精品解析：北京十一晋元中学2025-2026学年度初三年级第十二学段数学II课程月诊断（2026.5）

北京十一晋元中学2025-2026学年度初三年级第十二学段数学Ⅱ课程月诊断2026.5 考试时间：120分钟 满分：100分 一．选择题（本题共16分，每题2分） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解： A. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 4. 麒麟芯片采用了工艺制程，每个芯片集成了10300000000个晶体管，是世界上第一款晶体管数量超过100亿的移动终端芯片，则60个麒麟芯片的晶体管的总数量用科学记数法表示为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总晶体管数量，再根据科学记数法规则改写，科学记数法形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵ 单个芯片的晶体管数量为， ∴ 60个芯片的总晶体管数量为：， 用科学记数法表示为． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 6. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中摸出的两个棋子中至少有1个是白子的有10种结果， 所以摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为． 故选：A． 7. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，根据，得出，结合，得出，最后利用三角形外角性质求解即可 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，再列式证明即可；②证明四边形是矩形，得出，结合由结论①，即可判断②是否正确；③由结论①正确得，得出，利用，即可证明；④连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，得出，，即可证明． 【详解】①点，在函数的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， 轴于点，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 无法判定， 不一定成立， 故结论②不正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ， ， ， 即， 轴于点，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 二．填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 分解因式：2x2﹣8xy+8y2=____． 【答案】2（x﹣2y）2 【解析】 【详解】试题分析：2x2﹣8xy+8y2 =2（x2﹣4xy+4y2） =2（x﹣2y）2． 故答案为2（x﹣2y）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用 11. 方程的解为______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】解： 方程两边同乘以最简公分母得， 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 12. 用一个的值说明命题“如果，那么”是错误的，这个值可以是a＝_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据有理数的乘方法则计算，将赋值，计算的值，判断即可． 【详解】当时，>1，而<1， ∴命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：-3(答案不唯一)． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，解答本题的关键是举出一个反例即可． 13. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________人． 每周课外阅读时间x （小时） 人数 6 9 13 12 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查了频数（率分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可． 【详解】解：（人）， 估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人． 故答案为：300． 14. 如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为______． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 【答案】 ①. 200 ②. 500 【解析】 【分析】（1）设甲类设备台生产正极片，剩余生产负极片，根据正极片与负极片的配套关系列式，取整数验证得到最多生产电池数； （2）先三类设备的正极片与负极片的效率比，确定乙类和丙类设备在生产正极片上具有比较优势，故可安排乙、丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配，即设台甲类设备生产正极片，其余生产负极片，通过列方程求解可得最大生产数量． 【详解】解：（1）甲类设备共台，设台生产正极片，则台生产负极片， 可得正极片数量为，负极片数量为 . 根据每片正极片搭配片负极片，得 解得， 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 可组装电池个，剩余负极片片． 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 仅可组装电池个，剩余正极片片． 因此只由甲类设备工作，一天最多生产个电池； （2）计算三类设备的正极片与负极片的效率比， 甲类：，乙类：，丙类： ， 根据效率比可知，乙类和丙类设备生产正极片的相对效率更高，故可安排乙类和丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配， 设甲类有台生产正极片，则台生产负极片， 正极片总数量为： ， 负极片总数量为： ， 根据配套关系得： ，解得． 代入得正极片总数量为 ，负极片总数量为 ， 刚好满足 ，可组装个电池． 故55台专用设备都在工作，则一天最多可生产个电池． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 去分母， ， 移项， ， 原不等式组的解为 ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 21. 学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． （1）求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； （2）求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】（1）兑换前购买圆规80个，笔记本60本 （2）用于兑换圆规的兑换券为2张 【解析】 【分析】（1）根据圆规和笔记本的数量比设未知数，再根据总花费为1560元列出方程即可求解； （2）先计算出1560元可获得的兑换券总数，再设用于兑换圆规的兑换券为张，根据兑换后笔记本与圆规数量相同列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． 【小问2详解】 解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 且． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的平移得到，再把点代入计算得到； （2）根据题意，画图分析即可． 【小问1详解】 解：函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数图象经过点， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，如图所示， 当时，函数的图象与函数的图象平行，此时，符合题意； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象有交点，设为， ∴当时，，不符合题意； ∴； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象平行，，不符合题意； 在函数中，当时，， ∴当函数的图象与函数的图象交于时，如图所示， 此时，，解得，， 当时，如图所示，函数的图象与函数的图象有交点，设为， 此时，时，，不符合题意； ∴； 综上，且． 23. 某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 （1）表中m的值为______，n的值为______； （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； （3）在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 【答案】（1）8；8.35 （2）二 （3）19 【解析】 【分析】（1）根据众数和平均数的定义解答即可； （2）比较方差大小即可； （3）根据中位数、众数和平均数的定义列式解答即可． 【小问1详解】 解：一班和二班各40名学生， 一班得分为8分的人数为； 二班得分为8分的人数为； 一班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的， ； 二班的平均分（分）； 【小问2详解】 解：， 一班成绩的方差大于二班成绩的方差， 二班的成绩比较整齐． 【小问3详解】 解：由题意知一班总人数为40， 中位数为8.5分，众数为9分， 将所有同学的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列后， 第21，20（或20，21）名同学的成绩只能为8分和9分， 评分前7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分的总人数为20， 又众数为9，若要使平均数尽可能大，则评分10分的学生人数应尽可能多， 评分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9，则评分为7分和8分的人数均为10， 要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人． 24. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F．分别过点A，B作于点G，于点H． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出，结合圆的性质，证得，再结合等腰三角形的性质即可得证； （2）先证出，得到，再根据勾股定理即可求出； 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ， ， 又 ∵， ， ， ， ， 又， ， ， ． 即． 【小问2详解】 解：过点作于点，则， ∵，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）， ∴， ∴中，． 25. 现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡；运动70分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡（保留整数）． 【答案】（1） （2）画图见解析 （3）117；335 【解析】 【分析】（1）观察表格数据可知，时间每增加10分钟，能量消耗值增加50千卡，即可得出结果； （2）根据表格数据画出图象即可； （3）结合题意题及图象，按照两张算法的规则求解即可． 【小问1详解】 解：观察数据，可知时间每增加10分钟，能量消耗值增加50千卡，所以与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据表中的数据描点，连线，图形如下： 【小问3详解】 解：根据图象得：当测试者运动25分钟时，两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡， 手环显示B种算法的能量消耗值为117千卡； 运动70分钟时，，， ， 第一次计算平均数为：， ， 第二次计算平均数为：，且， 第三次计算平均数为：，且， 手环显示的能量消耗值是335千卡． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点． （1）求该抛物线解析式（用含的式子表示）； （2）过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）． ①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围； ②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①或或；② 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线，化简求出b，得到含a的表达式； （2）①求出抛物线翻折部分的解析式为，得,联立，解得，联立，解得，若，若，若，若，若，分类讨论，答案：或或；②当时，，当时，，当时，，当时，若，分类讨论，答案：当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，的取值范围是． 【小问1详解】 解：将代入，得， 化简,得， 即, 故抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线（）在过点平行轴的直线右侧的部分沿轴翻折， ∴翻折部分的解析式为， ∴， ∵直线与直线交于点，与图形交于点， ∴， 当时，， 联立，解得， ∵不重合， ∴ 若， ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴无解； 当时，， 联立， 解得， ∴取， ∵不重合， ∴ 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴无解； 综上，或或； ②当时，， ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴在的范围内的值随t的增大而减小， ∴不存在两个t值使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而增大， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增， ∴有两个t值，使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增——减， ∴有三个t值，使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而增大， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增——减——增， ∴有四个t值，使得的值相等； 综上，当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，的取值范围是． 27. 在中，，，点为平面上一点，连接，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，若点在外部，点恰好在边上，延长，交于点，求证：； （2）如图，若点在内部，连接，．用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】（）由线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好在边上，则，，从而可得，然后证明，所以，最后通过线段的和与差即可求证； （）延长至，使，连接，，可证是的垂直平分线，所以，，证明，则，所以，得，，由三角形内角和定理得，则，最后通过勾股定理即可求证． 【小问1详解】 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好在边上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：如图，延长至，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点C是的弦的“锐切点”． （1）如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点________是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦的“锐切点”，则弦的长的取值范围是________； （2）已知点（），经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题目定义逐一判断即可； ②，则点在以点为圆心，3为半径的圆上，利用圆的对称性，可以先固定点，点，根据为锐角三角形，讨论可能的位置； （2）根据题目信息可得，的半径为为等边三角形，按照②的思路寻找锐切点所在的范围，利用极限思想即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，为钝角三角形，则不符合题意； ∵， ∴， 则为直角三角形，则不符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； ②∵， ∴点在以点为圆心， 3为半径的圆上， 设， 则此时一定是的切线， 只需满足为锐角三角形，则为直角三角形即可找到临界值， 如图，当时，为圆的直径，即； 如图，当时，过点作于， ， 设，则， ， ， ， ， ， 则， 解得：（不符题意，舍去）， 则； 则当时，为锐角三角形，即点是的弦的“锐切点”； 【小问2详解】 解：已知点经过点，则的半径为， 由题可知，，则为等边三角形， ∴， 如图，过点分别作轴，，交过点垂直于轴的直线于点；连接， ， ， ， 则， 当点 C 位于之间时，为锐角三角形， ∵， 以点为圆心，分别以为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是的长为的弦的“锐切点”， 如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在使得条件成立，圆的半径最小，连接， ， ， 在中，， 解得：（不符合题意，舍去）， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一晋元中学2025-2026学年度初三年级第十二学段数学Ⅱ课程月诊断2026.5 考试时间：120分钟 满分：100分 一．选择题（本题共16分，每题2分） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 4. 麒麟芯片采用了工艺制程，每个芯片集成了10300000000个晶体管，是世界上第一款晶体管数量超过100亿的移动终端芯片，则60个麒麟芯片的晶体管的总数量用科学记数法表示为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：2x2﹣8xy+8y2=____． 11. 方程的解为______． 12. 用一个的值说明命题“如果，那么”是错误的，这个值可以是a＝_____． 13. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________人． 每周课外阅读时间x （小时） 人数 6 9 13 12 14. 如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 16. 某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． （1）求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； （2）求用于兑换圆规的兑换券的张数． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 23. 某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）． 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 1 7 ▲ 13 5 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 （1）表中m的值为______，n的值为______； （2）对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）； （3）在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人． 24. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F．分别过点A，B作于点G，于点H． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 25. 现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡；运动70分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡（保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点． （1）求该抛物线解析式（用含的式子表示）； （2）过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）． ①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围； ②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围． 27. 在中，，，点为平面上一点，连接，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，若点在外部，点恰好在边上，延长，交于点，求证：； （2）如图，若点在内部，连接，．用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点C是的弦的“锐切点”． （1）如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点________是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦的“锐切点”，则弦的长的取值范围是________； （2）已知点（），经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $