期末复习专题10 斜二测画法以及空间几何体的表面积与体积【8大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 围绕空间几何体概念、斜二测画法及表面积体积计算，构建从概念辨析到复杂组合体的完整训练体系，注重空间观念与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体基本概念|6题|概念辨析多选|概念生成基础，辨析棱柱、棱锥等定义| |斜二测画法|6题|作图与面积周长计算|方法应用，直观图与原图转化| |多面体表面积|6题|棱柱棱锥棱台计算|从简单多面体到组合体表面积| |多面体体积|6题|体积公式应用与分割|多面体体积计算深化| |旋转体表面积|6题|圆柱圆锥圆台及内接体|旋转体表面积计算拓展| |旋转体体积|6题|体积公式与最值问题|旋转体体积计算及应用| |组合体表面积体积|6题|综合几何体计算|多面体与旋转体结合应用| |祖暅原理|4题|原理应用与体积推导|体积计算原理深化|

专题10斜二测画法以及空间几何体的表面积与体积 考点汇总 考点一空间几何体的基本概念 考点二斜二测画法求面积与周长 考点三棱柱、棱锥、棱台的表面积 考点四棱柱、棱锥、棱台的体积 考点五圆柱、圆锥、圆台的表面积 考点六圆柱、圆锥、圆台的体积 考点七组合体的体积与表面积 考点八祖暅原理 考点突破 考点一空间几何体的基本概念 1.(多选)下列说法中错误的是() A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D.正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 2.下列结论错误的是() A.过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 3,(多选)下列结论正确的是() A.存在一个棱锥有且只有3个面是三角形 B.以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱 1/13 C.四棱柱共有8个项点 D.有一个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 4.下列说法正确的是() A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C.有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 5.(多选)下列关于空间几何体的论述，不正确的是() A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D.圆台的轴截面不可能为直角梯形 6.(多选)下列说法正确的是() A.平行六面体的各个面都是平行四边形 B.圆柱的侧面展开图是一个正方形 C.将棱台的侧棱延长后必交于一点 D.将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 考点二斜二测画法求面积与周长 7.用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm,6cm,3cm的长方体ABCD-A'B'CD'的直观图. 8.用斜二测画法画出正六棱锥的直观图。 9.(多选)如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'CD',已知AB=4,CD'=2,则下列说 法正确的有() V'a 04) A.A'D'= B.AB=4 C.四边形ABCD的面积为6N5 D.四边形MBCD的周长为 6+V6+V2 10.(多选)如图，△AB'C是△ABC用斜二测画法画出的直观图，则() 2/13 B A AABC B.AABC 4+4V2 是钝角三角形 的周长为 C.△ABC的面积为4 D.△A'BC'的面积为2 11.(多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B0=C0=L, 4o= 2,那么原△ABC是一个( ) A.等边三角形 B.等腰非等边三角形 C.三边互不相等的三角形 D.面积为V3的三角形 12.(多选)如图，△4B' 是△ABC AB'=2,A'C'=B'C'=V5 的斜二测画法的直观图， ，则在原平面图形 △ABC中，有() B主 A.AB=2 B.BC=41 C.AC=BC D.SA40C =4V2 考点三棱柱、棱锥、棱台的表面积 ABCD-ABCD 13.长方体 的长宽高分别为1,2,3，则该长方体的表面积为() A.6 B.11 C.18 D.22 14。(多选)两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1,1，V5, ,将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表 面积可以是() 3/13 A.12 B.6+4V2 C.10 D.9+42 15.已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为() A.12 B.15 C.48 D.60 16.在四面体ABCD中，AD=2,BD=CD=3,∠ADB=∠BDC=60°，AD⊥CD,则该四面体的表面积为() A.3+6V5 B.65 C.6+6V3 D.12V5 17.已知正三棱台1BC-4BC的高为5,4B=3A8=35 ,则该棱台的侧面积为() 24V3 B12V5 C 6v3 D.45 18.如图，在正六棱台 RCDEF-48CDE5中，E=5,4D=4, ，四边形 的面积为65，则该正六枝 ADD A 台的表面积为() E 5W51+7V3 9W51 15V3 9V51+15V5 A 2 B.2 C.2 D. 2 考点四棱柱、棱锥、棱台的体积 19.如图，在几何体 ABC-ABC 巾，侧楼从，88，CC均垂直于底面46C,已知 AB=BC=AC=BB =2 A4=4CC,= 3,则该几何体的体积是 4/13 11 A C B ABC-ABC 20.正三棱柱 的底面边长为3，高为2，E为4码上的点， AE=2EB ，平面ACE 该棱柱截成两个 几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为() A C E B B吕 3 4 A.12 c.14 D.15 21.正六棱柱的底面边长为6，高为4若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六 棱锥，则剩余部分几何体的体积为() 72V3 B.144V3 C.180V5 D 244V3 22.如图，在三棱 D-ABC中，AB=AD=2,AC=CD=3,BD=6,BC=万 ,则该三棱锥的体积为 23.在正三棱台BC-48,G中，B=3A8=35,A4=V ,则该棱台的体积为() 39 39 117 117 A.8 B.4 C.8 D.4 24.一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为() 5/13 2 5√2 7√2 7W2 A.6 B.6 C.6 D. 考点五圆柱、圆锥、圆台的表面积 25.已知圆锥的底面半径为2，高为5，一个圆柱内接于该圆锥，其下底面位于圆锥的底面上，上底面圆周落在圆 锥的侧面上，则该圆柱表面积的最大值为() 25π 50m A.8π B.3 C.12元 D.3 26,圆能P0的底面直径和高均是万，从圆能P0的底面挖去一个圆柱，该圈柱的上底面为过P0中点0作的平 行于底面的截面，剩下几何体的表面积是() (2+V5)π (2+V5π A 8 B 4 (2+5)π C D.(2+5)π 27.某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为() A.2V2π B.42n C.6v2n D.82n 45 28.某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为() A.32π B.16π C.12π D.8π 29.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为10，圆台的侧面积为160π，则圆台较小底面的半径 为() A.4 B.5 C.6 D.7 30.已知一个圆台的轴截面为梯形ABCD,若4B=2CD=4,∠D1B= 3,则该圆台的侧面积为 考点六圆柱、圆锥、圆台的体积 31.已知圆柱体的表面积为48π，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是一 ABCD-ABC D 32.如图是一个正四棱台 的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm,高30cm. 6/13 D O D B ABCD-ABCD (1)求四棱台 D的体积'； (2)现将铁料打磨成一个圆柱（底面与铁料下底面重合），求圆柱表面积的最大值， 33.已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为 34,一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为：2，则上下两个几何体的体积之比为 () A.1:9 B.1:V5 C.1:35 D.1:35- 35.已知圆台上、下底面面积分别是4π，9π，其侧面积是10π，则该圆台的体积是() 19V3 13V5 A.3 B.3 C.193π D.13V3π 36.一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是 () 0W5 A.圆台的母线长是20cn B.圆台的高是 cm C.圆台的表面积是 1100mcm2 7000W3πcm3 D.圆台的体积是 考点七组合体的体积与表面积 37.如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=6,AD=2,CD=22,求四边形ABCD 绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积 H LI D B 7/13 38.某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为() 12 A.444π B.300元 C.2268π D.612π 39.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互 相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为菱形，EFII平面ABCD,ED⊥ 业=3b」 平面ABCD,记B-DEFC的体积为，三棱锥E-ABD的体积为，AB=a,EF=b,若K4,则a() E A.1 B. c.3 40,如图1，以边长为1的正六边形4 BCDEF 的互不相邻的三条边为边分别向外作正方形，并将点 重合为5 A B C,D 重合为7, 重合为，得到如图2的八面体. E B ① ② (1)求该八面体的表面积； (2)求该八面体的外接球半径： (3)求该八面体的体积. 8/13 ABCD-A BC D AB:BC:AA=3:2:4 41.已知长方体 ACB 4,其外接球的表面积为16π，用平面4CB截去长方体的 ABCD-ACD 一个角后，得到如图所示的几何体 D B (I)求AB的长： ABCD-ACD (2)求几何体 的体积： ABCD-ACD (3)求几何体 的表面积 2.如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，4B=BC=42 P D A B BB= (1)若 5,该几何体的体积为192，求正四棱锥P-ABCD的高； BP=BB=5 (2)若 求该几何体的表面积 考点八祖暅原理 43.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行 于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面 边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为 9/13 44.我国南北朝时期的数学家祖堩提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在 所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将 底面直径都为2b,高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面P上，用平行于平面P且与平 個=S环 面任意距离处的平面截这两个几何体，可横截得到一个圆面及一个圆环面，可以证明 总成立据此求当 b=1,a=3时的椭球体的体积 45.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”·意思是两个等 高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为 2,高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为()· A.7 B.10 C.7π D.10元 46.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”·意思是两个同 高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等现有同高的三棱锥和圆锥满足祖堩原理的条件， 若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为() 2v2 4V2 16 π A.3 B.3元 C.4v2π D.3元 强化训练 1.己知圆台的上、下底面面积分别为S,S,且S=4S,圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为 10/13 元 A.4 B.7元 C.14π D.28r 2.已知正三棱柱 5C-4BG中，B=M=2 ,则该正三棱柱的表面积为() 2√5 A.3 B.2W5 c12 D.12+2V5 3.已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是() A2 B.4V3 C V3 D.25 2v3 4.己知某圆锥的底面积为3不，母线长为23，则该圆锥的体积为() A.6元 B.5π C.4π D.3π ABCD-ABCD 5.如图，在棱长为2的正方体 中，点E,F,G,H分别是楼MB,BC,CD,D1的中点，则 BDEFGH 多面体 的体积为() D G H E C D 4 7 8 A.3 B.2 C.3 D.3 6.如图，己知圆锥的轴截面为正三角形PAB,底面圆心为O,OD⊥PB,垂足为D.线段OD绕轴PO旋转一周所 得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是() 11/13 A B 8 > 10 9 A.5 B.5 C.7 D.7 7.某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则( A.圆柱形原料的表面积为40π B.圆柱形原料的体积为48π C.圆锥形零件的表面积为21π D.圆锥形零件的体积为12π 8.(多选)已知圆台的上底面半径r=2,下底面半径R=4,圆台有内切球，则() A,圆台的母线长为6 B.圆台的高为4√2 C、圆台内切球的半径为V5 D.圆台的侧面积为72n 9.(多选)将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体.则() 0 A.该几何体的体积为3 B.该几何体的表面积为12+2√3 C.该几何体的外接球半径为√ D.该几何体有7个面 10.(多选)正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是() A.该正三棱台的上底面积是V3 B.该正三棱台的侧面面积是60 12√21+10W3 C.该正三棱台的表面积是 12/13 59 D.该正三棱台的高是3 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是矩形， AB=2,BC=3,PC=PD=3 ,平面PD与平面1BCD的 夹角为4，则该四棱锥的侧面积为一· ∠AOB=S&P =5 12.已知圆锥PO的高为V3,A,B为底面圆周上两点且满足 3 4，则该圆锥的体积为 ABC-ABC 13.如图，已知三棱台 的体积为，上、下底面边长之比为：3，若故去三枝锥S-48 ，则剩余 部分的体积为 (用V表示) B 21 14.已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为3的扇形，则此圆锥的体积为一 13/13 专题10 斜二测画法以及空间几何体的表面积与体积 考点一 空间几何体的基本概念 考点二 斜二测画法求面积与周长 考点三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 考点四 棱柱、棱锥、棱台的体积 考点五 圆柱、圆锥、圆台的表面积 考点六 圆柱、圆锥、圆台的体积 考点七 组合体的体积与表面积 考点八 祖暅原理 考点一 空间几何体的基本概念 1．（多选）下列说法中错误的是（     ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 【答案】ABC 【详解】有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故A不正确； 棱台有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，并且侧棱延长线都交于一点，故B不正确； 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与平行于底面的截面之间的部分组成的几何体叫棱台， 若截面与棱锥底面不平行，则底面与截面之间的部分组成的几何体不是棱台，故C不正确； 正四棱锥的侧棱长一定相等，故正四棱锥的侧面一定是等腰三角形，D正确. 2．下列结论错误的是（    ） A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 【答案】BCD 【详解】在如图所示的平行六面体中， 侧面及侧面都是矩形，且平面及平面都与底面ABCD垂直，故D错误； 截面可能为矩形，故A正确； 将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误； 侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误． 3．（多选）下列结论正确的是（   ） A．存在一个棱锥有且只有3个面是三角形 B．以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱 C．四棱柱共有8个顶点 D．有一个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 【答案】BC 【详解】一个棱锥至少有4个面是三角形，A不正确. 以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱，B正确. 四棱柱共有8个顶点，C正确. 有一个侧面是矩形的四棱柱不一定是直四棱柱. 因为一个侧面是矩形，仅能保证该棱柱的侧棱垂直于底面对应的边，并不能保证侧棱垂直于底面， 而直四棱柱的定义是侧棱垂直于底面，故D不正确. 4．下列说法正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】B 【详解】对于A项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B项，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故B正确； 对于C项，例如将两个棱柱底面错开拼接，满足有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形， 但是形成的多面体不是棱柱，如图， 故C错误； 对于D项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误； 5．（多选）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】ABC 【详解】对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件， 但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形， 但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得， 轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 【答案】AC 【分析】根据平行六面体、棱台、圆锥的概念判断ACD；根据圆柱展开图的特征判断B. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确； 圆柱的侧面展开图是一个矩形，只有当底面周长和高相等时才是正方形，B错误； 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确； 将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，是两个共底面的圆锥，D错误. 考点二 斜二测画法求面积与周长 7．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可． 【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使，． ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． ③分别过点作，，，且． ④连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 8．用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【详解】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 9．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 10．（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，A错误； ，，所以的周长为，B正确； 的面积为，C正确；的面积为，D错误． 11．（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 12．（多选）如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， ，故A、B、D正确，C错误. 考点三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 13．长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 【答案】D 【详解】由题设长方体的表面积为. 14．（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（    ） A．12 B． C．10 D． 【答案】BCD 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成三棱柱时有三种情况， 第一种情况： 表面积为； 第二种情况： 表面积为； 第三种情况： 表面积为. 故B，C，D正确，A错误. 15．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【答案】C 【分析】先根据正四棱锥的几何特征求出斜高，再代入侧面积公式计算即可。 【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形， 由勾股定理得： 单个侧面的面积为 则正四棱锥的侧面积 16．在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用三角形面积公式及余弦定理计算求解，最后结合同角三角函数关系及面积公式计算求值. 【详解】记，，，的面积分别为， 则，， ， 而由余弦定理得，故，而显然， 由勾股定理得， 于是， 由得， 故， 故四面体的表面积． 17．已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高， 由，得，， 作于，所以，， ， 故所求棱台的侧面积为． 18．如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形先求出正六棱台的上底面边长，进而得到对角线长，利用四边形的面积求得棱台的高，再求出侧棱长，最后分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，即得其表面积. 【详解】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 考点四 棱柱、棱锥、棱台的体积 19．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 【答案】 【分析】先将该几何体补成一个正三棱柱，再根据几何体与补形后的正三棱柱的体积的关系求出该几何体的体积. 【详解】因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面， 已知，，， 所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式， 所以该几何体的体积是. 20．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 21．正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】剩余几何体体积等于正六棱柱体积减去挖去的正六棱锥体积，分别计算体积相减即得. 【详解】因正六棱柱的底面正六边形是由6个边长为6的全等正三角形组成， 故其面积为，其体积为， 挖去的正六棱锥底面与棱柱下底面重合，高等于棱柱的高4， 故其体积为， 故剩余几何体的体积. 22．如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 【答案】/ 【分析】取BD的中点E，分别求得AE，CE，由，得到，结合从而平面，得到AE为三棱锥的高，然后由求解. 【详解】取BD的中点E，连接AE，CE， 因为，， 所以 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得 所以， 则，所以， 因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， 因为， 所以. 23．在正三棱台中，，，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三棱台的上下底面和高，进而计算出三棱台的体积. 【详解】因为，所以， 因此上下底面正三角形的面积： , 正三角形的中心到顶点的距离为边长， 所以上底面中心到顶点的距离为，下底面中心到顶点的距离为， 侧棱为，台体高为，所以. 代入三棱台体积公式： 故选：B. 24．一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱台的几何性质和体积计算公式，求出几何体体积. 【详解】 如图所示，正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，作斜截面, 上下底面为正方形，则，，，，， 过作正四棱台的高，可知，所以， 在直角中，根据勾股定理可知. 则正四棱台的体积. 考点五 圆柱、圆锥、圆台的表面积 25．已知圆锥的底面半径为2，高为5，一个圆柱内接于该圆锥，其下底面位于圆锥的底面上，上底面圆周落在圆锥的侧面上，则该圆柱表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱底面半径为，高为．由相似三角形得，即 ． 圆柱表面积 ． 对称轴 ．最大值为． 26．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出相应图形后，可得剩下几何体的表面积为圆锥侧面积、圆锥底面积、圆柱侧面积总和，分别计算各面积即可得. 【详解】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径​​，高， 过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为， 由相似三角形性质，有，所以， 以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高， 圆锥的母线长； 则； ； ； 故. 27．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的结构特点以及侧面积公式求解即可, 【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形. 设母线长为，底面圆半径为，则，化简得. 轴截面面积，解得，进而 圆锥侧面积为. 28．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 得该三角形面积为，解得，圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】因为圆台的两个底面周长之比为，所以两底面圆的半径之比也为. 设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为， 则由圆台的侧面积为可得：， 解得. 30．已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解． 【详解】 易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 母线长， 所以该圆台的侧面积． 考点六 圆柱、圆锥、圆台的体积 31．已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是_____ 【答案】 【分析】设出底面半径后，结合圆柱表面积公式可计算出半径与高，再利用体积公式计算即可得. 【详解】设该圆柱底面半径为，则高， 则有，解得，则， 则这个圆柱体的体积. 故答案为：. 32．如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm. (1)求四棱台的体积； (2)现将铁料打磨成一个圆柱（底面与铁料下底面重合），求圆柱表面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入棱台体积公式计算即可； （2）根据当圆柱侧面积最大时，由相似三角形，得出高与底面半径的数量关系， 进而将圆柱表面积表示成关于半径的二次函数的式子，最后求出表面积的最大值. 【详解】（1）解：由棱台的体积，其中表示上底面面积，表示下底面面积， 因此； （2）设圆柱的底面半径和高分别为，， 由正棱台的轴截面为等腰梯形，圆柱的轴截面为矩形，如图所示： 由图易知：，，，，,, 又，所以，即，则， 所以，圆柱表面积， 由二次函数的性质，当且仅当，. 33．已知圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，若过圆柱的轴的截面为正方形，则圆锥和圆柱侧面积的比值为______． 【答案】 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径，由题意可得圆锥的高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可. 【详解】由圆锥与圆柱的底面积相等，所以圆柱和圆锥的底面半径相等，设为， 由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，设圆锥的高为， 由圆锥与圆柱的体积相等得，，所以， 则圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积， 则. 34．一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式得到相似比，再根据相似几何体的体积之比等于相似比的立方可推出小圆锥与原圆锥的体积比，从而求得上下两个几何体的体积之比. 【详解】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图， 设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为，大圆锥的侧面积与体积分别为， 小圆锥的侧面积与体积分别为，圆台的体积为 由题意可得, 因为相似几何体的体积之比等于相似比的立方， 所以，则， 所以上下两个几何体的体积之比为. 故选：D 35．已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出圆台上、下底面的半径和，母线长及高的值，再代入圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 36．一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，     设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理， 于是圆台的母线cm，高cm， 表面积， 体积，ABC正确，D错误. 故选：D. 考点七 组合体的体积与表面积 37．如图，在平面四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积. 【答案】， 【分析】根据给定条件，确定几何体的形状，再利用圆锥、圆台表面积及体积公式求解. 【详解】作于，由，得，又，则， 而，，，则，四边形是直角梯形， 其上下底边长分别为2和6，高为4，四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体是圆台， 并挖去一个以上底面为底面，高为2的圆锥，几何体的表面积 ； ，， 所以所求体积为. 38．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 39．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为菱形，平面，平面，记的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用刍甍的体积分割成三棱柱与四棱锥体积之和，然后再用面积比来表示体积比，从而可求解. 【详解】如图，在上分别取，连接， 因为平面，可得，所以可得到三棱柱， 由图可得：，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则三棱柱的体积为， 再由，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则四棱锥的体积为， 所以该刍甍的体积为， 所以， 又因为，所以. 40．如图1，以边长为1的正六边形的互不相邻的三条边为边分别向外作正方形，并将点重合为，重合为，重合为，得到如图2的八面体． (1)求该八面体的表面积； (2)求该八面体的外接球半径； (3)求该八面体的体积． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）先明确八面体的8个面：底面正六边形，顶面正三角形，三个正三角形，，，以及三个正方形，，，再分别求面积并相加． （2）取正六边形的中心为，作，，在底面上的射影，，．由对称性可知，，分别为，，的中心，计算得，又，从而确定外接球球心和半径． （3）按图示将八面体分割为一个中心正三棱柱、三个全等三棱锥和三个全等三棱柱，分别计算体积后相加． 【详解】（1）（1）由题意，正六边形的边长为，所以 由构造可知，，，均为边长为的正三角形，也是边长为的正三角形，所以这四个正三角形的面积和为 又由构造可知，，，均为边长为的正方形，所以这三个正方形的面积和为 因此该八面体的表面积为 （2）（2）取正六边形的中心为，作，，在底面上的射影分别为，，，如图所示． 由对称性可知，，，分别为，，的中心．因为是边长为的正三角形，所以 又，所以为边长为的正三角形． 在直角三角形中， 于是同理可得 而正六边形的外接圆半径等于边长，所以 因此点，，，，，，，，到点的距离均为，故为该八面体外接球的球心，外接球半径为 （3）（3）按照上图，将该八面体分割为中心正三棱柱，三个全等的三棱锥，，，以及三个全等的三棱柱，，． 先计算中心正三棱柱的体积. 由于是边长为的正三角形，且棱柱高为，所以 再计算每个三棱锥的体积． 因为为的中心，所以 三棱锥的高为，故 最后计算每个三棱柱的体积． 在中，底面，在底面内，所以． 又因此 由图形关系可知，为直三棱柱，且侧棱，所以 因此该八面体的体积为 41．已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体. (1)求的长； (2)求几何体的体积； (3)求几何体的表面积. 【答案】(1) (2)160 (3) 【分析】（1）先根据球的表面积公式求得直径，再利用长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长列式求解即可； （2）结合长方体和棱锥的体积公式，利用割补法求体积即可； （3）在中由余弦定理和同角三角函数关系求得，求得的面积，即可求解表面积. 【详解】（1）设，由可得，， 因为外接球的表面积为，即，解得， 又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长， 即，解得， 所以； （2） ， 即几何体的体积为160； （3）由（1）得，，，则， ，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 从而得几何体的表面积为 . 42．如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，． (1)若，该几何体的体积为192，求正四棱锥的高； (2)若，求该几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式进行求解即可； （2）利用柱体和锥体的表面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设正四棱锥的高为， 因为该几何体的体积为192， 所以； （2）在等腰三角形中，底边上的高为， 所以该几何体的表面积为： . 考点八 祖暅原理 43．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 44．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到一个圆面及一个圆环面，可以证明总成立.据此求当时的椭球体的体积. 【答案】 【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论. 【详解】根据题意可得椭球体的体积为：. 45．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【答案】A 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 46．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的侧面展开图求得圆锥的高和底面半径，得圆锥体积即得结论． 【详解】由题意可知，三棱锥的体积等于圆锥的体积， 圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， 所以圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为1，母线为3， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积， 从而所求三棱锥的体积为. 故选：A 1．已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的上下底面半径为， 因为，所以，则， 则轴截面面积为，得， 则该圆台的体积为 2．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正三棱柱中，， 正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面， 正三棱柱的表面积为：． 3．已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 4．已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，则底面半径， 可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为. 5．如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】使用大正方体的体积减去两个三棱锥和两个三棱台的体积即可求解. 【详解】由题意得, , . 6．如图，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆心为，，垂足为.线段绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，根据已知确定上几何体的构成，再应用圆锥的体积公式求上下几何体的体积，即可得. 【详解】过作，如下图示， 由题意，上几何体是半径为的两个圆锥组合而成，高分别为， 令的边长为，则，，，可得， 所以上几何体的体积为， 而圆锥的体积为， 所以下几何体的体积为， 综上，上下几何体的体积之比是. 7．某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（     ） A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为 C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为 【答案】D 【分析】根据圆柱和圆锥的表面积、体积公式计算即可. 【详解】由题意及图形可知，圆柱形原料与圆锥形零件的底面直径均为，则底面半径，高均为. 对于圆柱形原料， 表面积， 体积， 故选项A、B错误； 对于圆锥形零件， 母线长， 表面积， 体积， 故选项C错误，选项D正确. 8．（多选）已知圆台的上底面半径，下底面半径，圆台有内切球，则（    ） A．圆台的母线长为 B．圆台的高为 C．圆台内切球的半径为 D．圆台的侧面积为 【答案】AB 【分析】运用内切球的圆台性质求出圆台的母线，从而求出圆台的高及内切球的直径，再运用侧面积公式求出侧面积. 【详解】有内切球的圆台满足性质：母线长， 圆台高， 内切球直径等于圆台的高，故半径为； 圆台侧面积. 9．（多选）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 【答案】ACD 【详解】正方体的体积，截去三棱锥体积， 几何体，故A正确； 正方体的表面积， 截去3个直角三角形面积， 新增1个边长为的正三角形面积为， 该几何体的表面积为，故B错误； 该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为， 解得，故C正确； 正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面， 故D正确． 10．（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 11．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 【答案】 【分析】由已知条件，通过作辅助线分别求出各侧面的三角形高，再分别求出各个侧面三角形面积，再求和即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，如图所示： 因为底面是矩形，所以， 因为，为的中点，所以且， 过点作平面的垂线，因为， 所以，故点在的垂直平分线上， 故平面与平面的夹角为，，， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面，又平面，则， 所以，所以，， 点到的距离为，点到的距离为，同理点到的距离为， 所以， 所以该四棱锥的侧面积为. 12．已知圆锥的高为，A，B为底面圆周上两点且满足，，则该圆锥的体积为_____________． 【答案】 【分析】根据已知及圆锥的结构特征列方程求底面半径，再应用圆锥的体积公式求体积. 【详解】如图所示，取中点C，连接，， 由题意可得，，，，为等边三角形， 设该圆锥的底面半径为a，则，，故， 因为，所以，整理得， 即（舍），故圆锥的体积． 13．如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 【答案】 【分析】利用棱台性质及棱台与棱锥体积公式计算即可得. 【详解】由相似可知，三棱台上、下底面的面积之比为， 设棱台的高为，上底面的面积为，则点到平面的距离也是， 从而有， 则剩余部分的体积为． 14．已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【分析】使用扇形的弧长公式与圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的母线长为，由圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，，得， 则圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $