专题02 方程与不等式（5大题型58题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题聚焦方程与不等式，58题覆盖5大考点，融合《九章算术》等文化素材与研学、骑跑比赛等现实情境，注重实际应用与数学思维考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|一元一次方程应用、二元一次方程组、一元二次方程根的判别式等|结合“九宫图”“完美矩形”考方程思想，引用《九章算术》“共买物”等古算题| |填空|约10题|方程求解、不等式解集、实际问题建模|设置研学追及、矩形花圃面积等现实问题，考查建模能力| |解答|约28题|解方程组、分式方程、不等式组及综合应用|设计“骑跑两项赛”行程问题、古籍“绫罗价格”应用题，体现数学与生活联系|

专题02 方程与不等式（5大题型58题） 5大考点概览 考点01一元一次方程及实际应用 考点02二元一次方程及实际应用 考点03一元二次方程及实际应用 考点04分式方程及实际应用 考点05不等式及不等式组 一元一次方程及实际应用 考点1 1．（2026·浙江嘉兴·二模）如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·浙江台州·二模）“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 3．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 4．（2026·浙江台州·二模）为促进学生全面发展，某学校组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发1小时后，学校派轿车沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程s（千米）与大巴车行驶的时间t（小时）的对应关系，如图所示． (1)大巴车的速度为 千米/时； (2)轿车出发多长时间后追上大巴车？ 二元一次方程及实际应用 考点2 5．（2026·浙江温州·二模）某校举办人工智能知识竞答，共25道题，答对1题得4分，答错1题扣2分，不答得0分．小明答完全部题目，得70分．设答对道，答错道，可列正确的二元一次方程组是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江台州·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是说“今有多人共买一物，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则少4钱，问人数和物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江台州·二模）古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江宁波·二模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江温州·二模）若，则______． 10．（2026·浙江嘉兴·二模）解方程组：． 11．（2026·浙江温州·二模）解方程组：． 12．（2026·浙江温州·二模）解二元一次方程组 13．（2026·浙江台州·二模）解方程组：． 14．（2026·浙江金华·二模）解方程组： 15．（2026·浙江金华·二模）解方程组： 16．（2026·浙江嘉兴·二模）解方程组： 一元二次方程及实际应用 考点3 17．（2026·浙江温州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B．64 C． D．16 18．（2026·浙江舟山·二模）普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 19．（2026·浙江温州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥1 B．k＞1 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 20．（2026·浙江杭州·二模）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江舟山·二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 22．（2026·浙江温州·二模）小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，  ．若，则的值为________． 23．（2026·浙江温州·二模）【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 24．（2026·浙江金华·二模）如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________． 25．（2026·浙江温州·二模）【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）． 【探索应用】 (2)若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长． 26．（2026·浙江台州·二模）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 27．（2026·浙江台州·二模）如图1，在菱形中，对角线，，P是射线上一点，连接，与关于对称． (1)求的长． (2)当时，求证：． (3)如图2，当直线与相交时，记交点为E． ①当点P在边上，且时，求的长． ②连接，当取得最小值时，求的长． 28．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 分式方程及实际应用 考点4 29．（2026·浙江温州·二模）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 30．（2026·浙江温州·二模）瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（   ） A． B． C． D． 31．（2026·浙江台州·二模）2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 32．（2026·浙江台州·二模）某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（2026·浙江台州·二模）分式方程的解___． 34．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 35．（2026·浙江温州·二模）解方程： 36．（2026·浙江台州·二模）解分式方程：． 37．（2026·浙江宁波·二模）解分式方程：． 不等式及不等式组 考点5 38．（2026·浙江嘉兴·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 40．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 41．（2026·浙江台州·二模）已知，则下列变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 42．（2026·浙江台州·二模）已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 43．（2026·浙江台州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 44．（2026·浙江金华·二模）一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 45．（2026·浙江舟山·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   46．（2026·浙江台州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 47．（2026·浙江嘉兴·二模）关于的不等式组的解如下图所示，则的值为_____． 48．（2026·浙江温州·二模）不等式组的解集是________． ． 49．（2026·浙江温州·二模）不等式组的解集是________． 50．（2026·浙江台州·二模）若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 51．（2026·浙江宁波·二模）关于x的不等式组的解集是_______________． 52．（2026·浙江温州·二模）解不等式组． 53．（2026·浙江宁波·二模）解不等式组： 54．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（为常数）． (1)若抛物线过点． ①求的值． ②轴上有一点，连接，交抛物线于点，且点为线段中点，求的值． (2)已知，是抛物线上的两点，且，求的取值范围． 55．（2026·浙江台州·二模）解不等式组：． 56．（2026·浙江台州·二模）解不等式组：． 57．（2026·浙江台州·二模）解不等式组：． 58．（2026·浙江舟山·二模）下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化为1，得．……第四步 (1)任务一：①小茗同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，他的错误原因是____________； ②第四步的解题依据是______； (2)任务二：直接写出这个不等式的解集：______； (3)任务三：除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式（5大题型58题） 5大考点概览 考点01一元一次方程及实际应用 考点02二元一次方程及实际应用 考点03一元二次方程及实际应用 考点04分式方程及实际应用 考点05不等式及不等式组 一元一次方程及实际应用 考点1 1．（2026·浙江嘉兴·二模）如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得，，由“完美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 2．（2026·浙江台州·二模）“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. 3．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 【答案】 【分析】先去分母转化为整式方程求解，最后检验分母不为零． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 4．（2026·浙江台州·二模）为促进学生全面发展，某学校组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发1小时后，学校派轿车沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程s（千米）与大巴车行驶的时间t（小时）的对应关系，如图所示． (1)大巴车的速度为 千米/时； (2)轿车出发多长时间后追上大巴车？ 【答案】(1)50 (2)轿车出发2小时后追上大巴车 【分析】（1）从函数图像中读取大巴车行驶1小时的路程，求出大巴车速度； （2）求出轿车速度，利用两车路程相等建立方程，求解轿车追上大巴车的时间． 【详解】（1）解：由图像可知，大巴车行驶1小时，路程为50千米， 根据速度=路程时间，可得： 大巴车速度千米/时． （2）轿车比大巴车晚出发1小时，即轿车行驶小时，路程75千米， 轿车速度千米/时， 设轿车出发小时后追上大巴车，此时大巴车行驶时间为小时，大巴车行驶路程为，轿车行驶路程为， 追上时两车路程相等，得方程： ， ， ， ， 因此，轿车出发2小时后追上大巴车． 二元一次方程及实际应用 考点2 5．（2026·浙江温州·二模）某校举办人工智能知识竞答，共25道题，答对1题得4分，答错1题扣2分，不答得0分．小明答完全部题目，得70分．设答对道，答错道，可列正确的二元一次方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题意找出两个等量关系，即可列出正确的二元一次方程组，第一个等量关系为总题数关系，第二个等量关系为总得分关系． 【详解】∵总题量共25道，小明答完全部题目，答对道，答错道 ， ∴答对题目数与答错题目数的和为总题数，可得， ∵答对1题得4分，答错1题扣2分，总得分是70分， ∴总得分为答对得分减去答错扣分，可得 联立得方程组 ． 6．（2026·浙江台州·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是说“今有多人共买一物，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则少4钱，问人数和物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为： . 7．（2026·浙江台州·二模）古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答． 【详解】解： 由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得， 由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得， 故方程组为． 8．（2026·浙江宁波·二模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 9．（2026·浙江温州·二模）若，则______． 【答案】3 【详解】解：， ①+②，得 ， ∴． 10．（2026·浙江嘉兴·二模）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 化简，得， ，得⑤， ，得， 解得， 把代入③， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 11．（2026·浙江温州·二模）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则原方程组的解为． 12．（2026·浙江温州·二模）解二元一次方程组 【答案】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， 方程组的解为． 13．（2026·浙江台州·二模）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得 ， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为． 14．（2026·浙江金华·二模）解方程组： 【答案】． 【详解】解： 由①②：，解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴解方程组的解为． 15．（2026·浙江金华·二模）解方程组： 【答案】 【分析】利用二元一次方程组的解法，①式乘以2，然后用加减消元法消去y，解出x，然后将x代入②式计算求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 解得， 将代入：， 解得， ∴该方程组的解为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法，消元的思想是解答本题的关键． 16．（2026·浙江嘉兴·二模）解方程组： 【答案】 【详解】试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解. 试题解析： ①+②得：，所以 . 把代入①得：. 所以，该方程组的解为 一元二次方程及实际应用 考点3 17．（2026·浙江温州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B．64 C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 18．（2026·浙江舟山·二模）普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得． 19．（2026·浙江温州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥1 B．k＞1 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【答案】D 【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2+4k＞0， 解得k＞﹣1． 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的分布，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 20．（2026·浙江杭州·二模）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 21．（2026·浙江舟山·二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 22．（2026·浙江温州·二模）小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，  ．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，，求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， ． 23．（2026·浙江温州·二模）【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 24．（2026·浙江金华·二模）如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】先过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，根据的三个顶点都在反比例函数，的横坐标为，设点，点，根据反比例函数的性质，推出点，点，点，得出的值，再证明，通过，，即可求解． 【详解】如图，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ∵的三个顶点都在反比例函数，的横坐标为， ∴设点，点， ∵过原点， ∴点， ∵轴，，， ∴点，点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴将整理为：，代入，即， 整理得，解得：，经检验，为的解， ∵， ∴． 25．（2026·浙江温州·二模）【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）． 【探索应用】 (2)若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】（1）根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，据此判断即可； （2）先根据新图形的面积列出方程，求出的值，再利用新图形是一个中心对称图形进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线， 因此，拼成的新图形是乙； （2）解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 由于新图形是一个中心对称图形， 则． 26．（2026·浙江台州·二模）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】小明解答有错误，正确的解答过程见解析． 【分析】小明错误地将方程两边同时除以，忽略了的可能；先移项，再用因式分解法求解即可得到正确结果． 【详解】解：小明的解答有错误，正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 27．（2026·浙江台州·二模）如图1，在菱形中，对角线，，P是射线上一点，连接，与关于对称． (1)求的长． (2)当时，求证：． (3)如图2，当直线与相交时，记交点为E． ①当点P在边上，且时，求的长． ②连接，当取得最小值时，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①；②当取得最小值时，的长为或 【分析】（1）如图，连接交于，证明，，，是等边三角形，可得，进一步可得答案. （2）如图，记与的交点为，证明，结合对折可得：，可得，从而可得结论； （3）①记与的交点为，与的交点为，当点P在边上，且时，证明，可得，设，则，，再进一步求解即可； ②如图，作关于的对称点，连接，证明，可得，的对称点在上，，当时，最小，最小，进一步可求解，如图，当在的上方时，作关于的对称点，连接，同理可得：此时时最小，过作于，设，进一步同法可得答案. 【详解】（1）解：如图，连接交于， ∵在菱形中，对角线，， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴. （2）证明：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ， ∴， 由对折可得：， ∴， ∴. （3）解：①记与的交点为，与的交点为， 当点P在边上，且时， ∴， 由对折可得：，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②如图，作关于的对称点，连接， 结合①同理可得：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，的对称点在上，， ∴当时，最小，最小， 此时， 过作于，设，而， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍去），或， ∴； 如图，当在的上方时，作关于的对称点，连接， 同理可得：此时时最小，过作于，设， 同理可得：， 此时， 综上：当取得最小值时，的长为或. 28．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去； （2）解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． 分式方程及实际应用 考点4 29．（2026·浙江温州·二模）将方程两边同乘后，可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 30．（2026·浙江温州·二模）瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总质量、每筐质量、筐数的数量关系，结合筐数的差值列出对应方程即可． 【详解】解：设原来每筐装千克，则每筐装千克，依题意得： ． 31．（2026·浙江台州·二模）2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式“时间路程速度”，结合“总时间跑步总时间骑行时间”列方程即可． 【详解】解：∵设小华跑步的平均速度为，骑行平均速度是跑步平均速度的2倍， ∴骑行平均速度为． ∵小华两次跑步总路程为，骑行路程为， ∴跑步总时间为，骑行时间为． ∵全程总时间为，总时间等于跑步总时间与骑行时间之和， ∴可得方程． 32．（2026·浙江台州·二模）某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总价和单价分别表示出原价与降价后购买笔记本的数量，再根据“降价后比原价多买4本”的等量关系列方程． 【详解】解：原价为元/本，每本降价3元后，售价为 元/本， 360元按原价可购买笔记本数量为本，360元按降价后价格可购买笔记本数量为本， 降价后可比原价多买到4本，即降价后购买数量减去原价购买数量等于4， 列方程得 ， 故选：A． 33．（2026·浙江台州·二模）分式方程的解___． 【答案】 【分析】按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：原方程去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 系数化为得： 检验：将代入最简公分母得 故原方程的解为 34．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程转化为整式方程求解，再检验得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得，， 移项得，， 检验：当时，，故是原分式方程的解． 35．（2026·浙江温州·二模）解方程： 【答案】 【分析】依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验的步骤求解即可． 【详解】解：原方程变形为 ， 方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 36．（2026·浙江台州·二模）解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【详解】解：， 两边同时乘，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 37．（2026·浙江宁波·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程化为整式方程，求出解后，再代入检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验知：是原分式方程的解． 不等式及不等式组 考点5 38．（2026·浙江嘉兴·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：, 移项：， 合并同类项：， ∵是“”， ∴是实心原点， ∵是小于等于， ∴数轴上的线向左画． 39．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 40．（2026·浙江温州·二模）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 41．（2026·浙江台州·二模）已知，则下列变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∵，∴，A变形正确，不符合题意； B．不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∵，∴，B变形不正确，符合题意； C．不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，∵，∴，C变形正确，不符合题意； D．不等式两边同时减同一个常数，不等号方向不变，∵，∴，D变形正确，不符合题意． 42．（2026·浙江台州·二模）已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令和，结合图象特征判断和的符号，进而得出结论． 【详解】解：令，则， 图象与轴的交点在轴上方， ， 解得， 令，得， 解得， 图象与轴交点在轴左侧， ， 解得， ，， ，且无法确定的符号． 43．（2026·浙江台州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可； 【详解】解：A，∵，可得，但不一定小于，例如时，，原变形错误，不符合题意； B，∵，不等式两边同时减1，不等号方向不变，∴，原变形正确，符合题意； C，∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，原变形错误，不符合题意； D，∵，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，∴，原变形错误，不符合题意． 44．（2026·浙江金华·二模）一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 45．（2026·浙江舟山·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上表示如下：    故选：B． 46．（2026·浙江台州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 47．（2026·浙江嘉兴·二模）关于的不等式组的解如下图所示，则的值为_____． 【答案】3 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，和数轴得到的不等式组的解集比较即可得到答案． 【详解】解： 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 数轴得到不等式组的解集为， ∴． 48．（2026·浙江温州·二模）不等式组的解集是________． ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：． 因此不等式组的解集为． 49．（2026·浙江温州·二模）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为． 50．（2026·浙江台州·二模）若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：已知不等式组的解集为， ∴， 即． 51．（2026·浙江宁波·二模）关于x的不等式组的解集是_______________． 【答案】−2≤x＜7 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式3x＋8≥2，得：x≥−2， 解不等式，得：x＜7， 则不等式组的解集为−2≤x＜7， 故答案为：−2≤x＜7． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 52．（2026·浙江温州·二模）解不等式组． 【答案】 【分析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，故原不等式组的解为． 【详解】解：第一个不等式可化为：， 移项：， 合并：， 第二个不等式可化为：， 移项： 合并：， 解得，， 故原不等式组的解为． 53．（2026·浙江宁波·二模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 由①得． 由②得． ∴原不等式组的解为． 54．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（为常数）． (1)若抛物线过点． ①求的值． ②轴上有一点，连接，交抛物线于点，且点为线段中点，求的值． (2)已知，是抛物线上的两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①将已知点坐标代入抛物线解析式即可求出；②利用中点坐标公式得到点的坐标，再代入抛物线解析式即可求出； （2）将两点坐标代入抛物线，得到关于的表达式，根据解不等式即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①将代入得， 整理得，解得． ②，，是线段的中点， 的坐标为，即． 由①得，此时抛物线解析式为． 在抛物线上，将代入解析式得， 解得． （2）解：抛物线解析式为， 将，分别代入解析式得，， ， ，整理得， 因式分解得， 可得或， 解第一个不等式组得， 解第二个不等式组得， 因此的取值范围是或． 55．（2026·浙江台州·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】由可得，由得，，即，故原不等式组的解集是． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集是． 56．（2026·浙江台州·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先解不等式得到，再解不等式得到，进而求出不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， ， ； 解②得：， ， ； 综上所述，不等式组的解集为． 57．（2026·浙江台州·二模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； 所以，该不等式组的解集为． 58．（2026·浙江舟山·二模）下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化为1，得．……第四步 (1)任务一：①小茗同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，他的错误原因是____________； ②第四步的解题依据是______； (2)任务二：直接写出这个不等式的解集：______； (3)任务三：除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 【答案】(1)①一，去括号后括号中第二项没有变号；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变； (2)； (3)若x的系数为负数，当x的系数化为1时，不等号的方向要改变（答案不唯一） 【分析】（1）①按照小茗同学求解不等式的步骤，逐步判断即可求解；②根据不等式的性质即可求解； （2）按照一元一次不等式的求解步骤，求解即可； （3）根据一元一次不等式的求解步骤和不等式的性质，求解即可． 【详解】（1）解：①小茗同学的解答过程中，从第一步开始出现错误，他的错误原因是去括号后括号中第二项没有变号； ②第四步的解题依据是不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， x系数化为1，得； （3）解：若x的系数为负数，当x的系数化成1时，不等号的方向要改变． / 学科网（北京）股份有限公司 $