专题04 二次函数（2大题型49题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，精选浙江各地市2026年二模真题，49题分层覆盖图象性质与综合应用，情境融合冬奥、汉服、实心球投掷等现实主题 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|20|二次函数图象与性质（对称性、最值）、动态几何（如动点面积函数图象）|结合汽车制动测试（第4题）、矩形运动（第3题）考查数形结合| |填空题|2|函数与几何综合（如菱形中面积关系）|通过函数图象最低点（第21题）考查性质应用| |解答题|27|综合应用（含实际问题、动态几何、利润模型）|设计汉服工坊利润（第45题）、实心球投掷轨迹（第47题）等真实情境，体现数学建模与应用|

专题04 二次函数（2大题型49题） 2大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数解答题综合 二次函数的图象与性质 考点1 1．（2026·浙江舟山·二模）已知二次函数的图象上有两点、，若，，都有，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式可知抛物线开口向下，与x轴的交点为，，根据，，求得，由，即可判断点在x轴的下方，点在x轴的上方，结合抛物线与x轴的交点即可求得． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，与x轴的交点为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数的图象上有两点、，都有， ∴当时，抛物线与x轴有交点，交点为， 即 又∵， ∴． 2．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，为边的中点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连结．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点在该函数图象上 D．的最大值为52 【答案】C 【分析】由图象可知：当时，，则有，此时点E与点A重合，即，当时，，此时点E与点C重合，则点E运动的总路程为，然后可得，进而可分当点E在上时，即，当点E在上时，即，分别得出其函数解析式，最后问题可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，，则有，此时点E与点A重合，即，故A正确； 当时，，此时点E与点C重合，则点E运动的总路程为， ∵为边的中点， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 当点E在上时，即，由题意得，过点D作于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，即， 当点E在上时，即，则有， ∴在中，由勾股定理得：， 即，此时无最大值， 综上可知：的最大值为52，故D正确； 把代入得：， ∴点在该函数图象上，故C错误． 3．（2026·浙江台州·二模）如图①，矩形中，，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动．期间的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当秒时，S取得最小值；当秒时，函数图像是一条线段．则下列说法错误的是（   ） A．线段的长度为16 B．Q的速度为每秒1个单位长度 C．当点P运动至中点时，的面积最小 D．的面积的最小值为36 【答案】D 【分析】由，，根据三角形的面积公式求的长度，即可判定A选项，当时，函数图像是一条线段，说明此时点Q已经到达点B，计算点Q的速度，即可判定B选项，设点的速度为（单位长度/秒），构建关于的二次函数，即可判定选项C和D． 【详解】解：A．当时，当在处，点在处，如图所示： 此时的面积就是的面积， ， 解得， 因此选项A正确； B． ∵当时，函数图像是一条线段，说明此时点Q已经到达点B， ∴Q的速度为（单位长度/秒）， 因此选项B正确； C．设点的速度为（单位长度/秒），则， ， ∵， ∴当时，取得最小值， ∵当秒时，S取得最小值， ∴， 解得：，是原方程的根， 此时，，即点P是的中点， 因此选项C正确； D． 当秒时，，此时最小面积为：， 因此选项D错误． 4．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 【答案】D 【分析】根据图像分析段匀速运动，可知匀速速度，将坐标代入即可求得函数表达式，进而可知的取值． 【详解】解：由题可知，段是匀速直线运动， 则（米/秒）， 则A选项错误； ∵将和代入 得： ， 解得：， 则C选项错误； 则S与t的关系式为：， 当时，汽车停止运动，（米） 则 则B选项错误，D选项正确． 5．（2026·浙江温州·二模）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先利用表格中相等函数值对应的自变量求出对称轴，判断开口方向，再根据对称性得到端点的函数值，最后结合增减性确定给定取值范围内的取值范围． 【详解】解：∵由表格可知，和时的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时的函数值，大于和的函数值， ∴二次函数开口向下，顶点为，即函数在处取得最大值， 根据二次函数对称性，与关于直线对称， ∵时， ∴时， 在区间中，开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小，离对称轴最远，函数值最小为， 因此当时，的取值范围是． 6．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图像上 【答案】B 【分析】首先结合图像确定，结合点的纵坐标相等，根据二次函数图像的对称性质可得此段函数图像的对称轴为，过点作于点，连接，即，证明，利用相似三角形的性质可解得，故选项A错误；在中，由勾股定理可得，易得，故选项B正确；当点与点重合时，取最大值，解得此时 ，故选项C错误；当时，利用勾股定理解得，易得点不在该函数图像上，故选项D错误． 【详解】解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段， 当点在线段上时，函数的图像为段， 当，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， 当点运动到点，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， ∴， 由函数图像可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图像的对称轴上，即此段函数图像的对称轴为， 如下图，过点作于点，连接， 当点与点重合时，取最小值，即取最小值， ∴取最小值，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，故选项A错误，不符合题意； 在中，， ∴，故选项B正确，符合题意； 当点与点重合时，取最大值，即此时， ∵， ∴， 即，故选项C错误，不符合题意； 当时，如图，即， ∴， ∴， ∴点不在该函数图像上，故选项D错误，不符合题意． 7．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，相交于点，，，分别是线段上的点，，，设为，为，则有（   ）． A．最大值0.8 B．最小值0.8 C．最大值0.6 D．最小值0.6 【答案】B 【分析】先利用平行四边形性质得，结合、得到为等腰直角三角形，再证明，得到，在中由勾股定理建立与的二次函数，根据二次函数性质求最值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， 又，， ， ， ， 设，则 ，， 在中，，， ， 由，则有最小值， 对称轴，代入得， 的最小值为． 8．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】是开口向上，对称轴为轴，最小值为的二次函数，根据区间位置分类讨论，分别判断两个说法的正误即可． 【详解】解：开口向上，对称轴为，时随增大而减小，时随增大而增大． ①当， 若包含原点， 则的最小值， 得， 对应范围为， 此时． 若不包含原点，全在侧， 则，， 可得， 即， 得． 全在侧，同理可得． 因此最大值为，存在最大值， 故①正确. ②当，即， 若全在侧， 则. 可取任意大的正数， 随增大无限增大，不存在最大值， 故没有最大值， ②错误． 综上，①正确②错误． 9．（2026·浙江台州·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上（含端点）的一点，将点绕着点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图像上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出所在直线的表达式，设，其中，过点P作线段轴，过点M作，垂足为E，过点B作，垂足为F，证明，进而得到点M坐标为，又因为点在反比例函数上，所以，结合，求关于p的二次函数的最小值，得到的最小值． 【详解】解：设过的直线表达式为：，将点A、B坐标代入表达式，联立得方程组 ， 解得，即， 点是线段上的点，设，其中， 过点P作线段轴，过点M作，垂足为E，过点B作，垂足为F，如下图 ， ， ， 逆时针旋转得到， ，且， ， ， 又， ， ， 点B相对于点P的坐标为， 点M相对于点P的坐标为， 点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， k的取值为关于p的二次函数，开口向上，对称轴，，在区间内，顶点处取得最小值，最小值为； 的最小值为． 10．（2026·浙江舟山·二模）如图，正方形的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致是（    ） A． B． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据直线的位置，分两段求出阴影部分面积关于的函数表达式，再根据函数类型与增减性判断图象形状． 【详解】解：∵点， 根据勾股定理可得正方形边长：， ∴正方形的面积为， ①当时： 直线左侧为等腰直角三角形，其直角边长为， 则， 此段为开口向上的二次函数，图象为上升的曲线； ②当时： 直线右侧为等腰直角三角形，其直角边长为， 右侧三角形面积：， 左侧阴影面积：， 此段为开口向下的二次函数，图象为上升的曲线． 综上，关于的函数图象先为开口向上的抛物线弧，后为开口向下的抛物线弧，符合条件的为选项C． 11．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点为，，且，其部分图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图像的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故选项A错误： ∵如图：当时，， ∴，，故选项B错误； ∵， ∴，故选项C错误； ∵如图：当时，， ∴，即，故选项D正确． 12．（2026·浙江·二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数解析式得出其对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时的和抛物线过点时的，最终确定c的取值范围为． 【详解】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点， 如图所示，当抛物线与相切时，，即，令，可得，当抛物线过点时，可得，所以． 13．（2026·浙江杭州·二模）关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下，故A正确； ∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误． 14．（2026·浙江·二模）若关于的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（   ） A．， B．应满足 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：把，代入原方程得左边为0， 所以仅当时成立，并非任意情况， ∴A选项错误，不符合题意； 对于选项B：先把化简得， 由题意得，方程有两个不相等的实数根（因）， ∴令， 即， 解得， 所以B选项正确，符合题意； 对于选项C：令，这是开口向上的抛物线，与轴交于，顶点为． 当时，直线与抛物线交于两点，其横坐标满足（如时，根为和），而不是， ∴C选项错误，不符合题意； 对于选项D：由C知，抛物线的顶点为， 所以当时，直线与抛物线没有交点，所以方程没有实数根，仅当时，才符合， ∴D选项错误，不符合题意； 故选B． 15．（2026·浙江湖州·二模）已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式得到，由点P在函数图象上得到 ，结合题意得到，则，由此确定点坐标为 ，根据点 是段上不与P、M重合的点，得到，即，结合题意即可求解． 【详解】解：∵函数 的顶点为，且点 在函数图象上， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ，两边同除以 得：，则， 代入得 ，则， ∴点坐标为 ，且， ∵ 是段上不与P、M重合的点， ∴ ，即， 又∵在函数图象上，， ∴ ，即， 故选：D． 16．（2026·浙江杭州·二模）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项B：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项C：平移后解析式为，当时，，符合题意； 对于选项D：平移后解析式为，当时，，不符合题意． 17．（2026·浙江杭州·二模）某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（   ）． A． B． C．的面积为平方米 D．当四边形为梯形时， 【答案】B 【分析】由初始点可得，的面积为平方米，故C错误；由题意可知，，，作于点，利用三角函数和等腰三角形的性质可得，，利用的面积构造方程，解得，则，，故A错误；作于点，利用计算出，从而得到，是一个二次函数，最低点为，故B正确，D错误． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴的面积为平方米，故C错误； 由题意可知，，，， 如图，作于点，作于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，故A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为， ∴，故B正确； 对于D：∵的最小值为，故D错误． 18．（2026·浙江宁波·二模）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线的表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ， 则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误； 19．（2026·浙江宁波·二模）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意可得顶点，， 设该抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的解析式为， 令，则， 即， 故选：D． 20．（2026·浙江嘉兴·二模）将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移规律．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． 故答案为：． 21．（2026·浙江温州·二模）如图1，在菱形中，点O是上的动点，过点O分别作的平行线，交于点E，F，G，H．连接．设为x，与的面积之和为y，y关于x的函数图象如图2，图象经过，且最低点．当的面积是的4倍时，则y的值为________． 【答案】10 【分析】如图1所示，设交于点P，交于点Q，，可证明四边形是菱形，四边形是菱形，且，则，，， ，求出；设，则解直角三角形可推出，则可得到，由二次函数的性质可得当时，y有最小值，据此可求出，根据图象经过，可得；则，，当的面积是的4倍时，则，解得或（舍去），据此求出y的值即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，设交于点P，交于点Q，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 同理可证明四边形是菱形，且， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，y有最小值， ∵在图2中，函数图象的最低点为， ∴， ∴， ∴， ∵图象经过， ∴， 解得； ∴， ， 当的面积是的4倍时，则， 解得或（舍去）， ∴． 22．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧．二次函数解答题综合 考点2 (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，．根据等边对等角得到，则，根据等角的补角相等即可得到结论； （2）连结，，，证明，则，由即可得到结论； （3）证明，得到，又由，，得到，设 ，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ， ， ； （2）证明：连结，，， ∵， ， ∵， ． 又由（1）知 ， ， ，即 ， ∵， ； （3）解：∵在中，， ， 而过点， ， ∵ ∴，， ， 又， ， ， ． 又，， ． 设 ， 又 ， ∴当时， ． 当时， ， 即 ， ∴当时， ． 23．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线经过，，这三点中的两个点． (1)求的值； (2)已知（其中）， ①若此时函数的最小值为，求实数的最大值； ②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)6 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的性质得到，两点均在抛物线上，把点的坐标代入函数解析式得到方程组，解方程即可求出即可； （2）①根据二次函数的性质求出，即可得到答案；②由题意可知当且仅当时，，求出经过，两点的一次函数为，进一步即可求出直线与的交点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而减小， ∴由，两点坐标可知不在抛物线上． 由此可知，两点均在抛物线上， 将，代入， 可得 解得， ； （2）解：①由（1）可知，， ∴，即． 当时，， ∴根据抛物线关于对称可知， 当时，． 又由于抛物线开口向下，函数的最小值为， ， 解得， 又， ， 的最大值为； ②由题意可知当且仅当时，， 设经过，两点的一次函数为， 将，代入， 可得 解得， 即经过，两点的一次函数为， 设直线与的交于点， ， ∴在中令， 解得， ∴直线与的交点． 24．（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线与轴交于与． (1)求该抛物线的解析式． (2)该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)①；②的最大值为112，最小值为16 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，再分别表示出点A、点B到对称轴的距离，结合的条件去掉距离的绝对值符号，再根据“点A到对称轴的距离是点B到对称轴的距离的2倍”列方程求解； （3）根据“经过点”确定的取值范围；再结合抛物线开口向下的性质，分情况讨论：当在对称轴左侧或当包含对称轴时，分析最高点是顶点还是区间端点、最低点是哪个端点，得到M的表达式，最后在t的取值范围内求M的最值． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：①由（1）知，抛物线， 则抛物线对称轴为， 如图，过点B作垂直于对称轴于点C，作垂直于对称轴于点D， ，，且， 、， 点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍， ， ， 解得：； ②经过点 即， 分情况讨论： （）当在对称轴左侧时，此时，即， 随的增大而增大， 在点处取得最大值，在点处取得最小值， 当时，， 当时，， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， （）当包含对称轴时，，即， 点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为 令， 解得：， 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而减小， 当时，， 当时，； 若时，在点处取得最小值，在顶点处取得最大值， ， ， 在上，随的增大而增大， 当时，， 当时，，即当无限接近于时，的最小值无限接近于16， 综上所述，的最大值为112，最小值为16． 【点睛】利用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 25．（2026·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)直线交抛物线于点． ①若点恰为的中点，求此时，的值． ②点在抛物线上，当时，始终成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)；②或 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①依题可得点，代入解析式即可求出答案；②根据已知条件表示出各个点的坐标，根据题列出关于t的不等式，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 顶点． （2）解：①为线段的中点 ，关于原点成中心对称 点． 将点代入 ， 得 ， 解得（舍去）． ②设直线解析式为 解得 直线解析式为． 直线交抛物线于点， 可得． 当时，，点关于直线的对称点横坐标为． 当时，如图3， ， ，解得． 当时，如图4， ， ，解得 ． 或． 26．（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， (4) 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； （3）根据余弦的定义得出，则，则，得出，在和中，，得出方程，解方程，即可求解； （4）作于点，在和中，，解方程，得出，记，根据得出，进而得出，最后求得函数值的范围，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． 在和中，， ∴， 解得（负值已舍去）． （4）解：作于点， 则，， 在和中， ， ∴， ∴． 记， ∵， ∴， ∴或（舍）． ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴． 27．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（为常数）． (1)若抛物线过点． ①求的值． ②轴上有一点，连接，交抛物线于点，且点为线段中点，求的值． (2)已知，是抛物线上的两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①将已知点坐标代入抛物线解析式即可求出；②利用中点坐标公式得到点的坐标，再代入抛物线解析式即可求出； （2）将两点坐标代入抛物线，得到关于的表达式，根据解不等式即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①将代入得， 整理得，解得． ②，，是线段的中点， 的坐标为，即． 由①得，此时抛物线解析式为． 在抛物线上，将代入解析式得， 解得． （2）解：抛物线解析式为， 将，分别代入解析式得，， ， ，整理得， 因式分解得， 可得或， 解第一个不等式组得， 解第二个不等式组得， 因此的取值范围是或． 28．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）先根据抛物线的一般式求出对称轴的表达式，再利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质，得出对称轴为两点横坐标的平均数，建立关于的方程，解方程求出的值； （3）先由、两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性求出对称轴，进而得到与的关系式，再确定抛物线与轴的交点坐标及其关于对称轴的对称点坐标，结合抛物线开口向上的增减性，分情况讨论点、的位置，排除无解的情况，根据的条件列出不等式，求解得到的取值范围，最后代入与的关系式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入解析式，得 ， 解得； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵抛物线经过点，，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵点， 都在抛物线上，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴， ∴抛物线与轴交点为，且关于对称轴对称的点为， 分两种情况讨论： ①若点，都在对称轴右侧的抛物线上， ∵， ∴随增大而增大， ∵， ∴，不等式组无解； ②若点，都在对称轴左侧的抛物线上， 随增大而减小 ∵， ∴ 解得， ∴． 综上，． 29．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． (3)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的平移、二次函数的图象性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线表达式求出的值； （2）先求出平移后抛物线的表达式，再将代入平移后的抛物线表达式求出的值； （3）根据题意得的坐标为，的坐标为，求出、的表达式，进而得到的长随的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 抛物线表达式为， 平移后抛物线的解析式为， 将点代入得： ， 解得：或， ， ； （3）解：如图：∵， 的坐标为，的坐标为， ，， 、， 的长随的长增大而增大， 的长随的增大而增大， 抛物线中， 该抛物线的图象开口向下， 该抛物线的对称轴为， ， 解得：． 30．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求此二次函数的表达式． (2)设抛物线顶点的纵坐标为，求证：． (3)当时，若二次函数图象始终在直线的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将二次函数上的点代入到原二次函数解析式中即可解出答案； （2）套用二次函数的顶点公式，将顶点的纵坐标表示出来，得到一个新的二次函数，利用二次函数的顶点式求出最大值； （3）利用二次函数的增减性，将题目分为在对称轴的左侧；在对称轴的右侧；在对称轴的两侧三种情况进行分类讨论，最后解出答案 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴将代入二次函数解析式中， ，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）证明：由二次函数顶点坐标公式可知： ， ∵， ∴． （3）解：二次函数的对称轴为： ， ∵， ∴二次函数图像开口向上； ①当在对称轴的左侧，即，解得时， 此时，随增大而减小， ∴当时，，即，解得， ∵， ∴该情况不成立； ②当在对称轴的右侧，即，解得时， 此时，随增大而增大， ∴当时，，即，解得， ∵， ∴当时符合题意； ③当在对称轴的两侧，则，解得， 此时在顶点处取得最小值， 即当时，，即， 化简，得：， ∵，两式相乘，同号为正，异号为负； ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 综上所述，的取值范围为． 31．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数的图像经过点． (1)求该函数图像的顶点坐标． (2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围． (3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）待定系数法求得解析式，再化成顶点式，即可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的对称性和增减性求解即可； （3）先求得平移后的抛物线解析式为，由二次函数的性质可得对称轴为，易得，则对称轴位于，即，易得，然后代入平移后的抛物线解析式即可求得t的值． 【详解】（1）解：把点代入 得，解得． ∴． ∴该函数图像的顶点坐标为． （2）解：∵该函数图像的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为． ∵开口向上，离对称轴越近函数值越小，， ∴m的取值范围为． （3）解：∵向上平移t（）个单位长度，得， ∴对称轴为直线． ∵， ∴，即对称轴处于， ∴，即． ∴点A坐标为，代入，得，解得． ∴t的值是7． 32．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先根据题意易得二次函数图像的对称轴为直线，然后利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）中二次函数解析式可得，，由可得关于的不等式，求解即可获得答案； （3）首先将该二次函数解析式化为顶点式，然后分二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度和二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度，结合函数图像求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，，， 二次函数图像的对称轴为直线， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意，得， ， ， ， 解得， m的取值范围为； （3）解：∵， 可分情况讨论： ①当二次函数的图像沿x轴负方向平移n个单位长度时，如下图， 新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1， ， 解得或（舍去）， ； ②当二次函数的图像沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，如下图， 新函数在处取得最大值1，即， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值，最大值为4，不合题意，舍去； 当时，如下图， 新函数在处取到最大值1，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，或． 33．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的点的坐标为，代入函数解析式得出，根据，，解不等式即可求解； （3）先求得抛物线与坐标轴的交点，，不重合，则，分情况讨论，当在直线上时，得出；当不在直线上时，直线与抛物线交于点和，分和两种情况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，为 ∵在； ∴ 解得： ∵且 ∴ 解不等式得或， 解不等式得， 又因， ∴ ∴的最大值为； （3）解：当时， 解得：或 ∴， ∵ ∴顶点坐标为 过点作直线轴， 则 解得： ∵不重合，则， 当在直线上时，，解得：或（舍去） 当时，，即点，直线为轴，不符合题意，则 当不在直线上时，直线与抛物线交于点和 ①当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则； ∴或； ②当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则（矛盾，舍去） ∴ 综上所述，或或． 34．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线（a为常数）． (1)若抛物线经过点． ①求a的值； ②将抛物线向右平移b()个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A的横坐标为4，求b的值； (2)若点，都在抛物线上，，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，待定系数法求解析式，即可求解； ②由①可得，对称轴为直线，根据对称性即可求解； （2）将，分别代入，根据，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①将代入， 得． 解得． ②因为， 所以． 所以抛物线的对称轴为直线 因为点A的横坐标为4， 所以抛物线上与点A对称的点的横坐标为0． 所以． （2）将代入， 得． 将代入， 得． 因为， 所以 解得． 35．（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线． (1)直接写出新抛物线的解析式： ． (2)直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，当线段时，求的值． (3)点在原抛物线上，点在新抛物线上，若且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据题意可得点，点，从而得到，再由，即可求出m的值； （3）根据题意可得，，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； （2）解：直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； （3）解：∵点在原抛物线上，， ∴， ∵点在新抛物线上， ∴， ∴， 即， ∵， ∴时，h取得最小值，最小值为， ∵，且， ∴当时，此时h取得最大值，最大值为17， ∴h的取值范围为． 36．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线． (1)求该抛物线与x轴的交点． (2)点和分别在抛物线和上． ①当时，两抛物线有交点，且时，A，B两点间距离最大为2，求a的值． ②若恒成立，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)该抛物线与x轴的交点为和， (2)；② 【分析】（1）令，然后解方程即可得抛物线与x轴交点坐标； （2）①先求得，，再根据两点横坐标相同，得到两点距离为纵坐标差的绝对值，联立抛物线得到交点横坐标，根据二次函数性质得到最大值的位置，列方程求解结合即可解答；② 将恒成立问题整理化简，分类讨论一次项系数的情况，即可得到a的取值范围． 【详解】（1）解：令，代入得 提取公因式得， ∵， ∴或， ∴抛物线与x轴交点为和． （2）解：① ∵点和分别在抛物线和上， ∴，，且点A、B的横坐标相同， ∴， 联立两抛物线方程得 整理得，解得或， ∴交点的横坐标为 当时，A、B两点间距离：， ∵， ∴，即抛物线开口向下，对称轴为： ∴A，B两点间距离的最大值在对称轴处取得，且最大值为 2， ∴，解得：或（舍弃） ② ∵恒成立， ∴，即 ①当，即时，恒成立，符合题意； ②当，即时， 函数是一次函数，且y随t的增大而增大，当 t 足够大时，值会大于 0，不满足恒成立． ③当，即时， 函数是一次函数，且y随t的增大而减小，最大值在处，即时的值为． 要使时，恒小于 0，需时，，解得：， ∴． 综上，a的取值范围是的取值范围是． 37．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数（）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若，当时，的最大值为，求函数的解析式； (3)已知，为该函数图象上两点，当时，，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3) 【分析】（1）利用对称轴公式，将代入，直接计算得对称轴； （2）由知抛物线开口向上，在时，最大值在离对称轴更远的端点处取得，代入，，即可求出，从而得到解析式； （3）由、纵坐标相同，知两点关于对称，设，，则，结合，得，将代入函数得，因为所以该函数的最小值要大于等于4，结合二次函数的性质，分和讨论即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线． （2）解：，图象开口向上，对称轴为直线， 当时，越远离对称轴函数值越大， 当时，的最大值为5， ， ， ． （3）解：点和在二次函数的图象上，且纵坐标相同， 这两点关于抛物线的对称轴对称， 由(1)可知，对称轴为直线， ， ， 设点，到对称轴的距离为()，则有： ， ， 解得的取值范围为：， 将代入函数解析式求： 当时，恒成立，分情况讨论： ①当时： 抛物线开口向上，在范围内，随的增大而增大。 当时，取得最小值， 要使恒成立，只需，即： ， ， ， 此时满足的条件； ②当时： 抛物线开口向下，在范围内，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 要使恒成立，只需，即： 这与前提条件矛盾，故此时无解（舍去）； 综上所述，的取值范围是． 38．（2026·浙江台州·二模）如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． (1)求的值． (2)与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围． (3)已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）把代入，解方程求出的值即可； （2）先求出的对称轴为直线，根据二次函数的对称性得出，根据求出，求出顶点坐标为，把，分别代入，求出的值，即可得出的函数值的取值范围； （3）把，分别代入，，可得，整理后，根据判别式得出，解不等式，结合，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， ∵与轴平行的直线与的图象交于，两点， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴的顶点坐标为， 把代入得，， 把代入得，， ∵， ∴当时，的函数值的取值范围为． （3）解：∵点，分别在，图象上， ∴，， ∴， 整理得，， ∵关于的一元二次方程需有实数根， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 39．（2026·浙江温州·二模）如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． (1)若，求的度数． (2)如图2，作于点，交于点， ①求证：． ②若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析②1 【分析】（1）由为直径得，求出，由平分得，根据可得结论； （2）①设，则，证明即可；②证明，得，设，，则， 代入比例式得，整理得，求得，根据二次函数的性质得从而得出的最小值为1，即的最小值为1． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：①证明：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ②由①得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴的最小值为1，即的最小值为1． 40．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线过点． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点，是抛物线上两点． ①当时，求的值． ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把点代入得，； （2）①当时，把点，代入得，故；②把点，代入得，，由得，，故，故． 【详解】（1）解：把点代入得， ，解得，， ； （2）解：①当时，把点，代入得， ， 化简得，，即， 解得，， ； ②把点，代入得， ， 化简得，，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 41．（2026·浙江台州·二模）二次函数经过，两点． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)点，为该二次函数图象上满足 的部分上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 【分析】（1）将，代入解析式计算即可； （2）分别求出和时，x的值，即可得答案； （3）先求出时，x的值，再根据n的范围和二次函数的性质，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入解析式得      解得 函数解析式为； （2）解：当时，， 解得或2，    当时，， 解得或， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴是， x的取值范围是： 或 ； （3）解：，， ，， ， 当时，或， ，，， 点P，点Q在对称轴的右侧或点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， 在对称轴的右侧时，，，或，， ，即 ；    在对称轴的两侧，点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，，， ，即， 或． 42．（2026·浙江舟山·二模）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【答案】(1) (2)该同学初次投篮时不能命中篮筐 (3) 【分析】（1）根据题意可得顶点的坐标； （2）根据点和顶点的坐标，用顶点式表示出函数解析式，把点的坐标代入可得二次项系数的值，即可得出抛物线解析式，把代入（1）中得到的函数解析式，求得的值，看是否在和之间即可判断能否命中篮筐； （3）判断出平移后的解析式，把代入后求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，篮球最大高度为米， 顶点C的水平坐标为米， 因此顶点坐标为； （2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ． 当时，， ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐； （3）解：新的抛物线解析式为：， 根据题意得抛物线过点， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 43．（2026·浙江温州·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 44．（2026·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． (1)当时，求该函数表达式； (2)若点，都在直线上，求的值； (3)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解； （2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解； （3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，点，关于对称轴对称， ∴， ∴该函数表达式为：； （2）解：∵点，点都在直线上， ∴， 由①②得：，即， ∴点坐标为： 将点，坐标代入函数表达式：， 解得：； （3）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ①若和在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵， ∴，与矛盾，不成立； ②若和在对称轴左侧，随的增大而减小， 若，在对称轴左侧，那么，有，与矛盾，不成立； 若，在对称轴右侧，那么，， 点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为， 只需满足：， 解得：． ③若和在对称轴左右两侧，点关于对称轴的对称点坐标为， 如图，要使时，都有，只需满足：， 解得：． ∴综上，的取值范围是． 45．（2026·浙江舟山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 【答案】(1)（或） (2) (3)方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服 【分析】（1）安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，可得加工明制汉服的有人，进一步求解即可； （2）列式，再整理即可； （3）结合（2），再利用二次函数的性质解答即可. 【详解】（1）解：任务1： ∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服， 则加工明制汉服的有人， ∴，整理得：（或）． （2）解：任务2： 根据题意得：， 整理得：． （3）解：任务3： 由任务2得，， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小． ∵且x，y均取正整数， ∴当或12时，利润最大． ∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服． 46．（2026·浙江温州·二模）已知二次函数（，是常数）的图像经过点和点． (1)求，的值． (2)点在该二次函数的图像上，它的横坐标为．记时，二次函数的最大值与最小值之差为． ①若点与重合，求的值． ②若点在点，之间运动（含点，），求的最小值． 【答案】(1) (2)①9；② 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据（1）的结论可得，即对称轴为直线，开口向上，顶点为；①由点与重合可得，即，然后在上求得最大值和最小值，然后作差即可；②先说明对称轴始终在范围内，以求得有最小值；再求出当时，y的最大值为，即；再分别求得、的时的值，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数（，是常数）的图像经过点和点， ∴ ，解得：． （2）解：由（1）可得：，即 ∴对称轴为直线，开口向上，顶点为． ① 当点 C 与 重合，即， ∴， ∴当时，有最小值； ∵ 当时，最大值为． ∴； ②∵点在点，之间运动（含点，）， ∴， ∴且， ∴对称轴始终在范围内， ∴当时，有最小值； ∵ 到的距离，点 到的距离， 当时，即时，y的最大值为； ∴； 当，即时， ∵，， ∴当时，有最大值； ∴； 当时，由①可得． 综上，的最小值为． 47．（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可； （2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可； （3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 48．（2026·浙江宁波·二模）已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 【答案】(1)直线 (2)①或8；②或24 【分析】（1）先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①直接将代入抛物线得到t的方程求解即可；②分和8两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵（为常数）， ∴对称轴为直线． （2）解：①把代入得：，解得：或8． ②由①得：或8， 当时，，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线不能在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和， ∴，两交点为，此时，为直线， ∴； 当时，， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴， ∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为， ∴． 综上，或24． 49．（2026·浙江杭州·二模）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数（2大题型49题） 2大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数解答题综合 二次函数的图象与性质 考点1 1．（2026·浙江舟山·二模）已知二次函数的图象上有两点、，若，，都有，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，为边的中点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连结．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点在该函数图象上 D．的最大值为52 3．（2026·浙江台州·二模）如图①，矩形中，，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动．期间的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当秒时，S取得最小值；当秒时，函数图像是一条线段．则下列说法错误的是（   ） A．线段的长度为16 B．Q的速度为每秒1个单位长度 C．当点P运动至中点时，的面积最小 D．的面积的最小值为36 4．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 5．（2026·浙江温州·二模）二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： 的值 … 0 1 2 … 的值 … 2 5 2 … 当时，函数的取值范围是（） A． B． C． D． 6．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图像上 7．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，相交于点，，，分别是线段上的点，，，设为，为，则有（   ）． A．最大值0.8 B．最小值0.8 C．最大值0.6 D．最小值0.6 8．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 9．（2026·浙江台州·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上（含端点）的一点，将点绕着点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图像上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江舟山·二模）如图，正方形的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致是（    ） A． B． B． C．D． 11．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点为，，且，其部分图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 12．（2026·浙江·二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江杭州·二模）关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 14．（2026·浙江·二模）若关于的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（   ） A．， B．应满足 C．当时， D．当时， 15．（2026·浙江湖州·二模）已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江杭州·二模）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 17．（2026·浙江杭州·二模）某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（   ）． A． B． C．的面积为平方米 D．当四边形为梯形时， 18．（2026·浙江宁波·二模）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 19．（2026·浙江宁波·二模）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江嘉兴·二模）将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为________． 21．（2026·浙江温州·二模）如图1，在菱形中，点O是上的动点，过点O分别作的平行线，交于点E，F，G，H．连接．设为x，与的面积之和为y，y关于x的函数图象如图2，图象经过，且最低点．当的面积是的4倍时，则y的值为________． 22．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，已知内接于，，，连结并延长交于点．点是线段上异于端点的动点，过点作分别交，边，边于点，，，且点在左侧．二次函数解答题综合 考点2 (1)求证：； (2)求证：； (3)设，当时，求的取值范围． 23．（2026·浙江嘉兴·二模）已知抛物线经过，，这三点中的两个点． (1)求的值； (2)已知（其中）， ①若此时函数的最小值为，求实数的最大值； ②设是一条平行于轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线距离为的点的个数记作．当，时，，求直线与的交点坐标． 24．（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线与轴交于与． (1)求该抛物线的解析式． (2)该抛物线上有两点，分别为，． ①当时，点到对称轴的距离是点到对称轴的距离的倍，求的值． ②记抛物线上，两点间的部分为（含，两点），上最高点与最低点的纵坐标之差为，若经过点，求的最小值和最大值． 25．（2026·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)直线交抛物线于点． ①若点恰为的中点，求此时，的值． ②点在抛物线上，当时，始终成立，求的取值范围． 26．（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 27．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（为常数）． (1)若抛物线过点． ①求的值． ②轴上有一点，连接，交抛物线于点，且点为线段中点，求的值． (2)已知，是抛物线上的两点，且，求的取值范围． 28．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 29．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． (3)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 30．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，二次函数（为常数）． (1)若二次函数图象经过点，求此二次函数的表达式． (2)设抛物线顶点的纵坐标为，求证：． (3)当时，若二次函数图象始终在直线的上方，求的取值范围． 31．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数的图像经过点． (1)求该函数图像的顶点坐标． (2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围． (3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值． 32．（2026·浙江宁波·二模）已知二次函数（a，b是实数，）的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式． (2)若点，都在该二次函数的图像上，且，求m的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 33．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 34．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线（a为常数）． (1)若抛物线经过点． ①求a的值； ②将抛物线向右平移b()个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A的横坐标为4，求b的值； (2)若点，都在抛物线上，，求a的取值范围． 35．（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线． (1)直接写出新抛物线的解析式： ． (2)直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，当线段时，求的值． (3)点在原抛物线上，点在新抛物线上，若且，求的取值范围． 36．（2026·浙江台州·二模）已知抛物线． (1)求该抛物线与x轴的交点． (2)点和分别在抛物线和上． ①当时，两抛物线有交点，且时，A，B两点间距离最大为2，求a的值． ②若恒成立，请直接写出a的取值范围． 37．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数（）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若，当时，的最大值为，求函数的解析式； (3)已知，为该函数图象上两点，当时，，求的取值范围． 38．（2026·浙江台州·二模）如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． (1)求的值． (2)与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围． (3)已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 39．（2026·浙江温州·二模）如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． (1)若，求的度数． (2)如图2，作于点，交于点， ①求证：． ②若，且，求的最小值． 40．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线过点． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点，是抛物线上两点． ①当时，求的值． ②当时，求的取值范围． 41．（2026·浙江台州·二模）二次函数经过，两点． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)点，为该二次函数图象上满足 的部分上的两个点，且，求的取值范围． 42．（2026·浙江舟山·二模）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 43．（2026·浙江温州·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 44．（2026·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． (1)当时，求该函数表达式； (2)若点，都在直线上，求的值； (3)当时，都有，求的取值范围． 45．（2026·浙江舟山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 46．（2026·浙江温州·二模）已知二次函数（，是常数）的图像经过点和点． (1)求，的值． (2)点在该二次函数的图像上，它的横坐标为．记时，二次函数的最大值与最小值之差为． ①若点与重合，求的值． ②若点在点，之间运动（含点，），求的最小值． 47．（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 48．（2026·浙江宁波·二模）已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 49．（2026·浙江杭州·二模）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $