期末复习专题4：特殊的平行四边形（巩固练习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形定义、性质与判定，通过分层训练构建从概念辨析到综合应用的逻辑体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|例1、变式2、巩固1|选择为主，考查判定定理辨析|平行四边形到特殊四边形的定义递进| |性质应用|例2-4、变式1、3-4、巩固2-4、6-10|填空与计算，涉及折叠、中点、面积|性质与几何变换结合，强化空间观念| |判定证明|例5-6、变式5-6、巩固11-15|解答题，综合证明与计算|判定定理应用，培养推理能力|

2025-2026学年苏科版数学八年级下册 期末复习专题4：特殊的平行四边形 (巩固练习) 【典型例题】 【例1】下列判断中不正确的是( A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【例2】如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD,拉动木条， 四边形的形状会改变.当∠A=90°时，四边形的面积为16，则当∠A=30°时，四边形的面积 为() D A.4 B.8 C.4V2 D.45 【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=3,点E在AD上，DE=1.若EC平分∠BED,则BC的 长为 A E D 【例4】如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，己知 AB=3,BF=4,则CE的长等于 D 第1页共26页 【例5】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交 CE的延长线于点F. D (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40，求AC的长. 【例6】如图，在ABC中，AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D, 连接CD D (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)连接BD与AC交于点O,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接EO,若 E0=25,DC=5,求CE的长. 第2页共26页 【举一反三】 【变式1】如图，菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC长为6cm,则它的面积为() B D A.24cm2 B.28cm2 C.32cm2 D.48cm2 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E.若 ∠ODA=30°，则∠BOE的度数为() D E A.45° B.60° C.65° D.75° 【变式3】如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,点P是AB的中点，PO=2,则菱 形ABCD的周长是 【变式4】如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴 上，连接AC,将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E,若点 B坐标为6,12)，则点E的坐标为 E A 第3页共26页 【变式5】如图所示，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD,CD∥BE,连接AC,交 BD于O. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若BE=10,DF=24,求AC的长. 【变式6】如图，在△ABC中，AB=BC,BD是△ABC的角平分线，四边形ABED是平行四边形， DE交BC于点F. (1)求证：BE=CD; (2)试判断四边形BECD的形状，并说明理由. Q D E 【巩固练习】 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() D B A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 第4页共26页 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 2.两个矩形的位置如图所示，若11=a,则∠2=() A.-90° B.0-45° C.180°-0 D.270°-a 3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要 使四边形EFGH是菱形，需要加的条件是() H A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB⊥CD 4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连 接EF,则BF的长为() E A.2 C.3 D.2V2 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P为对角线BD上一动点(P不与B、D重合)， PE⊥AB于E,PF⊥AD于F,M为EF中点，则AM的取值范围是() F M 第5页共26页 A.3<AM<4 B.4.8≤AM<8 C.2.4≤AM<5 D.2.4≤AM<4 6.已知矩形的两条对角线的夹角为60°，矩形的宽为2，则矩形的面积为 7.如图，在菱形ABCD中，AC=24,BD=10,AC、BD相交于点O,若CE//BD,BE/AC,连接OE, 则OE的长是 D E B 8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为1,0)，点B的坐标为 (-2,4,点D在第一象限，则点C的坐标为. 9.如图，长方形ABCD中，AB=9,BC=4,G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动， 若EF=1,则GE+CF的最小值为 D 10.如图，把含30°角的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P 在正方形ABCD的对角线BD上，点M,N分别在边AB和CD上，MN与BD交于点O,且点O 为MN的中点，则∠AMP的度数为一· B 第6页共26页 11.如图，在☐ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,连接EF. 求证：四边形ABEF是菱形 D B 12.如图，口ABCD对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE, OE,OE=CD. A B (1)求证：口ABCD是菱形； (2)若AB=2,∠ABC=60°，求AE的长. 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和ABC关于点O对称，连 接AF,CD. D B /0 (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)已知AC=4,BC=3,求四边形ACDF是菱形时AO的长. 第7页共26页 14.(1)如图1，点P为矩形ABCD对角线BD的中点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD 于点E、F.若BE=3,PF=5,△AEP的面积为S,△CFP的面积为S2,则S+S2= (2)如图2，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD于 点E、F.若BE=2,PF=8,△AEP的面积为S,△CFP的面积为S2,求S+S,的值. (3)如图3，点P为口ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD,HG‖AB,与各 边分别相交于点E、F、G、H.设四边形AEPH的面积为S,四边形PGCF的面积为S2(其 中S2>S,),求△PBD的面积（用含S、S2的代数式表示）. 4 H D E 图1 图2 图3 15.已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE<AB),∠EDF=90°，DE=DF, 连接AE,CF. (图1) (图2) (图3) (1)如图1，线段AE与线段CF的关系是 ,并说明理由；己知直线AE与CF相交于点 G. (2)如图2，BM⊥AG于点M,BN⊥CF于点N,求证：四边形BMGN是正方形； (3)如图3，连接BG,若AB=2,DE=1,在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值 是 第8页共26页 答案解析 【典型例题】 【例1】下列判断中不正确的是() A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【例2】如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD,拉动木条， 四边形的形状会改变.当∠A=90°时，四边形的面积为16，则当∠A=30°时，四边形的面积 为() A D B A.4 B.8 C.4V2 D.4V5 【答案】B 【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=3,点E在AD上，DE=1,若EC平分∠BED,则BC的 长为 A D B 【答案】5 【例4】如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知 AB=3,BF=4,则CE的长等于 第9页共26页 D 【答案) 【例5】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交 CE的延长线于点F. E D C (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40，求AC的长. 【答案】(1)证明：E是AD的中点， ..AE=DE .AF∥BC, ∴.∠AFE=∠DCE, 在△AEF和△DEB中， 「∠AFE=∠DCE ∠AEF=∠DEC, AE=DE .△AEF≌△DEC(AAS), .'.AF=CD, D是BC的中点， ∴.CD=BD, .'.AF=BD, .四边形ADBF是平行四边形， .∠BAC-90°， D是BC的中点， ..AD=BD=BC, 第10页共26页 四边形ADBF是菱形； 【小问2详解】 解：连接DF交AB于O,如图 B D 由(1)知：四边形ADBF是菱形， 1 :.ABLDF,,OA=2AB=X8=4,S菱形Ae AB·DF=40, :2DFx8-40. 2 ∴.DF=10, .0D=5, .四边形ADBF是菱形， ∴.0是AB的中点， D是BC的中点， .OD是△BAC中位线， ∴.AC=20D=2×5=10. 答：AC的长为10. 【例6】如图，在ABC中，AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D, 连接CD H (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)连接BD与AC交于点O,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接EO,若 第11页共26页 E0=2√5，DC=5,求CE的长. 【答案】(1)证明：，AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DBC, ,BD平分∠ABC, ∴LDBA=∠DBC, .∠DBA=∠ADB, ∴.AB=AD, AB=BC, .AD=BC,且AD∥BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， 又AB=BC, ∴.四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 解：四边形ABCD是菱形， ∴.DC=BC=5, ,DE⊥BC,菱形ABCD中OB=OD, ∴.OE BD 25, ..BD=45, 设CE=x,则BE=BC+CE=5+x, 在Rt△CDE中，DE2=CD2-CE2, 在Rt△BDE中，DE2=BD2-BE2, ∴.CD2-CE2=BD2-BE2, .52-x2=(45-(5+x2, 解得x=3, .CE的长为3. 第12页共26页 【举一反三】 【变式1】如图，菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC长为6cm,则它的面积为() D A.24cm2 B.28cm2 C.32cm2 D.48cm2 【答案】A 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E.若 ∠ODA=30°，则∠BOE的度数为() A.45° B.60° C.65° D.75° 【答案】D 【变式3】如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,点P是AB的中点，PO=2,则菱 形ABCD的周长是 B 【答案】16 【变式4】如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴 上，连接AC,将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E,若点 B坐标为6,12)，则点E的坐标为 第13页共26页 B E 【答案】(0 【变式5】如图所示，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD,CD∥BE,连接AC,交 BD于O. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若BE=10,DF=24,求AC的长， 【答案】(1)证明：，BC∥FD,CD∥BE, 四边形ABCD是平行四边形， ,四边形BDEF是菱形， .FD⊥BE, .∠BAD=90°， .四边形ABCD是矩形； 小问2详解】 解：四边形BDEF是菱形， ∴.AF=AD,AB=AE,∠BAD=90°， .BE=10,DF=24, .AB=5,AD=12, 根据勾股定理得：BD=√AB2+AD2=√52+122=13， ,四边形ABCD是矩形， .AC=BD=13. 第14页共26页 【变式6】如图，在△ABC中，AB=BC,BD是△ABC的角平分线，四边形ABED是平行四边形， DE交BC于点F. (1)求证：BE=CD: (2)试判断四边形BECD的形状，并说明理由. 【答案】(1)·AB=BC, ,△ABC是以B为顶点的等腰三角形， BD是△ABC的角平分线， :.BD为△ABC的垂直平分线， :D是AC的中点，.AD=CD, .四边形ABED是平行四边形， :AD=BE, ∴.AD=CD=BE, 故BE=CD得证； (2).AB=BC,BD是△ABC的角平分线， BD⊥AC,AD=CD, ,四边形ABED是平行四边形， :BE /AD, 由(1)知BE=CD, .四边形BECD是平行四边形， .BD⊥AC, ∴.∠BDC=90°， .四边形BECD是矩形， 第15页共26页 【巩固练习】 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() D B C A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 【答案】D 2.两个矩形的位置如图所示，若11=a,则∠2=() A.0-90° B.0-45° C.180°-0 D.270°-0 【答案】C 3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要 使四边形EFGH是菱形，需要加的条件是() H G A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB⊥CD 第16页共26页 【答案】C 4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且LEAF=45°，连 接EF,则BF的长为() D E B F A.2 C.3 D.22 【答案】A 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P为对角线BD上一动点(P不与B、D重合)， PE⊥AB于E,PF⊥AD于F,M为EF中点，则AM的取值范围是() D A.3<AM<4 B.4.8≤AM<8 C.2.4≤AM<5 D.2.4≤AM<4 【答案】D 6.已知矩形的两条对角线的夹角为60°，矩形的宽为2，则矩形的面积为 【答案】4V5 7.如图，在菱形ABCD中，AC=24,BD=10,AC、BD相交于点O,若CE//BD,BE//AC,连接OE, 则OE的长是 D B 【答案】13 第17页共26页 8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(1，O),点B的坐标为 (-2,4,点D在第一象限，则点C的坐标为· 【答案】(2,7) 9.如图，长方形ABCD中，AB=9,BC=4,G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动， 若EF=1,则GE+CF的最小值为一· 【答案】10 10.如图，把含30°角的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P 在正方形ABCD的对角线BD上，点M,N分别在边AB和CD上，MN与BD交于点O,且点O 为MN的中点，则∠AMP的度数为 【答案】75 11.如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,连接EF. 求证：四边形ABEF是菱形 【答案】，'∠BAD的平分线交BC于点E, 第18页共26页 ∠BAE=∠EAF. 四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠EAF=∠AEB, .∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE 同理，AB=AF. ∴BE=AF. .'AD∥BC, .四边形ABEF是平行四边形. .'AB=BE, 口ABEF是菱形 12.如图，口ABCD对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE, OE,OE=CD. B (1)求证：口ABCD是菱形； (2)若AB=2,∠ABC=60°，求AE的长， 【答案】(1)证明：如图，CD交OE于G, B .DE∥AC且DE=OC, 第19页共26页 ∴.四边形OCED是平行四边形， OE=CD, ∴.四边形OCED是矩形， .∠COD=90°， AC⊥BD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.口ABCD是菱形； 【小问2详解】 解：口ABCD是菱形， :∠ABO=∠ABC, AC⊥BD, OD=OB, AB=BC, .∠ABC=60°， ,·.∠ABO=30°， ABC是等边三角形， .AC=AB=2, o4=0=1, :.0B=AB2-0A? =√22-17 =5, 0D=V3, 由(1)得 四边形OCED是矩形， CE=OD=√3， ∠ACE=90°， ..AE=AC2+CE2 第20页共26页 =22+(5) =7. 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和ABC关于点O对称，连 接AF,CD. F D B (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)已知AC=4,BC=3,求四边形ACDF是菱形时AO的长. 【答案】(1)，·△DEF和ABC关于点O对称， ∴.△ABC≌△DEF .∠BAC=∠EDF,DF=AC, .DF∥AC, .四边形ACDF是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接C℉， D B E ,△DEF和ABC关于点O对称，四边形ACDF是平行四边形； .F,O,C三点共线， .∠ACB=90°，AC=4,BC=3, .AB=VAC2+BC2=V42+32=5, 第21页共26页 ,四边形ACDF是菱形， ∴.CF⊥AD, :4C-CB=4B-c0, 2 C0=12 5 12 A0=C-oc-4- 14.(1)如图1，点P为矩形ABCD对角线BD的中点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD 于点E、F.若BE=3,PF=5,△AEP的面积为S,△CFP的面积为S2,则S+S2=; (2)如图2，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD于 点E、F.若BE=2,PF=8,△AEP的面积为S,△CFP的面积为S2,求S+S,的值： (3)如图3，点P为口ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD,HG‖AB,与各 边分别相交于点E、F、G、H.设四边形AEPH的面积为S,,四边形PGCF的面积为S2(其 中S,>S),求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）. H D 图1 图2 图3 【答案】(1)如图，过P点作AB∥MN, M A B 依题意，四边形AEPM,MPFD,PNCF,EPNB都是矩形； 第22页共26页 S矩形DFP—S矩形G人 1 :S矩形AEPM+ SEWDEPMARCD3 2 2 二SE形BEPN 1 1 又，S。AEP= S矩形HEPw,S,cFP=2 S矩形CFPN 1 15 .SABn=ScFP=×3X5= 2 .S+S2=15; (2)如图，过P点作AB∥MN, M D N C :S矩形AEPW+S矩形DFPM=S矩形cFPN+S矩形DFPM=S矩形ABcD-S矩形BEPN 1 1 又：S.AEP=S矩形HEPM,S,CFP=亏S矩形cFpN 2 2 1 六S4=Scm=2X2x8=8 .S+S2=16; (3)解：，点P为平行四边形ABCD内一点，EF∥AD,HG∥AB, .四边形EBGP,四边形HPFD都是平行四边形， ∴.S四边形EBGP=2S,EBP,SE边形HPFD=2S.HPD ,四边形AEPH的面积为S,,四边形PGCF的面积为S,(其中S,>S,), .uc5+25.2m5. S.r-S.-(S.+S.cw+S.m)-S;+5)+5.+S.m-(S+S.+5.m)=(S3-S) 1 15.己知，四边形ABCD是正方形，aDEF绕点D旋转(DE<AB),∠EDF=90°，DE=DF, 连接AE,CF. 第23页共26页 B (图1) (图2) (图3) (1)如图1，线段AE与线段CF的关系是 ,并说明理由；已知直线AE与CF相交于点 G. (2)如图2，BM⊥AG于点M,BN⊥CF于点N,求证：四边形BMGN是正方形； (3)如图3，连接BG,若AB=2,DE=1,在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值 是 【答案】(1)，四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADC=90°. DE=DF,∠EDF=90°. .∠ADC=∠EDF, ∴.∠ADE=∠CDF, 在ADE和CDF中， DA=DC ∠ADE=∠CDF, DE =DF ∴.△ADE≌△CDF(SAS): ∴.AE=CF,∠DAE=∠DCF, 设直线AE与CF、CD相交于点G、I. B 第24页共26页 .∠AIC=∠ADI+∠DAE=∠CGI+∠DCF, .∠CGI=∠ADI=90°，即AE⊥CF, ∴.AE=CF,AE⊥CF;即线段AE与线段CF的关系是垂直且相等， 故答案为：垂直且相等； 【小问2详解】 证明：由(1)知AE⊥CF, B .BM⊥AG,BN⊥CF, .四边形BMGN是矩形， ∴.∠MBN=90°. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠MBN=90°. .∠ABM=∠CBN. 又.'∠AMB=∠BNC=90°， ∴.△AMB≌△CNB. ∴.MB=NB .矩形BMGN是正方形； 【小问3详解】 解：作DH⊥AG交AG于点H,作BM⊥AG于点M, 第25页共26页 E M B .'∠DHA=∠AMB=90°，∠ADH=90°-∠DAH=∠BAM,AD=AB, ∴.△AMB≌△DHA. .BM AH. .AH2=AD2-DH2,AB=AD =2, .DH最大时，AH最小，DH的最大值=DE=1. .BM的最小值=AH的最小值=√3， 由(1)可知，△BGM是等腰直角三角形， ∴.BG的最小值=√2BM=√6. 故答案为：√6 第26页共26页