期末复习专题09 复数【9大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以复数概念-运算-几何意义-应用为主线，系统覆盖9大考点，通过50余题实现从基础到综合的层级突破，培养数学运算与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的四则运算|5题|基础运算题|运算基础，支撑后续应用| |实部与虚部|7题|概念辨析题|概念核心，连接分类与相等| |分类及共轭复数|6题|判断证明题|概念深化，区分复数类型| |复数相等及求参数|6题|方程应用题|概念应用，建立等量关系| |复数坐标问题|6题|几何应用题|几何表示，体现数形结合| |模长问题|6题|计算证明题|几何量计算，连接坐标与最值| |一元二次方程根|6题|综合解答题|代数应用，拓展方程理论| |模长求最值|6题|几何最值题|几何应用，提升空间观念| |复数三角表示|4题|概念计算题|拓展表示，深化数学语言|

专题09 复数 考点一 复数的四则运算 考点二 复数的实部与虚部 考点三 复数的分类以及共轭复数 考点四 复数相等以及求参数 考点五 复数坐标的问题 考点六 复数中的模长的问题 考点七 复数一元二次方程的根问题 考点八 复数的模长求最值问题 考点九 复数三角表示 考点一 复数的四则运算 1．复数，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】，， ，. 2．若复数，则的实部为（     ） A．1 B．4 C．3 D．7 【答案】B 【分析】根据复数的加法运算及实部的定义即可求解． 【详解】，故的实部为4． 3．设复数，（是虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由题意. 4．复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数乘法运算化简复数，进而求得虚部. 【详解】因为， 所以虚部为. 5．复数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用复数除法运算及求模公式计算即可． 【详解】因为， 所以． 考点二 复数的实部与虚部 6．若复数满足，则的虚部是（     ） A． B． C．2 D．2i 【答案】B 【分析】由复数除法求得，再求出共轭复数后可得． 【详解】由题设，，故虚部为． 7．设复数，则它的虚部是_________ 【答案】-4 【分析】复数的虚部是标准形式中虚数单位的系数． 【详解】因为，所以复数的虚部是． 8．已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用虚数单位的幂次周期性化简复数，再根据复数虚部的定义确定结果. 【详解】虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，对任意， 满足： ，，，， 则，故，因此， 根据复数虚部的定义：形如的复数，虚部为实数，可得的虚部为1. 9．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题设有，即. 10．（多选）已知复数，下列说法正确的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：的实部，说法正确； 选项B：的虚部是实数，不是，说法错误； 选项C：，说法正确； 选项D：共轭复数实部不变、虚部变号，得，说法正确. 11．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得， 所以实数x的取值范围为． 12．若复数，则z的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】，所以z的虚部是1． 考点三 复数的分类以及共轭复数 13．已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据纯虚数“实部为0且虚部不为0”的定义，逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A：为正实数，虚部为0，不符合纯虚数定义，排除； 选项B：，实部为0，虚部不为，是纯虚数，符合要求； 选项C：复数的实部为， 当时（如时，），实部不为0，不是纯虚数，排除； 选项D：的实部为，属于虚数但不是纯虚数，排除. 14．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 15．已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 16．（多选）下列结论不正确的是（   ） A．的共轭复数为 B．为纯虚数 C．的实部大于虚部 D．i的虚部为 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的定义计算判断A，应用纯虚数的定义判断B，应用实部及虚部计算判断C，D. 【详解】选项A：的共轭复数为，A结论错误； 选项B：纯虚数的定义为实部为0且虚部不为0的复数， 实部为3，不是纯虚数，B结论错误； 选项C：的实部为3，虚部为1，，实部大于虚部，C结论正确； 选项D：复数的虚部为，不是，D结论错误. 17．已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 18．已知是共轭复数，若是纯虚数，则______． 【答案】 【详解】由题意设， ，即，解得， 若是纯虚数，即是纯虚数，得 则 考点四 复数相等以及求参数 19．若，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，故，， ． 20．已知，（i为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由题可得， 解得． 21．若，则________． 【答案】1 【详解】由题意得：，解得：，所以. 22．已知，则实数________，________． 【答案】 2 【分析】根据复数相等的定义，列出方程组，即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得 故答案为：；2 23．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据复数相等进行求解即可. 【详解】. 故选：D 24．已知，则______. 【答案】3 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 考点五 复数坐标的问题 25．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义即可求解． 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以． 26．已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)令虚部为计算即可； (2)令实部为，虚部不为计算即可； (3)实部小于，虚部大于计算即可. 【详解】（1）由z是实数，得， 解得或． （2）由z是纯虚数，得， 解得． （3）由z在复平面内对应的点在第二象限， 得， 由，解得； 由，解得或， 所以m的取值范围为． 27．（多选）已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的实部是4 C．的共轭复数 D．在复平面上对应点在第二象限 【答案】AD 【详解】选项A，，A正确； 选项B，的实部是，是虚部，B错误； 选项C，的共轭复数，C错误； 选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确. 28．已知复数，则以下结论错误的是（   ） A．的虚部为 B．的模为5 C．的共轭复数为 D．对应的点在第四象限 【答案】D 【详解】易知 ，所以的虚部为，A正确， ，B正确， 由共轭复数定义可得，C正确， 复数在复平面内对应的点坐标为，该点位于第三象限，D错误. 29．已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值. (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 30．设复数，为实数. (1)当为何值时，是纯虚数； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【详解】（1）由题意，为纯虚数，则需满足： 由，解得 或 ， 由，解得 且 ， 综上， 故当 时， 是纯虚数. （2）因为复数， 所以复数 ， 又因为 在复平面内对应的点在第三象限，所以： 由 ，解得 ， 由 ，即 ，解得 或 ， 取两者的交集，得 ， 故实数 的取值范围是 . 考点六 复数中的模长的问题 31．复数，则（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用复数商的模等于模的商、共轭复数与原复数模相等的性质求解，即对任意非零复数，有，且互为共轭的两个复数模相等，即. 【详解】已知，根据复数模的计算公式，得， 因此， 代入得. 32．（    ） A． B．10 C． D．2 【答案】C 【详解】. 33．设，其中是实数，则（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】先将等式左边展开，再根据复数相等的条件求出，的值，最后利用复数的模公式计算即可． 【详解】因为，所以． 又因为，是实数，由复数相等的条件，得，． 解得，．故． 34．（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 解得或， 所以或. 35．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【详解】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 36．已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 考点七 复数一元二次方程的根问题 37．已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 38．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用纯虚数实部为0且虚部不为0的限制求解即可, （2）利用实系数一元二次方程“复数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解. 【详解】（1） 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. （2）当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 39．已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组求解. 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 40．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 41．已知是关于的方程（）的一个根，则________． 【答案】2 【详解】因为是关于的方程（）的一个根， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 42．已知复数满足. (1)求； (2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，利用复数的运算和复数相等解出即可求解； （2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解. 【详解】（1）设复数，所以， 又， 所以，解得， 所以； （2）由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以也是实系数一元二次方程的另一个根， 所以，解得. 考点八 复数的模长求最值问题 43．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果. 【详解】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 44．若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以，解得， 所以． 45．在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 【答案】 过原点且斜率为的直线 【分析】设出复数的代数形式，将模长等式转化为对应点的直角坐标方程，即可判断轨迹图形 【详解】设，则复数在复平面内对应的点为， 根据复数模的计算公式，由可得： ， 将等式两边同时平方消去根号： ， 展开左右两侧并化简： ，消去两侧相同项后整理得， 该方程对应过原点、斜率为的直线，即复数对应的点所形成的图形为过原点且斜率为的直线. 46．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 由可知在复平面内所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 在复平面内所对应的点为，又，所以点在圆外， 所以的最小值为. 47．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求最大值． 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 48．已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 考点九 复数三角表示 49．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 50．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 51．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 52．（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 1．已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将复数整理为标准形式即可求解. 【详解】由题意得,故复数z在复平面内对应的点为. 2．已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由，得，. 3．复数，则复数z的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数实部和虚部的定义求解. 【详解】复数，则复数z的虚部为1. 4．已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1. 5．已知，则（   ） A．40 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则. 6．已知，是复数，，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求再由利用三角不等式求解即可 【详解】 ∵， ， 即. 7．（多选）已知复数，则下列命题中正确的为（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点在第二象限 【答案】AB 【分析】根据复数的定义，几何意义，以及模的公式，判断选项. 【详解】因为， 所以，故A正确；，故B正确；的虚部是-3，故C错误；在复平面上对应的点是，在第四象限，故D错误. 故选：AB 8．（多选）下列关于复数的说法，其中正确的是（    ） A．复数是实数的充要条件是 B．复数是纯虚数的充要条件是 C．若，互为共轭复数，则是实数 D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称 【答案】AC 【分析】根据复数的分类，共轭复数的定义与复数的几何意义判断． 【详解】根据复数的分类，时，才是纯虚数．A正确，B错误， ，则，所以是实数，C正确； 当是实数时，其共轭复数是它本身，对应的点是同一点，不关于虚轴对称，D错． 故选：AC． 9．（多选）已知复数，其中，则（   ） A．若，则或 B．当或时，复数z为纯虚数 C．若，则 D．在复平面内，复数z对应的点在直线上，则 【答案】ACD 【详解】若，则，解得或，所以A正确； 若复数z为纯虚数，则，解得，所以B错误； 若，则，解得，所以C正确； 在复平面内，复数对应的点为，若复数z对应的点在直线上，则有，解得，所以D正确. 10．（多选）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于-1 【答案】BCD 【分析】举反例说明A错误；根据复数相等求出，判断B；根据复数的分类判断C；根据虚数单位的性质判断D. 【详解】对于A，当时，若，为实数，A错误； 对于B，若，则，，正确； 对于C，，则为实数，正确； 对于，的平方为-1，正确， 故选：BCD 11．满足的有序实数对有______组. 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 12．复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】 【详解】由，得， 得， 得，得复数的虚部为. 13．已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 14．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 【答案】 【详解】当，时，， 所以； ，令， 则，， ， 而， 则，， 所以． 15．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 16．复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】由题意知，，解得. 17．若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【分析】根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 18．已知复数.为虚数单位. (1)若为实数，求的值； (2)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将复数除法化简为代数形式，根据实数的虚部为0列方程求解； （2）先计算复数乘法得到的代数形式，再根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解范围. 【详解】（1）已知，故， 由题知为实数，故虚部， 解得. （2）易知 ， 由题知在复平面上对应的点在第二象限，故 ， 解得， 即的取值范围为. 19．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由于为纯虚数，故 且，解得， （2）,则， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故，即， 则， 因此且，解得， 20．已知复数满足. (1)求； (2)若是方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数除法的运算法则求出，再根据共轭复数的概念即可求出； （2）根据实系数一元二次方程复数根的共轭性及韦达定理求出a，b，即可求出的值. 【详解】（1）由得，所以； （2）若是方程的一个根， 由实系数一元二次方程复数根的共轭性可知是方程的另一根， 由韦达定理可得，解得， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 复数 考点一 复数的四则运算 考点二 复数的实部与虚部 考点三 复数的分类以及共轭复数 考点四 复数相等以及求参数 考点五 复数坐标的问题 考点六 复数中的模长的问题 考点七 复数一元二次方程的根问题 考点八 复数的模长求最值问题 考点九 复数三角表示 考点一 复数的四则运算 1．复数，，则（    ） A．1 B． C． D．3 2．若复数，则的实部为（     ） A．1 B．4 C．3 D．7 3．设复数，（是虚数单位），则________． 4．复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 5．复数，则（    ） A． B． C． D．2 考点二 复数的实部与虚部 6．若复数满足，则的虚部是（     ） A． B． C．2 D．2i 7．设复数，则它的虚部是_________ 8．已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 9．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 10．（多选）已知复数，下列说法正确的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 11．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 12．若复数，则z的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 考点三 复数的分类以及共轭复数 13．已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 14．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 15．已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 16．（多选）下列结论不正确的是（   ） A．的共轭复数为 B．为纯虚数 C．的实部大于虚部 D．i的虚部为 17．已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 18．已知是共轭复数，若是纯虚数，则______． 考点四 复数相等以及求参数 19．若，其中，，则（ ） A． B． C． D． 20．已知，（i为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 21．若，则________． 22．已知，则实数________，________． 23．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 24．已知，则______. 考点五 复数坐标的问题 25．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 26．已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 27．（多选）已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（    ） A． B．的实部是4 C．的共轭复数 D．在复平面上对应点在第二象限 28．已知复数，则以下结论错误的是（   ） A．的虚部为 B．的模为5 C．的共轭复数为 D．对应的点在第四象限 29．已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值. (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 30．设复数，为实数. (1)当为何值时，是纯虚数； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 考点六 复数中的模长的问题 31．复数，则（     ） A．2 B． C．1 D．4 32．（    ） A． B．10 C． D．2 33．设，其中是实数，则（   ） A． B．5 C． D．6 34．（多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 35．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 36．已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 考点七 复数一元二次方程的根问题 37．已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 38．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 39．已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 40．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 41．已知是关于的方程（）的一个根，则________． 42．已知复数满足. (1)求； (2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 考点八 复数的模长求最值问题 43．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 44．若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 45．在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 46．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 48．已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 考点九 复数三角表示 49．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 50．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 51．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 52．（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 1．已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．复数，则复数z的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 5．已知，则（   ） A．40 B． C． D． 6．已知，是复数，，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（多选）已知复数，则下列命题中正确的为（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点在第二象限 8．（多选）下列关于复数的说法，其中正确的是（    ） A．复数是实数的充要条件是 B．复数是纯虚数的充要条件是 C．若，互为共轭复数，则是实数 D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称 9．（多选）已知复数，其中，则（   ） A．若，则或 B．当或时，复数z为纯虚数 C．若，则 D．在复平面内，复数z对应的点在直线上，则 10．（多选）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于-1 11．满足的有序实数对有______组. 12．复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 13．已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 14．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 15．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 16．复数是纯虚数，则实数__________. 17．若复数和复数满足，，，则________. 18．已知复数.为虚数单位. (1)若为实数，求的值； (2)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 19．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 20．已知复数满足. (1)求； (2)若是方程的一个根，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $