第6章 第4节 相似三角形存在性问题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

第6章 坐标系中的角 第4节 相似三角形存在性问题 相似三角形是初中几何的重要部分，也是解决其他几何问题的一种重要方法，在前面的章节中 已经出现了部分相似的模型，另有一些常见的模型以及基本结论，本节将逐一介绍. DA DQ 》知识导航 AB AD 代人解得DQ=8 3 ≥1.由边、角条件构造相似 得点Q的坐标为（，-）： ®例1□(2018·德州改编)如图1，在平面直 角坐标系中，直线y=x一1与抛物线y= 一x2+bx+c交于A、B两点，其中A(m,0)、 B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交 于另一点D (1)求m、n的值及该抛物线的函数表达式. △ADQC∽△BAD △ADQ∽△DAB (2)如图2，连接BD、CD,在线段CD上是否存 图3 图4 在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与 ②如图4，当△ADQp△DAB时， △ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐 DQB,代人解得DQ=32, DA AD 标；若不存在，请说明理由. 得点Q的坐标为(2，一3) 综上所述，点Q的坐标为（了，-）或(2，-3》.。 舍思路归纳 关于相似三角形的存在性问题，从相似 三角形的判定条件着手考虑，判定方法有： 判定1：两角分别相等的两个三角形 图1 图2 相似； ○解析(1)m=1,n=3,抛物线的函数表达式 判定2：两边成比例且夹角相等的两个三 为y=-x2+6x-5. 角形相似； (2)思路：平行得相等角，构造两边成比例. 判定3：三边成比例的两个三角形相似. 由题意，得D(5,0), 在解决问题时，判定1和判定2应用得 .直线CD的函数表达式为y=x一5， 更多，且这两种判定方法均有相等角条件.因 ∴.CD∥AB,.∠CDA=∠BAD. 此，先确定一组相等角，是探究相似三角形存 ①如图3，当△ADQC∽△BAD时， 在性问题的关键.在确定一组等角后，可考虑： 195 以壹学知道中考数学压轴题得高分 思路1：等角两边成比例； 2m+3)=m2-2m.①当△AED∽△MFE时， 思路2：再确定另一组相等角. 则把器即-2，解得a=3 3√2√2 考虑到坐标系中线段长度通常比角度大 或m=-3或m=2(舍去)，∴.点M的坐标为 小更容易表示，可优先考虑思路1. (3,0)或(-3，-12)；②当△AED∽△EFM ≥2.直角三角形相似存在性 时，则FEF 能-E即m2-2,解得 √2 3√2 ®例2(2022·绵阳)如图，抛物线y=a.x2+ m=一 3或m=3(舍去)或m=2(舍去)，心点 bx十c交x轴于A(一1,0)、B两点，交y轴于 点C(0,3),顶点D的横坐标为1. M的坐标为（一3）综上所述，点M的坐标 120 (1)求抛物线的表达式. (2)过点C作直线1与y轴垂直，与抛物线的另 为8.0或(-3，-12)或-,2) 一个交点为E,连接AD、AE、DE,在直线1下 方的抛物线上是否存在一点M,过点M作 MF⊥I,垂足为F,使以M、F、E三点为顶点的 三角形与△ADE相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由， 《思路归纳 关于直角三角形的相似存在性问题，在 确定直角对应相等后，可考虑两组直角边成 比例，也可转化成三角形中有一组锐角相等， ○解析(1).定点D的横坐标为1，∴.抛物线 计算这组锐角的正切值，即一个直角三角形 中的两条直角边之比等于另一直角三角形中 对称轴为直线x=1,又A(-1,0),∴.B(3, 的两条直角边之比 0),设抛物线的函数表达式为y=a(x+ 如图，若Rt△ABC∽Rt△DEF,除 1)(x-3),将(0,3)代人，得-3a=3,.a= 一1，∴.抛物线的函数表达式为y=一x2十 ∠C=90=∠F外，还应满足？-总或∠A 2x+3. (2)如图，由题意得，D(1,4),E(2,3),.AE= ∠D(即1anA=1anD,即分-)： 32,DE=√2，AD=25,.AE2+DE2= AD2,∴.△AED是直角三角形且∠AED=90°， 又∠MFE=90°，∴.∠AED=∠MFE.设点M 的坐标为(m,一m2+2m十3)，则点F的坐标为 B (m,3),∴.EF=|m-2|,MF=3-(-m2+ 196 第6章) 坐标系中的角 ®例3(2018·广安)如图，已知抛物线y= AH= 2m:PH=m. 十bx+c与直线y2x十3交于A正 分类讨论： 点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知 情况1：当%-1 当器号时，侧品=3 A(0,3)、C(-3,0). (1)求此抛物线的函数表达式. 的题意程 1 +2m (2)P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA, =3,解得m=1, m 过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问：是否存 对应的点P的坐标为(1,6). 在点P,使得以A、P、Q为顶点的三角形与 △ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的 简战2：当6-专时，圳分品- 点P的坐标；若不存在，请说明理由， 1 的题意得” 2m m 3,解得m=- 3舍去). 综上所述，点P的坐标为(1,6). B D C解析(1)抛物线的函数表达式为y= 2x2+ B D O 2x+3. (2).A(0,3)、C(-3,0)、B(-4,1),∴.AC2= $思路归纳 18,BC2=2,AB2=20,.AC2+BC2=AB2, 对于【例3】的分析，可理解为运用“两角 分别相等的两个三角形相似”，在计算角度正 ∠ACB=90,tan∠BAC=AC=若 切值时，运用“化斜为直”的方法，便于计算. △APQ与△ABC相似，则tan∠PAQ= PQ AP ≥3.由AA构造相似 吉或m∠r0A-侣 ®例4(2023·武汉改编)抛物线y=x2 如图，过点P作PH⊥y轴交y轴于点H,则 2x一8交x轴于点A、B(,点A在，点B的左侧)， AP AH 交y轴于点C. PQ HP (1)直接写出A、B、C三点的坐标. 设点P的坐标为m,2m2+m十3)0m≥0， 1 (2)作直线x=t(0<t<4),分别交x轴、线段 BC、抛物线于D、E、F三点，连接CF,若 则底H的坐标为0,2m2+号m十3)， △BDE与△CEF相似，求t的值. 197 以壹学知道中考数学压轴题得高分◆ (1)直接写出抛物线和直线BC的函数表达式. (2)当点P在运动过程中，在y轴上是否存在 点Q,使得以O、P、Q为顶点的三角形与以B、 C、N为顶点的三角形相似（其中点P与点C 相对应)？若存在，直接写出点P和点Q的坐 标；若不存在，请说明理由 C解析(1)A(-2,0)、B(4,0)、C(0,-8) (2)由题意，得∠BED=∠CEF.又∠BDE= 90°，∴.若△BDE与△CEF相似，则∠CFE= 90°或∠FCE=90°.①若△BDE∽△CFE,则 ∠CFE=∠BDE=90°，如图1，过点C作x轴 A N Bx B 的平行线，与抛物线的交点即为点F,将y= 备用图 -8代入y=x2-2x-8,解得x1=2,x2=0, ○解析(1)抛物线的函数表达式为y=一x2十 .t=2;②若△BDEn△FCE,则∠FCE= ∠BDE=90°，如图2，过点F作FH⊥y轴交 x十2，直线BC的函数表达式为y=一x十2. (2)若△POQ∽△CBN,当点P在第一象限 y轴于点H,则△FHC∽△COB,. FH CO 时，如图1，则∠POQ=∠CBN=45°，令x= H OB,由题意，得FH=t,CH=-t2+2t,代入， 一x2+x+2,得点P的坐标为（√2,2）， =-t2+2 ÷809即2-0 .0Q=2-1, 得 ,解得t1= 2t红=0（舍去）.综上 2√22-√2 8 即点Q的坐标为(0，√2一1)；当点P在第四象 所述1的值为2或号 限时，如图2，则∠POQ=∠CBN=135°，令 一x=一x2+x+2,得点P的坐标为(1+ B 8,-1-月-器即220 2√2 OQ ,.OQ=1,即点Q的坐标为(0,1).若 3-1 △POQp△CNB,当点P在第一象限时，如图 图1 图2 3,则∠PQ0=∠CBN=45°，∠POQ= ∠CNB,则∠POC=∠CNO,.tan∠POC= ®例5(2023·随州改编)如图，平面直角坐 tan∠CNO,设点P的坐标为(m,一m2十m+ 标系xOy中，抛物线y=ax2十bx十c过点 m 2 A(-1,0)、B(2,0)和C(0,2),连接BC,P(m, 2》,则-mm十2是解得m:=1。 31 n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PNI x轴交直线BC于点M,交x轴于点N. m=1二⑧（会去），点P的坐标为 3 198 )第6章 坐标系中的角 (压，1，严)点Q的坐泰为(0， 4-2√13 9 )；当点P在第四象限时，同理可得 m 2 m2-m-2 m ,解得m1=1+√5，m2=1-√5 图3 (舍去)，.点P的坐标为(1十5，一3-√5)，点 Q的坐标为(0，一2).综上所述，P(2,√2)、 思路归纳 Q(0,√2-1)或P(1+√3，-1-3)、Q(0,1)或 相似三角形存在性问题含有较多关于角 度关系的分析，虽然问题是存在性问题，但依 P1+,7+oo,1 )或P(1+ 然归于角度问题研究更合理， 5,-3-5)、Q(0,-2). 图1 图2 199 以壹学知道中考数学压轴题得高分● 》真题演练 1(2025·眉山)如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y-的图像相交于A(,0,B(4,m)两 点，与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称，连接AD. (1)求一次函数和反比例函数的表达式. (2)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标. 2.(2021·无锡改编)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=一x十3与x轴交于点B,与 y轴交于点C,二次函数y=ax2十2x十c的图像过B、C两点，且与x轴交于另一点A,M为线段 OB上的一个动点，过点M作直线l∥y轴交BC于点F,交二次函数y=ax2+2x十c的图像于 点E. (1)求二次函数的表达式 (2)当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度. B 200M )第6章 坐标系中的角 3.(2024·内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=一2x十6的图像与x轴交于点A,与y轴 交于点B,抛物线y=一x2十bx十+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作 DC⊥x轴于点C,交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式. (2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明 理由。 y D E 备用图 4.(2021·黔东南改编)如图，抛物线y=ax2一2x十c(a≠0)与x轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交 于点C(0,一3)，抛物线的顶点为D (1)求抛物线的函数表达式。 (2)已知M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点M,使得 以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由. A B D 201 壹学知道中考数学压轴题得高分● 4x23 5.(2021·泸州)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y= x十4与两坐标轴分别相 交于A、B、C三点. (1)求证：∠ACB=90° (2)D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交直线BC于点E,交x轴于点F. ①求DE十BF的最大值； ②G是AC的中点，若以点C、D、E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标. D E 2024.点M的坐标为(8,0).设直线CM的函数表达式为 8k十b=0, y=x十b,将M(8,0)、C(0,4)代入，得 解 b=4, 1 k=- 得 2':直线CM的函数表达式为y=-号c 2x+ b=4, 4联立得方程一x十4=一号+号十4，解得 x1=0(舍去)，x2= m的值为 7 --N B M 4.解析：(1)由题意，得y=a(x十4)(x-1),C(0,4), .-4a=4,.a=-1,.二次函数的表达式为y= -x2一3x十4.(2)如图，记BP与y轴的交点为E, 设∠BCO=a,则∠DPB=2a.'PD∥CO, ∴.∠BEO=∠DPB=2a.又，'∠BEO=∠BCO+ ∠EBC,∴∠EBC=a=∠ECB,∴.EB=EC.设OE= m,则EC=EB=4一m.在Rt△BOE中，OB2+OE2= B,即1+m=1一m,解得m=号点E的坐 标为0，骨)设直线P的函致表法式为y=r+点， 将B1,0代人，得k+日-0，k=-只直线BD 的函数表达式为y=-15z+15 82十 81 A■ 5.解析：(1)y=一 2x2+2x+ aP学) 5 或() 6.解析：(1)y=- 2x2+x+4.(2)由题意得E(-1, 2)、F(3,0).①当点Q在EF下方时，由题意可知 中考数学压 ∠EFA=∠OCA,,∠QFE=2∠OCA=∠QFA+ ∠EFA,∠QFA=∠EFA,lQ:y=2(x-3), 1 1-3√5 令- 2x2+x+4=2(x-3),解得x1= 2 ,x2= 5(合去点Q的坐标为(95 2 -5-3√5 4 ;②当点Q在EF上方时，由题意得 an∠0CA=号，可知an∠QFE=子，如图，构造 1 △FNE△EMP,H-x-E-则FP与 抛物线交点即为所求点Q,E(-1,2)、F(3,0), 1 4= 2x+ ,解得x, 11、,33 13-6丽，，13+/6（会 -2= 2 2 去)，点Q的坐标为 13-√69-77+11√69 .综 2 4 上所运，点Q的坐标为(5,535)或 4 13-√69-77+11√69 2 4 -----P 第4节相似三角形存在性问题 1.解析：(1)一次函数的表达式为y=一x十5，反比例 函数的表达式为y=兰.(2)P(-5,0)或（号0） 2.解析：(1)由题意，得B(3,0),C(0,3).代入y 9a+6+c=0 ax2+2x十c,得 c=3, 0解得二次 c=3, 函数的表达式为y=-x2+2x十3.(2)将y=0代入 y=-x2+2x十3，得-x2+2x十3=0，解得x1=-1, x2=3,.点A的坐标为(-1,0)，.AB=4,BC= 3W2,OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB=45°..EF∥OC, 轴题得高分 39 ∴.∠CFE=∠OCB=45°，∴.∠CFE=∠OBC.设 M(m,0)(0≤m≤3)，则F(m,-m+3),E(m, -m2+2m+3),.CF=√2m,EF=-m2+3m.①若 EF △CFED△ABC,则B=CB,代人得Y2s 4 二m十3m解得m:三多，m,=0(舍去：EF 3√2 x2+3 5.解析：(1)将y=0代入y=- x+4,得 m+3m三日：②若△CFE∽△CBA,则3-AB 1 2+x十4=0，解得1=-2，：=8；令x=0, ÷30-m+,解得m1=号m:=0(含去)，则y=4A(-20,B(8,0),C(0,4.AC=26, 3√2 4 BC=4√5，AB=10,∴.AC2+BC2=AB2,∴.△ABC是 =m2+3m9综上所述，线段EF的长为4直角三角形1∠ACB=90:（2)0由窗膏 0 或 的函数表达式为y=-2x十4，设点D的坐标是(m, 3.解析：(1)y=-x2+x+6.(2)存在.D(1,6)或 (合) -m+名m十4小则点E的坐标是(m, 1 4.解析：(1)将B(3,0)、C(0,-3)代入y=ax2-2x+ 2m十4)，点F的坐标是(m,0),DE=-m2+ c,得9a-6+c=0, 91c=-3, 一0解得化3，∴港简线的两数表2m,BF=8-aDR+B即=—子m千m十8 c=-3,1 达式为y=x-2x-3。(2)由题意，得D(1,-4),又-(m-2)+9,当m=2时，DE十BP最大，最大 B(3,0),C(0,-3),.CD=√2，BC=3V2,BD= 值为9.②：DF∥OC,∠CED=∠BCO. 25,.CD2+CB2=BD,.△BCD为直角三角形且：∠BC0十∠AC0=90°，∠OAG+∠ACO=90°， ∠BCD=90,im∠CBD-品-设点M的坐标 .∠CED=∠BCO=∠OAG.由题意，得OA=2, 为(m,0),则点G的坐标为(m,m2-2m-3),AG=5,CE=5 m,DE=- 4m2+2m.若△04G ∴.AM=|m+1|,MG=|m2-2m-3l.①若△AMG0 ABCD,则∠MAG=∠CBD,:tan∠MAG=△DEC,则A-AC, DEEC,即， 2 1 5,解得 5 am∠CBn-C-日：G-台代人得 4m2+2m m2-2m-31_1 m=4D6:若△0AGcn△CFn,则8-S m+1 部得m=号=号m=-1 即、2 5 (会去)点M的坐标为（号0或(30）：@若 √5 1 解得m=3D(3,)综上 4m2+2m △AMG∽△DCB,则∠MAG=∠CDB,∴.tan∠MAG m∠CDB=%=39=,代人得 所述，点D的坐标为4,6)或3，)】 lm2-2m-3=3,解得m1=0,m:=6,m,=-1(含 m+1 去)，.点M的坐标为(0,0)或(6,0).综上所述，点M 的坐标为(90)或（号0或0.0）或6,0。 中考数学压轴题得高分 ·40·