精品解析：北京市月坛中学2026年春学期九年级下册数学5月份阶段学情自测试卷

华东师大版2026年春学期九年级下册数学5月份月考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 以下图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、B、C中的图象都可以沿着中间竖直的直线折叠，两边可以完全重合，故是轴对称图形；选项D中图形无论沿着哪条线折叠，都不可能让两侧完全重合，则不是轴对称图形． 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 4. 下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何原理判断求解即可； 【详解】解：A. ，用垂线段最短解释； B. ，用两点确定一条直线解释； C. ，用两点确定一条直线解释； D. ，用两点之间线段最短解释； 5. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 6. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，根据几何体的排列确定每一列小正方形的个数． 【详解】从正面看，该几何体共有3列，从左到右每列小正方形的个数分别为1，1，2， ∴主视图底层有3个小正方形，最右侧上层有1个小正方形， ∴主视图是A项． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误； B、，原式计算正确； C、，原式计算错误； D、，原式计算错误． 8. 如图：小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离与水平距离的比求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离为（米）， ∴斜坡的坡度是． 9. 在《西游记》中，孙悟空从龙宫得了披挂武器后，与牛魔王结拜为兄弟，彼此推杯换盏，把酒言欢， 若他们二人共喝了84斗酒，且孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，设孙悟空喝了x 斗酒，牛魔王喝了y斗酒，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据他们二人共喝了84斗酒，可得，根据孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，可得，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：C． 10. 如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 11. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由矩形的判定与性质、旋转性质得到相关角度与线段，再由勾股定理及三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置， ，， 则， 在中，，由勾股定理可得， 在矩形中，，且；在矩形中，，且， 是的中位线， 则． 12. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识．由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数，可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图：已知，则_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】先利用平行线的性质可得，再由垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 15. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 16. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 18. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为． 三、解答题（本题共7小题，共计84分） 19. 根据题目要求认真计算下列各题 （1） （2）解不等式组 （3）解方程 （4）解方程组 （5）先化简再求值，其中． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） （5）， 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【小问3详解】 解：， ， ， 或 解得：． 【小问4详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 【小问5详解】 解： ． 当时，原式． 20. 近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有______人，______； （2）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 【答案】（1）400，45 （2）此游戏规则不公平． 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，再求解C等级的人数，据此计算即可； （2）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数或偶数的结果，再确定出和为奇数或偶数的概率，最后比较即可解答． 【小问1详解】 解：（人）， C等级人数：（人）， ， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果，且和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴和为奇数的概率为，和为偶数的概率为， ∵， ∴此游戏规则不公平． 21. 图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】这座风电塔筒的高度约为． 【解析】 【分析】由图可知四边形是矩形，因此可得 是直角三角形，在中，已知，根据正切定义 ，可求得的长度，进而，即得到塔筒高度． 【详解】解：延长，交于点， ∴根据题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴在中，， ∴ ， ​ ∴， ∴ ， 答：这座风电塔筒的高度约为． 22. 如图，在中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交、于点E、点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：与相切，理由如下： 连接，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形与角平分线证明，两直线平行同位角相等，从而得出答案； （2）连得直角三角形，利用平行线性质得到对应角相等证明，根据相似比和等量代换求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图：一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积； （3）根据函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入先求出反比例函数的解析式，可得到点B的坐标，再利用待定系数法解答，即可； （2）求出点D的坐标，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数过、两点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴点， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴点， ∴， ∵点，， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象得：不等式的解集为或． 24. 综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图2，已知，，则的长为______； （2）如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 （3）若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1） （2）结论成立，证明见解析， （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转得到，证明，设，可得，，结合勾股定理可得，再进一步求解即可． （2）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ， ， ∴点在一条直线上， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设， ∴，， ∴， 解得：，即． 【小问2详解】 解：成立．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ． ， ． 25. 已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式． （2）如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； （3）如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）过点C作轴交于点Q，设，根据，可求得，根据相似三角形的判定与性质，求得，则，再求出直线的解析式，并将代入，求得，即可求得答案； （3）设，，分别求出直线、直线的解析式，可得点G，F，T坐标，根据，可得，根据可得，进而求出n值，将代入，求出m值，即可得解． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作轴交于点Q， 对于，令，则， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 将代入， 得， ， 解得或， 点D在第一象限， ， 将代入，可得， ； 【小问3详解】 解：过点M作轴于点H， 设，，直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，可得， ， 令，则 解得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 整理得， 设直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，则 解得， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 化简得， 解得， 将代入，得， 解得（舍去）或， 将，，代入， 可得直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版2026年春学期九年级下册数学5月份月考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 以下图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（ ） A. B. C. D. 5. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图：小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 9. 在《西游记》中，孙悟空从龙宫得了披挂武器后，与牛魔王结拜为兄弟，彼此推杯换盏，把酒言欢， 若他们二人共喝了84斗酒，且孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，设孙悟空喝了x 斗酒，牛魔王喝了y斗酒，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 12. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 因式分解：________． 14. 如图：已知，则_______． 15. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 16. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为______． 17. 数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 18. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 三、解答题（本题共7小题，共计84分） 19. 根据题目要求认真计算下列各题 （1） （2）解不等式组 （3）解方程 （4）解方程组 （5）先化简再求值，其中． 20. 近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有______人，______； （2）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 21. 图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 22. 如图，在中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交、于点E、点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 23. 如图：一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积； （3）根据函数图象直接写出不等式的解集． 24. 综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图2，已知，，则的长为______； （2）如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 （3）若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 25. 已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式． （2）如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； （3）如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $