专题01 数与式（7大题型75题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

专题01 数与式（7大题型75题） 7大考点概览 考点01相反数、绝对值、有理数比较大小 考点02科学记数法 考点03整式的运算 考点04分式的运算 考点05因式分解 考点06二次根式 考点07数与式的解答题综合 相反数、绝对值、有理数比较大小 考点1 1．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 2．（2026·浙江宁波·二模）分别把下列各组数中的两数相加，其中和为0的是（     ） A．2和 B．和0 C．和 D．和 3．（2026·浙江温州·二模）2026的相反数是（   ） A． B． C．2026 D． 4．（2026·浙江宁波·二模）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·浙江温州·二模）的绝对值为（   ） A． B．2 C． D． 6．（2026·浙江舟山·二模）以下四个县区中某天中午时温度最低的是（    ）． 岱山县 嵊泗县 普陀区 定海区 A．岱山县 B．嵊泗县 C．普陀区 D．定海区 7．（2026·浙江台州·二模）在0，，，1这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 8．（2026·浙江金华·二模）在数中，比小的数是（   ）． A． B．2 C． D．0 9．（2026·浙江嘉兴·二模）2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流．那么，数字“7500000”用科学记数法可写作（     ）科学记数法 考点2 A． B． C． D． 10．（2026·浙江温州·二模）据2026年3月27日消息，我国发射试验33号卫星火箭，近地轨道高度平均约，数据560000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·浙江宁波·二模）根据2026年政府工作报告，我国2025年新能源汽车年产量超过16000000辆，数字16000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江嘉兴·二模）2026年4月6日，浙江省城市足球联赛（又称“吴越杯”）揭幕战在嘉兴体育中心举行，据统计现场与网络观众近1790000人次，数据1790000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江温州·二模）据报道，2024年“元旦”假期全国国内旅游出游合计142000000人次．数字142000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江温州·二模）智算中心将电力转化为算力并产出，实现更高价值跃升．基于模型实测：度电可生成约个．数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江温州·二模）豆包AI日常单日智能服务请求量可达次．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江台州·二模）假设2026年4月，阿尔忒弥斯2号顺利完成奔月之旅，总航程约为米，将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江台州·二模）灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·浙江台州·二模）据最新统计，台州市常住人口数约为人，其中数据用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 19．（2026·浙江温州·二模）我国成功发射天问二号探测器，计划于2026年开展首次小行星采样任务．本次采样目标为小行星，该小行星在采样阶段距离地球约45000000千米．将数45000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江台州·二模）Deepseek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．年3月，其全球月活跃用户数突破137000000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示137000000正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江金华·二模）年清明节假期天，国内出游人次，将数用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 22．（2026·浙江杭州·二模）年月日，一列满载个集装箱的中欧班列从成都国际铁路港驶出，标志着中欧班列累计开行量正式突破列大关．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·浙江舟山·二模）祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数，其与的差值，该差值用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 24．（2026·浙江台州·二模）一根头发丝的直径约为 ．将数据0.00007用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 25．（2026·浙江嘉兴·二模）下列运算正确的是（   ）整式的运算 考点3 A． B． C． D． 26．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（2026·浙江舟山·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·浙江台州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（2026·浙江宁波·二模）在下列计算中，正确的是() A． B． C． D． 30．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2026·浙江温州·二模）化简：________． 32．（2026·浙江温州·二模）计算：__________． 33．（2026·浙江温州·二模）先化简，再求值：，其中． 34．（2026·浙江宁波·二模）先化简，再求值：，其中． 35．（2026·浙江温州·二模）在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式 除法的化简： 即． (1)请你完成下面的竖式计算．          即 (2)已知多项式，能被多项式整除，求的值． 36．（2026·浙江嘉兴·二模）先化简，再求值：，其中，． 37．（2026·浙江宁波·二模）某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现： ，，，，…于是猜想：任意正数与它倒数的和一定大于等于2． (1)这个猜想用不等式可表示为： ． (2)请用代数推理的方法证明这一猜想． 38．（2026·浙江温州·二模）按要求完成各题 (1)计算：． (2)先化简再求值：，其中． 39．（2026·浙江金华·二模）若一个整式能表示成（都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若为整数，则称“平方差数”．如等． (1)写出一个大于30且小于40的“平方差数”． (2)已知（是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个值，并说明理由． 40．（2026·浙江·二模）某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现： ， 即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如：． (1)利用上述结论直接写出___________； (2)若两位数的十位数字为，请用代数式推理方式说明上述结论的准确性． 41．（2026·浙江嘉兴·二模）计算：_____．分式的运算 考点4 42．（2026·浙江宁波·二模）计算：________． 43．（2026·浙江温州·二模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是_________． 44．（2026·浙江台州·二模）若分式有意义，则x的取值范围是_________． 45．（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 46．（2026·浙江温州·二模）观察以下等式： ①， ②， ③， ④， (1)按这些等式的规律，请写出第5个等式：___________． (2)猜想第个等式________（用的代数式表示），并证明． 47．（2026·浙江金华·二模）已知，求分式的值． 48．（2026·浙江嘉兴·二模）先化简，再求值：，其中． 49．（2026·浙江舟山·二模）先化简，再求值：，其中 50．（2026·浙江舟山·二模）计算： 51．（2026·浙江台州·二模）计算：． 52．（2026·浙江台州·二模）计算：． 53．（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________．因式分解 考点5 54．（2026·浙江温州·二模）因式分解：__________． 55．（2026·浙江宁波·二模）因式分解：______． 56．（2026·浙江台州·二模）因式分解： ____________． 57．（2026·浙江台州·二模）分解因式：_________． 58．（2026·浙江舟山·二模）若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 59．（2026·浙江嘉兴·二模）分解因式：_______． 60．（2026·浙江宁波·二模）分解因式：x2－9＝______． 61．（2026·浙江温州·二模）因式分解：__________． 62．（2026·浙江温州·二模）分解因式：x2+3x=____________ 63．（2026·浙江嘉兴·二模）我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟（）提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请．卫星绕地运行的周期与其轨道半径之间存在如下关系：（为常数）．现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比，则其轨道半径之比（）二次根式 考点6 A． B． C． D． 64．（2026·浙江台州·二模）计算：_______． 65．（2026·浙江舟山·二模）如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 66．（2026·浙江台州·二模）若使代数式有意义，则的取值范围是________． 67．（2026·浙江台州·二模）计算． 68．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式：数与式的解答题综合 考点7 ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 69．（2026·浙江温州·二模）小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图． (1)小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”） (2)根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表： 最高成绩（个） 平均成绩（个） 第5日相对于第1日成绩的增长率 小鹿 小橙 a b ①求a和b的值． ②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”． 70．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 71．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 72．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 73．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 74．（2026·浙江台州·二模）计算：． 75．（2026·浙江温州·二模）计算：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式（7大题型75题） 7大考点概览 考点01相反数、绝对值、有理数比较大小 考点02科学记数法 考点03整式的运算 考点04分式的运算 考点05因式分解 考点06二次根式 考点07数与式的解答题综合 相反数、绝对值、有理数比较大小 考点1 1．（2026·浙江台州·二模）与和为的数是（     ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求解即可． 【详解】解：的相反数为， 根据互为相反数的两个数的和为0可得，与和为的数是， A选项符合． 2．（2026·浙江宁波·二模）分别把下列各组数中的两数相加，其中和为0的是（     ） A．2和 B．和0 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意计算每组两数的和，即可得到结果，用到的性质为互为相反数的两个数相加和为0． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 3．（2026·浙江温州·二模）2026的相反数是（   ） A． B． C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：2026的相反数是． 4．（2026·浙江宁波·二模）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数． 5．（2026·浙江温州·二模）的绝对值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】． 6．（2026·浙江舟山·二模）以下四个县区中某天中午时温度最低的是（    ）． 岱山县 嵊泗县 普陀区 定海区 A．岱山县 B．嵊泗县 C．普陀区 D．定海区 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴温度最低的是普陀区． 7．（2026·浙江台州·二模）在0，，，1这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：， 因此最小的数是． 8．（2026·浙江金华·二模）在数中，比小的数是（   ）． A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】根据正数大于0和一切负数，0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数更小即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴ 大小排序为 ， ∴比小的数是． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流．那么，数字“7500000”用科学记数法可写作（     ）科学记数法 考点2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 10．（2026·浙江温州·二模）据2026年3月27日消息，我国发射试验33号卫星火箭，近地轨道高度平均约，数据560000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用科学记数法表示数，科学记数法的表示形式为，要求，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】将的小数点移到第一个非零数字后，得到，满足 ，小数点向左移动了位，即， 用科学记数法表示为． 11．（2026·浙江宁波·二模）根据2026年政府工作报告，我国2025年新能源汽车年产量超过16000000辆，数字16000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：数字16000000用科学记数法表示为． 12．（2026·浙江嘉兴·二模）2026年4月6日，浙江省城市足球联赛（又称“吴越杯”）揭幕战在嘉兴体育中心举行，据统计现场与网络观众近1790000人次，数据1790000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：1790000用科学记数法表示为． 13．（2026·浙江温州·二模）据报道，2024年“元旦”假期全国国内旅游出游合计142000000人次．数字142000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数字142000000用科学记数法表示为． 14．（2026·浙江温州·二模）智算中心将电力转化为算力并产出，实现更高价值跃升．基于模型实测：度电可生成约个．数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到结果 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数，对于原数，将小数点向左移动位得到，满足要求， 15．（2026·浙江温州·二模）豆包AI日常单日智能服务请求量可达次．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 16．（2026·浙江台州·二模）假设2026年4月，阿尔忒弥斯2号顺利完成奔月之旅，总航程约为米，将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：根据科学记数法的定义， ∵ 原数为位整数，需满足，可得，， ∴，故选A． 17．（2026·浙江台州·二模）灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵亿， ∴亿． 18．（2026·浙江台州·二模）据最新统计，台州市常住人口数约为人，其中数据用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴转变时，，小数点向左移动了位， ∴， ∴． 19．（2026·浙江温州·二模）我国成功发射天问二号探测器，计划于2026年开展首次小行星采样任务．本次采样目标为小行星，该小行星在采样阶段距离地球约45000000千米．将数45000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 20．（2026·浙江台州·二模）Deepseek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．年3月，其全球月活跃用户数突破137000000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示137000000正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，是原数的整数位数减1，确定和的值即可求解． 【详解】解： ， 故选： B． 21．（2026·浙江金华·二模）年清明节假期天，国内出游人次，将数用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解，当原数绝对值时，为正整数，且等于原数的整数位数减． 【详解】解：数用科学记数法表示为：． 22．（2026·浙江杭州·二模）年月日，一列满载个集装箱的中欧班列从成都国际铁路港驶出，标志着中欧班列累计开行量正式突破列大关．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 23．（2026·浙江舟山·二模）祖冲之是我国杰出的数学家，科学家，他得到一个十分接近圆周率的分数，其与的差值，该差值用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法形式为，要求，n为整数，只需根据定义确定a和n的值即可． 【详解】解：∵该差值为 ， 根据科学记数法对的要求， 得 ， 将原数小数点向右移动7位得到，原数绝对值小于1，故， ∴． 24．（2026·浙江台州·二模）一根头发丝的直径约为 ．将数据0.00007用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的标准形式为 （, 为整数），对于小于1的正数，的值等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数的相反数． 【详解】解：科学记数法要求， 将小数点向右移动5位得到7，可得，故， 即． 25．（2026·浙江嘉兴·二模）下列运算正确的是（   ）整式的运算 考点3 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：∵和不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B：∵，∴B正确； 选项C：∵，∴C错误； 选项D：∵，∴D错误． 26．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、不是同类项，不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，正确. 27．（2026·浙江舟山·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故A选项计算正确； B、，故B选项计算错误； C、，故C选项计算错误； D、，当时 ，故D选项计算错误． 28．（2026·浙江台州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的乘除及整式的加减一一排除即可． 【详解】A． 与不是同类项，不能进行加减，不符合题意； B． ，计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，不符合题意； D． ，原选项计算错误，不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了整式的乘除及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 29．（2026·浙江宁波·二模）在下列计算中，正确的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式基本运算，需根据同类项合并，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式的法则逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B，∵根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴B正确． 选项C，∵根据积的乘方法则，可得，∴C错误． 选项D，∵根据完全平方公式，可得，∴D错误． 30．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，∴A错误； 选项B，，∴B错误； 选项C，，∴C错误； 选项D，，∴D正确． 31．（2026·浙江温州·二模）化简：________． 【答案】 / 【详解】解：． 32．（2026·浙江温州·二模）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 33．（2026·浙江温州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 34．（2026·浙江宁波·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【详解】解：原式， 把代入得，原式． 35．（2026·浙江温州·二模）在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式 除法的化简： 即． (1)请你完成下面的竖式计算．          即 (2)已知多项式，能被多项式整除，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： （2） ∵多项式能被整除，余数为0， ∴， 解得． 36．（2026·浙江嘉兴·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 当，时， 原式． 37．（2026·浙江宁波·二模）某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现： ，，，，…于是猜想：任意正数与它倒数的和一定大于等于2． (1)这个猜想用不等式可表示为： ． (2)请用代数推理的方法证明这一猜想． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由题意即可写出； （2）利用作差法即可证明． 【详解】（1）解：∵任意正数与它倒数的和一定大于等于2， ∴． （2）证明：， ∵， ∴， ∴． 38．（2026·浙江温州·二模）按要求完成各题 (1)计算：． (2)先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，5 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 原式． 39．（2026·浙江金华·二模）若一个整式能表示成（都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若为整数，则称“平方差数”．如等． (1)写出一个大于30且小于40的“平方差数”． (2)已知（是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1)如等，答案不唯一 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据定义，写出一个“平方差数”即可； （2）利用配方法对表达式进行整理，根据“平方差数”的定义得出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据“平方差数”的定义可得等，答案不唯一． （2）解：，理由如下： ∵，且T是“平方差式”， ，即． 40．（2026·浙江·二模）某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现： ， 即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如：． (1)利用上述结论直接写出___________； (2)若两位数的十位数字为，请用代数式推理方式说明上述结论的准确性． 【答案】(1)9025 (2)见解析 【分析】（1）利用已知结论进行求解即可； （2）这个两位数为，根据题意列式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意：这个两位数为：， 它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：， ， 末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25． 41．（2026·浙江嘉兴·二模）计算：_____．分式的运算 考点4 【答案】5 【详解】解：原式． 42．（2026·浙江宁波·二模）计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 43．（2026·浙江温州·二模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是_________． 【答案】（答案不唯一，点B横坐标满足即可） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出，结合列不等式求解，得到的取值范围，进而确定点横坐标的范围，写出符合条件的坐标即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， 移项通分得，即， ， ， 解得， 点的横坐标为， ， 取，代入得，， 则点的坐标可以为． 44．（2026·浙江台州·二模）若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 45．（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 经检验，时，，符合题意． 46．（2026·浙江温州·二模）观察以下等式： ①， ②， ③， ④， (1)按这些等式的规律，请写出第5个等式：___________． (2)猜想第个等式________（用的代数式表示），并证明． 【答案】(1)， (2) ，见解析 【分析】（1）根据已知等式的规律写出即可； （2）根据已知等式规律写出等式，利用分式的解法进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意，根据等式规律可知，⑤， （2）解：第个等式 证明： =左边 47．（2026·浙江金华·二模）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】先将变形为，再代入即可求值． 【详解】∵由题可得， ∴． 48．（2026·浙江嘉兴·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 49．（2026·浙江舟山·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：， 把代入 50．（2026·浙江舟山·二模）计算： 【答案】 【详解】解：原式 51．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】分别运用零指数幂、立方根、绝对值的运算法则化简各项，再进行有理数加法运算即可． 【详解】解：． 52．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 53．（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________．因式分解 考点5 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路是找出多项式各项的公因式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 54．（2026·浙江温州·二模）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解： ． 55．（2026·浙江宁波·二模）因式分解：______． 【答案】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 56．（2026·浙江台州·二模）因式分解： ____________． 【答案】 【分析】根据提公因式法可对原式进行因式分解． 【详解】解：． 57．（2026·浙江台州·二模）分解因式：_________． 【答案】 【分析】直接提取公因式a即可． 【详解】解：． 58．（2026·浙江舟山·二模）若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 59．（2026·浙江嘉兴·二模）分解因式：_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 60．（2026·浙江宁波·二模）分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 61．（2026·浙江温州·二模）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：=； 故答案为 62．（2026·浙江温州·二模）分解因式：x2+3x=____________ 【答案】x（x+3） 【详解】考点：因式分解-提公因式法． 分析：观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案． 解答：解：x2+3x=x（x+3）． 故答案为x（x+3） 点评：主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题． 63．（2026·浙江嘉兴·二模）我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟（）提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请．卫星绕地运行的周期与其轨道半径之间存在如下关系：（为常数）．现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比，则其轨道半径之比（）二次根式 考点6 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题给的周期与半径的关系式，利用比例性质和幂的运算推导轨道半径之比即可 【详解】解：∵（为常数）， ∴对两颗卫星可得，， ∴，变形可得， 已知，即， 代入得， ∴，即． 64．（2026·浙江台州·二模）计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 65．（2026·浙江舟山·二模）如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 66．（2026·浙江台州·二模）若使代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 67．（2026·浙江台州·二模）计算． 【答案】 【详解】解：原式 ． 68．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式：数与式的解答题综合 考点7 ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 69．（2026·浙江温州·二模）小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图． (1)小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”） (2)根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表： 最高成绩（个） 平均成绩（个） 第5日相对于第1日成绩的增长率 小鹿 小橙 a b ①求a和b的值． ②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”． 【答案】(1)不合理 (2)①，；②小鹿获得“跳绳新星” 【分析】（1）比较两人的进步幅度，得出结论； （2）①由图可得a的值；计算小橙第5日相对于第1日成绩的增长率②依题意通过比较得出结论． 【详解】（1）解：小鹿∶第1日个，第5日个，增长了（个）， 小橙∶第1日个，第5日个，增长了（个）， ， 小鹿的进步幅度更大，则小橙的说法不合理． （2）解：①由图可知，． ． ②最高成绩∶小鹿个，小橙个， ， 小橙得1分； 平均成绩∶小鹿个，小橙个， ， 小鹿得1分； 增长率∶小鹿，小橙， ， 小鹿得2分． 小鹿总得分∶分∶小橙总得分∶1分 ， 小鹿会获得“跳绳新星”． 70．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 71．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去； （2）解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． 72．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 73．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)小红的计算结果不正确，理由见解析 【分析】（1）（2）设奇数为（为整数），展开平方后整理变形，根据整除的性质证明结论； （3）根据的奇偶性，分析判别式被除的余数，将2026除以得到余数，对比即可判断结果是否正确． 【详解】（1）解：奇数的平方被4除余数为1， 证明见（2）； （2）证明：整数为奇数时，设（其中为整数）， ， 是整数， 是整数， 能被整除， 被除所得余数为； （3）解：小红的计算结果不正确，理由如下： 由题意得，设整系数一元二次方程为（，a，b，c均为整数）， ∴， 当为偶数时，由题干可得，能被整除， ∵是的整数倍， ∴能被整除，即被除余数为； 当为奇数时，由（2）可知，被除余数为， ∵是的整数倍， ∴被除余数为， ∴任意整系数一元二次方程的判别式被除的余数只能是或， ，即2026被除余数为，不满足上述结论， 小红的计算结果不正确． 74．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，再加减即可． 【详解】解： ． 75．（2026·浙江温州·二模）计算：． 【答案】 5 【详解】解：原式 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $