精品解析：山东青岛市市南区青岛大学路小学2025-2026学年青岛版下学期六年级学情自测卷数学

2025－2026学年度第二学期六年级数学第1—5单元检测 （时间：90分钟） 一、选择。（10%） 1. 一个圆柱形物体的底面积是，高是13cm，这可能是（ ）。 A. 一支铅笔 B. 一个水桶 C. 一个易拉罐 D. 压路机的前轮 2. 如图，将下面的纸板以一条边所在的直线为轴快速旋转一周，能形成圆柱的是（ ）。 A. B. C. D. 3. 平果市某家奶茶店，四月份的纯利润比三月份增长了﹣5%，“﹣5%”表示（ ）。 A. 增长了5% B. 下降了5% C. 不增不降 D. 无法确定 4. 下面各组的两种量中，成正比例关系的是（ ）。 A. 六（1）班男生和女生的人数 B. 购买《小学生周报》的总价和数量 C. 哥哥和弟弟年龄的差 D. 汽车从莆田到厦门的平均速度和行驶时间 5. 超市草莓的单价为40元/千克。下面图像，正确反映总价和数量关系的是（ ）。 A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周长的平方乘高，再除以36，这种计算方法，圆周率近似值取3，一个圆锥形的沙堆，底面周长30米，高2米。用这种方法算出的沙堆体积是（ ）立方米。 A. 50 B. 25 C. D. 7. 如图，圆锥形玻璃容器内装满水，将这些水倒入（ ）圆柱形玻璃容器中正好装满（玻璃厚度不计）。 A. B. C. D. 8. 在正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形，恰好能围成一个圆锥模型（如图）。如果圆的半径为r，扇形的半径为R，那么r和R的比是（ ）。 A. 2∶π B. 2∶3 C. 1∶2 D. 1∶4 9. 拖拉机前轮直径为60厘米，后轮直径为90厘米，行驶前两个轮胎的状态如图所示。当后轮转动3周时，前轮的状态是（ ）。 A. B. C. D. 10. 下列问题的解决，运用“转化”策略的是（ ）。 A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空。（16%） 11. 如果，那么x和y成（ ）比例；，那么x和y成（ ）比例。 12. 一项工程，12天完成了40%，已经完成的和没有完成的工程量的比是（ ）。照这样计算，还要（ ）天才能完成这项工程。 13. 如果一件商品按180元定价，可获利20%。实际上，该商品的售价为240元，那么所得的利润是（ ）元。 14. 王叔叔的公司急需资金周转，他从银行贷款80万元，贷款周期6个月，年利率是3.1%。到期时王叔叔要多还银行（ ）元。 15. 一个圆柱形木桶，底面内直径是8dm，组成木桶的木板长短不一，高度分别是6dm、8dm、10dm。这个木桶水平放置时（如图），最多能装（ ）升水。 16. 小新过生日时，妈妈送给他一个圆锥形的陀螺，陀螺的底面直径是4cm，高是3cm，它的体积是（ ）；如果用一个长方体盒子包装，这个长方体盒子的容积至少是（ ）。 17. “商都”郑州到“文字之都”安阳的距离约170km，在一幅地图上，量得这两个城市的图上距离是3.4cm，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，量得郑州到“十三朝古都”洛阳的图上距离是2.2cm，郑州到洛阳的实际距离是（ ）km。 18. 父子俩玩跷跷板，儿子体重12kg，坐的地方距支点15dm；父亲体重60kg，坐的地方距支点（ ）dm才能保持跷跷板平衡。 19. 下图中的容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，容器内水深7cm，把这个容器倒过来，水面的高度是（ ）cm。 20. 沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置。下表是流入底部玻璃球的沙子体积和所需时间的相关记录。 底部沙子体积/cm3 1.57 3.14 4.71 6.28 … 所需时间/min 1 2 3 4 … 底部沙子体积与所需时间的（ ）是1.57cm3/min，这是一种（ ）比例关系。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要（ ）min。 三、计算。（28%） 21. 口算。 30×20%＝ 0.84＋1.6＝ 0.4×1.5＝ 22. 脱式计算（能简算的要简算）。 23. 解方程或解比例。 5.4＋2x＝8.6 四、探索实践。（17%） 24. （1）当一个长方形、一个正方形和一个圆的周长相等时，（ ）的面积最大。 （2）如图，把一个长方体、一个正方体和一个圆柱的侧面沿高展开，都能得到一个长a、宽b的长方形，此时，（ ）的体积最大。 25. 旅游公司推出四条特色旅游线路，要了解游客对这些旅游线路的期待值，随机抽取了一些游客开展调研，并根据结果绘制了扇形统计图。 A．游自然盛景，赏表里山河。 B．沿万里茶路，寻晋商精神。 C．探三晋古建，悟营造智慧。 D．溯烽火岁月，感太行热血。 （1）已知期待D线路和B线路的人数相等，请将扇形统计图补充完整。 （2）游客对（ ）线路的期待值最高。已知有80人期待B线路，那么一共有（ ）名游客参与了此次调研。 （3）如果将调研结果绘制成条形统计图，正确的是图（ ）。（填序号） 26. 某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如下所示。你认为这样定价合理吗？请给出你的定价建议并用数据说明理由。 五、解决问题。（29%） 27. 芜湖是鱼米之乡，也是全国四大米市之一。种粮大户梁伯伯家去年收稻谷10万千克，比前年增产了二成五。梁伯伯家前年收稻谷多少万千克？ 28. 如图，圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它完全浸入一个长方体水槽的水中，量得水面上升了0.4厘米，再把一个底面直径是6厘米的圆锥完全浸入水中，水面又上升了0.6厘米（水未溢出）。求圆锥的高。 29. 观星台是中国现存最为古老的天文台。为测算观星台的高度，聪聪在观星台旁边垂直于地面立了一根1.2米高的木棒，量得木棒影长0.5米。聪聪又量出观星台的影长约为5.25米，请你帮聪聪算一下观星台高多少米？（用比例的知识解答） 30. 在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得京沪高速公路长约6.3厘米，如果需要在10小时内行完从北京到达上海全程，每小时的平均速度应不低于多少千米？ 31. 同学们根据“圆柱容球”设计了如下图所示的三个模型，请你思考并想象。 圆柱容球是古希腊数学家阿基米德的伟大发现之一。当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。此时，球的体积是圆柱体积的三分之二。 （1）小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个（ ）体，它的体积是（ ）立方厘米。 （2）小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个（ ）体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是（ ）立方厘米。 （3）小萱将图3的模型绕轴快速旋转一周，能形成一个形状如圆柱挖去一个等底、等高圆锥的几何体。她认为这个几何体的体积和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同，你同意她的看法吗？请说明理由。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期六年级数学第1—5单元检测 （时间：90分钟） 一、选择。（10%） 1. 一个圆柱形物体的底面积是，高是13cm，这可能是（ ）。 A. 一支铅笔 B. 一个水桶 C. 一个易拉罐 D. 压路机的前轮 【答案】C 【解析】 【分析】圆的面积S＝πr2，3.14×32＝28.26（cm2），所以当圆柱形物体的底面积是30cm2时，底面半径略大于3cm，根据这两项数据判断与物体实际大小是否相符。 【详解】A．一支铅笔的底面半径应小于3cm，一支铅笔的底面积不可能是30cm2，高度可能是13cm。 B．一个水桶的底面半径应远大于3cm，一个水桶的底面积不可能是30cm2，高度不可能是13cm。 C．一个易拉罐的底面半径应略大于3cm，一个易拉罐的底面积可能是30cm2，高度可能是13cm。 D．压路机的前轮的底面半径应该以米为单位，高度也不可能是13cm。 所以，一个圆柱形物体的底面积是30cm2，高是13cm，这可能是（一个易拉罐）。 2. 如图，将下面的纸板以一条边所在的直线为轴快速旋转一周，能形成圆柱的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 【详解】A．以一条边所在的直线为轴快速旋转一周形成的图形是圆台； B．以一条边所在的直线为轴快速旋转一周形成的图形是圆柱； C．以一条边所在的直线为轴快速旋转一周形成的图形是圆锥； D．以一条边所在的直线为轴快速旋转一周形成的图形是球。 3. 平果市某家奶茶店，四月份的纯利润比三月份增长了﹣5%，“﹣5%”表示（ ）。 A. 增长了5% B. 下降了5% C. 不增不降 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】正数与负数表示意义相反的两种量，把三月份的纯利润看作分界线，则四月份比三月份增长记为正，下降记为负，据此解答。 【详解】“﹣5%”表示下降了5%。 4. 下面各组的两种量中，成正比例关系的是（ ）。 A. 六（1）班男生和女生的人数 B. 购买《小学生周报》的总价和数量 C. 哥哥和弟弟年龄的差 D. 汽车从莆田到厦门的平均速度和行驶时间 【答案】B 【解析】 【分析】如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【详解】A．男生人数＋女生人数＝总人数，六（1）班男生和女生的人数不成比例关系； B．总价÷数量＝单价，购买《小学生周报》的总价和数量成正比例关系； C．哥哥的年龄－弟弟的年龄＝年龄差，哥哥和弟弟年龄的差不成比例关系； D．速度×时间＝路程，汽车从莆田到厦门的平均速度和行驶时间成反比例关系。 成正比例关系的是购买《小学生周报》的总价和数量。 5. 超市草莓的单价为40元/千克。下面图像，正确反映总价和数量关系的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。已知草莓的单价为40元/千克，即总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。据此解答。 【详解】根据总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系，其图像是一条经过原点的直线。已知草莓的单价为40元/千克，可得D选项正确。 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周长的平方乘高，再除以36，这种计算方法，圆周率近似值取3，一个圆锥形的沙堆，底面周长30米，高2米。用这种方法算出的沙堆体积是（ ）立方米。 A. 50 B. 25 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据《九章算术》中圆锥体积的算法，即圆锥体积＝底面周长的平方×高÷36，据此列式计算。 【详解】302×2÷36 ＝900×2÷36 ＝1800÷36 ＝50（立方米） 用这种方法算出的沙堆体积是50立方米。 故答案为：A 7. 如图，圆锥形玻璃容器内装满水，将这些水倒入（ ）圆柱形玻璃容器中正好装满（玻璃厚度不计）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形容器内装满水的体积； 再根据圆柱的容积公式V＝πr2h，求出各选项中的圆柱形容器的容积，如果与水的体积相等，即可正好装满。 【详解】圆锥形玻璃容器内水的体积： ×π×（8÷2）2×15 ＝×π×42×15 ＝×π×16×15 ＝80π A．π×（8÷2）2×15 ＝π×42×15 ＝π×16×15 ＝240π 240π≠80π，不能正好装满。 B．π×（8÷2）2×5 ＝π×42×5 ＝π×16×5 ＝80π 80π＝80π，能正好装满。 C．π×（6÷2）2×10 ＝π×32×10 ＝π×9×10 ＝90π 90π≠80π，不能正好装满。 D．π×（8÷2）2×10 ＝π×42×10 ＝π×16×10 ＝160π 160π≠80π，不能正好装满。 8. 在正方形纸片上剪下一个圆和一个扇形，恰好能围成一个圆锥模型（如图）。如果圆的半径为r，扇形的半径为R，那么r和R的比是（ ）。 A. 2∶π B. 2∶3 C. 1∶2 D. 1∶4 【答案】D 【解析】 【分析】剪下的一个圆和一个扇形恰好围成一个圆锥模型，说明圆的周长＝扇形的弧长，假设圆的周长是C，扇形弧长是其所在整圆周长的四分之一，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，分别计算圆和扇形的半径，用圆的半径∶扇形半径即可。 【详解】假设圆的周长是C。 ∶ ＝C∶4C ＝1∶4 9. 拖拉机前轮直径为60厘米，后轮直径为90厘米，行驶前两个轮胎的状态如图所示。当后轮转动3周时，前轮的状态是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】前轮与后轮行驶的距离相等，根据圆的周长公式可求出前轮的周长是3.14×60＝188.4（厘米），后轮的周长是：3.14×90＝282.6（厘米），则后轮转动3周后，是行驶了282.6×3＝847.8（厘米），所以前轮也是行驶了847.8厘米，由此即可求出前轮转动了：847.8÷188.4＝4.5（周），由此即可确定前轮的位置。 【详解】前轮的周长是3.14×60＝188.4（厘米） 后轮的周长是：3.14×90＝282.6（厘米） 则前轮转动了：282.6×3÷188.4＝4.5（周） 故答案为：B 10. 下列问题的解决，运用“转化”策略的是（ ）。 A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①将圆柱平均分为无数份时，就会无限接近长方体（把圆柱转化为长方体）。圆柱的体积等于长方体的体积，长方体的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，把圆柱转化为长方体。 ②沿着平行四边形的高剪开，平移到右边，拼成一个长方形（把平行四边形转化为长方形），长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形面积＝长×宽，长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，所以平行四边形面积＝底×高。 ③将小数乘法“转化”为整数乘法（通过移动小数点）或将异分母分数“转化”为同分母分数再进行计算。 ④借助三角形内角和（180°）将多边形“转化”成若干个三角形来求和。 【详解】①把圆柱转化为长方体； ②把平行四形转化为长方形； ③把小数转化为整数； ④把多边形转化成若干个三角形来求和。 综上，①②③④都运用了“转化”策略。 二、填空。（16%） 11. 如果，那么x和y成（ ）比例；，那么x和y成（ ）比例。 【答案】 ①. 正 ②. 反 【解析】 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果，则，是比值一定，那么x和y成正比例； ，则，是乘积一定，那么x和y成反比例。 12. 一项工程，12天完成了40%，已经完成的和没有完成的工程量的比是（ ）。照这样计算，还要（ ）天才能完成这项工程。 【答案】 ①. 2∶3 ②. 18 【解析】 【分析】（1）12天完成了40%，也就是还剩1－40%没有完成，求已经完成的和没有完成的工程量的比，用已经完成的百分率与没有完成的百分率相比，化简为最简比即可； （2）求还要多少天才能完成这项工程，是求工作时间，工作总量就是剩下没有完成的，即；1－40％＝60％，工作效率＝12天的工作总量÷12天可以求得，用工作总量÷工作效率＝工作时间，去解答。 【详解】（1）1－40% ＝ ＝ ＝60% 40%∶60% ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2）40％÷12 ＝ ＝ ＝ 60% ＝ ＝18（天） 已经完成的和没有完成的工程量的比是2∶3，还要18天才能完成这项工程。 13. 如果一件商品按180元定价，可获利20%。实际上，该商品的售价为240元，那么所得的利润是（ ）元。 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意，成本×（1＋20%）＝定价，把成本看作单位1，那么定价就是成本的（1＋20%）。根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法。用180除以（1＋20%）即可算出成本。再用最终售价240减去成本，就是得到的利润。 【详解】180÷（1＋20%） ＝180÷120% ＝180÷1.2 ＝150（元） 240－150＝90（元） 那么所得的利润是90元。 14. 王叔叔的公司急需资金周转，他从银行贷款80万元，贷款周期6个月，年利率是3.1%。到期时王叔叔要多还银行（ ）元。 【答案】12400 【解析】 【分析】一年＝12个月，6个月＝0.5年，根据本金×时间×利率＝利息，求出王叔叔需要多付的利息，就是王叔叔要多还的钱。 【详解】6个月＝0.5年 80×0.5×3.1% ＝40×0.031 ＝1.24（万元） 1.24万元＝12400元 到期时王叔叔要多还银行12400元。 15. 一个圆柱形木桶，底面内直径是8dm，组成木桶的木板长短不一，高度分别是6dm、8dm、10dm。这个木桶水平放置时（如图），最多能装（ ）升水。 【答案】301.44 【解析】 【分析】根据题意，水的高度由最短的木板决定，水最高是6分米，根据圆柱的体积公式：，代入数据即可求出水的体积，再把单位换算成升。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 16. 小新过生日时，妈妈送给他一个圆锥形的陀螺，陀螺的底面直径是4cm，高是3cm，它的体积是（ ）；如果用一个长方体盒子包装，这个长方体盒子的容积至少是（ ）。 【答案】 ①. 12.56 ②. 48 【解析】 【分析】圆锥体积＝底面积×高÷3，据此计算出陀螺体积；长方体包装盒的长和宽等于圆锥底面直径，长方体包装盒的高等于圆锥的高，长方体体积＝长×宽×高，据此计算出长方体盒子的容积。 【详解】3.14×（4÷2）2×3÷3 ＝3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×3÷3 ＝12.56（） 4×4×3＝48（） 17. “商都”郑州到“文字之都”安阳的距离约170km，在一幅地图上，量得这两个城市的图上距离是3.4cm，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，量得郑州到“十三朝古都”洛阳的图上距离是2.2cm，郑州到洛阳的实际距离是（ ）km。 【答案】 ①. 1∶5000000 ②. 110 【解析】 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此写出图上距离与实际距离的比，化简；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。 【详解】3.4cm∶170km ＝3.4cm∶17000000cm ＝34∶170000000 ＝（34÷34）∶（170000000÷34） ＝1∶5000000 2.2÷＝2.2×5000000＝11000000（cm）＝110（km） 这幅地图的比例尺是1∶5000000。郑州到洛阳的实际距离是110km。 18. 父子俩玩跷跷板，儿子体重12kg，坐的地方距支点15dm；父亲体重60kg，坐的地方距支点（ ）dm才能保持跷跷板平衡。 【答案】3 【解析】 【分析】要保持跷跷板平衡，两边的体重与距离支点的长度乘积相等。 儿子这边的乘积为：。父亲体重60kg，所以父亲距支点的距离为：（dm）。 【详解】根据分析可得： 父子俩玩跷跷板，儿子体重12kg，坐的地方距支点15dm；父亲体重60kg，坐的地方距支点（3）dm才能保持跷跷板平衡。 19. 下图中的容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，容器内水深7cm，把这个容器倒过来，水面的高度是（ ）cm。 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意，把这个容器倒过来时，圆锥在下面，6cm高的圆锥装满水，根据等体积等底的圆柱的高是圆锥高的，即圆锥6cm高的水的体积相当于圆柱2cm高的水的体积；再用原来的水深减去2cm，求出圆柱容器内剩下水的高度，加上圆锥容器的高度，就能求出水面的高度。 【详解】6×＝2（cm） 7－2＝5（cm） 6＋5＝11（cm） 20. 沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置。下表是流入底部玻璃球的沙子体积和所需时间的相关记录。 底部沙子体积/cm3 1.57 3.14 4.71 6.28 … 所需时间/min 1 2 3 4 … 底部沙子体积与所需时间的（ ）是1.57cm3/min，这是一种（ ）比例关系。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要（ ）min。 【答案】 ①. 比值 ②. 正 ③. 8 【解析】 【分析】根据题干可得：每分钟流入底部玻璃球的沙子体积是一定的，正比例的定义，两个相关联的量对应的比值一定，则这两个量成正比例关系。据此可得出答案。 【详解】底部沙子体积与所需时间的比值是1.57cm3/min，这是一种正比例关系。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要：（min）。 三、计算。（28%） 21. 口算。 30×20%＝ 0.84＋1.6＝ 0.4×1.5＝ 【答案】20；3；6；2.44；； ；0.6；；0.125； 22. 脱式计算（能简算的要简算）。 【答案】；6； 【解析】 【分析】（1）把除法变成乘法，再根据乘法分配律简便计算。 （2）运用加法交换律和减法的性质，将原式化为6.83＋0.17－（）简化计算。 （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】÷9＋× ＝×＋× ＝×（＋） ＝× ＝ 6.83－－＋0.17 ＝6.83＋0.17－（ ＋） ＝7－1 ＝6 ＝ ＝ ＝ ＝ 23. 解方程或解比例。 5.4＋2x＝8.6 【答案】；x＝1.6； 【解析】 【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘即可求解； 根据等式的性质，方程两边同时减去5.4，再同时除以2即可求解； 根据比例的基本性质，把比例改写为，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.2即可求解。 【详解】 解： 5.4＋2x＝8.6 解：5.4＋2x－5.4＝8.6－5.4 2x＝8.6－5.4 2x＝3.2 2x÷2＝3.2÷2 x＝3.2÷2 x＝1.6 解： 四、探索实践。（17%） 24. （1）当一个长方形、一个正方形和一个圆的周长相等时，（ ）的面积最大。 （2）如图，把一个长方体、一个正方体和一个圆柱的侧面沿高展开，都能得到一个长a、宽b的长方形，此时，（ ）的体积最大。 【答案】 ①. 圆 ②. 圆柱 【解析】 【分析】假设这三种图形的周长是16，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小； 把一个长方体、一个正方体和一个圆柱的侧面沿高展开，都能得到一个长a、宽b的长方形，也就是长方体、正方体和圆柱的底面周长都是长方形的长，高都是宽； 由上题可知，当一个长方形、一个正方形和一个圆的周长相等时，圆的面积最大，由体积公式V＝Sh，高相等，底面积大的体积就大，所以圆柱的体积最大。 【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16； 正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16； 长方形长宽越接近面积越大，就取长为5宽为3，面积为：5×3＝15，当长方形的长和宽最接近时面积也小于16； 则圆的面积为： ＝ ＝ ＝64÷π ≈20.38 所以一个长方形、一个正方形和一个圆的周长相等时，圆面积最大。 把一个长方体、一个正方体和一个圆柱的侧面沿高展开，都能得到一个长a、宽b的长方形，a就是这三个图形的底面周长，b是这三个图形的高， 已知当一个长方形、一个正方形和一个圆的周长相等时，圆的面积最大， 由体积公式V＝Sh，高相等，底面积大的体积就大，所以圆柱的体积最大。 25. 旅游公司推出四条特色旅游线路，要了解游客对这些旅游线路的期待值，随机抽取了一些游客开展调研，并根据结果绘制了扇形统计图。 A．游自然盛景，赏表里山河。 B．沿万里茶路，寻晋商精神。 C．探三晋古建，悟营造智慧。 D．溯烽火岁月，感太行热血。 （1）已知期待D线路和B线路的人数相等，请将扇形统计图补充完整。 （2）游客对（ ）线路的期待值最高。已知有80人期待B线路，那么一共有（ ）名游客参与了此次调研。 （3）如果将调研结果绘制成条形统计图，正确的是图（ ）。（填序号） 【答案】（1） （2） ①. C ②. 400 （3）③ 【解析】 【分析】（1）已知期待B线路的占比为20%，期待D线路和B线路的人数相等，则期待D线路的占比也为20%；把参加调研的总人数看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”减去期待B、C、D线路的人数占比，即是期待A线路的占比。 （2）比较各线路人数的百分比，百分比最大的，表示游客对这条线路的期待值最高。已知有80人期待B线路，占参加调研总人数的20%，把参加调研的总人数看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出总人数。 （3）由扇形统计图可知，期待A线路的人数最少，期待C线路的人数最多，期待B、D线路的人数相等，据此选出能正确反映各线路期待值的条形统计图。 【小问1详解】 期待D线路和B线路的人数相等，则D线路占20%；A线路占：1－20%－45%－20%＝15%，画图略； 【小问2详解】 45%＞20%＝20%＞15% 80÷20%＝80÷0.2＝400（名） 游客对C线路的期待值最高。已知有80人期待B线路，那么一共有（400）名游客参与了此次调研。 【小问3详解】 图①，A的直条比B、D的长，不符合题意； 图②，B、D的直条长度不一样，不符合题意； 图③，A的直条最短，B、D的直条一样长，C的直条最长，符合题意。 所以，正确的是图（③）。 26. 某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如下所示。你认为这样定价合理吗？请给出你的定价建议并用数据说明理由。 【答案】不合理；理由见详解 【解析】 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱的价格应当是圆锥的3倍，由此即可解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×12 ＝3.14×42×12 ＝3.14×16×12 ＝602.88（立方厘米） 602.88×＝200.96（立方厘米） 602.88÷200.96＝3 所以A包装的沙冰价格也应该是B包装的沙冰价格的3倍。 15÷10＝1.5 现在的A包装的沙冰价格是B包装的沙冰价格的1.5倍，现在这样定价不合理。 15÷3＝5（元） 10×3＝30（元） 答：我认为这样定价不合理，A包装的价钱应当是B包装的3倍；定价建议如下：如果A包装定价为15元，则B包装定价5元，如果B包装定价为10元，则A包装定价为30元。 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。 五、解决问题。（29%） 27. 芜湖是鱼米之乡，也是全国四大米市之一。种粮大户梁伯伯家去年收稻谷10万千克，比前年增产了二成五。梁伯伯家前年收稻谷多少万千克？ 【答案】8万千克 【解析】 【分析】二成五＝25%，把前年的稻谷产量看作单位“1”，则去年是前年的（1＋25%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。据此列式：10÷（1＋25%）即可解答。 【详解】二成五＝25% 10÷（1＋25%） ＝10÷1.25 ＝8（万千克） 答：梁伯伯家前年收稻谷8万千克。 28. 如图，圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它完全浸入一个长方体水槽的水中，量得水面上升了0.4厘米，再把一个底面直径是6厘米的圆锥完全浸入水中，水面又上升了0.6厘米（水未溢出）。求圆锥的高。 【答案】4厘米 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式V＝，代入半径2厘米和高2厘米，得出圆柱的体积；再用圆柱的体积÷水面上升的高度＝长方体水槽的底面积；圆锥体积等于第二次水面上升体积＝水槽的底面积×0.6； 求圆锥半径＝圆锥底面直径÷2；圆锥的高＝圆锥体积×3÷圆锥的底面积，圆锥的底面积＝。 【详解】圆柱的体积：π××2＝π×4×2＝4π×2＝8π（立方厘米） 水槽的底面积：8π÷0.4＝20π（平方厘米） 圆锥的体积：20π×0.6＝12π（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） 圆锥的高：12π×3÷（π×）＝36π÷9π＝4（厘米） 答：圆锥的高是4厘米。 29. 观星台是中国现存最为古老的天文台。为测算观星台的高度，聪聪在观星台旁边垂直于地面立了一根1.2米高的木棒，量得木棒影长0.5米。聪聪又量出观星台的影长约为5.25米，请你帮聪聪算一下观星台高多少米？（用比例的知识解答） 【答案】12.6米 【解析】 【分析】同一时间和地点，物体的高度和影子的长度成正比例关系。将观星台的高度设为x米，根据“木棒高度∶观星台高度＝木棒影子长度∶观星台影子长度”列出比例，再解比例即可。 【详解】解：观星台的高度设为x米。 1.2∶x＝0.5∶5.25 0.5x＝1.2×5.25 0.5x＝6.3 0.5x÷0.5＝6.3÷0.5 x＝6.3÷0.5 x＝12.6 答：观星台高12.6米。 30. 在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得京沪高速公路长约6.3厘米，如果需要在10小时内行完从北京到达上海全程，每小时的平均速度应不低于多少千米？ 【答案】126千米 【解析】 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，用图上距离除以比例尺求出京沪高速公路实际距离，再根据路程÷时间＝速度，求出速度即可，注意根据1千米＝100000厘米进行单位换算。 【详解】6.3÷ ＝6.3×20000000 ＝126000000（厘米） 126000000厘米＝1260千米 1260÷10＝126（千米） 答：每小时的平均速度应不低于126千米。 31. 同学们根据“圆柱容球”设计了如下图所示的三个模型，请你思考并想象。 圆柱容球是古希腊数学家阿基米德的伟大发现之一。当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。此时，球的体积是圆柱体积的三分之二。 （1）小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个（ ）体，它的体积是（ ）立方厘米。 （2）小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个（ ）体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是（ ）立方厘米。 （3）小萱将图3的模型绕轴快速旋转一周，能形成一个形状如圆柱挖去一个等底、等高圆锥的几何体。她认为这个几何体的体积和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同，你同意她的看法吗？请说明理由。 【答案】（1）圆柱， 169.56； （2）球，113.04； （3）同意，见详解。 【解析】 【分析】（1）长方形以长边为轴快速旋转一周，会形成一个圆柱体，圆柱体的底面半径等于长方形的宽，圆柱体的高等于长方形的长，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，求出它的体积。 （2）将半圆绕轴快速旋转一周，形成一个球体，根据“球的体积是圆柱体积的三分之二”，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘求出它的体积。 （3）从“等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍”着手分析。 【详解】（1）将长方形绕轴快速旋转一周，形成一个圆柱体，它的体积是： 3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 小雨将图1的长方形绕轴快速旋转一周，形成一个（圆柱）体，它的体积是这个圆柱的体积是（169.56）立方厘米。 （2）将半圆绕轴快速旋转一周，形成一个球体，它的体积是： 169.56×＝113.04（立方厘米） 小浩将图2的半圆绕轴快速旋转一周，形成一个（球）体，根据“圆柱容球”可知，它的体积是（113.04）立方厘米。 （3）答：我同意她的看法，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆柱的体积看成3份，挖走的圆锥的体积是1份，那么剩下的体积就是圆柱体积的三分之二，和图2的半圆绕轴快速旋转一周形成的几何体的体积相同。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $