8.5.2 完全平方公式 课件 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过复习多项式乘多项式法则及平方差公式导入，以问题链引导学生用代数法推导公式，结合几何图形分割验证，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，通过正方形面积分割、“首平方尾平方”口诀强化数学表达，设置易错辨析及简便计算实例，培养学生抽象能力与运算能力，助力教师高效教学，帮助学生深化公式理解与应用。

第八章 整式的乘法 8.5 第2课时 完全平方公式 新课导入 什么是多项式乘多项式法则? 平方差公式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab 由下面的两个图形你能得到哪个公式? (a + b)(a – b)= a2 – b2 1.3.3 完全平方公式的认识 教学课件幻灯片 第1页：情境导入 1. 问题情境：用边长为(a+b)的正方形地砖铺地，这块地砖的面积如何表示？你有几种表示方法？ 2. 旧知回顾：运用多项式乘法法则计算：(m+2)²、(n-3)²（提示：(m+2)²=(m+2)(m+2)） 3. 引出问题：这类“两数和（或差）的平方”的多项式相乘，是否存在统一的简便规律？ 第2页：探究新知——公式推导 1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征 ① (m+2)² = (m+2)(m+2) = m² + 2m + 2m + 4 = m² + 4m + 4； ② (n-3)² = (n-3)(n-3) = n² - 3n - 3n + 9 = n² - 6n + 9； ③ (a+b)²、(a-b)²（尝试自主展开） 2. 代数推导： ① 推导(a+b)²：(a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²； ② 推导(a-b)²：将(a-b)转化为(a+(-b))，代入上式得(a+(-b))² = a² + 2a(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b²； 3. 归纳公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，即： (a+b)² = a² + 2ab + b²；(a-b)² = a² - 2ab + b² 第3页：公式验证与本质理解 1. 几何验证： ① 验证(a+b)²：展示边长为(a+b)的正方形，将其分割为边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个长a宽b的长方形，面积和为a² + 2ab + b²，与公式对应； ② 验证(a-b)²：展示边长为a的正方形，减去两个长a宽b的长方形后，补全边长为b的正方形，最终面积为a² - 2ab + b²，直观理解公式； 2. 本质理解：完全平方公式是多项式乘法的特殊形式，核心是“两数和（差）的平方”转化为“平方和与积的2倍的和（差）” 第4页：公式结构辨析与易错提醒 1. 结构辨析： ① 公式左边：两数和或差的平方，形式为(□±△)²； ② 公式右边：三项式，分别是两数的平方和（□² + △²）、两数积的2倍（±2□△），中间符号与左边括号内符号一致； 2. 易错提醒： ① 避免漏项：切勿将(a+b)²错误写成a² + b²，忘记中间的“2ab”项； ② 符号注意：(a-b)²的结果是a² - 2ab + b²，不是a² - b²，也不是a² + 2ab - b²； 3. 即时辨析：判断下列式子是否正确，说明理由： ① (x+1)² = x² + 1；② (2y-3)² = 4y² - 12y + 9；③ (m-n)² = m² - n² 第5页：基础应用与课堂小结 1. 基础应用：用完全平方公式计算 ① (3x+2)²：确定a=3x，b=2，代入得(3x)² + 2×3x×2 + 2² = 9x² + 12x + 4； ② (5y-1)²：确定a=5y，b=1，代入得(5y)² - 2×5y×1 + 1² = 25y² - 10y + 1； 2. 课堂小结： ① 两个完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²； ② 结构特征：左平方，右三项，平方和在中间，积的2倍在两边，符号随左定； ③ 核心要点：牢记公式结构，避免漏项和符号错误 由前面所学的知识，我们可以知道多项式乘多项式的法则：(ab)(pq)=apaqbpbq 问题1 利用多项式与多项式相乘，计算(a+b)2. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2. = a2 + ab + ab + b2 =a(a+b)+b(a+b) (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2. = a2 - ab - ab + b2 =a(a-b)-b(a-b) 问题2 计算 (a-b)2，若用-b代替(a+b)2中的b，你发现了什么？ 活动1 利用多项式乘多项式探究完全平方公式 问题3 比较(a+b)2和 (a-b)2 的计算结果，它们在结构上有什么特点？ 结构上分别是两数的平方和与这两个数的积的2倍的和或差. (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍. (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 用字母表示为 完全平方公式 我们是否可以利用几何图形验证完全平方公式呢？ 注意：两数相加，则加上积的2倍；两数相减，则减去积的2倍. a b a a b 农夫二：把原来的那块地的边长增加b米 农夫一：增加边长为b米的正方形 b a2+b2 (a+b)2 ≠ a 获取新知 知识点 完全平方公式 1 你有几种办法？ 代数法： 几何法： b a a b 整体 部分和 你有几种办法？ 代数法一： 代数法二： 几何法： a b a b 整体－部分 部分 新课探究 计算下列各式： （1）(m + 3)2 ； （2）(2+ 3x)2 。 （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现? m2+2·3m+9 4+2·2·3x+9x2 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。 平方式，两项 首平方，尾平方， 积的2倍放中间 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 错 错 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (x +y)2 =x2+2xy +y2 知识点 完全平方公式 全品初中 b a a b a2 ab ab b2 如图，这是由边长为a+b的正方形分割成的四部分. 问题1 试用不同的方法分别表示出这个正方形的面积，并化为最简形式. (a＋b)2 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 活动2 利用几何图形验证完全平方公式 问题2 结合图形，给出完全平方公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2的几何解释. 大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个小长方形的面积 a2＋2ab＋b2 算式 与完全平方公式中a对应的项 与完全平方公式中b对应的项 计算结果 (2x+3)2 (m+2n)2 (2b-c)2 (3m-2)2 2x 3 4x2+12x+9 m 2n m2+4mn+4n2 2b c 4b2-4bc+c2 3m 2 9m2-12m+4 填一填 完全平方公式： (a＋b)2=a2＋2ab＋b2； (a－b)2=a2－2ab＋b2 两数和的完全平方公式： 两数差的完全平方公式： 这两个式子，在结构上有什么特点？ 文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，积的二倍中间放. a，b可以是数值，可以是字母，还可以是代数式. 概念认知 1.把握公式结构特征；2.完全平方公式和平方差公式的区别，(a + b )2≠a2 + b2， (a – b )2 ≠a2 - b2. 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 错 错 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (x +y)2 =x2+2xy +y2 火眼金睛 全品初中 两数和的完全平方公式： 两数差的完全平方公式： 这两个式子，在结构上有什么特点？ 文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 口诀：首平方，尾平方，积的二倍中间放。 a，b可以是数值，可以是字母，还可以是代数式。 知识点 完全平方公式 1.把握公式结构特征；2.完全平方公式和平方差公式的区别，(a + b )2≠a2 + b2， (a – b )2 ≠a2 - b2. 例1 计算： (1) (x＋3y)2； (2) ( ab－cm)2； (3) (－4a－3b)2. 解：（1）(x＋3y)2 ＝x²＋2·x·3y＋(3y)² ＝x²＋6xy＋9y². （3） (－4a－3b)2 ＝(－4a)²－2·(－4a)·3b＋(3b)² ＝16a²＋24ab＋9b². （2）( ab－cm)2 ＝( ab)²－2· ab·cm＋(cm)² ＝ a²b²－ abcm＋c²m². 还有其他计算方法吗？ (－4a－3b)2 ＝[－(4a＋3b)]² ＝(4a＋3b)² 注意符号！ 完全平方公式常用变形： (ab)2=[(a+b)]2=(a+b)2 (ba)2=[(ab)]2=(ab)2 (1) 1022； 解：(1)1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. （2）992 = (100–1)2 =10000-200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 102和99可以分别看成什么数与什么数相加减呢？ 计算更简便！ 在计算15×15，25×25，…，95 × 95时，小明是这样做的: 15 × 15 = 1 × 2 × 100 + 25 = 225， 25 × 25 = 2 × 3 × 100 + 25 = 625， 35 × 35 = 3 × 4 × 100 + 25 = 1225； …… 你认为小明的做法正确吗？ 正确 验证：记个位数字是5的两位数为 10a+5(其中1 ≤ a＜10，a为整数)， 则(10a+5)2 =100a2 +100a+25=100a(a+1)+25. 如何用完全平方公式来验证呢？ 按要求填写下面的表格： 算式 与公式中a对应的项 与公式中b对应的项 计算结果 (2x＋3)2 (m＋2n)2 (2b－c)2 (3m－2)2 2x 3 4x2＋12x＋9 m 2n m2＋4mn＋4n2 2b c 4b2－4bc＋c2 3m 2 9m2－12m＋4 做一做 全品初中 例1 计算： 例题讲解 例2 计算： 记清公式、代准数式、准确计算。 知识点 完全平方公式 你认为哪种方法最简单呢？ 例2 计算： 知识点 完全平方公式 5.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. a2+b2,a2-ab+b2是否可以由完全平方公式变形得到呢？ 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 计算时要注意符号 (ab)2=(a+b)2 (ba)2=(ab)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 4ab=(a+b)2-(a-b)2 通过今天的学习，你收获了什么数学知识？ 合作探究 在计算15×15，25×25，35×35...时，小明是这样做的： 15×15=1×2×100+25=225； 25×25=2×3×100+25=625； 35×35=3×4×100+25=1225； . . . 你认为小明做的对吗？为什么？ 解：第n个式子可以表示为：（10n+5）×（10n+5） （10n+5）×（10n+5） =（10n）2+2×5×10n+52 =100n2+100n+25 =100（n2+n）+25 =n（n+1）×100+25 由此知：（10n+5）×（10n+5）=n（n+1）×100+25 n=1时，第1个式子为：15×15=1×2×100+25； n=2时，第2个式子为：25×25=2×3×100+25； n=3时，第3个式子为：35×35=3×4×100+25. 课堂小结 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） $