专题4.2 三角函数常用公式及拓展讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数核心公式及拓展应用，系统梳理同角关系、诱导公式、两角和差、辅助角、倍角等高考高频考点，按公式逻辑分层构建知识网络。通过考点精析、方法归纳、真题例解及分层练习，帮助学生夯实公式基础，突破综合应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以公式推导过程培养数学思维，如辅助角公式从代数变形到几何意义的解析，强化逻辑推理能力。设置基础题到综合题的分层训练，结合高考真题题型分类，助力学生高效掌握公式应用技巧。通过精准考点对接和方法指导，既提升学生解题速度与准确率，也为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题4.2 三角函数常用公式及拓展 4.2.1 同角三角函数的基本关系 1.平方关系：. 2.商数关系：，. 例1.若α∈（0，π），且sinα﹣cosα＝sinαcosα，则sinα﹣cosα＝（　　） A． B． C． D． 解：由题设（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝sin2αcos2α， 所以sin2αcos2α+2sinαcosα+1＝2，即（sinαcosα+1）2＝2， 而sinαcosα+1＞0，所以sinαcosα，即．故选：A． 例2.设甲：，乙：，则（） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B. 1.已知，为第一象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以，又因为，所以， ；因为为第一象限角，所以.故选：A. 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，且，所以， 所以. 故选：A. 3.设，则”“是”“的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 4..已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解：由基本不等式有，同理，， 故， 故不可能均大于. 取，则， ，故三式中大于的个数的最大值为2.故选：C. 5.若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 解：∵，且为第四象限角，∴，则. 故选D. 6.已知，则 . 解：由得，平方可得，故. .故答案为：. 7.已知，则 . 解：，得，解得或（舍）.所以.故答案为：. 8.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点 在角α的终边上． （1）求tanα的值； （2）求的值． 解：（1）由题知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点在角α的终边上，由三角函数的定义可知； （2）由（1）可知：， 所以． 4.2.2 诱导公式 1.诱导公式一：①，；②，；③，. 2.诱导公式二：①；②；③. 3.诱导公式三：①；②；③. 4.诱导公式四：①；②；③. 5.诱导公式五：①；② . 6.诱导公式六：①；② . 拓展：奇变偶不变，符号看象限 ①当k为奇数时：，. ②当k为偶数时：，. 符号看象限：令x为锐角，判断角所在象限，确定最终正负. 例1.( ) A. B. C. D. 解：.故选：C. 例2.已知，，则=（ ） A. B. C. D. 解：.故选：C. 例3.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（﹣4，﹣3）． （1）求sinα，tanα的值； （2）求的值． 解：（1）因为角α的终边经过点A（﹣4，﹣3）， 且． 所以，． （2）因为，，， 所以． 1.已知，且，则( ) A. B. C. D. 解：由已知可得，，所以.因为，所以， .所以，.故选：C. 2.，则( ) A. B. C. D. 解：令，则，所以由， 得，即， 即，得，所以.故选：C. 3.( ) A. B. C. D. 解：.故选：D. 4.若，则( ) A. B. C. D. 解：由，得故选：A. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 解：因为，所以故选：C. 6.若，则等于( ) A. B. C. D. 解：因为，所以， 所以.故选：A. 7.在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（4a，3a），其中a≠0． （1）求cosθ的值； （2）若θ为第三象限角，求的值． 解：（1）因为角θ的终边经过点P（4a，3a）， 所以， 当a＜0时，r＝﹣5a，此时； 当a＞0时，r＝5a，此时； 综上，当a＜0时，； 当a＞0时，． （2）因为θ为第三象限角，由（1）知，， 所以， 所以 ． 4.2.3 两角和差公式 1.两角和与差余弦公式 ①； ②. 2.两角和与差正弦公式： ①； ②. 3.两角和与差正切公式 ①； ②. 4.常见变形：. 例1.利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）sin72°cos42°﹣cos72°sin42°； （2）cos20°cos70°﹣sin20°sin70°； （3）． 解：（1）sin72°cos42°﹣cos72°sin42°＝sin（72°﹣42°）＝sin30°； （2）cos20°cos70°﹣sin20°sin70°＝cos（20°+70°）＝cos90°＝0； （3）tan（45°+15°）＝tan60°． 例2.若，则（ ） A. B. C. D. 解：方法1：由已知得：，即：， 即：，所以. 方法2：设则，取，排除A，B；再取则，取，排除D；选C. 方法3：， 所以， ，即， ∴， ∴即，故选：C. 例3.对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 解：若为锐角，则， ，错误； ，错误； 令，则，即 ∴，则，∴且，则，错误； 令，，则在上单调递减，则，又，则，正确；故选：D. 例4.已知，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，，所以，， 所以.故选：A. 1.已知cosβ＝2cos（2α+β），则tan（α+β）tanα＝　 　． 解：由已知可得cos（α+β﹣α）＝2cos（α+β+α）， cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝2cos（α+β）cosα﹣2sin（α+β）sinα， 3sin（α+β）sinα＝cos（α+β）cosα， 所以．故答案为：． 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以，而，所以 ，故即，从而 ，故，故选：A. 3.计算：（ ） A. B. C. D. 解：. 故选：A. 4.已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 解：，所以，所以 ，故选C. 5.（ ） A. B. C. D. 解：由题意：. 故选：D. 6.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：∵，∴，令，则， 整理得，解得，即.选：D. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意可得：， 则：，，从而有：， 即.故选：B. 8.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意， 即，即， 所以.故选：B. 9.求下列各式的值． （1）； （2）； （3）tan255°； （4）． 解：（1）； （2）； （3）tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）； （4）． 10.化简下列各式： （1）； （2）（）（1﹣cosα）． 解：（1）1； （2）（）（1﹣cosα）sinα． 4.2.4 辅助角公式 1.辅助角公式：，其中，. 2.推导过程：，， 令，.则，其中. 例1.求函数的最大值和周期. 解：，所以；周期. 例2.函数的值域为 . 解：，其中，.因为，所以.故答案为：. 例3.若，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 解：因为，.又，所以. 故选：A. 例4.若，，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：，，，，，，.故选：C. 1.若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：，当时，此式的取值范围是，而在上小于1，故排除A、B；在上，不可能相等，所以排除D. 故选：C. 2.函数的最小正周期为 . 解：因为，所以最小正周期为.故答案为：. 3.函数的单调递增区间为 . 解：因为，正弦函数的单调递增区间为， 令，则：， 解得：.故答案为：，. 4.设函数对任意的均满足， 则  . 解：因为， 又因为，所以函数为偶函数，即， ∴，所以.故答案为：1. 5.若，则 ，  . 解：，，即， 即，令，，则，，即，，则.故答案为：，. 6.已知函数，求： (1)函数的最小正周期； (2)函数在上的最大值和最小值. 解：. （1）函数的最小正周期：； （2）当时，， 在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，，； 当，即时，， 7.若函数（）的最大值为，且，求的值. 解：由辅助角公式，，最大值为， 已知最大值为，故，即①； 又， 两边乘2得：②； 联立①②，由②得，代入①得：. 化简为：，解得或. 当时，，均成立，符合； 当时，，不符合，舍去； 故. 8.已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数在区间上的最大值为，求的最小值. 解：(1)因为. 最小正周期：； 令，解得：. 所以函数单调递增区间为，. (2)函数的最大值为，当且仅当时取到， 此时，解得. 因为，故时，是区间内第一个取到最大值的点，因此的最小值为. 4.2.5 倍角公式 降（升）幂公式 半角公式 万能代换公式 三角平方差公式 1.二倍角公式 （1）； （2）； （3）. 2.降幂公式：（1）；（2）. 升幂公式：（1）；（2）. 3.半角公式 （1）；（2）；（3）. 4.万能代换公式 （1）； （2）； （3）. 5.三角平方差：. 例1.在中，，求的值. 解：已知，且，故. 由二倍角公式：， ， 因此，. 例2.化简函数，并求其值域. 解：， 因为，且，故， 代入得：，再用降幂公式， 继续化简：，因为， 所以，当时，； 当时，；因此值域为. 例3.已知，且，求的值. 解：利用半角公式，因为，所以， 代入得：. 例4.已知，求的值. 解：根据万能代换公式，代入：得. 例5.已知，且，求的值. 解：根据三角平方差公式，已知， 代入得：， 因为，故： 又因为，故，则，， 因此：. 例6.化简：. 解：根据三角平方差公式， 令得： . 1.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，而，因此，则，所以.故选：B. 2.已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，而为锐角，解得：. 故选：D. 3.已知，，则（ ） A. B. C. D. 解：由，又，所以，所以，又，所以或(舍去)，所以.故选：A. 4.已知，则 A. B. C. D. 解：，则.故选：A. 5.若，则 A. B. C. D. 解：，分子分母同时除以，即得： 故选：D. 6.化简：= . 解：. 故答案为：. 7.已知，则的值为 . 解：先用万能代换公式分别求和：；；代入表达式：.故答案为：. 8.计算： . 解： .故答案为：. 9.若，则 . 解：且.故答案为：. 4.2.6 积化和差公式 和差化积公式 1.积化和差公式 （1）. （2）. （3）. （4）. 2.和差化积公式 （1）. （2）. （3）. （4）. 例1.计算. 解：令，，代入公式逐步计算：. 例2.化简，并求最小正周期. 解： 由余弦奇偶性，得， 继续化简得：. 所以函数最小正周期. 例3.已知，，求. 解：利用同角三角函数平方关系与余弦差角公式求解，将两个已知等式分别平方： ，将两式左右两边分别相加， 结合， 化简得：， ，，，. 1.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：法一： 故，故选：A. 法二：因为，所以，而， 所以， 故即，从而， 故.故选：A. 2.设，则 . 解：，， .故答案为：. 3.若，则 . 解：∵，∴， ∵，∴， 即，∴，∴，故答案为：. 4.已知，则 ， . 解：由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得， 即，解得； 因为， ， 所以， 所以.故答案为：；. 5.计算. 解：原式简化为： 连续使用积化和差公式分步化简： ， 代入原式继续展开计算： 原式 . 由诱导公式，得，因此，所以. 6.求的最大值. 解：， 由余弦奇偶性，得， 代入得： 根据正弦函数值域性质，，当时，函数取得最大值. 7.在中，，，求. 解：由和差化积公式： 已知，因此： 由三角形内角和，得，故 由诱导公式，得 由二倍角公式，代入等式： 因，故，，两边约去得：. 由和差化积公式：， 代入、得：. 整理得：. 由同角三角函数平方恒等式，令， 将(1)(2)代入：，展开化简：， 由三角恒等式，，代入方程化简求解，最终得：， ∵， ∴. 8.求函数的值域. 解：， ， ， 由和角公式， 展开得：， 代入函数得：. 因为，代入函数计算最值： 最小值为：. 最大值为：. 综上，函数最大值为，最小值为，故函数值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.2三角函数常用公式及拓展 4.2.1同角三角函数的基本关系 ⑧知识点梳理 sin2a=1-cos2a台sina=±y1-cos2a 1.平方关系： sin2a+cos2a=1台 cos2a=1-sin2a台cosa=±y1-sin2a 2.商数关系：tana=器，c≠5+km(ke☑. ®典型例题 例1.若ae(0,π)，且sina-cosa=sinacosa,则sina-cosa=() A.-1+V2 B.-2+1 c.-2±1 D.-1±2 例2.设甲：sin2a+sin2B=1,乙：sina+cosB=0,则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 课后练习-巩固加强 1.已知tan&=,a为第一象限角，则sinc的值为( ) A B c.- D.- 5 2.已知sina-号 则sin4&-cos4a=（) A.-寻 B-吉 c D唱 3.设x∈R,则”sinx=1“是"cosx=0“的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知c,B,Y是互不相同的锐角，则在sinacos3,sinBcos%,sinycosa三个值中，大于的 个数的最大值是() A.0 B.1 C.2 D.3 5若sina=一条，且a为第四象限角， 则tanc的值等于（) A号 B-号 c是 D.- 6.已知器=V5,则sin4a+cos4a= 7.已知tanc= 7-sina 则cos2a=- 8.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点P(等，一) 在角a的终边上. (1)求tana的值； （2)求28器 的值。 2 4.2.2诱导公式 窗知识点梳理 1.诱导公式-：①sin(a+2k)=sina,k∈Z;②cos(a+2k)=cosa,keZ;③ tan(a+2kit)=tana,kEZ. 2.诱导公式二：①sinπ+d)=-sinc;②cosπ+)=-cos;③ tan(π+a=tanc. 3.诱导公式三：①sin(-)=-sina;②cos(-)=cosa；③ tan(-a)=-tana. 4.诱导公式四：①sin(π-)=sina；②c0s(π-=-cosa;③ tan(π-c)=-tand. 5.诱导公式五：①sin(号-)=cosa;②cos(号-c=sina. 6.诱导公式六：①sin(号+=cos&②cos号+a=-sina. 拓展：奇变偶不变，符号看象限 ①当k为奇数时：sin(罗+x)→cosx,cos(受+x)→sinx ②当k为偶数时：sin(罗+x)-→sinx,cos(受+x)→cosx 符号看象限：令x为锐角，判断角（罗+x)所在象限，确定最终正负。 ⑧典型例题 例1.tan600°=（) A号 B-号 Cy/3 D.-5 例2.已知ae(0,),sin(&-最)=青，则cos(a+)=() A2 B-9 c.- D 例3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A(-4,-3). (1)求sina,tanc的值； sia-πHcos2π-a) (2）求sin警-)+taπ+a的值. 课后练习-巩固加强 1.已知cos(+p)=与，且g<受，则tamp=( A-写 B喝 c.-5 D.3 2.2sin(a+号)=cos(a-号)，则tan(a-若)=(） A-4-5 B.-4+V5 C.4-5 D. 4+V5 3.sin210°=() A号 B-号 c D.- 4.若sin(a+号)=寺，则cos(a+要)=() A.- B c.± n 5.已知sin(a+号)=，则cos(a-)=() A.- B-目 c D 6.若sin(-a)=青，则cos(等+2a)等于() A. B.-3 C D. 7.在平面直角坐标系xOy中，角0的终边经过点P(4a,3a),其中a≠0. (1)求cos0的值； 2sinπ-日+sin6叶)tanπ- (2)若θ为第三象限角，求 sin(g-日)+cos+日 一的值 4.2.3两角和差公式 ⑧知识点梳理 1.两角和与差余弦公式 ODcos(a-B)=cosa cosB+sina sinB: ②cos(au+F)=cosa cosβ-sin&sinβ. 2.两角和与差正弦公式： ①sin(a-β)=sina cosB-cosa sinB; ②sin(a+β)=si&cos3+cosa sinB. 3.两角和与差正切公式 Dtan a-Bt tana-tanB ②tana+B)= tang+tanB 1-tang tan a=(a+)-B &=B-(B-&x) a=[(a+B)+(&-B)] 4.常见变形： a=I(c+β)-(a-B)]· 等+a=吾-（等-a) 典型例题 例1利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin72°cos42°-cos72°sin42°； (2)cos20°cos70°-sin20°sin70°； (3) 1+tan15 1-ta115 例2.若sin(a+月)+cos(a+)=2V2cosa+)sinB,则() A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(&+F)=-1 例3对任意的锐角，B,下列不等关系中正确的是( ) A.sin(a+B)>sina+sinB B.sin(a+B)>cosa +cosB C.cos(a+B)<sina+sinB D.cos(a+B)<cosa+cos3 例4.已知ae(受，π)，sina=是，则tan(a+)=( A. B.7 C.- D.-7 课后练习-巩固加强 1.已知cosβ=2cos(2a+β)，则tan(a+β)tana= 2.已知cos(a+)=m,tanatanB=2,则cos(a-B)=( A.-3m B.-罗 c.号 D.3m 3.计算：sin50°sin80°+cos50'sin170°=() A县 B-县 c D.- 4.已知cos(a-若)+sina=青5，则sin(a+ξ)的值是() A2S 以-9 c.- D. 5.cos20-cos20=( A号 B吗 e 唔 6.已知2tan6-tan(6+)=7,则tan日=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.已知sin6+sin(6+)=1,则sin(6+)=( A支 B吗 c 吗 8.已知sinasin(&+)=cosasin(等-c),则tan(2a&+)=() A.2-V5 B.-2-V5 c.2+V3 D.-2+V5 9.求下列各式的值. (1)sinc0s是； (2)cos2-sin2;(3)tan255°； (4) 1 5 sn10- c0s10°· 10.化简下列各式： V1-2cos5°sin5 (1) c0s5°-√1-c0s2； 1 1 (2)(smia十ta）(1-cosc). 7 4.2.4辅助角公式 ⑧知识点梳理 1.辅助角公式：asim0±bcos6=√a2+b2sin(8±p),a>0,b>0,其中 pe(0,号)，tanp=. 2.推 导 过 程 a>0,b>0 asin8±bcos6=Va2+b2 【5sim9±南cos9） b 5 令c0s0=54B, sin= +市.则asin6±bcos6=Va2+b2sin(日±p),其中 pe(0,) 典型例题 例1.求函数y=sinx+V3cosx的最大值和周期. 例2.函数fx)=3sinx-4cosx的值域为 例3.若0<a<B<,sina+cos=a,sinB+cosB=b,则下列结论正确的是() A.a<b B.a>b C.ab<1 D.ab>2 例4.若0≤a≤2π，sina>V5cosx, 则α的取值范围是() A(胥，) B.(等，π c(,) D.(,受) 课后练习-巩固加强 1.sina+cosa=tana(0<a<, 则α的取值范围是( A(0,) B(,) c(蛋，) D(胥，) 2.函数y=2sin2x-2cos2x的最小正周期为 3.函数y=sinx一cosx的单调递增区间为」 8 4.设函数f(x)=sin(x+p)+cos(x+p)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=fx, 则tanp= 5.若3sima-sin6=V10,a+B=号，则sinx=一，cos2B= 6.已知函数fx)=2 sinxcosx+2V3cos2x-V5,求： (1)函数的最小正周期： (2)函数在[0，]上的最大值和最小值. 7.若函数fx)=asinx+bcosx(a,b>0)的最大值为2，且f(答)=V3,求a,b的值. 8.已知函数fx)=sin2x+2cos2x,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数f(x)在区间[0，m]上的最大值为y2+1,求m的最小值. 9 4.2.5倍角公式 降（升）幂公式 半角公式 万能代换公式 三角平方差公式 金知识点梳理 1.二倍角公式 cos2a-sin2a 1)sin2a=2sina cosa (2) cos2a= 2c0s2a-1 (3) 1-2sin2a tan2a=器 2.降幂公式：(1)sin2a=(1-cos2a:(2)cos2a=1+cos2 升幂公式：(1)1+c0s2a=2c0s2;(2)1-cos2=2sin2 3.半角公式 (1) sim号-±yc9o ；(2) c0s号=士V+9型 2 ；(3) tan号=士保8器 sina =1-cosa 1+cosa sina 4.万能代换公式 (1)sinA==2时cos壁 2tan时 sin+cos3号 三 1+tam受； (2)C0sA-0型=c0s4-m登 1-ta2号 1 m号+cos3号-1+tar； 2tan时 (3)tanA= i-tar☒ 5.三角平方差：sin2a-sin2B=sin(a+B)sin(-B) 10 ⑧典型例题 例1.在△ABC中，cosA=号，求sin2A+cos2A的值. 例2.化简函数fx)=sin4x+cos4x,并求其值域. 例3.已知cos6=-号，且6∈(，π)，求tan号的值. 例4.已知tan号=2，求sina的值. 例5.已知sin2A-sin2B=青，且A+B=号，求cos(A-B)的值. 例6.化简：sin2(吾+a)-sin2(-a). 11 课后练习-巩固加强 1.已知sin(a-B)=寺，cosasinB=言，则cos(2a+2B)=( A.写 B. c.- D.- 2已知x为饶角，cos=45,则sin号=( A B. c-5 D. 3.已知sin2a=号，ae(0,元)，则sina+cos=( A年 B.-因 3 c D.- 4.已知sina-cosa=号，则sin2a=( A. B.- c D. 5.若tan6=青，则cos28=( A.- B.- c D 6.化简：sin260°-sin230。= 7.已知tan号=3，则sin日+2cos8的值为 8.计算：c0s72c0s(-369= 9.若cos(等-a=寻，则sin2x= 12 4.2.6积化和差公式 和差化积公式 知识点梳理 1积化和差公式 (1)sin a cosB=s)sidaB) 2 (2)cos a sin B=sinaBsi) 2 (3) cos a Cos B=codatB)+coda-B) (4) sin a sin B=- co{c+B)cosaβ) 2.和差化积公式 (1) sinx+siny=2sin学cos号 (2)》 six-siy=2cos'sin学 V (3)cosx+cosy=2cos学ycos号 ( 4) cosx-cosy=-2 sinsin号 ®典型例题 例1.计算sin75cos15°. 例2.化简f(x)=sinxsin(x+号)，并求最小正周期. 13 例3.已知sina+sinB=支，cosx+cosB=与，求cos(a-P) E 课后练习-巩固加强 1.已知cos(a+=m,tanatanB=2,则cos(a-B)=() A.-3m B.-罗 c.号 D.3m 2.设cosa+cosB=子，sina-sinB=青，则tan(a-B)= 3.若cosxcosy-sinxsiny=,sin2x-sin2y=号，则sin(x-y) 、 4.已知sin&+sinS=a,cosa-+cosB=b(ab≠0)，则cos(a-B)= sin(a+B)= 5.计算cos20°cos40°cos60°cos80°. 6.求f(x)=sinx+sin(x+号)的最大值， 7.在△ABC中，sinA+sinB=2sinC,cosA-cosB=支，求sinC. 14 8.求函数fx)=sinxsin(x+号)+sin(x+号)sin(x+等)的值域. 15