10, 在R6ACM中，CM=BC=x10=5,an∠ACB=1 2 2 5 :AM=12cM=12, 5 .AC=13, AP=AC-PC=13-10=3; ②由①易知△PCD≌△BCD, LCPD=∠CBD. 在圆内接四边形DBCP中，LCPD+∠CBD=180°， ∠CPD=∠CBD=90°. 如图3，连接DP,作BF⊥CA于F,EH⊥CA,交CA的延长线于H 让教与学更高效 ,则EH DP‖BF. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H BD =DE, 图3 PH DE BD =1,即PH=PF, 在RtABCF中，BC=I0,an∠4CB=12 设CF=5x,则BF=12x,BC=13x, cos∠ACB=5 3 ∴.CF=BC.cos∠ACB=10× =9,PH=PF=PC-CF=10-50-80 1313 BF=120 13 有条件易知aEHP∽△PFB, EH PF HP BF 8080 EH=PH.PF=1313_160 BE 120 39 13 160 EH39-4 BF-120-9 13 S.AEE4 S. 【点晴】本题综合考查了圆、相似、直角三角形等知识.能结合图形作出恰当的辅助线，建立相关知识间 的内在联系，找到解决问题的突破口是解题的关键. 7.(2026浙江台州·二模)如图，四边形ABCD内接于以对角线BD为直径的圆，AC=BC,过点C与AD 平行的直线交BD于点E,交AB于点F· 命学科网 www.zxxk.com (I)求证：BE=DE. (2)若AB=6,BC=5,求△ACD的面积. 【答案】(1)证明见详解 聘 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，相似的判定和性质， (1)根据圆周角定理可推得CF⊥AB,再根据等腰三角形三线合 △ABD∽△FBE,即可得证； (2)过点D作DG⊥AC交AC于点G,根据勾股定理可推得EF 角推得△BEF∽△CDG,则DG 21即可求解 2 【详解】(1)证明：：BD为直径的圆， :.∠BAD=∠BCD=90°， :CF∥AD, .∠BFC=∠BAD=90°，△ABD∽△FBE, 即CF⊥AB, BF BE BA BD AC=BC :.BF=BA, 2 则BF=BE、1 BABD-2' .BE-BD. 即BE=DE; (2)解：过点D作DG⊥AC交AC于点G, 让教与学更高效 能够熟练掌握这些性质是解题的关键. ,符BF=a1,由CF∥AD符 8,CD=1 4,BE=2 ,根据等弧对等 8 耐学科网 www.zxxk.com )可知，LBFC=90,BFAB,BE :BD为直径， E为圆心， AB=6, BF=3, :BC=5, .FC=4,AC=BC=5, 设半径为r,则EF=4-r,BE=r, 在R△8EF中，2=32+4-2，解得r=25 BD=25 7 ,EF=8 :∠BCD=90°， CD-BD-BC:-15 AD=AD :ZDCG=ZEBF :∠BFE=∠CGD=90°， ,△BEF∽△CDG, DG CD 6 EF BE5' DG=21 20 则5am=3ACDG=x5 1 2121 208 8.(2026浙江台州二模)如图1，点A是⊙O上的一个定点，点B, ∠A为锐角，过点B作AC的垂线分别交AC,AC于点D,E,点F 点G. 让教与学更高效 C是⊙O上的动点，且AB=AC, 在边AB上，FE=FB,FE交AC于 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A G 0 (图1) (图2) (I)求证：LBFE=2LBAC. (2)连结0F,如图2，求证：AF=OF. (3)已知⊙O半径为5，求AC.CG的值. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)AC.CG=50 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行线的判定、相似三角 形的判定与性质以及圆周角定理等知识点，熟练运用相关几何定理与性质是解答本题的关键 (1)利用等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，结合三角形内角和定理证明角度的倍数关系； (2)通过连接圆心与圆上的点，结合垂直平分线的判定与性质、平行线的判定，利用等角对等边证明线 段相等； (3)利用(1)(2)的结论，结合等腰三角形的性质推导线段间的数量关系，再通过相似三角形的性质将 所求乘积转化为与圆半径相关的式子，进而求出结果. 【详解】(1)证明：：AC⊥EB, ∠A=90°-∠ABE, .BF=EF, LABE=∠E, ∠BFE=180°-2∠ABE, ∠BFE=2LA: (2)证明：连接A0,BO,C0,EO, / 耐学科网 www zxxk EAB=AC,BO=CO, (图2) :.AO垂直平分BC, :∠CA0=∠BA0, FE=FB,OB=0E, ∴.OF垂直平分BE, :AC⊥BE, .OF∥AC, ∠A0F=∠CA0=LBA0, :AF=OF; (3)解：连接AE,A0,OF,BO, ∠BFE=2∠BAC, E (图1) :ZAGF ZBAC, .AF=FG, :AB=AC,AC⊥EB, ∠CBE=90-∠C=180°-2∠C=∠AGF 2 .LGAE=LCBE=∠AEG, .AG=EG, FB=FE,AB=AC, ..CG=AC-AG=AC-(AB-AF-FG)=2AF, .AF=OF,OA=0B, :∠AB0=∠BA0=∠AOF, com 让教与学更高效 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △AOF∽△AB0, .AC.CG=2AB.AF =2042=50. 9.(2026浙江台州二模)如图①，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB、DC的延长线交于点E ,AD、BC的延长线交于点F,连接EF,已知BE=BF. B 图① 图② (1)若∠EBF=100°，求∠EDF的度数： (2)求证：CE=AF; (3③)如图②，若AD是直径，CB=kMB,求D的值（用含k的代数式表示）. DE 【答案】(1)80 (2)证明见解析 号 【分析】(1)利用等腰三角形性质、圆内接四边形对角互补求解； (2)在BE上截取一点G使EG=CF,连接FG,证明△EGF≌△FCE,根据角的关系推导LA=LAGF, 得到结论： (3)由AD为直径得直角，结合相似三角形性质、等腰三角形边角关系求解. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠ABC+∠ADC=180°， 又：∠ABC+∠EBF=180°， .∠ADC=∠EBF=100°， .∠EDF=180°-∠ADC=80° (2)解：在BE上截取一点G使EG=CF,连接FG, / 耐学科网 www.zxxk.com BE=BF, G .∠BEF=∠BFE, EG=CF,EF=FE, :△EGF≌△FCE(SAS）, :EC=FG,∠EGF=∠ECF, :LAGF=∠BCE, :∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠BCE=180°， ·LA=∠BCE, :∠A=∠AGF, :AF=FG, :CE AF. (3)解：过点F作FH⊥AE于点H,连接BD,在BE上截取一点G使EG 根据(2)的结论，△EGF≌△FCE, BE=BF,EG=CF, :BG BC kAB 根据圆周角定理，∠BCD+∠A=180°，∠BCE+∠BCD=180°，∠ECF+∠BCE: ∴∠A=∠BCE=∠AGF, “△AFG是等腰三角形， 根据等腰三角形性质，AH=GH=AB, BH=k-1AB, :AD为直径， .AB⊥BD, :FH∥BD, AD AB 2 DF-BH-k-1 让教与学更高效 =CF,连接FG, 180°，∠EGF+∠AGF=180°， 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B H ?o G 图② 10.(2026浙江金华二模)如图，已知正六边形ABCDEF. D 图1 图2 (1)尺规作图并证明： ①在图1中，作线段CD的垂直平分线GH,交AF于点P(不写作法，保留作图痕迹). ②证明：PA=PF 巴的值· (2如图2，已知点P为AF的中点，连接PD,CE交于点0，求D 【答案】(1)①见解析；②证明见解析 a 【分析】(1)①直接利用垂直平分线的尺规作图作法求解即可；②如图1，连接AC,PC,PD,DF,利用 垂直平分线的性质以及平行线的性质可得∠APC=∠PCD=∠PDC=∠FPD,再结合正六边形的性质证明 △CAP≌△DFP，最后根据全等三角形的性质即可证明结论： (2)根据正六边形的性质以及等边对等角可得∠CED=30°，∠CEF=90°，∠FEM=90°，设正六边形 ABCDEF的边长=2a,易得EF=2a、FM=4a、PF=a,PM=5a,再证明△PQM∽aDQC,利用相似 三角形的性质即可解答 【详解】(1)解：①如图：直线GH即为所求 H D ②如图1，连接AC,PC,PD,DF, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :GH是线段CD的垂直平分线， A D 图1 :.PC=PD. LPCD=∠PDC. :AF∥CD, 、∠APC=∠PCD=∠PDC=∠FPD. :正六边形ABCDEF, :∠ABC=∠BAF=120°. :∠BAC=30°，∠CAP=90° 同理：∠DFP=90°， ∠CAP=∠DFP. 在△CAP和△DFP中， [∠CAP=∠DFP ∠APC=∠FPD, PC=PD ∴△CAP≌△DFP(AAS, .PA=PF (2)解：如图2，延长AF、CE交于点M, A -----------M :正六边形ABCDEF, 图2 :∠AFE=∠FED=∠CDE=120°. CD=DE, :∠CED=30°，∠CEF=90°，∠FEM=90°. 设正六边形ABCDEF的边长=2a, 命学科网 www zxxk.com 在Rt△EFM中，∠EFM=60°，EF=2a, .FM =4a. :点P是AF的中点， :PF=a,PM =5a. AF CD, :△PQM∽aDQC PO PM 5a 5 'DO CD 2a 2 11.(2026浙江舟山二模)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点 D (1)求证：AE=AD; (2)如果AD=5,AF=4,求EF的长. 【答案】(1)见解析 (2)EF=1 【分析】(I)证明△ABE≌aDFA,进一步即可得到结论； (2)根据线段的和差计算即可. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ∠B=90°，ADBC, ∴.∠AEB=∠DAF, DF⊥AE, ∠AFD=90°， ∴.∠AFD=∠B, :在△ABE和△DFA中， ∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFD AB=DF .△ABE≌aDFA(AAS), :AE AD; 让教与学更高效 DF⊥AE于F,DF=AB. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：：AD=5, :AE AD=5, EF=AE-AF,AF=4, EF=1. 12.(2026浙江宁波·二模)如图，已知正方形ABCD,AB=6,E,F是AD,AB上的两个动点， CE⊥DF,CE,DF交于点G. B (I)求证：CE=DF; (2)若四边形AEGF的面积为4V5,求CE的长； ③)求E的最小值。 DE 【答案】(1)见解析 o 36-1 2 【分析】(1)根据ASA证明△CDE≌△DAF即可得出结论； (2)由△CDE≌△DAF得S,cDE=S,DAF,可求出ScDG=Ss边形AGF=4V5,设DG=a,CG=b,其中a<b, 2小=45.b=85.。+6:6,解得82NS'再证明CG0n:CDE,根据相似三角形 a=4 的性质列式解答即可； (3)由△CDE≌△DAF得AF=DE,设AF=x,则DE=x,AE=6-x,求出EF2=2x2-12x+36, DF2=x2+36,设k=EF2 ,测-2红136，其中0<1，求得35541，得出 。的最小值 x2+36 2 为5-1） 可得出F的最小值， 2 DE 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠ADC=90°，CD=DA, ∠1+∠2=90°， 耐学科网 www.zxxk.com :CE⊥DF, .∠2+∠3=90°， ∠1=∠3， :aCDE≌△DAF(ASA, E :CE=DF (2)解：：△CDE≌△DAF, SCDE=S.DAF S.CDE -S.DEG S.DAF -S.DEG 即ScG=S边形HBGr=4V5, 设DG=a,CG=b,其中a<b,则S=)ab-=4W5,h=85 2 DG2+CG2=CD2 a2+b2=36 ab=815 a2+b2=36 a=4 a=2v5 解得 6=25或6=4 (舍) :∠DCG=∠ECD,∠CGD=∠CDE=90°， .△CGDACDE, CG CD ,即256 CD CE 6 CE c-5, (3)解：由(I)得aCDE≌△DAF, :AF =DE, 设AF=x,则DE=x,AE=6-x, EF2=AE2+AF2=(6-x)2+x2=2x2-12x+36,DF2=AD2+AF2 让教与学更高效 =62+x2=x2+36, 学科网 www.zxxk.com 0P,则k=2r-12x+36 设k=EF? 其中0<k<1, x2+36 .2x2-12x+36=x2+36k,即(k-2)x2+12x+36k-36=0, A=14-4k-236k-36)≥0，解得3-5≤k≤3+5， 2 2 3-V ≤k<1, 含5.5- EF2 2 EF DE 的最小值为5-1 考点2 几何证明角度相等 13.(2026浙江绍兴·二模)如图，在正方形ABCD中，P为BC边上 以AP为直径作圆，交对角线BD于点E,连接AE并延长交CD于点F D D E F F B P B P (备用图) (I)若BP=3,求线段AE的长. (2)求证：∠APF=∠AEB. (3)设BP=x,记△ABE与ADE的面积差为y,试确定y与x的函数关 【答案】()4B-5v2 (2)证明：如图，延长FD至点Q,使得DQ=BP,连接AQ,EP, A D E F B P C 让教与学更高效 点（不与点B,C重合），连接AP, 连接PF.已知AB=4. 系式 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :正方形ABCD, .AB=AD,∠ABP=∠ADF=90°， ∠ABP=∠ADQ=90°， .BP=DO, :△ABP≌△ADO SAS), .∠1=∠3，LAPB=LAQF,AP=AQ, :∠AEP=90°，∠APE=45°， ∠PAE=45°， .∠1+∠2=45°， ∠3+∠2=45°，即∠0AF=45°， :∠PAF=∠QAF, AP=AO,AF=AF, :,△APF≌△AQF(SAS), :∠APF=∠AQF, .∠APB=∠APF, 又：∠APB=∠AEB, ∴∠APF=∠AEB; (3)y=2x 【分析】(1)连接EP,由圆周角定理得∠ABP=∠AEP=90°，即得AP=V32+42=5,再根据等腰直角三 角形的性质和勾股定理解答即可求解； (2)延长FD至点Q,使得DQ=BP,连接AQ,EP,可证△ABP≌△ADQ(SAS),得到∠1=∠3， LAPB=LAQF,AP=AQ,再证明△APF≌△AQF(SAS),得到∠APF=∠AQF,进而由∠APB=∠AEB即 可求证； (3)连接EP、EC,过点E分别作BC、CD的垂线，交BC、CD于点G、H,过点A作BD的垂线，交 干真1，可待机=24B=22,由四边形EGCH是矩形得EH=GC,又由正方形的轴对称件西 AE=CE,由(1)已知AE=EP,进而得到EP=EC,即得到PG=CG=EH,由根据等腰直角三角形 的性质和勾股定理得BE=√2BG,DE=√2EH,得到 BE-DE=√2(BG-EH=√2(BG-PG)=V2BP=√2x,最后根据y=S4BE-S。MDE列出函数关系式即可. 学科网 www zxxk com 【详解】(1)解：如图，连接EP, E B :AP为直径， .∠ABP=∠AEP=90°， BP=3,AB=4, .AP=V32+42=5, :BD是正方形ABCD的对角线， .∠ABD=45°， ,∠APE=∠ABD=45 :,△AEP是等腰直角三角形， ·AE= ,m52 -AP= 2 ； 2 (2)略 (3)解：如图，连接EP、EC,过点E分别作BC、CD的垂线， 垂线，交BD于点I, 4 D E H B G AB=4,∠ABD=45°， ÷4=51B=22, 2 EG⊥BC,EH⊥CD, ∴.∠EGC=LEHC=LBCD=90°， .四边形EGCH是矩形， ∴.EH=GC, 让教与学更高效 交BC、CD于点G、H,过点A作BD的 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由正方形的轴对称性可知AE=CE,由(1)已知AE=EP, .EP=EC, :EG⊥BC, :PG=CG=EH, :∠DBC=45°，EG⊥BC, ∴.BE=V2BG, 同理可得，DE=√2EH, :BE-DE =2BG-2EH=2(BG-EH)=2(BG-PG)=2BP=2x, yw-.w-DE)-xAlxBP-x2x-2 即y=2x. 14.(2026浙江宁波·二模)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O的直径，AC=BC,过点C作 CG⊥BD分别交BD,AB,⊙O于点E,F,G. G (1)求证：①LGCB=∠CBA; ②BE=AD+DE; (2当BF=2GF时，求的值 S.BEF 【答案】(1)①见解析；②见解析 @j 【分析】(1)①由题意得BC=GB,则有AC=GB,然后问题可求证； ②在线段BD上取一点H,使得BH=AD,连接CH,AC，由题意得△CAD≌△CBH(SAS),则有 CD=CH,然后问题可求证； (2)连接BG,由(1)得，CF=BF,设GF=a,则BF=CF=2a,CG=3a,然后可得 BE=Br:-EF:=15a,进而可得△CDE∽△BGE,然后根据相似三角形的性质可进行求解。 【详解】(1)证明：①：GC⊥BD, 耐学科网 .BC=GB .AC=BC, .AC=GB, :∠GCB=∠CBA. ②如图5，在线段BD上取一点H, G .AC=BC, :AC=BC. :CD=CD’ :∠DAC=LDBC. ACAD≌△CBH(SAS, :CD=CH, :GC⊥BD, .ED=EH ∴.BE=BH+EH=AD+DE; (2)解：如图，连接BG, C E G 由(1)得，CF=BF,设GF=a, ..CG=3a, :直径BD⊥CG, ∴CE=GE= 3 2 , www.zxxk.com 让教与学更高效 使得BH=AD,连接CH,AC, 则BF=CF=2a, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷EF=GE-GF=2a, 1 在R△EFB中，BE2=BP-EF-15a, 4 :∠DCE=∠GBE,∠CDE=∠BGE, .△CDE∽△BGE, 9 a2 3 BE2=5 25, 4 ·Sr-EF2 a1 S.BEG EG 3 3 a 2 SACDE5 S MEG 9 1 5 3 15.(2026浙江台州二模)如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接DE交AC于点P,连接BP. D E B (1)求证：∠PDC=∠PBC; (2)若DE=10,EB=2,求AB的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】(1)利用SAS证明△CDP≌△CBP,即可得到∠PDC=∠PBC: (2)设CD=BC=x,则CE=x-2,在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：：正方形ABCD, :CD BC,ZDCA=ZBCA, CP=CP, .ACDP≌CBP(SAS), ∠PDC=∠PBC; 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：：正方形ABCD, CD=BC=AB,∠DCB=90°， :EB=2,DE=10, 设CD=BC=x,则CE=x-2, :在Rt△CDE中，CD+CE2=DE2, x2+(x-2)=102, x1=8,x2=-6(舍去) .AB=CD=8. 16.（2026浙江·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=a·BC,点E是边BC上的一个动点，连接DE,将 线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF交DE于点P. BE (I)求证：∠CEF=∠CDE; (2)当AF经过点C时，点E恰好是BC的中点. ①求a的值； ②当仁④I时，求华的值 AB 3 PE 【答案】(1)证明见解析； 20c的直为1：®行的任为品名 【分析】(1)根据已知条件LDEF=90°，结合矩形LC=90°，∠CEF,∠CDE同为∠DEC的余角，所以相 等，命题得证； (2)①作FG⊥BC,交BC的延长线于点G,先证明△CDE≌aGEF,得到CE=GF,再证△ABC∽△FGC ,得到GF=a·CG,设CG=x,结合点E是BC的中点，AB=a·BC,得到关于a的方程2a2-a-1=0, 解方程，舍去负值，得到a ②延长FG交AD的延长线于点H,设BE=CG=DH=x,在Rt△AHF中根据勾股定理，得到关于x的方 程，解得x=1,x=2,根据x的取值，分两种情况讨论，过点A作A1⊥DE交于点I,结合 耐学科网 www zxxk △AIP∽△FEP,得到结果 【详解】(1)证明：由题意得∠DEF=90°， :∠DEC+∠CEF=90°， :四边形ABCD是矩形， ∠C=90°， .∠DEC+∠CDE=90°， .∠CEF=∠CDE. (2)①作FG⊥BC,交BC的延长线于点G,如下图 刀 .∠FGE=∠ECD=90°， BE :DE=EF,由(1)得∠GEF=CDE, aCDE≌AGEF, :CE=GF,CD=GE, :四边形ABCD是矩形， ∠B=90°， :∠FGE=90o :AB∥FG, :△ABC∽△FGC, AB CB 即B-GF_a-BC =a,GF=a.CG, FG CG BC CG BC 设CG=x, .CE =GF ax, ..CD=GE=CE+CG=(a+1)x, :点E是BC的中点， .BE =CE=ax,BC=2CE =2ax, AB=a.BC,AB=CD=(a+1)x, com 让教与学更高效 学科网 WWW.Zx a+1x=a…2ax, .2a2-a-1=0, a,=1,a2=-2 1 (舍)， :a的值为1. ②由①可知AB=BC,此时矩形ABCD为正方形. AF 41 AB 3 :不妨令AF=√41，AB=3, 延长FG交AD的延长线于点H,如下图 D H CD=GE=BC, BE dG 设BE=CG=DH=x,则CE=GF=3-x, 在Rt△AHF中，AH=AD+DH=AB+CG=3+x, FH=HG+GF=AB+GF=3+(3-x)=6-x, 3+x+(6-x)2=4, x=1,x2=2. 过点A作AI⊥DE交于点I, (i)当x=1时，DE=EF=V22+32=V13, D △AIDn△DCE, BE dG AI DC AD DE kk.com 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AI 3 3=1' 4A1=9 13 △AIP∽aFEP, AP AI 9 PF EF 13 (i)当x=2时，DE=EF=V2+32=0, H :△AID∽△DCE, B AL DC AD DE AI 3 30' AI=910 10 :△AIP∽△FEP, AP AI 9 PE EF=10 综上可得， AP PE 值为号我名 考点3 几何证明全等 17.(2026浙江温州·二模)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点E,BD=2BC,∠CAB=45°， CF⊥AB于点F,交BD于点H.若AF=4,则EH的长为 D 【答案】5 【分析】作EG⊥AB于点G,设LBCF=a,容易判断△ACF是等腰直角三角形，则AF=CF=4, ∠4CP=∠C4B=45.由平行四边形的性质可得E-)4C,BE-号8D,则8E=8C,由等腰三角形的 性质和三角形的内角和定理可得∠EBG=∠BCF=a,从而证明△BCF≌△EBG(AAS),BF=EG,容易 命学科网 www.zxxk.com 证明aAEG∽aACF,则AG=EG=AE=1 AF=CF=AC=2计算得AG=EG=FG 由勾股定理可得BE=2√5，通过△BFH∽△BGE计算出BH,最后作差 【详解】解：如图，作EG⊥AB于点G,设LBCF=a, H B G :∠CAB=45°，CF⊥AB, .△ACF是等腰直角三角形， .AF=CF=4,LACF=LCAB=45°， :四边形ABCD是平行四边形， :AE=1AC,BE=BD, 2 2 .BD=2BC, :BE BC, .∠BEC=∠ACB=∠ACF+∠BCF=a+45°， .∠CBE=180°-LACB-∠BEC=90°-2a, :.∠EBG=90°-∠BCF-∠CBE=a, .∠EBG=∠BCF, .EG⊥AB, ∴.∠BGE=90°=∠BFC, .EG∥CF, .△AEG∽△ACF, .AG EG AE 1 AF=CF=AC=2 1 AG-AF=2.EG-TCF-2. .FG=AF-AG=2, 在△EBG和△BCF中， ∠EBG=∠BCF ∠BGE=∠BFC, BE=CB 让教与学更高效 =BF=2, 求出EH即可. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :.△BCF≌△EBG(AAS) .BF=EG=2, .BG FG BF 4, 在RtABEG中，BE=VEG2+BG2=V22+42=2V5, :EG∥CF, ·△BFH∽△BGE, BH BF 1 BE=BG=2 班三E= :EH BE BH =5. 18.(2026浙江宁波·二模)如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连结AE,AE=BC,过点D作 DF⊥AE于点F. (1I)求证：△ABE≌△DFA; (2)连接BD,交AE于点G,若AB=3,CE=1,求AD的长 【答案】(I)证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC, ∠AEB=∠DAF,∠ABE=90°， AE=BC, .AE=AD, .DF⊥AE, ∠AFD=LABE=90°， △ABE≌△DFA(AAS): (2)5 【分析】(1)根据矩形的性质得出直角和平行线，根据平行线的性质得出内错角相等，然后利用AAS证明 三角形全等； (2)由全等三角形的性质得出相等的边，设BE=AF=x,得出AE=x+1,利用勾股定理列出方程求解. 【详解】(1)略 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：由(1)得△ABE≌aDFA, :设BE=AF=X, :AE=BC, :AE-AF =BC-BE, 即EF=CE=1, :AE=AF+EF =x+1, 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2, .9+x2=(x+1)2, 解得x=4, :BE=AF=4, :AD BC BE CE=5. 19.(2026浙江宁波二模)如图，在锐角ABC中，AB<AC<BC,现要找一点D,使得LBDC与∠A相 等，小聪与小明的作法分别如下： 小聪：分别以点B,C为圆心，AC,AB长为半径画弧，两弧交于点D(BC的下侧)，则点D即为所求 小明：分别作AB,AC的垂直平分线，两线交于点O,以O为圆心，OA长为半径画弧，在弧上任意取一 点D(异于点A,B,C),则点D即为所求 6 小聪 小明 (1)填空（填“小聪”、“小明”）： ① 的作法正确； ② 的作法不正确. (2)证明①正确，写出证明过程； (3)说明②中LBDC与∠A的大小关系， 【答案】(1)①小聪的作法正确；②小明的作法不正确 (2)证明：由作图过程可知，BD=AC,CD=AB, 在ABC和△DCB中， 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AB=DC AC=DB BC=CB ∴.△ABC≌△DCB. .∠BDC=LA (3)∠BDC=∠A或∠BDC+∠A=180° 【分析】(1)由作图过程可知△ABC≌△DCB,故小聪的作法正确；由作图过程可知，当点D和点A位 于BC异侧的弧上时，BDC与∠A不一定相等，故小明的作法不正确： (2)根据全等的判定方法证明△ABC≌△DCB即可； (3)根据点D的位置分情况讨论即可. 【详解】(1)略； (2)略； (3)解：∠BDC=∠A或∠BDC+∠A=180°，理由： 如图1，当点D和点A位于BC同侧的弧上，根据同弧所对的圆周角相等，则有∠BDC=∠A: D 图1 如图2，当点D和点A位于BC异侧的弧上，此时四边形ABDC为圆的内接四边形，根据圆内接四边形对 角互补，则有∠BDC+∠A=180°. 图2 【点晴】熟悉尺规作图的过程及几何原理是解决本题的关键 20.(2026浙江温州·二模)如图，在正方形ABCD中，点E为AB边上的一点，延长AB至点F,使 BF=AE,以BF为边作正方形BFGH,使点H落在BC上，连接DE,EG. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D C G B (1)求证：△ADE≌△FEG. (2)连接EH,若CH=2,△EHG与△EFG的面积之比为3：5，求四边形EFGH的面积. 【答案】(1)：BF=AE, :BF +BE =AE BE, :EF=AB, :正方形ABCD, AD=AB,∠A=90°， :AD=EF, :正方形BFGH, BF=FG,∠F=90°， .AE=FG,∠A=∠F, △ADE≌△FEG SAS). (2)12 【分析】(1)因为正方形ABCD和正方形BFGH的边、角存在特殊性质，且已知BF=AE,所以先梳理两 个三角形△ADE和△FEG的边、角对应相等的条件，选用合适的全等判定定理完成证明： (2)设正方形BFGH的边长为参数，因为CH=2,所以可表示出正方形ABCD的边长；同时根据面积比 的条件，找到△EHG和△EFG的面积表达式，利用面积比建立方程，求解参数后计算四边形EFGH的面积. 【详解】(1)略 3 (2)解： S△EHG=子 SAEFG 5 .HG.FG3 21 1 ·EF.FG 5 2 HG 3 EF=5 :正方形ABCD和正方形BFGH, :AB BC,BH=GH, 丽学科网 www.zxxk.com AE BF, .AE EB BF EB,AB EF, :BH3 BC5' CH=2, :BH=HG=FG=3,BC=EF=5, :8地形0n=2×刘3+5列×3=12. 21.(2026浙江嘉兴·二模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形， 点，DE⊥AG交AG于点E,点B是点B关于直线AG的对称点，BB E B G (I)求证：△ADE≌△ABF; (2)若四边形EBBD是平行四边形，连接DF,求DF的长度， 【答案】(1)证明：：点B与点B关于直线AG对称， BB'⊥AG,即∠AFB=90°. 又DE⊥AG,.∠AED=90°， .∠AFB=∠AED. :DE⊥AG, .∠DAE+∠ADE=90°. :四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，即LDAE+∠BAF=90°， .∠ADE=∠BAF(同角的余角相等). :四边形ABCD是正方形， :AD =AB. 在ADE和△ABF中： ∠AED=∠AFB ∠ADE=∠BAF, AD=AB 让教与学更高效 点G是BC边上异于端点的任意一 交AG于点F,连接EB,DB'. 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △ADE≌△ABF(AAS. (2)4 【分析】(1)利用轴对称与垂直定义得到两组直角，借助同角余角相等证一组角相等，结合正方形邻边相 等，用AAS判定三角形全等 (2)由轴对称、平行四边形性质结合全等结论，推导出E为AF中点，依据垂直平分线性质得线段等量关 系，结合正方形边长求出DF长度， 【详解】(1)略。 (2):点B与点B关于直线AG对称， .BF=B'F,即BB=2BF. :四边形EBBD是平行四边形， ∴.DE=BB', .DE =2BF. 由(1)知△ADE≌△ABF, .AE=BF,DE=AF, ,AF=2AE,即点E为线段AF的中点. 又：DE⊥AG, :DE是线段AF的垂直平分线. :AD=DF :正方形ABCD的边长为4， ∴.AD=4, .DF=4. 22.(2026浙江温州·二模)如图，四边形ABCD为正方形，点E在对角线BD的延长线上，连接EA,EC B (1)求证：△EAB≌△ECB. (2)若∠ECD=25°，求∠AEC的度数， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】(1)根据正方形的性质，得AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°，进而可证得△EAB≌△ECB(SAS): (2)根据正方形的性质和三角形外角和定理可解得∠CED=20°，又有LAED=∠CED,即可求解∠AEC 【详解】(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，BD是它的对角线， 所以AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°， 在△EAB和△ECB中， AB=BC ∠ABD=∠CBD, BE=BE 所以△EAB≌△ECB(SAS): (2)解：因为四边形ABCD为正方形，BD是它的对角线， 所以∠BDC=45°， 又因为∠BDC=∠ECD+∠CED=45°， 而∠ECD=25°，所以∠CED=20°， 由(1)可知∠AED=LCED, 所以∠AEC=2LCED=40°. 23.(2026浙江嘉兴·二模)如图，口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且BE=DF,连接AE, AF. D (1)请添加一个条件，使得。ABE≌△ADF,并加以证明. (2)在(1)的条件下，连接EF,若∠C=120°，CE=2,求EF的长， 【答案】(I)AB=AD,见解析 (2)EF=2√5 【分析】(1)可添加AB=AD,然后利用平行四边形的性质即可证明结论： 命学科网 www zxx k co m (2)先证明▣ABCD是菱形，进而可得CB=CD,得到CE=CF,求出LCEF 于点M,再利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可得解. 【详解】(1)解：可添加：AB=AD, 证明：：oABCD, .∠B=∠D, 在△ABE,△ADF中， AB=AD {∠B=∠D BE=DF :.△ABE≌△ADF(SAS); (2)解：：AB=AD,四边形ABCD是平行四边形， .oABCD是菱形， ∴.CB=CD, BE DF, .CE=CF, ∠C=120°， .∠CEF=∠CFE=30°， 作CM⊥EF于点M,如图， 则EM=FM=EF,CM=CE=1, 在直角三角形CEM中，EM=V22-12=√5， :EF=2EM=25. 24.(2026浙江温州·二模)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边AB, DE,DF. 买‘H0=IF百TO8 d☒TN0w‘0￡=☒07= 华旦重右与谁 学科网 www.zxxk.com B (1)求证： ADE≌CDF. (2)若∠B=120°，∠CDF=15°，求∠DEB的度数. 【答案】(1)见解析 (2)75° 【分析】(1)由菱形的性质得AD=CD,∠A=∠C,根据SAS可证明ADE≌ (2)由全等三角形的性质得∠ADE=∠CDF=15°，由菱形的性质得LA=60°， 可得结论 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， AD=CD,∠A=∠C, 又AE=CF, :.△ADE≌△CDF(SAS); (2)解：：ADE≌CDF, ∴LADE=LCDF=15°， 又四边形ABCD是菱形， .AD∥BC, LA+∠B=180°， ,∠B=120°， ∠A=180°-∠B=180°-120°=60°， ∠DEB=∠A+LADE=60°+15°=75° 25.(2026浙江金华二模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,LABC=LC BE=DC. B / 让教与学更高效 CDF; 再根据三角形外角的性质 =90°，点E在BC上，且 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△ABE≌△BCD. (2)已知DC=2,BC=3,求AE的长. 【答案】()见解析 (2)AE=V13 【分析】(I)直接利用SAS证明三角形全等即可； (2)由全等三角形的性质可得DC=BE=2,AB=BC=3,再在Rt△ABE中运用勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：在aABE和△BCD中， AB=BC ∠ABC=∠C=90°，. BE=DC .△ABE≌△BCD(SAS) (2)解：△ABE≌△BCD,DC=2,BC=3 .DC=BE =2,AB=BC=3. 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2, :22+32=AE2,解得：AE=√13. 26.(2026浙江宁波·二模)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE,在AE上截取 AM=BE,延长AD到点F,使得AF=AE,连接MF、EF. D F E (I)求证：△ABE≌△FMA; (2)若AB=4,BE=3,求EF的长. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)25 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析计算是解题的关 键. (I)根据已知条件证明∠AEB=∠EAF,利用SAS证明三角形全等即可； (2)利用勾股定理求出AE,求出ME,再利用勾股定理计算即可； 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为正方形， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B=∠BAD=90°， ..∠BAE+∠AEB=90,∠BAE+∠EAF=90, .∠AEB=∠EAF 在△ABE和FMA中， AE=AF,∠AEB=∠MAF,BE=MA, ∴.△ABE≌△FMA(SAS). (2)在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=5, ,△ABE≌△FMA, .AM=BE=3,FM=AB=4,∠AMF=∠ABC=90°， :ME=AE-AM=5-3=2,∠FME=90°， 在Rt△EFM中，EF=VEMP+FMP=2√5 考点4 求线段长 27.(2026浙江宁波二模)如图，在矩形ABCD中，AD=6,点E,F分别为AB,BC的中点，连结 DE,作点A关于直线DE的对称点G,连结GF,当GF∥AB时，AB的长是() G F E A.45 B.2W5 C.8 D.6N2 【答案】A 【分析】连接AG，延长FG交AD于点H,根据已知条件可以证得HF是AD的垂直平分线，根据垂直平 分线的性质可以得出DG=AG,再结合A,G关于DE轴对称，所以可以得出AD=DG,进而得出三角 形AGD是等边三角形，再由对称性可得∠ADE等于30°，利用含30°的直角三角形ADE即可求出AE,最 后便能求出AB. 【详解】解：如图，连接AG,延长FG交AD于点H, 函学科网 D G 在矩形ABCD中，∠B=∠DAE=90° AD∥BC,且AD=BC GF∥AB ∠GFB=90°，即GF⊥BC :GF⊥AD :四边形ABFH是矩形 :AH =BF :F是BC中点 BF-7BC AH =AD 21 .HG是AD的垂直平分线 .DG=AG A,G关于直线DE对称 ·AD=DG,∠DAE=∠GDE :△ADG是等边三角形 .∠ADG=309 :∠ADE=30° .AE-DE AE2+AD2=DE? .AE2+36=4AE2 解得AE=2V万 :E是AB中点 AB=2AE=4√5 28.（2026浙江嘉兴·二模)如图1，在矩形 www.zxxk.com ABCD中，E是BD上一定点， 让教与学更高效 点P从B点出发，沿BA,AD两 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边匀速运动，运动到点D停止.设点P运动的路程为x,PE的长为y,y关于x的函数关系图象如图2所 示，其中F,G分别是两段曲线的最低点，下列选项正确的是() E 8 6 10 B 图1 图2 A.AD=8 B. F点坐标为5,5】 24 C. PE的最小值为 7 D.点M的横坐标为3 【答案】D 【分析】连接AE,过点E分别作EG⊥AB,EH⊥AD,根据图象可得BE=8,AB=I0,△AEB是直角三 角形，且LAEB=90°，则有sin∠4BD=AE_3.。 、B=,cOs∠4BDB石-号，然后限据国数图象及三角海数进了 行求解， 【详解】解：连接AE,过点E分别作EG⊥AB,EH⊥AD, B 由图象可知：当x=0时，y=8,即当点B与点P重合时，BE=8, 当x=10时，y=6,即AE=PE=6,此时点P与点A重合，则AB=10, :BE2+AE2=82+62=100=AB2, ∴.△AEB是直角三角形，且∠AEB=90°， ABS,cos∠ABD=BE、4 ·sin∠ABD=AE=3。 AB5' 由E是BD上一定点，点P是动点可知：当点P在线段AB上运动时，最小值为EP⊥AB时，此时点P与点 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G重合， .BP=BE.cos∠ABD 32,PE=BE-sin∠ABD=24 :F是第一段曲线的最低点， :F点坐标为 3224 5’5 ,故B错误； 当点P在AD上运动时，最小值为PE⊥AD时，此时点P与点H重合， :∠BAE+∠ABD=∠BAE+∠DAE=90°， ∠ABD=∠DAE, &sim∠DAE=LABD=c0 LDAE-c05∠ABD,} ÷EH=4E.sin∠DAE=18=PE,AH=4E.cos∠DAE=24 5 ÷1824 5<5 一PE的鼓小佰为.故C箱谈： 在Rt△MEDp,COS LDAE-=6 ,AD= os∠D1E2,故A错误 AE 15 :点P运动的总路程为AB+AD=10+15_35 22 :点M的横坐标为”，故D正确。 35 29.(2026浙江台州二模)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若 ∠ADB=30°，则∠E的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【分析】连接AC交BD于O,由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE,知LE=LCAE,而 ∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数 【详解】解：连接AC交BD于O, O :四边形ABCD是矩形， 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :AD /BE.AC=BD,AO=TAC,DO=IBD, ∠E=∠DAE, AC=BD.AO=)AC.DO-2BD. .A0=D0, ∠ADB=∠CAD=30° :BD=CE :CE=CA, :ZE ZCAE, ·∠DAE=LCAE :∠CAD=∠CAE+∠DAE=30°， ∠DAE=LCAE=15°， ·LE=∠CAE=15°. 30.(2026浙江舟山二模)如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点C作CG⊥BC,交BD于点G,若 BD=18,DG=5,则菱形的边长为(). B A.10 B.11 C.3√13 D.5N+2W5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得CB=CD,过点C作CH⊥BD于点H,利用等腰三角形三线合一求出BH的 长，再证明aBCH∽△BGC,利用相似比求出BC的长即可. 【详解】解：过点C作CH⊥BD于点H D H :四边形ABCD是菱形， .CB=CD :CH⊥BD, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BH=DH=-BD=7X18=9> 2 :BD=18,DG=5, BG=BD-DG=18-5=13, :CG⊥BC, ∠BCG=90°， :CH⊥BD, LBHC=90°， .∠BHC=∠BCG, 又：∠CBH=∠GBC, ∴△BCHn△BGC, BC BH BG-BC' 即BC2=BH·BG, ∴.BC2=9×13=117, BC=17=313. 即菱形的边长为3√3 31.(2026浙江温州二模)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE、BCF、△CDG, △DAH)和中间一个小正方形EFGH组成.若AE=3,GH=1,则tan∠EAB的值为() D A.3 B.3 D. 2 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出HE=GH=1,根据全等三角形的性质得出BE=AH,结合图形得出 AH=AE-HE=2,从而求出BE的长，最后在Rt△ABE中利用正切定义求解. 【详解】解：：四边形EFGH是正方形，GH=1, :HE=GH=1 :△ABE≌△DAH, ∴BE=AH, 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由图可知点H在线段AE上， :AH AE-HE=3-1=2. .BE=2 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， :ian∠EAB=BE-2 32.(2026浙江台州二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是CD的中点.将矩形ABCD绕 点E顺时针旋转得到矩形A,B,CD,边B,C与边AD交于点F,连结A,B.当点F落在A,B上时，AF= B D D 【答案】2-√2或2+√2 【分析】连接EA,EB,EF,EA,设AF=x,根据矩形性质和旋转性质可得DE=EC=EC,=1, DF=C,F=4-x,进而得出BF=x,利用勾股定理表示出BF和AF,结合A,F,B共线及EA=EB推导 出EF⊥AB,利用角度转换运算可得∠ABF=∠EFD,再根据三角函数建立方程求解即可. 【详解】解：连接EA,EB,EF,EA,如图： B A 、刀 D, 四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,E是CD的中点， B .CD=AB=2,AD=BC=4,∠D=∠C=90°，DE=CE=1, 由旋转的性质可得，EC=EC=1,∠C,=∠C=90°， 耐学科网 www zxxk .CD1=2,BC1=4,AB1=2, 在RtEDF和RtaEC,F中， EF=EF DE=EC' :RtAEDF RtAEC F (HL), :DF=C F, 设AF=x,则DF=AD-AF=4-x, .CF=4-x, :点F在边B,C上 B,F=B,C1-CF=4-(4-x=x, 在RtAABF中，BF=VAB2+AF2=V4+x2, 在RtaA,BF中，AF=√A,B2+B,F2=V4+x2, ∴BF=AF, :点F落在A,B上， F是AB的中点， 在RtADE中，AE=√AD2+DE2=√16+1=√7， 在RtaBCE中，BE=VBC2+CE2=√6+I=√7， 由旋转性质可知EA,=AE=7, .:EA EB, :F是A,B的中点， .EF⊥AB,即∠EFB=90°， :点F在AD上， :∠AFB+∠EFD=180°-∠EFB=90°， :∠BAD=90°， ∠AFB+∠ABF=90°， com 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABF=LEFD, .tan∠ABF=tan∠EFD, 即AFED AB DE x=1 ”24-x x2-4x+2=0 解得x1=2+√2，x,=2-√2. 【点晴】解题核心是利用旋转性质与全等三角形转化线段，结合等腰三角形“三线合一”和三角函数建立方 程，将几何关系转化为代数问题求解 33.(2026浙江温州二模)如图，矩形EFGH可由矩形ABCD沿着对角线向右平移得到（点A,B,C, D的对应点分别为E,F,G,H).边CD,BC分别交边EH,EF于点M,N,连结AH交CD于点K,若AE=2 ,EC=1,∠DAH=∠ACD,则AH的长为 【答案】 o 【分析】根据平移的性质可得AD IEH且AD=EH,结合矩形性质可证△ADK~△CDA及△EMC~△ADC, 利用相似三角形的性质表示出AK与AD,CD的关系以及MH与AD的关系，进而通过△ADK~△MHK得到 AH与AD,CD的数量关系，最后构造直角三角形利用勾股定理建立方程求解， 【详解】解：由平移的性质可知，AD EH,AD=EH,AE=2, :矩形ABCD沿对角线AC平移，AE=2,EC=1, :AC=AE+EC=3, :四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90°，AD2+CD2=AC2=9, :AD‖EH,∠ADC=90°， ∴∠EMC=∠ADC=90°，即EH⊥CD, 在△ADK和△CDA中， ∠ADK=∠CDA=90°，∠DAK=∠ACD, 学科网 www zxxk.com △ADK~ACDA AKAD CA CD ,即AK=3D CD 在△EMC和△ADC中， ∠EMC=∠ADC=90°，∠MCE=∠DCA, △EMC~△ADC, 0能w0. 3 :.MH=EH-EM=AD-1AD=2 AD, 3 3 AD‖EH, ∠DAK=∠MHK,∠ADK=∠HMK=90°， △ADK~△HMK, AK AD AD3 KH-MH 2 AD 2, 3 5、3AD5AD AH-AK-CD 过点H作HP⊥AC交AC的延长线于点P, D AD‖EH, ∠HEP=∠CAD, 在R1aHPE中，HP=EH-sin∠HEP=AD.CD-AD,CD,EP=EH AC 3 在Rt△AHP中，AH2=AP2+HP2=(AE+EP)2+HP2, =2+040巴-4+00，o0 9 9 :AD2+CD2=9, AH:=4+4AD+4D(4D2+CD)-4+44D+9AD=4+ 3 9 3 9 3 又：AH=5AD CD' :AH2=25AD25AD2 CD2 9-AD2 让教与学更高效 coS∠HEP=AD. AD AD2 AC3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25AD2 9-AD2 =4+7AD, 3 设AD2=x,则 25x 7 =4+3x 9- 整理得7x2+24x-108=0, 解得x=1，=-6（舍去， 18 AH=4+7x18 37 4+6=10, ..AH=10 34.(2026浙江绍兴·二模)某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示 意图如图2)，每个菱形的边长为0.3m.当菱形内角α的度数从120°缩小到60°时，伸缩门的总长度缩小了 约 m.(结果精确到0.1m,√3≈1.73) 20个 ●●● 图1 图2 【答案】4.4 【分析】连接BD,AC相交于O,首先根据勾股定理及30度角的性质求出BD=2OB=30√5cm,得到校 门关闭时，伸缩门的宽度为6√3m,根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质求出校门部分打开时，伸 缩门的宽度为6m,进而求解即可. 【详解】解：如图所示，连接BD,AC相交于O, D0.3m=30cm, :四边形ABCD是菱形， AB=AD,BD=2OB,AC⊥BD, :∠BAD=120°， .∠ABD=∠ADB=30°， C.OA-4B=15cm. ：OB=VAB2-OA=155cm 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BD=20B=30V5cm, :.校门关闭时，伸缩门的宽度为30√3×20=600V3cm=6V3m. 如图所示，连接B'D, D :校门部分打开时，菱形内角的度数从120°缩小到60°， ,△A'B'D'是等边三角形， .B'D'=A'B'=30cm, :.校门部分打开时，伸缩门的宽度为30×20=600cm=6m, “伸缩门的总长度缩小了(65-6≈6×1.73-6=4.38≈4.4m. 35.(2026浙江温州二模)如图，菱形ABCD,AB=6,AE是BC边上的高线，以AE为直径作⊙O,连 接AC,交⊙O于点F,若AF:FC=5:1,则⊙O的直径为. 【答案】25 【分析】连接EF,根据直径所对的圆周角是直角可得∠AFE=90°，由AE⊥BC,则有 LEFC=LAEC=90°，证明△CFE∽△CEA,得出CE2=CF·CA,设CF=x,表示出CE和AE,再在 Rt△ABE中利用勾股定理建立方程求解. 【详解】解：连接EF,如图， :AE是⊙O的直径， B E ∠AFE=90°， :AE⊥BC, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LAEC=90°， 在△CFE和aCEA中， :∠EFC=∠AEC=90°，∠ECF=LACE, ∴△CFE∽△CEA, CE CF CA CE ∴.CE2=CF.CA, :AF:FC=5:1, :设CF=x,则AF=5x,AC=AF+FC=6x, CE2=x·6x=6x2, :CE>0, .CE=6x, 在Rt△AEC中，AE2=AC2-CE2=(6x)-6x2=30x2, :四边形ABCD是菱形，AB=6, :BC=AB=6, .BE BC-CE =6-x, 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2, 62=30x2+6-V6x2 36=30x2+36-12V6x+6x2 36x2-126x=0, x≠0， .36x=12V6, “水s6 3； 2 .AE2=30x2=30× 6 =30×6=20, 3 :AE>0, AE=√20=2V5, :⊙0的直径为25. 学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 36.(2026浙江台州二模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E,F分别是边AB,AD上的点，连结 EF,点A关于直线EF的对称点G恰好落在边BC上，连结FG,EG,FG交对角线BD于点M,若 BG=1,EB=3,则BM的长为 D M E B 【答案】4 【分析】过点G作GH∥BD交AB的延长线于点H,先证明aMIG∽△EIB,然后证明△ME∽△GIB,最 后通过△MGB∽△EIB和平行得 EG_EH求解即可. EI BE 【详解】解：过点G作GH∥BD交AB的延长线于点H, D M 5 E :四边形ABCD是菱形， AD∥BC,AB=AD=BC=CD,∠3=∠2， :∠A=60° .L5=LA=60°，△ABD为等边三角形， .∠2=∠3=60° 由对称可得，∠1=∠A=60 .∠1=∠2 .∠MIG=∠EIB ∴.△MIG∽△EIB MI GI :EI BI MI EI GIBI .:·∠MIE=∠GIB ∴.△MIE∽△GIB 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠4=∠3=60°，∠6=∠7 ∴.△MGB∽△EIB, :∠1=∠4=60° ∴∠1=∠4=∠EMG=60° :.△EMG是等边三角形， ∴MG=EG :GH∥BD .∠H=∠2=60°， .∠5=∠H=60°， 同理可得，BGH为等边三角形， .BH =BG=1, :GH∥BD EG EH 3+1 4 EI BE 33 :△MGB∽△EIB,MG=EG MG MB EG ·E1EB 4 BM 33 .BM=4. 37.（2026浙江温州二模)如图，四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图°得到正方形ABCD和正方形 EFGH.延长CH交AD于点M,连结MF交EH于点N.若点N为EH的中点，则BF的值为 AF C 【答案】5-1 2 【分析】证明△EFN≌△HMN(AAS),可得MH=EF,设EF=EH=MH=a,AE=BF=b,则 AF=DE=a+b,根据△AED∽aMHD,可得二- 号-1=0，设8>0，则2+-1=0，解得： a b k=-1+5,a+b-5+1,即可求解 2 b 2 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：根据题意得：MG∥EF,△ADE≌△BAF≌△DCH,∠AED=∠DHM=90°，EH=EF, :∠EFN=∠NMH,∠FEN=∠MHN,△AED∽△MHD,AE=BF=DH,DE=AF, :点N为EH的中点， ∴EN=HN, :.△EFN≌△HIMN(AAS), :MH =EF, 设EF=EH=MH=a,AE=BF=b,则AF=DE=a+b, .△AED∽△MHD, 品器略出 a b, 整理得： b_0-1=0, a b 设号=k>0,则2-1=0， b 即k2+k-1=0, 解得：k=-1+5或1-5 (舍去) 2 2 :b-是-5+1，即a+b-5+1, a k 2 BF b 1 5-1 .AFa+bV5+12· 2 38.(2026浙江舟山二模)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AD=3,P为BD上 的一点，DP=√2，则AP的长度为；若M为AP上一动点，连接CM并将线段CM绕点C顺时针旋转 90°得CN,连接DN,则DN的最小值为 0 【答案】 √5 6W5 5 【分析】过P作PG⊥AD于G,延长AD使DF=AD,作直线NF,延长AP交NF于Q,过D作 DE⊥AP于E,连接CF,交AQ于H,根据正方形的性质和勾股定理即可求出AP;设PE=x,则 AE=5+x,根据DE:=DP:-PE:AD-AE求出AB-65,证明AAMC≌*FNC(SAS),可得 5 ∠CAM=∠CFN,则点N在直线NF上运动，当DN'⊥FN时，DN的值最小，再证明 命学科网 www.zxxk.com △ADE≌△DFN'(AAS)可得DN'=AE,即可得解 【详解】解：过P作PG⊥AD于G,延长AD使DF=AD,作直线NF DE⊥AP于E,连接CF交AQ于H, N:四边形ABCD是正方形， :.∠ADB=∠BDC=∠CAD=45°，∠ADC=∠BCD=∠CDF=90°， DF=AD, :AC=CF, :∠CFA=∠CAD=45°， ∴.∠ACF=90°， PG⊥AD, ∠DGP=∠AGP=90°， ∠GPD=∠BDA=45°， .GD =GP :PD2=GD2+GP2=2GD2=V2=2, :GD=GP=1, AG=3-1=2, :AP=AG2+GP2=5, 设PE=x,则AE=V5+x, .DE2=DP2-PE2 AD2-AE2, (2-x2=32-（5+x, x=5,即PE5 5 AE=5+565 55 :线段CM绕点C顺时针旋转90°得CN, ∴.∠MCN=∠ACF=90°，MC=CN, 让教与学更高效 延长AP交NF于Q,过D作 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ACM=∠NCF, AC=CF, :△AMC≌aFNC(SAS), ·∠CAM=∠CFN, :点N在直线NF上运动， 过D作DN'⊥FN, 当DN'⊥FN时，DN的值最小， ∠FHQ=∠AHC,∠CAM=∠CFN, ∴.∠AQF=∠ACF=90°， ∴.AQ⊥FN, :DN'⊥FN, .DN'll A0, ∠FDN'=∠DAE, :∠AED=∠FN'D=90°，DF=AD, :△ADE≌△DFN'AAS, .DN'=AE 6√5 5 :DN的最小值为 5 39.(2026浙江台州·二模)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E是BC边上的一点，将AABE沿AE翻 折得△AFE,AF与CD相交于点G,点G恰好是CD的中点，若BE=4,则CE= E 【答案】2√5-2 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，能够根据含30°的直角三角形的性质 构造合适的辅助线是解题的关键 连接AC,根据菱形的性质可得△ACD是等边三角形，从而得到AG⊥CD,进一步推得LBAF=90°，根据 折叠的特点可得∠BAE=∠FAE=45°，过点E作EH⊥AF交AF于H,利用勾股定理可得EH=2√5，设菱 形的边长为x,AH=x-2,根据EH=AH即可求解. 命学科网 www.zxxk.com 【详解】解：过点E作EH⊥AF交AF于H,连接AC, A D H G B E 设菱形的边长为x, :四边形ABCD为菱形， :AB=AD CD=x, :∠B=∠D=60°， :△ACD是等边三角形， :点G是CD的中点， DG-CDE -2 AGLCD, 则在RtAADG中，∠DAG=30°， .∠BAD=120°， .∠BAF=90 :将△ABE沿AE翻折得△AFE, .∠BAE=∠FAE=45°，∠F=∠B=60°，BE=EF=4,AF=AB= 在Rt△EFH中，HF=2,EH=2V5, 在Rt△AEH中，AH=EH,即x-2=2V3,解得x=2+2V3, 则CE=x-BE=2V3+2-4=2V3-2. 40.(2026浙江·二模)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相 中心对称.若AC=14,BD=16,则BE= 【答案】25 让教与学更高效 X 交于点P,△EFD与△APD关于点D成 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】利用菱形的性质得到AC与BD互相垂直平分，从而求得AP=PC的长和BP=PD的长，再由 △EFD与△APD关于点D成中心对称，得到△EFD≌△APD(SSS),从而求得BF的值，利用勾股定理即可 得出BE的长， 【详解】解：在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， :AP=PC=TAC=7.BP=PD-1BD=8. 2 2 又：△EFD与△APD关于点D成中心对称， :△EFD≌△APD(SSS), PD=DF=8,∠APD=∠F=90°，AP=EF=7, .BF=BD+DF=16+8=24, 在Rt△BFE中，BE=√BF2+FE2=V242+72=25. 考点5 角度问题 41.(2026浙江宁波二模)如图，正n边形内接于⊙O,点A,B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异 于A,B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为() A B A.8 B.10 C.12 D.20 【答案】B 【分析】由圆周角定理可得∠AOB的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可 【详解】解：如图，连接0A,OB, B .∠ACB=18°， .∠A0B=2∠ACB=2x18°=36 360° =36°， n 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得n=10 42.(2026浙江温州二模)如图，∠1是正五边形的一个外角，则∠1的度数为（) A.60° B.72° C.108o D.120° 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解 【详解】解：正五边形的一个外角=360° 5 =72°， 故选：B. 43.(2026浙江温州二模)如图，在口ABCD中，CE平分∠BCD,若∠A=50°，则∠DEC=() A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD,又根据角平分线的定义可得∠BCE,最后利用平行四边形的性 质求出LDEC即可 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， ∠BCD=∠A=50°， :CE平分LBCD, 1 .∠BCE=∠BCD=25°， :平行四边形ABCD中AD BC, ∴.∠DEC=LBCE=25° 44.(2026浙江绍兴·二模)如图，ABC和ADE都是等边三角形，LBEC=35°，则∠DBE的度数为() / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.90° B.95° C.100° D.105° 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出△ABD≌△ACE,得出对应角相等，然后利用三角形的内角和定理求 解。 【详解】解：：ABC和ADE都是等边三角形， .AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°， ∠DAB=∠EAC, .△ABD≌△ACE(SAS), ∠ADB=LAEC, :∠BEC=∠AEC+∠AEB=35°， ∠ADB+∠AEB=35°， :ADE是等边三角形， ∠ADE+∠AED=120°， :∠BDE+∠BED=∠ADE+∠AED-∠ADB+∠AEB=I20°-35°=85°， ∠DBE=180°-LBDE+∠BED=180°-85°=95°. 45.(2026浙江绍兴二模)如图，直线a∥b,直线c与a,b分别交于点A,B,若∠1=55°，则∠2的度 数是() 0 2yB A.35° B.55° C.125° D.1450 【答案】B 【分析】利用平行线的性质以及对顶角相等即可求解. 【详解】解：如图所示， B 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :a∥b, ∠3=∠1=55°， .∠2=L3=55°. 46.(2026浙江温州·二模)如图，在ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，过点C作CD⊥BC,交∠ABC ,BD交AC于点E,若点F是CD的中点，连接FE,延长交B于点G, B. C.② D.3 2 3 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质可得，BD⊥AC,LA=∠ACB=30°，LABD=∠CBD=60°， 由直角三角形的性质可得，FE=FD=FC,容易判断△CEF是等边三角形，则LCEF=60°，EF=CE, 队而得到∠B6三∠DEF=30°，∠8GE=90°，利用三角函数可开算出EG上5E,P:化： 计算比值即可。 【详解】解：：AB=BC,∠ABC=120°， ÷∠A=∠ACB=180°-∠ABC =30°， 2 :BD平分∠ABC, :∠ABD=∠CBD=号∠ABC=60P,BD1AC, 2 :∠BEC=∠DEC=90°， :点F是CD的中点， .FE FD FC, :CD⊥BC, .∠DCB=90°， .∠DCE=90°-∠ACB=60°， ∴.△CEF是等边三角形， ∴∠CEF=60°，EF=CE, 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :∠BEG=∠DEF=∠DEC-∠CEF=30°， ∴∠BGE=180°-∠BEG-∠ABD=90°， 在RtABEG中，EG=BE·sin∠ABD=BE·sin60°= 3 BE, 在RtA BCE中，CE=BE·tan∠CBD=BE·tan60°=V3BE, J3 BE 2 ..EG EG 1 EF CE3BE 2 47.(2026浙江温州·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以C为圆心，BC长为半径作弧，交 BC延长线于点D,交AB于点E,连接DE,交AC于点F,若LB=59°，则∠AFD的度数为() D B A.108° B.118° C.121° D.131° 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质求出∠CEB和∠ECB的度数，进而得到∠ECD的度数，再由等腰三角形 的性质求出∠D的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠AFD的度数. 【详解】解：连接CE. D :BC=CE,∠B=59°， .LCEB=∠B=59°. ∠ECB=180°-59°-59°=62°. .CD=CE, ∴∠D=∠CED. .∠ECD=180°-∠ECB=180°-62°=118°， ÷∠D=180°，118°=310. :∠AFD是△DFC的外角，∠DCF=90°， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .LAFD=LD+LDCF=31°+90°=121° 48.(2026浙江台州二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若∠ABD=44°，则 D A.∠0DA=46° B.∠0DC=46° C.∠0AD=44° D.∠0BC=44° 【答案】A 【详解】解：选项A,:∠BAD=90,∠ABD=44°，：∠0DA=90°-∠ABD=46°，故选项A符合题意； 选项B,:AB‖CD,,∠ODC=LABD=44°，故选项B不符合题意； 选项C,:0A=0D,:∠0AD=∠0DA=46°，故选项C不符合题意； 选项D,AD‖BC,∠0BC=∠ODA=46°，故选项D不符合题意； 49.（2026浙江台州·二模)如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内 角为 度 【答案】135 【详解】解：正八边形的一个外角为360 =459 .每一个内角为180°-45°=135° 50.(2026浙江宁波·二模)如图，点0是ABC的AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点C, 与AB相交于点D.若∠A=24°，则∠B的度数为 D B 【答案】42° 扇学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 【分析】连接0C,根据圆周角定理求出LB0C=2LA=48°，由BC与⊙O相切于点C,得到LBC0=90° 利用三角形内角和定理即可求解 【详解】解：连接0C, B ∠A=24°， .LB0C=2LA=48°， :BC与⊙O相切于点C, .∠BC0=90°， ∠B=180°-∠B0C-∠BC0=42°. 51.(2026浙江绍兴·二模)如图，AB是⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C,连结AC,若∠ACD=40°， 则∠BAC的度数为 【答案】50°/50度 【分析】连接CO,根据切线的定理，得到LDC0=90°，根据∠BAC=90°-LACD,即可求解 【详解】解：连接CO, :直线CD切⊙O于点C, .0C⊥CD, ∴.∠DC0=90°， :∠ACD=40°， .∠BAC=90°-∠ACD=90°-40°=50°. 学科网 www.zxxk.com D B 52.(2026浙江嘉兴·二模)如图，BC为⊙O的直径，点A在⊙O上，连接AB 大于二AB长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交⊙O于点E,F, 则∠BCE= E M F 【答案】60 【分析】由作图可得MN是AB的垂直平分线，那么根据垂径定理的推论可得， 形的外角性质以及圆周角定理求解即可。 【详解】解：由作图可得，MN是AB的垂直平分线， ∴根据垂径定理的推论可得，MN经过圆心， ∴.∠B0E=90°+∠ABC=90°+30°=120°=2∠BCE .∠BCE=60°. / 让教与学更高效 分别以A,B为圆心，以 连接CE.若∠ABC=30°， MN经过圆心，再由三角 专题07 几何基础、几何证明（5大题型52题） 8大考点概览 考点01几何证明线段相等 考点02几何证明角度相等 考点03几何证明全等 考点04求线段长 考点05角度问题 几何证明线段相等 考点1 1．（2026·浙江宁波·二模）如图1，四边形内接于，是的直径，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点作交于点，若，，求的长． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，四边形纸片，点在上，小明将纸片沿折叠，发现点与点重合；继续把纸片沿（点在上，点在上）折叠，使叠合在射线上，此时他发现恰好叠合在射线上． (1)求证：． (2)求证：． 3．（2026·浙江宁波·二模）如图，是正方形的边上一点（不与，重合），分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连结，，． (1)根据题中的尺规作图法可知：直线是线段的 ． (2)求证：． (3)当时，求的度数． 4．（2026·浙江台州·二模）如图1，已知内接于，直径，垂足为．点为上一动点，连接分别交，于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若为的直径， ①求证：； ②若，，求的长； (3)如图3，若，，直接写出的最大值． 5．（2026·浙江台州·二模）在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 6．（2026·浙江温州·二模）等腰中，，为边上一点，的外接圆与的角平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，． (1)求证：． (2)若，． ①求的长． ②求． 7．（2026·浙江台州·二模）如图，四边形内接于以对角线为直径的圆，，过点与平行的直线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 8．（2026·浙江台州·二模）如图，点是上的一个定点，点，是上的动点，且，为锐角，过点作的垂线分别交，于点，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)连结，如图，求证：． (3)已知半径为，求的值． 9．（2026·浙江台州·二模）如图①，已知四边形是的内接四边形，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接，已知． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图②，若是直径，，求的值（用含k的代数式表示）． 10．（2026·浙江金华·二模）如图，已知正六边形． (1)尺规作图并证明： ①在图1中，作线段的垂直平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． ②证明：． (2)如图2，已知点为的中点，连接交于点，求的值． 11．（2026·浙江舟山·二模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 12．（2026·浙江宁波·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的长； (3)求的最小值． 13．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知．几何证明角度相等 考点2    (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 14．（2026·浙江宁波·二模）如图，已知四边形内接于，为的直径，，过点作分别交，，于点，，． (1)求证：①； ②； (2)当时，求的值． 15．（2026·浙江台州·二模）如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（2026·浙江·二模）如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于点P． (1)求证：； (2)当经过点C时，点E恰好是的中点． ①求a的值； ②当时，求的值． 17．（2026·浙江温州·二模）如图，的对角线，相交于点，，，于点，交于点．若，则的长为______．几何证明全等 考点3 18．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 19．（2026·浙江宁波·二模）如图，在锐角中，，现要找一点，使得与相等，小聪与小明的作法分别如下： 小聪：分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点（的下侧），则点即为所求． 小明：分别作，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，长为半径画弧，在弧上任意取一点（异于点，，），则点即为所求． (1)填空（填“小聪”、“小明”）： ①______________的作法正确； ②______________的作法不正确． (2)证明①正确，写出证明过程； (3)说明②中与的大小关系． 20．（2026·浙江温州·二模）如图，在正方形中，点E为边上的一点，延长至点F，使，以为边作正方形，使点H落在上，连接，． (1)求证：． (2)连接，若，与的面积之比为，求四边形的面积． 21．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，四边形是边长为4的正方形，点是边上异于端点的任意一点，交于点，点是点关于直线的对称点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是平行四边形，连接，求的长度． 22．（2026·浙江温州·二模）如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 23．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 24．（2026·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 25．（2026·浙江金华·二模）如图，在四边形中，，点在上，且． (1)求证：． (2)已知，求的长． 26．（2026·浙江宁波·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，在上截取，延长到点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，点，分别为，的中点，连结，作点关于直线的对称点，连结，当时，的长是（）求线段长 考点4 A． B． C．8 D． 28．（2026·浙江嘉兴·二模）如图1，在矩形中，是上一定点，点从点出发，沿，两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为．关于的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（   ） A． B．点坐标为 C．的最小值为 D．点的横坐标为 29．（2026·浙江台州·二模）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 30．（2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 31．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 32．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 33．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形可由矩形沿着对角线向右平移得到（点，，，的对应点分别为．边分别交边于点，连结交于点．若，，，则的长为__________． 34．（2026·浙江绍兴·二模）某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 35．（2026·浙江温州·二模）如图，菱形，，是边上的高线，以为直径作，连接，交于点，若，则的直径为______． 36．（2026·浙江台州·二模）如图，在菱形中，，E，F分别是边，上的点，连结，点A关于直线的对称点G恰好落在边上，连结，，交对角线于点M，若，，则的长为______． 37．（2026·浙江温州·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”得到正方形和正方形．延长交于点，连结交于点．若点为的中点，则的值为______． 38．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 39．（2026·浙江台州·二模）如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点，点恰好是的中点，若，则______． 40．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 41．（2026·浙江宁波·二模）如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（    ）角度问题 考点5 A． B． C． D． 42．（2026·浙江温州·二模）如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 43．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 44．（2026·浙江绍兴·二模）如图，和都是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 45．（2026·浙江绍兴·二模）如图，直线，直线c与a，b分别交于点A，B，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 46．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，过点作，交的平分线于点，交于点．若点是的中点，连接，延长交于点，则的值是（     ） A． B． C． D． 47．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 48．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 49．（2026·浙江台州·二模）如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 50．（2026·浙江宁波·二模）如图，点是的边上一点，以为半径的与相切于点，与相交于点．若，则的度数为_______． 51．（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 52．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，为的直径，点在上，连接，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，，连接．若，则______． / 学科网（北京）股份有限公司 $