8.5《乘法公式》（第1课时+平方差公式）课件 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“平方差公式”，通过生活情境（老王换房、地主租地）和旧知回顾（多项式乘法）引出规律探究，搭建从具体问题到抽象公式的学习支架，帮助学生衔接整式乘法与特殊公式的知识脉络。 其亮点在于代数推导与几何验证结合，如用正方形剪拼成长方形直观验证面积关系，体现数形结合；例题涵盖基础运算、符号变式及简便计算（如103×97），培养运算能力与推理意识。小结明确“一同一反”结构特征，助力学生构建模型意识。学生能深化公式理解与应用，教师可借助丰富资源提升教学效率。

8.5.1 平方差公式 第八章 整式的乘法 学习目标 1.经历探究平方差公式的推导过程，了解平方差公式的几何意义； 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行运算. 问题导入 老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说:“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何? ”老王一听觉得没有吃亏就答应了。 你觉得老王吃亏了吗? 1.3.1 平方差公式 教学课件幻灯片 第1页：情境导入 1. 问题情境：地主将边长为a的正方形土地，一边减5米、邻边加5米续租，张老汉吃亏了吗？ 2. 旧知回顾：多项式乘法法则，计算：(x+1)(x-1)、(m+2)(m-2) 3. 引出问题：这类特殊多项式相乘是否有简便规律？ 第2页：探究新知——公式推导 1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征 ① (x+1)(x-1)=x²-1；② (m+2)(m-2)=m²-4；③ (2x+1)(2x-1)=4x²-1 2. 代数推导：用多项式乘法法则推导(a+b)(a-b)，分步展开得a²-ab+ab-b²，合并同类项后得a²-b² 3. 归纳公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b² 第3页：探究新知——几何验证与结构辨析 1. 几何验证：展示长(a+b)、宽(a-b)的长方形，通过“大正方形面积-小正方形面积”直观验证公式 2. 结构辨析：强调“一同一反”特征——两个因式中，一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b），结果为相同项平方减相反项平方 第4页：典例分析与巩固 1. 例题讲解：用平方差公式计算 ① (5+6x)(5-6x)（确定a=5，b=6x）；② (-m+n)(-m-n)（确定a=-m，b=n） 2. 即时练习：口答填空，巩固a、b的确定方法 (1+x)(1-x)中a=___，b=___，结果=___；(0.3x-1)(1+0.3x)中a=___，b=___，结果=___ 第5页：拓展延伸与课堂小结 1. 拓展思考：(a-b)(-a-b)如何用公式计算？（提示：调整为(-b+a)(-b-a)） 2. 课堂小结： ① 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² ② 核心特征：一同一反，结果为相同项平方减相反项平方 ③ 应用关键：准确识别公式中的a和b 探究新知 (a+b)(a-b) =a2-b2 你能推导这个公式吗？ (a+b) (a-b) a2-ab+ab-b2 a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 平方差公式: (a+b)(a-b) =a2-b2 探究新知 注意： 1.两个项数相同的多项式相乘； 2.相乘的两个多项式含有相同项和相反项(绝对值相同而符号相反)； 3.运算结果等于“相同项的平方减相反项中任一项的平方”. 新课探究 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a)(1–3a) （3）(x+5y)(1–5y) （4）(2y+z)(2y–z) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项抵消了 两数_____的___ 和 差 差 平方 你发现了什么? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 6 a米 (a-5)米 (a+5)米 小明和小亮分别负责两块区域的值日工作，假设小明负责一块边长为a米的正方形空地，小亮则负责一块长方形空地，长为正方形边长加5米，宽为正方形边长减5米。面积是变大了还是变小了呢？ a米 长方形的面积比正方形的面积少25平方米。 计算下列各式，你能发现什么规律： (m + 2 )( m – 2) = = ， (x + 1 )( x- 1) = = ， (2x + 3 )( 2x - 3) = = ， x2- 12 m2- 22 (2x)2- 32 x2- 1 m2- 4 4x2- 9 猜想：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 验证1： 验证2： a b a-b a a a-b a-b b b 拼成的长方形的面积可表示为＿＿＿＿＿. 这张纸片的面积可表示为___________. (a+b)(a-b) (a+b) (a-b)=a2-b2 a2-b2 a a b b a b a-b 如图(1)，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形如图(2). 探究验证 （1） （2） 10 a a b b （1） a b a-b （2） ①两个图形(着色部分)的面积之间有什么关系? 探究验证 相 等 ②图(1)中着色部分的面积为： ③图(2)中着色部分的面积为： a2-b2 (a+b) (a-b) a a b b （1） a b a-b （2） 探究验证 所以我们就利用图形验证了平方差公式： (a+b) (a-b) =a2-b2 ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）. 问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2 想一想：这些计算结果有什么特点？ 知识点 平方差公式 两数和 两数差 两数平方差 两个数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式 注：这里的a，b可以是两个单项式也可以是两个多项式等． 知识点 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 相同项为a 相反项为b 平方差公式 注：公式中的a、b可以是两个数，可以是两个单项式也可以是两个多项式等等． 知识点 平方差公式 公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方). 平方差公式： = 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两数的平方差. 相同项 相反项 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) 例1： 多项式×多项式 相同项 相反的项 结果 a b a2-b2 1 x －3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 (a-b)(a+b) 任务一：平方差公式 典型例题 例1 利用平方差公式计算： 解： (1)(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) (1)(5+6x)(5-6x) =52-(6x)2 =25-36x2 (2)(x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2 =x2-4y2 (3)(-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2 =m2-n2 18 典型例题 例2 下列各式能否用平方差公式计算?若能，请算出结果；若不能，说明理由. (1) (-a+b)(a+b) (2)(a-b)(-a-b) (3)(-b+a)(a-b) (4)(-b-a)(b-a) (5)(a+b)(-a-b) =(b-a)(b+a)=b2-a2 =(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2 =b2-a2 × × =(-a-b)(-a+b)=(-a)2-b2 =a2-b2 注意事项： 1. 不要漏括号. 2. 确定相同项和相反项. 左边= =右边 代数验证 (多项式乘以多项式的法则) (合并同类项法则) 知识点 平方差公式 全品初中 问题2 如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形 (1)两个图形(着色部分)的面积之间有什么关系？ (2)请你结合图形对平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2进行解释. b a 图1 相等 图1：a2－b2 图2：长:(a＋b)，宽:(a－b) 面积：(a＋b)(a－b) b a 图2 b a2－b2=(a＋b)(a－b) 知识点 平方差公式 全品初中 练1：计算下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=_________. (2)(a－b)(b+a)= __________. (3)(－a－b)(－a+b)= ________. (4)(a－b)(－a－b)= _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 任务一：平方差公式 典型例题 例3 用平方差公式进行简便计算： （1）103×97 （2）118×122 解： (1) 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =9991 (2) 118×122 =(120-2)(120+2) =1202-22 =14396 典型例题 例4 计算： (1)a2(a+b)(a–b)+a2b2 (2)(2x–5)(2x+5) –2x(2x–3) 解： (1)a2(a+b)(a–b)+a2b2 = a2(a2–b2)+a2b2 = a4–a2b2+a2b2 = a4 (2)(2x–5)(2x+5) –2x(2x–3) =(2x)2–25–(4x2–6x) =4x2–25–4x2+6x =6x–25 合理运用公式可以使计算变得简单 24 算式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 写成“a2－b2”的形式 计算结果 (m＋2)(m－2) (2m＋3)(2m－3) (x＋2y)(－x＋2y) (1＋3y)(1－3y) 问题3 按要求填写下面的表格： m 2 m2－22 m2－4 2m 3 (2m)2－32 4m2－9 2y x (2y)2－x2 4y2－x2 1 3y 12－(3y)2 1－9y2 知识点 平方差公式 全品初中 能力提高 ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 20152－20142 = （2mn）2 - ( 3xy)2 = (x+z)2 - (y+p)2 = 结论：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。 公式法之——平方差公式 平方差公式： = 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两数的平方差. 相同项 相反项 归纳法则 公式变形 (l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________. (3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________ a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 平方差公式: (a+b)(a-b) =a2-b2 课堂小结 注意： 1.两个项数相同的多项式相乘； 2.相乘的两个多项式含有相同项和相反项(绝对值相同而符号相反)； 3.运算结果等于“相同项的平方减相反项中任一项的平方”. 数学思想： 1.数形结合； 2.特殊到一般的思想； 3.发展符号感和推理能力. 平方差公式 内容 注意事项 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 $