精品解析：2026年山东省淄博市高新区中考二模数学试题

2025～2026学年度第二学期阶段性学业质量检测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各数中比1大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴比大的数是． 2. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、既是轴对称图形又是中心对称图形． 3. 已知一粒红豆的质量是0.000581千克，将数据0.000581用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是． 5. 如图，中，，斜边，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 6. 某小区开展垃圾分类，一周内收集的可回收物重量（单位：)统计如下：25，28，30，32，28，26，31．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 无众数， 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义确定众数，再将数据排序后找到中位数． 【详解】解：统计这组数据中各数的出现次数：25，26，30，31，32各出现1次，28出现2次， ∵28的出现次数最多， ∴众数为， 将数据从小到大排序得：， ∵这组数据共7个，个数为奇数，中位数为排序后第个数， ∴第4个数为28，即中位数为， 因此这组数据的众数和中位数分别是，． 7. 如图，点，，，在上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理、平行线的性质、等边对等角，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，根据圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半求得，结合平行线的性质、等边对等角求出，则． 【详解】解：连接， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 8. 若关于的分式方程无解，则m的值是（ ） A. 3或 B. 3或10 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论：①若整式方程无解，则， ∵时，，等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根，原分式方程的分母为， 令，得增根为， 把代入，得， 解得； 综上，的值为或． 9. 如图，点P是正方形对角线上的一点，于点E．连接并延长交于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，则，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是四边形的对角线， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， 即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 10. 规定：对于某个函数，若自变量的取值范围为时，对应的函数值y全部满足：，其中是时对应的函数值，是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数增减性求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ，， 要求满足，即， 在，随的增大而增大， 的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间，， 在，随的增大而增大， 的范围是，，得， ， ， 不等式不成立，假设不成立，故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ，， 要求满足，即， 开口向上，对称轴为，在，随的增大而增大，的范围是，全部满足， 符合定义，故③正确； 对于④，当时，；当时，，函数的对称轴为， 在的最大值为，只需满足最小值大于等于， 开口向上，顶点在，当时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，可得，得，矛盾无解， 当且，即时，， 若是融值区间，则， ∴且， 解得，与矛盾，故此情况无解， 综上所述，，不是，故④错误； 综上，正确结论为②③． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数． 根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，求解后取交集即可． 【详解】由题意得：且， 解得：，且， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加， 第一次平移后点的坐标为， 再向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标减， 点的坐标为． 13. 已知，求代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值． 由得：，代入所求的代数式，然后进行化简即可求解． 【详解】解：由得：， 则． 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，交反比例函数的图象于点C，点P为y轴上一点，若的面积为2，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据轴可知轴，利用平行线间的距离相等可得，再根据反比例函数系数的几何意义，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴，为轴上一点， 轴， 点、点到直线的距离相等， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第四象限， ，， 由图可知， ， 解得． 15. 如图，在等腰直角中，，．点D为的中点，，其两边分别与，交于点E，F（不与A，B，C重合）．取的中点M，连接并延长交于点G，连接，．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、，如图 ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ，点为的中点， ， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程组可化为 ，得， 解得， 将代入①，得 ∴二元一次方程组的解为． 17. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，， ． 18. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）由，得到再利用证明，从而得到结论； （2）由，，求得，因为，得到，再根据，利用三角形内角和求得最后结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ． 19. 为隆重纪念“五四”爱国运动，某中学举行了学生艺术作品展览活动，共设置了五个组，分别为绘画组、摄影组、书法组、传统手工艺组、校园文创设计组，活动要求：以班级为单位，每个班级择优推荐20件作品进行校级展示．现从推荐作品中随机抽取了一部分作为一个样本，将参与情况绘制成不完整的统计图： （1）样本容量是________； （2）在样本中，传统手工艺组作品有________件，并把条形统计图补充完整，摄影组所在扇形的圆心角度数是________； （3）若该校有160件书法作品参与校级展示，请你估计参与本次校级展览的作品数量？由于摄影作品数量较多，共设置了A，B，C三个摄影作品展览厅，小华和小丽各有一件摄影作品被推荐参与校级展示，求她俩的作品在同一个厅展览的概率？（用树状图或表格求解） 【答案】（1）24 （2）4；； （3）， 【解析】 【分析】（1）用绘画的人数除以其百分比即可； （2）用总数减去其他项目的人数可知传统手工艺组作品数，进而把条形统计图补充完整，用摄影组人数除以总数乘以可知圆心角度数； （3）用160除以书法作品所占比例即可；画出树状图，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：传统手工艺组作品有件， 条形统计图略， 摄影组所在扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：参与本次校级展览的作品数量为； 画树状图如下： 可知她俩的作品在同一个厅展览的概率为． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求m，n的值和反比例函数的解析式； （2）若点B关于原点O的对称点为，求的面积； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1），； （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）将，分别代入，求出m，n的值，再将代入，得到，即可解答； （2）先推导出，连接，，，令直线与y轴交于点C，得到点C坐标为，再根据三角形的中线及面积进行求解即可． （3）根据图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 将代入，得 ， 解得 ，， 将代入，得 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，点关于原点的对称点为， 连接，，，如图 令直线与y轴交于点C，则 当时，， ∴点C坐标为， 为的中点， ； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或． 21. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 【答案】（1）每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 （2）共3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元 【解析】 【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据购进数量列出方程解答即可； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据数量关系和总利润列出不等式组，结合x整数，得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 22. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点D为的中点，沿直线将翻折，点D恰好与点E重合．求证：四边形为正方形； 【深度探究】 （2）在（1）的条件下，如果四边形绕点B顺时针旋转，旋转后点A的对应点为F，连接，，，猜想图2中线段与线段的数量关系？并说明理由； 【问题解决】 （3）当，且（2）中的四边形绕点B顺时针旋转到E，F，C三点共线时，求线段的长． 【答案】（1）证明：在中， ∵，， ∴， ∵点D为的中点， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵沿直线将翻折，点D与点E重合， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2） 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 同理， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）首先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得到、；再结合翻折的性质，得到对应边、对应角的等量关系，先判定四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形完成证明； （2）根据正方形和等腰直角三角形的边角关系推导出，结合已知边的比例关系，证明，进而利用相似三角形的性质即可得到与之间的数量关系； （3）先根据已知边长计算出、的长度，分点F在线段上和在线段的延长线上两种情况，结合三点共线的条件，利用勾股定理和线段的和差关系求出的长度，再借助第（2）问的数量关系计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ①如图2，当E，F，C三点共线，且点F在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图3，当E，F，C三点共线，且点F在线段的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，线段的长为或． 23. 如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，若点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一点，连接，过点P作x轴的垂线，交于点F，当线段的长度最大时，求的最小值； （3）如图2，若抛物线沿射线方向平移后恰好过点C，此时新抛物线上存在一点Q，使得，请直接写出Q的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解抛物线表达式； （2）先求出直线的表达式为，设点，则，其中，那么，则时，线段取得最大值2，此时，过点A作轴，作，作，则，则，故，因此； （3）作轴于，先求得新抛物线的解析式为，设，证明，则，即可求解． 【小问1详解】 解：的表达式为 当时，；当， 解得． ， 将，代入，得 ， 解得 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数对称轴， 设直线的表达式为 代入，，得 解得 直线的表达式为 设点，则，其中， ∴ ∵， 时，线段取得最大值2 过点A作轴，作，作， 当点P，D，G三点共线，且点G，H重合时，取得最小值，则最小值为3； 【小问3详解】 解：如图，作轴于， ∵抛物线沿射线方向平移后过点， ∴抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期阶段性学业质量检测 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各数中比1大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一粒红豆的质量是0.000581千克，将数据0.000581用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，斜边，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 某小区开展垃圾分类，一周内收集的可回收物重量（单位：)统计如下：25，28，30，32，28，26，31．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 无众数， 7. 如图，点，，，在上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程无解，则m的值是（ ） A. 3或 B. 3或10 C. 3 D. 9. 如图，点P是正方形对角线上的一点，于点E．连接并延长交于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 规定：对于某个函数，若自变量的取值范围为时，对应的函数值y全部满足：，其中是时对应的函数值，是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是________． 13. 已知，求代数式的值为______． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，交反比例函数的图象于点C，点P为y轴上一点，若的面积为2，则k的值为________． 15. 如图，在等腰直角中，，．点D为的中点，，其两边分别与，交于点E，F（不与A，B，C重合）．取的中点M，连接并延长交于点G，连接，．则的最小值为________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 解二元一次方程组： 17. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 18. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 为隆重纪念“五四”爱国运动，某中学举行了学生艺术作品展览活动，共设置了五个组，分别为绘画组、摄影组、书法组、传统手工艺组、校园文创设计组，活动要求：以班级为单位，每个班级择优推荐20件作品进行校级展示．现从推荐作品中随机抽取了一部分作为一个样本，将参与情况绘制成不完整的统计图： （1）样本容量是________； （2）在样本中，传统手工艺组作品有________件，并把条形统计图补充完整，摄影组所在扇形的圆心角度数是________； （3）若该校有160件书法作品参与校级展示，请你估计参与本次校级展览的作品数量？由于摄影作品数量较多，共设置了A，B，C三个摄影作品展览厅，小华和小丽各有一件摄影作品被推荐参与校级展示，求她俩的作品在同一个厅展览的概率？（用树状图或表格求解） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求m，n的值和反比例函数的解析式； （2）若点B关于原点O的对称点为，求的面积； （3）当时，求x的取值范围． 21. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 22. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点D为的中点，沿直线将翻折，点D恰好与点E重合．求证：四边形为正方形； 【深度探究】 （2）在（1）的条件下，如果四边形绕点B顺时针旋转，旋转后点A的对应点为F，连接，，，猜想图2中线段与线段的数量关系？并说明理由； 【问题解决】 （3）当，且（2）中的四边形绕点B顺时针旋转到E，F，C三点共线时，求线段的长． 23. 如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，若点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一点，连接，过点P作x轴的垂线，交于点F，当线段的长度最大时，求的最小值； （3）如图2，若抛物线沿射线方向平移后恰好过点C，此时新抛物线上存在一点Q，使得，请直接写出Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $