精品解析：2026年山东临沂市平邑县九年级下学期综合训练模拟试题(二) 数学

2026年九年级综合训练模拟试题（二） 数学 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填下． 1. 下列各数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，去绝对值，化简多重符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∴最小的数为：． 故选D． 2. 网购已成为新的消费模式，阿里巴巴官方正式公布2019年天猫“双11”购物节最终成交额为2684亿元，转化为以元作为单位，用科学记数法可表示为（ ）元. A. 268 400 000 000 B. 2.684×108 C. 2.684×1011 D. 2.684×1012 【答案】C 【解析】 【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答. 【详解】2684亿元=2.684×1011， 故选：C. 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解. 3. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意； B．该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故D不符合题意． 故选：A． 4. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．画出树状图，根据树状图即可求． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目分别用、、、表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等结果，其中他选择“跳远”与“100米”两个项目的结果有2种， 他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率为， 故选：C． 5. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可． 【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形， 因此选项A不符合题意； B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形， 因此选项B不符合题意； C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形， 因此选项C不符合题意； D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形， 因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方式、多项式乘多项式法则解决此题． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、2x与3y不是同类项，无法合并，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方式、多项式乘多项式法则，熟练掌握同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方式、多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，结合二次项系数不等于0，可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∵， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 8. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，多边形的外角和定理的应用，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为，证明，结合，可得正多边形的一个外角的大小，从而可得答案． 【详解】解：如图，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为， ∵正多边形的每一个内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该正多边形正八边形． 故选：C 9. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为H，在中，有勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 10. 下面的三个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象，含直角三角形的性质，勾股定理及扇形面积公式依次进行排除选项即可． 【详解】解：①由题意可知：含角所对的直角边等于，另一条直角边为，所以该直角三角形的面积，由于，所以该函数的图象开口向上，故不符合题意； ②设该确定的正数为，由题意可知另一个正数为，所以，由于，对称轴为直线，所以该函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，故符合题意； ③设篱笆的长度为，由题意可知围成扇形的弧长为，然后根据扇形面积公式可知：，由于，对称轴为直线，所以该函数的图象开口向下，对称轴在轴的右侧，故符合题意； 综上所述：变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是②③． 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 12. 若式子在实数范围内有意义，写出一个符合题意的整数________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件，确定的取值范围，在取值范围内选取一个整数即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，需同时满足分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数， 因此不等式， 解得， 取范围内的一个整数，得， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 14. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，不等式的应用，设班同学的最高身高为，最低身高为，班同学的最高身高为，最低身高为，根据班班长的对话，得，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据班班长的对话，得，然后利用不等式性质可求出，即可判断②， 正确进行计算是解题关键． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， ∴， ∴， ∴， 解得：，故③符合题意； 1班学生的身高不超过，最高未必是，无法判断①，故①不符合题意； 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，故②符合题意， 故答案为：②③． 三、解答下列各题（满分75分） 16. 计算 （1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】（1） （2），非负整数解为， 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、锐角三角函数值，再计算乘法，然后计算加减运算即可； （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集，再找出非负整数解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 解不等式，， ， ， ； 解不等式，， ， ； 原不等式组的解为， 它的非负整数解为，． 17. 如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B 旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．（参考数据： ，，，，，） （1）如图2，当A、B、C三点共线且时，求灯泡悬挂点 D 距离地面的高度； （2）在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 B 顺时针旋转同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为，求的长．（结果精确到1 cm） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）过点 D 作于点 E．在中，根据得出，即可得出答案； （2）过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作于点G，延长交于点H．在中，利用得出，从而求得、，在中，利用得出，即可解题． 【小问1详解】 解：过点 D 作于点 E． 在中，，， ， 解得， 灯泡悬挂点D距离地面的高度为（）． 【小问2详解】 解：过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作于点G，延长交于点H． 在中，，， ， 解得， （）， （）， 在中，， ， 解得， 的长为． 19. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）； （2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）； （3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）； （4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由． 【答案】（1）； （2）A （3）乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； （4）预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名； （3）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可； （4）先计算的人数为96人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可． 【小问1详解】 解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩 由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82， ∴中位数为：； 优秀率为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分； ∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分； 故A的排名更靠前； 故答案为：A； 【小问3详解】 解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高， 故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； 【小问4详解】 解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人， 根据题意，得， 解得， 而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分， 答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形性质得，再结合，推出，得切线． （2）作，证明矩形，得；由推出；列方程求半径，再用 “梯形面积 - 扇形面积” 求阴影面积． 【小问1详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵为的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 过点 O 作于点 M，连接，则． ∵， ∴ 四边形是矩形， ∴，． ∵，∴， ∴，． 设，则， ． 在中，， ∴， 解得，即，半径． 答：阴影部分的面积为． 【点睛】考查切线的判定定理、等腰三角形性质、矩形的判定与性质、垂径定理、三角函数、扇形面积公式、梯形面积公式．易错点：矩形性质应用错误、三角函数定义混淆、扇形圆心角计算错误．方法技巧：构造辅助线、等线段转化、面积差法求阴影面积． 21. 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）． （1）求直线AB的函数关系式； （2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？ 【答案】（1）；（2）210． 【解析】 【分析】（1）将，代入到，得到方程组，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式； （2）将代入中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可． 【详解】解：（1）设直线AB的函数关系式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线AB的函数关系式． 故答案为：． （2）将代入中， 可得：， 化简得：， 设总销售额为，则 ∵， ∴有最大值，当时，取到最大值，最大值为735． 故答案为：210． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键． 22. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，求证：； （2）在的条件下，连接，延长交于点，恰好是的中点．如果，求的长； （3）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，请探究的值，并证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）；证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据，得到，则有，，所以，由勾股定理得到，则，所以即可求解； （3）根据题意可证，得到，，由，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：； 理由如下： 如下图所示，设，交于点， ，， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ，则， ， 在和中，， ， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三线合一等知识的综合运用，掌握正方形的性质，证明三角形全等，运用全等三角形的性质是解题关键． 23. 已知抛物线． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母的式子表示）； （2）若该抛物线与轴交于点，（点在点A的右侧），且，求的值； （3）当时，该抛物线上的任意两点，，若满足，，求的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为，顶点坐标 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接将函数解析式化成顶点式即可解答； （2）先把函数解析式化成一般式，然后得到方程，再运用根的判别式确定a的取值范围以及公式法求得，最后根据列式求解即可； （3）由题意可得该抛物线的对称轴为、开口向下，即当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；然后分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴该抛物线的对称轴为，顶点坐标． 【小问2详解】 解：令，则方程有两个实数根 ∴，则或 当时， ∴ ∵ ∴，解得不合题意舍弃，不合题意舍弃； 当时， ∴ ∵ ∴，解得：． 【小问3详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为,开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，由，则； 当时，由抛物线的对称性可得和的函数值相同，又，则 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、把二次函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解二次函数图像的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级综合训练模拟试题（二） 数学 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填下． 1. 下列各数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 网购已成为新的消费模式，阿里巴巴官方正式公布2019年天猫“双11”购物节最终成交额为2684亿元，转化为以元作为单位，用科学记数法可表示为（ ）元. A. 268 400 000 000 B. 2.684×108 C. 2.684×1011 D. 2.684×1012 3. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A. B. 1 C. D. 8. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 9. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 10. 下面的三个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③ 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 12. 若式子在实数范围内有意义，写出一个符合题意的整数________． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 14. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 15. 根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答下列各题（满分75分） 16. 计算 （1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的非负整数解． 17. 如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 18. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B 旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．（参考数据： ，，，，，） （1）如图2，当A、B、C三点共线且时，求灯泡悬挂点 D 距离地面的高度； （2）在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 B 顺时针旋转同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为，求的长．（结果精确到1 cm） 19. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）； （2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）； （3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）； （4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）． （1）求直线AB的函数关系式； （2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？ 22. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，求证：； （2）在的条件下，连接，延长交于点，恰好是的中点．如果，求的长； （3）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，请探究的值，并证明． 23. 已知抛物线． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母的式子表示）； （2）若该抛物线与轴交于点，（点在点A的右侧），且，求的值； （3）当时，该抛物线上的任意两点，，若满足，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $