精品解析：2025年山东省济南市历下区九年级中考二模数学试题

2025年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 3. 中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产28nm浸没式DUV光刻机，填补国内空白．已知．将0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 13. 如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为______． 14. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图1所示的七巧板，拼成图2所示的图形，则______． 15. 如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则的长度为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 19. 为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； （2）请补全条形统计图； （3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； （4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 20. 如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． （1）如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； （2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 21. 如图，在中，，与边，分别交于点，，是的直径，连接，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 23. 直线与双曲线交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）如图1，点是直线上第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； （3）如图2，已知点是双曲线上一动点，连接，，当时，求点的坐标． 24. 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 25. 在中，，，点在边上（点不与点，点重合），连接，并将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，连接． ①与的位置关系为______，与的数量关系是______； ②请用等式表示和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义可得：的绝对值是， 故选：． 2. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．根据主视图和左视图的定义解答即可． 【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个面，第二列看到两个面，第三列可看到一个面； 从左视图来看：第一列有三个面，第二列有一个面． 故符合题意的图形为： 故选：A． 3. 中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产28nm浸没式DUV光刻机，填补国内空白．已知．将0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学计数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：将0.000000028用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图，已知直线与交于点 ，，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 6. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，以及不等式的性质．根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置和不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：由数轴知， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，时，方程有两个不相同的根；时，方程有两个相同的根；时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，由，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 9. 如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标规律探究，观察图象可知，，的纵坐标以为一组进行循环，进而求出的坐标即可． 【详解】解：由题意，如图， 可知：在轴上，且，的纵坐标以为一组进行循环， ∴，即一个循环，横坐标增加5，且在一个循环内横坐标的变化为， ∴， ∴， ∵， ∴的纵坐标为，横坐标为：， ∴， 故选C． 10. 已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先求得抛物线的对称轴为直线，判断得出离对称轴更远，分四种情况讨论，画出图形，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， ∵， ∴离对称轴更远，分四种情况讨论， ①当都在对称轴右边，如图， ∴，即， ∵， ∴； ②当都在对称轴左边，如图， ∴，即， ∵， ∴； ③当在对称轴左边，在对称轴右边，如图， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴当，时，最大，值为， ∴； ④当在对称轴左边，在对称轴右边，如图， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴当，时，最小，值为， ∴； 综上或， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 13. 如图，⊙ 的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、、、、，因为⊙ 的内接正六边形的边长为6，可得 ，，即可判断是等边三角形，即，由点P是弧的中点，，则，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、、、、， ⊙ 的内接正六边形的边长为6， ，， ，， 是等边三角形， ， 点P是弧的中点， ， ， ， 弧的长为：， 故答案为：． 14. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图1所示的七巧板，拼成图2所示的图形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求正切值，勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识．过点B作交延长线于点 ，则，由题意可知， 都是等腰直角三角形，证明是等腰直角三角形，设，则求出，则，利用正切定义即可求出答案． 【详解】解：过点B作交延长线于点 ，则， 由题意可知， 都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点 为上一点，且，作的角平分线交边于点 ，作于点，分别与和交于点和点，若，则的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过Q作交于O，先证明，得到，设，则，由是的角平分线，，推出，，证明，得到，，，，根据平行线的判定和性质得到，根据等角对等边得到，进而得到，，再证明，由相似三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：连接，过Q作交于O， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵是的角平分线，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， 由图可知， ∴不符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义及性质，解一元二次方程，等角对等边，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，化简绝对值，计算零次幂，再计算乘法，最后合并即可． 【详解】解： ； 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先进行括号内加法计算，再将除法化为乘法，化到最简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； （2）请补全条形统计图； （3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； （4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 【答案】（1）40；18 （2） 补全条形统计图如图， ； （3） （4）估计九年级所需指导教师6名． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计全体等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）根据B组的人数及其占比，可求得样本容量；根据A组的占比乘可求得A组对应扇形的圆心角； （2）先求得D组的人数，即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， ， 故答案为：40；18； 【小问2详解】 解：D组的人数为， 【小问3详解】 解：抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是第20和21个数， ∴中位数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计九年级所需指导教师6名． 20. 如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． （1）如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； （2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过点B作于点N，延长交于点M，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得，再结合图形即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． 【小问2详解】 解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 21. 如图，在 中，，与边，分别交于点 ，，是的直径，连接，过点 作，交于点 ． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证得是等腰直角三角形，求得，由平行线的性质求得，据此可证明是的切线； （2）先证得，利用三角函数的定义求得，证得是等腰直角三角形，求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，（已证）， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：当时，燃油车的行驶费用更低； 当时，两种车的行驶费用相同； 当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，燃油车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 23. 直线与双曲线交于点，与 轴交于点． （1）求的值； （2）如图1，点是直线上第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点 ，交双曲线于点 ，当时，求的值； （3）如图2，已知点是双曲线上一动点，连接，，当时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点和分别作 轴的垂线，垂足分别为和，得到，推出，求得，再分别求得，，据此求解即可； （3）分点在点的上方和点在点的下方两种情况讨论，分别求得直线的解析式，与双曲线的解析式联立，求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线交于点， ∴，，解得，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 过点和分别作 轴的垂线，垂足分别为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当点在点的上方时， 设与相交于点，再设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∵， ∴， ∴； 当点在点的下方时， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∵， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在 轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在 轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点 ，将直线绕点逆时针旋转得直线，交 轴于点 ，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 25. 在 中，，，点 在边上（点 不与点，点重合），连接，并将绕点 逆时针旋转得到． （1）如图1，连接． ①与的位置关系为______，与的数量关系是______； ②请用等式表示和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长． 【答案】（1）①， ②由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，证明，即可得出结论；②由，得到，再根据，即可得出结论； （2）连接，将沿着翻折得到，连接，作，得到，推出四边形为正方形，进而得到点为定点，当点 与 重合时，最小，此时，进而求出的长，即可． 【小问1详解】 解：①连接， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②略 【小问2详解】 连接，将沿着翻折得到，连接，作，如图，则：，，， ∵将沿翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴为定点，，； 由（1）知，， ∴点 在射线上运动，， ∴当点 与点 重合时，，值最小，此时最小， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $